FB Ingenieurwissenschaften 1 Funktionen 1.1 Begriff der Funktion ...

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FB Ingenieurwissenschaften Bereich Maschinenbau Mathematik I Prof. Kortendieck wurde (eine andere Lösung, um die Koeffizienten des reduzierten Polynoms zu ermitteln, ist die Partialdivision). 1.3.2 gebrochenrationale Funktionen: Seien m, n ∈ ⎟Ν0 , N sei ein Polynom vom Grad m, Z sei ein Polynom vom Grad n mit: Z(x) := anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 N(x) := bmxm + bm-1xm-1 + ... + b1x + b0 Die Funktion f(x) Z( x) := N ( x) ist eine gebrochenrationale Funktion. Eine gebrochenrationale Funktion heißt echt gebrochenrational, wenn m > n unecht gebrochenrational, wenn m ≤ n. 2 x + 1 Beispiel: f(x) := 2 ist unecht gebrochenrational. 2x − x − 5 wichtige Eigenschaften: a) Als Definitionsbereich von gebrochenrationalen Funktionen kann die Menge ⎟R \ { x | N(x) = 0 } gewählt werden. Das heißt: In den Nullstellen des Nennerpolynoms ist eine gebrochenrationale Funktion nicht definiert. Sie gehören also nicht zum Definitionsbereich der Funktion. b) Das Ergebnis von Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und Verkettung von gebrochenrationalen Funktionen ergibt wiederum eine gebrochenrationale Funktion. c) Gebrochenrationalen Funktionen sind im gesamten Definitionsbereich stetig (aber nicht in den Nullstellen des Nennerpolynoms !!!). d) Die Nullstellen einer gebrochenrationalen Funktion sind die Elemente des Definitionsbereiches der Funktion (und damit nicht die Nullstellen des Nennerpolynoms !!!), die Nullstellen des Zählerpolynoms sind. e) Eine echt gebrochenrationale Funktion hat die Asymptote A(x) = 0. Beispiel: f(x) := 1 x An den Stellen, die zugleich Nullstelle von Zähler- und Nennerpolynom sind, liegt eine hebbare Lücke vor. An den Stellen, wo nur das Nennerpolynom eine Nullstelle hat, besitzt die Funktion eine Polgerade. 02.07.02, Seite 46
FB Ingenieurwissenschaften Bereich Maschinenbau Mathematik I Prof. Kortendieck f) Eine unecht gebrochenrationale Funktionen mit m = n (also gleichem Grad von Zähler- und Nennerpolynom) hat die Asymptote A(x) = an . b Beispiel: f(x) := 2 x + 5x + 3 2 4x + 2 hat die Asymptote A(x) = 1 4 . g) Eine unecht gebrochenrationale Funktion f mit m < n (Grad von Nennerpolynom kleiner als Grad von Zählerpolynom) läßt sich zerlegen in: f(x) = p(x) + r(x), wobei p ein Polynom und r (= Rest nach Partialdivison) eine echt gebrochenrationale Funktion ist. Dann hat die Funktion f die Asymptote A(x) = p(x). 3 x Beispiel: f(x) := 2 ⋅ ( x − 1) = 1 2 1 2 ⋅ ( x + x + 1) + hat die 2 ⋅( x − 1) Asymptote A(x) = 1 2 ⋅(x 2 + x + 1). h) Das Verhalten unecht gebrochenrationaler Funktionen an ihren Unstetigkeitsstellen ergibt sich aus dem Verhalten des echt gebrochenrationalen Restes r, der nach Partialdivision übrigbleibt. 1.3.3 irrationale Funktionen: Eine Funktion heißt irrational, wenn • entweder die Variable x in einem Wurzelterm steht Beispiel: • oder sich die Gleichung 5 − x f(x) := 3 2 1+ x implizite Darstellung F(x ; y) = (1+x2 ) y3 + x - 5 = 0 m n ∑∑ i= 0 j = 0 F(x ; y) = a ⋅ x ⋅ y ij i j = 0 (a ij ∈ ⎟R) nicht nach y auflösen läßt (es also für eine Funktion obiger Form keine explizite Darstellungsform gibt). Auf eine weitergehende Erörterung irrationaler Funktionen wird hier verzichtet. n 02.07.02, Seite 47
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