FB Ingenieurwissenschaften 1 Funktionen 1.1 Begriff der Funktion ...

FB Ingenieurwissenschaften
Bereich Maschinenbau
Mathematik I
Prof. Kortendieck
expliziten Darstellung y = f(x) zur Parameterdarstellung ist immer möglich.
Beispiele: Sei ∀ t ∈ ⎟R: x(t) := t + 2 y(t) := 5 - 1
2 t 2
Damit ergibt sich folgende Wertetabelle:
t -4,0 -3,0 -2,0 -1,0 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0
x -2,0 -1,0 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0
y -3,0 0,5 3,0 4,5 5,0 4,5 3,0 0,5 -3,0
und folgende graphische Darstellung:
5,0
4,0
3,0
2,0
1,0
0,0
-1,0-2,0
0,0 2,0 4,0 6,0
-2,0
-3,0
In diesem Fall läßt sich die Parameterdarstellung leicht umformen in die
explizite Darstellung:
Indem man die erste Gleichung nach t auflöst, läßt sich in der zweiten
Gleichung t durch x - 2 ersetzen:
y = 5 - 1 2 (x - 2) 2 = - 1 2 x 2 + 2x + 3.
Damit konnte also in diesem Fall die Parameterdarstellung leicht in die
explizite Darstellung überführt werden. Da x in der ersten Gleichung der
Parameterdarstellung linear von t abhängt, ist auch die Genauigkeit der
graphischen Darstellung unabhängig davon, ob über t oder x variiert wird.
Deshalb bringt in diesem Beispiel die Parameterdarstellung keine Vorteile.
♦ Erheblich interessanter ist die Parameterdarstellung des nach unten offenen
Halbkreises:
Sei ∀ t ∈ [0, 2π]: x(t) := 5 cos t y(t) := 5 sin t
In diesem Fall kann man sich den Parameter t als Drehwinkel vorstellen. Ein
entscheidender Vorteil der Parameterdarstellung gegenüber der expliziten
Darstellung besteht in diesem Beispiel darin, daß bei der Wahl von
Parameterwerten t in konstantem Abstand auch die sich ergebenden (x,y)-
Werte konstanten Abstand haben. Dadurch läßt sich eine gleichmäßig gute
graphische Darstellung erreichen.
02.07.02, Seite 33