FB Ingenieurwissenschaften 1 Funktionen 1.1 Begriff der Funktion ...

FB Ingenieurwissenschaften
Bereich Maschinenbau
Mathematik I
Prof. Kortendieck
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Definition (Monotonie): Sei I ein Intervall. Eine Funktion f ist im Intervall I
monoton fallend, wenn gilt: ∀ x 1 , x 2 ∈ I mit x 1 < x 2 : f(x 1 ) ≥ f(x 2 )
streng monoton fallend, wenn gilt: ∀ x 1 , x 2 ∈ I mit x 1 < x 2 : f(x 1 ) > f(x 2 )
monoton steigend, wenn gilt: ∀ x 1 , x 2 ∈ I mit x 1 < x 2 : f(x 1 ) ≤ f(x 2 )
streng monoton steigend, wenn gilt: ∀ x 1 , x 2 ∈ I mit x 1 < x 2 : f(x 1 ) < f(x 2 )
Beispiele:
a. f(x) := -2x + 1 ist streng monoton fallend in I = ⎟R
b. f(x) := sin x ist streng monoton steigend in I 1 := [-π/2, π/2]
und streng monoton steigend in I 2 := [π/2, 3/2π].
c. f(x) := 5 ist zugleich monoton fallend und monoton steigend in
I = ⎟R.
Definition (gerade, ungerade Funktion): Sei X ⊂ ⎟R, so daß gilt: x ∈ X ⇒ -x ∈ X. Die
Funktion f : X → ⎟R heißt
gerade, wenn gilt: ∀ x, -x ∈ X: f(-x) = f(x)
ungerade, wenn gilt: ∀ x, -x ∈ X: f(-x) = -f(x)
Die Graphen gerader Funktionen sind axialsymmetrisch zur y-Achse, die Graphen
ungerader Funktionen punktsymmetrisch zum Punkt (0,0).
Beispiele: a) f(x) := cos x ist gerade
b) g(x) := sin x ist ungerade
Definition (Periodizität): Die Funktion f : X → ⎟R heißt periodisch, wenn gilt:
∃ p ∈ ⎟R mit p > 0, so daß ∀ x ∈ X, ∀ k ∈ ⎟Ζ gilt:
x + kp ∈ X und f(x) = f(x + kp).
p heißt Periode der Funktion f. Die kleinste Periode p heißt primitive Periode.
Beispiel: f(x) := sin x und g(x) := cos x haben die primitive Periode 2π und z. B. die
Periode 10π
02.07.02, Seite 36