FB Ingenieurwissenschaften 1 Funktionen 1.1 Begriff der Funktion ...

FB Ingenieurwissenschaften
Bereich Maschinenbau
Mathematik I
Prof. Kortendieck
b. f(x) := sin x ist stetig ∀ x ∈ ⎟R
c. ⎧ 0 x < 0
f(x) := ⎨
⎩ 1 x ≥ 0
f ist nur rechtsseitig stetig in x = 0, also ist f in x = 0 nicht stetig.
f hat in x = 0 eine Sprungstelle.
d. f(x) := 1
∀ ∈ x ⎟R \ {0}
x
f ist stetig ∀ x ≠ 0. f ist in x = 0 nicht stetig, da x = 0 nicht zum
Definitionsbereich der Funktion gehört.
Die Funktion f(x) := 1
∀ x ∈ ⎟R \ {0} hat in x = 0 eine Polstelle. Die
x
Definitionslücke in x = 0 ist nicht hebbar, da es keine reelle Zahl y ∈ ⎟R gibt
mit f(0) := y, so daß dadurch f in x = 0 stetig ist.
Anschaulich: Bei Annäherung an die Stelle x = 0 nähert sich der Graph der
Funktion immer mehr der y-Achse. Man spricht in diesem Fall von einer
Polgeraden.
sin x
Die Funktion f(x) := ist für x = 0 nicht definiert. Durch folgende
x
Festlegung läßt sich diese Definitionslücke schließen:
sin x
⎧
x x ≠ 0
f(x) := ⎨
⎩ 1 x = 0
Dadurch wird f außerdem stetig ∀ x ∈ ⎟R (auf Beweis wird hier verzichtet).
In einem solchen Fall spricht man von einer hebbaren Definitionslücke.
e. Die Funktion f(x) := sin 1 x ist für x = 0 nicht definiert und auf
⎟R \ {0} stetig. Die Funktion nimmt in jeder noch so kleinen Umgebung um x =
0 alle Werte zwischen -1 und 1 an. Die Funktion oszilliert also. Die
Definitionslücke ist nicht hebbar.
Von großer Bedeutung sind die folgenden Stetigkeitssätze, deren Aussagen intuitiv
einsichtig sind:
Zwischenwertsatz: I sei ein Intervall, f : I → ⎟R stetig. Seien x1, x2 ∈ I mit x1 < x2 und
f(x1) < f(x2) (bzw. f(x2) < f(x1)). Dann gilt:
Für alle y ∈ [f(x 1 ),f(x 2 )] (bzw. ∀ y ∈ [f(x 2 ),f(x 1 )]) gibt es ein x ∈ [x 1 ,x 2 ], so daß y = f(x).
Satz von Weierstraß: Sei I ein abgeschlossenes Intervall, f: I → ⎟R stetig.
Dann gilt: f hat ein Maximum und ein Minimum. Insbesondere ist f beschränkt.
02.07.02, Seite 39