FB Ingenieurwissenschaften 1 Funktionen 1.1 Begriff der Funktion ...

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FB Ingenieurwissenschaften Bereich Maschinenbau Mathematik I Prof. Kortendieck k x k y k I II III 0 0 -12 (= b 0 ) 14 = −12−16 0−2 (= b1 ) 1 2 16 -2 = 14−4 0 5 − (= b 2 ) 4 -1 = 2 5 28 -9 -41 3 7 -54 Also ergeben sich die Koeffizienten: b 0 = -12, b 1 = 14, b 2 = -2, b 3 = -1 − 2+ 9 0−7 (= b3 ) Eingesetzt in das Interpolationspolynom ergibt sich: y = -12 + 14 (x - 0) - 2 (x - 0)(x - 2) - 1 (x - 0) (x - 2) (x - 5) = -x 3 + 5x 2 + 8x -12 • Gegeben seien die Punkte (x 0 ,y 0 ), (x 1 ,y 1 ). Durch diese Punkte soll eine Gerade gelegt werden (lineare Interpolation durch 2 Punkte): P(x) = b 0 + b 1 (x - x 0 ) mit b 0 = y 0 b 1 = [x 0 ,x 1 ] = y − y 0 1 x − x 0 1 Durch Einsetzen ergibt sich: y = y0 + [x0 ,x1 ]⋅(x - x0 ) x − x0 = y0 + (y1 - y0 )⋅ x1 − x0 = y y 1 − 0 y − y ⋅x + y0 - x0⋅ x − x x − x 1 0 1 0 1 0 Entsprechend läßt sich z.B. eine Formel ableiten für die quadratische Interpolation durch drei Punkte usw. Eine einfache, aber wichtige Anwendung der linearen Interpolation (und damit der Anwendung obiger Formel) ist die Regula Falsi zur näherungsweisen Bestimmung von Nullstellen einer Funktion f(x): Man ermittelt durch "Probieren" zwei Werte x 1 und x 2 des Definitionbereiches von f, so daß f(x 1 ) ⋅ f(x 2 ) < 0 (d.h.: einer der beiden Funktionswerte ist größer, der andere kleiner als 0). Wenn die Funktion auf dem Intervall [x 1 ,x 2 ] stetig ist, besitzt sie in diesem Intervall eine Nullstelle (Zwischenwertsatz). Eine Näherung dieser 02.07.02, Seite 44
FB Ingenieurwissenschaften Bereich Maschinenbau Mathematik I Prof. Kortendieck Nullstelle erhält man, wenn man durch die Punkte (x 1 ,f(x 1 )) und (x 2 ,f(x 2 )) eine Gerade legt und deren Nullstelle berechnet. Die Qualität des Ergebnisses hängt natürlich wesentlich von der Wahl der Werte x 1 und x 2 ab. Für die Berechnung der Funktionswerte von Polynomen ist das folgende sogenannte Horner-Schema (William George Horner, 1786 - 1837) hilfreich. Dadurch wird die Anzahl der Multiplikationen minimiert: Berechnet werden soll der Wert des Polynoms f an der Stelle x 0 : f(x 0 ) = a n x 0 n + an-1 x 0 n-1 + an-2 x 0 n-2 ... + a1 x 0 + a 0 Durch Ausklammern erhält man: f(x 0 ) = ( ... ((a n x 0 + a n-1 ) x 0 + a n-2 ) x 0 ... + a 1 ) x 0 + a 0 Also: a n wird mit x 0 multipliziert, zum Produkt wird dann a n-1 addiert, die Summe anschließend mit x 0 multipliziert usw. Dieses Verfahren läßt sich in folgendem Schema darstellen: a n a n-1 a n-2 ... a 1 a 0 a n x 0 (a n x 0 + a n-1 ) x 0 ... ... ... x= x 0 a n a n x 0 + a n-1 ... ... ... f(x 0 ) In der 1. Zeile des Horner-Schemas stehen die Polynomkoeffizienten. In der 2. Zeile steht das Produkt von x 0 und dem Term, der in der vorherigen Spalte in der 3. Zeile steht. In der 3. Zeile steht die Summe der Terme aus der 1. und der 2. Zeile. In der letzten Spalte der 3. Zeile steht der Funktionswert. Beispiel: f(x) := x 4 - 5x 3 + 7x 2 + 3x -10. Gesucht ist f(3). Berechnung mit Horner-Schema für x 0 = 3: 1 -5 7 3 -10 3 -6 3 18 x=3 1 -2 1 6 8=f(3) Es gilt: f sei ein Polynom n-ten Grades. Wenn x = x 0 eine Nullstelle des Polynoms ist, läßt sich das Polynom darstellen als Produkt des Linearfaktors (x-x 0 ) und eines Polynoms (n-1)-ten Grades. Die Polynomkoeffizienten dieses reduzierten Polynoms ergeben sich sofort aus der dritten Zeile des Horner-Schemas, das für x = x 0 aufgestellt 02.07.02, Seite 45
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