FB Ingenieurwissenschaften 1 Funktionen 1.1 Begriff der Funktion ...

FB Ingenieurwissenschaften
Bereich Maschinenbau
Mathematik I
Prof. Kortendieck
• Sehr häufig werden die sogenannten Additionstheoreme genutzt:
sin (x + y) = sin x ⋅ cos y + cos x ⋅ sin y
cos (x + y) = cos x ⋅ cos y - sin x ⋅ sin y
Mit dem folgenden Bild ist dieser Zusammenhang schnell ersichtlich:
0
y
x
sin (x + y) = AE
OE
cos (x + y) = OA
OE
C
E
x
A B
D
90-x
BD + CE BD CE BD OD CE ED
= = + = ⋅ + ⋅
OE OE OE OD OE ED OE
= sin x cos y + cos x sin y
OB − CD OB CD OB OD CD ED
= = − = ⋅ − ⋅
OE OE OE OD OE ED OE
= cos x cos y - sin x sin y
Daraus ergibt sich sofort (weil sin(-x) = -sin(x)):
sin (x - y) = sin x cos y - cos x sin y
cos (x - y) = cos x cos y + sin x sin y
tan (x + y) =
sin( x + y)
cos( x + y)
(nach Kürzen durch cos x cos y).
= sin cos cos sin
x ⋅ y + x ⋅ y
cos x ⋅ cos y − sin x ⋅ sin y
Formeln für doppelte Winkel: sin 2x = 2 sin x cos x
=
tan x + tan y
1−
tan x ⋅ tan y
cos 2x= cos2 x - sin2 x = 1 - 2 sin2 x = 2 cos2 x - 1
tan 2x = 2 tan x
2
1−
tan x
Weitere Formeln für ähnliche Zusammenhänge findet man zuhauf in
02.07.02, Seite 52