FB Ingenieurwissenschaften 1 Funktionen 1.1 Begriff der Funktion ...

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FB Ingenieurwissenschaften Bereich Maschinenbau Mathematik I Prof. Kortendieck 6 5 4 3 2 1 0 -1 -5 -2 -3 -4 -4,00 -3,00 -2,00 -1,00 0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 Definition (Monotonie): Sei I ein Intervall. Eine Funktion f ist im Intervall I monoton fallend, wenn gilt: ∀ x 1 , x 2 ∈ I mit x 1 < x 2 : f(x 1 ) ≥ f(x 2 ) streng monoton fallend, wenn gilt: ∀ x 1 , x 2 ∈ I mit x 1 < x 2 : f(x 1 ) > f(x 2 ) monoton steigend, wenn gilt: ∀ x 1 , x 2 ∈ I mit x 1 < x 2 : f(x 1 ) ≤ f(x 2 ) streng monoton steigend, wenn gilt: ∀ x 1 , x 2 ∈ I mit x 1 < x 2 : f(x 1 ) < f(x 2 ) Beispiele: a. f(x) := -2x + 1 ist streng monoton fallend in I = ⎟R b. f(x) := sin x ist streng monoton steigend in I 1 := [-π/2, π/2] und streng monoton steigend in I 2 := [π/2, 3/2π]. c. f(x) := 5 ist zugleich monoton fallend und monoton steigend in I = ⎟R. Definition (gerade, ungerade Funktion): Sei X ⊂ ⎟R, so daß gilt: x ∈ X ⇒ -x ∈ X. Die Funktion f : X → ⎟R heißt gerade, wenn gilt: ∀ x, -x ∈ X: f(-x) = f(x) ungerade, wenn gilt: ∀ x, -x ∈ X: f(-x) = -f(x) Die Graphen gerader Funktionen sind axialsymmetrisch zur y-Achse, die Graphen ungerader Funktionen punktsymmetrisch zum Punkt (0,0). Beispiele: a) f(x) := cos x ist gerade b) g(x) := sin x ist ungerade Definition (Periodizität): Die Funktion f : X → ⎟R heißt periodisch, wenn gilt: ∃ p ∈ ⎟R mit p > 0, so daß ∀ x ∈ X, ∀ k ∈ ⎟Ζ gilt: x + kp ∈ X und f(x) = f(x + kp). p heißt Periode der Funktion f. Die kleinste Periode p heißt primitive Periode. Beispiel: f(x) := sin x und g(x) := cos x haben die primitive Periode 2π und z. B. die Periode 10π 02.07.02, Seite 36
FB Ingenieurwissenschaften Bereich Maschinenbau Mathematik I Prof. Kortendieck Definition (Konvergenz): Gegeben sei die Funktion f : X → ⎟R: a. f ist konvergent gegen yl für x fi ¥, wenn gilt: ∀ ε > 0 ∃ x0 ∈ X: (x0 ,∞) ⊂ X ∧ | f(x) - yl | < ε ∀ x > x0 Schreibweise: lim f(x) = yl x→∞ b. f ist konvergent gegen yl für x fi - ¥, wenn gilt: ∀ ε > 0 ∃ x0 ∈ X: (-∞,x0 ) ⊂ X ∧ | f(x) - yl | < ε ∀ x < x0 Schreibweise: lim f(x) = yl x→−∞ Beispiele: a. f(x) := 1 x ∀ x > 0: Es gilt: limf(x) = 0 x→∞ b. f(x) := x 2 ∀ x ∈ ⎟R: f ist in ⎟R weder konvergent für x → ∞ noch für x → -∞ c. f(x) := sin x ∀ x ∈ ⎟R: Da f periodisch und nicht konstant ist, ist f weder konvergent für x → ∞ noch für x → -∞ Definition (Asymptote): Gegeben seien die Funktionen f, g: X → Y. Es gelte: ∃ a ∈ ⎟R mit (-∞,a] ⊂ X ∨ [a,∞) ⊂ X. g heißt Asymptote (oder asymptotische Kurve) von f, wenn gilt: f - g konvergiert gegen 0 für x → ∞ oder für x → -∞. Beispiele: a. f(x) := b. f(x) := x 1 + x 2 3 x 2( x − 1) Zugehörige Graphen: Zugehörige Asymptote: g(x) = 0 für x ∈ ⎟R \ {1}. Zugehörige Asymptote: g(x) := 1 2 (x 2 + x + 1) 02.07.02, Seite 37
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