FB Ingenieurwissenschaften 1 Funktionen 1.1 Begriff der Funktion ...

FB Ingenieurwissenschaften
Bereich Maschinenbau
Mathematik I
Prof. Kortendieck
1.3 Algebraische Funktionen
Seien m, n ∈ ⎟Ν 0 . Eine Funktion, die sich in der Form
F(x ; y) = a ⋅ x ⋅ y
m
n
∑∑ 0
i=
0 j =
ij
i j
darstellen läßt, heißt algebraisch.
= 0 (a ij ∈ ⎟R)
Zu den algebraischen Funktionen gehören
• die Polynome
• die gebrochenrationalen Funktionen
• die irrationalen Funktionen
1.3.1 Polynome (ganzrationale Funktionen):
Sei n ∈ ⎟Ν 0 , a n ≠ 0. Eine Funktion der Form
f(x) = a n x n + a n-1 x n-1 + ... + a 1 x + a 0
heißt Polynom n-ten Grades oder ganzrationale Funktion n-ten Grades.
Der Graph eines Polynoms n-ten Grades heißt Parabel n-ten Grades.
Beispiel: f(x) := 2x 3 - 5x + 1 ist ein Polynom dritten Grades.
wichtige Eigenschaften:
a) Als Definitionsbereich von Polynomen kann die Menge ⎟R gewählt werden.
b) Das Ergebnis von Addition, Subtraktion, Multiplikation und Verkettung von
Polynomen ergibt wiederum ein Polynom.
(Dieses gilt im allgemeinen nicht für die Division - siehe gebrochenrationale
Funktionen !!!)
c) Polynome sind überall stetig.
d) Polynome sind in ⎟R nicht beschränkt und sind nicht konvergent.
Polynome mit ungeradem Grad sind außerdem in ⎟R weder nach unten noch nach
oben beschränkt.
Hingegen sind Polynome mit geradem Grad in ⎟R entweder nach unten
beschränkt (falls a n > 0) oder nach oben beschränkt (falls a n < 0) .
e) Ein Polynom ist gerade, wenn alle Polynomkoeffizienten a n mit ungeradem n gleich 0
sind.
02.07.02, Seite 41