FB Ingenieurwissenschaften 1 Funktionen 1.1 Begriff der Funktion ...

FB Ingenieurwissenschaften
Bereich Maschinenbau
Mathematik I
Prof. Kortendieck
Ein Polynom ist ungerade, wenn alle Polynomkoeffizienten a n mit geradem n gleich
0 sind.
f) Ein Polynom n-ten Grades besitzt genau n Nullstellen (die allerdings mehrfach
auftreten oder komplex sein können). (Fundamentalsatz der Algebra). Für die reellen
Nullstellen gilt folgendes (wobei mehrfache reelle Nullstellen mit entsprechender
Häufigkeit gezählt werden):
Polynomgrad Anzahl der reellen Nullstellen
1 1
2 0 oder 2
3 1 oder 3
4 0, 2 oder 4
5 1, 3 oder 5
6 0, 2, 4, oder 6
7 1, 3, 5, oder 7
. . . . . .
g) Wenn ein Polynom n-ten Grades die Nullstellen x i (1 ≤ i ≤ n) besitzt, kann die
entsprechende Gleichung als Produkt der Linearfaktoren (x - x i ) geschrieben werden
(Produktdarstellung). Durch Abspaltung von Linearfaktoren kann die Bestimmung
von weiteren Nullstellen auf die Bestimmung der Nullstellen eines Polynoms
geringeren Grades zurückgeführt werden.
h) Zu gegebenen n+1 Elementen (Punkten) (xi ,yi ) ∈ ⎟R × ⎟R mit xi ≠ xj für alle
i ≠ j gibt es genau ein Polynom höchstens n-ten Grades Pn , so daß:
Pn (xi ) = yi für alle i: 0 ≤ i ≤ n.
Die Menge der xi ist die Menge der Stützstellen, die Menge der yi die Menge der
Stützwerte für das Polynom Pn .
Berechnen läßt sich das Polynom Pn mit Hilfe des Newton'schen Interpolationspolynoms
(Isaak Newton, 1643 - 1727):
P(x) = b 0 + b 1 (x - x 0 ) + b 2 (x - x 0 ) (x - x 1 ) +
b 3 (x - x 0 ) (x - x 1 ) (x - x 2 ) +
b 4 (x - x 0 ) (x - x 1 ) (x - x 2 ) (x - x 3 ) +
. . .
b n (x - x 0 ) (x - x 1 ) (x - x 2 ) (x - x 3 ) . . . (x - x n-1 )
Die noch zu bestimmenden Polynomkoeffizienten b i lassen sich leicht mit folgendem
Differenzen- bzw. Steigungsschema berechnen:
k x k y k I II III . . .
0 x0 y0 (= b0 )
[x0 ,x1 ] (= b1 )
1 x1 y1 [x0 ,x1 ,x2 ] (= b2 )
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