FB Ingenieurwissenschaften 1 Funktionen 1.1 Begriff der Funktion ...

FB Ingenieurwissenschaften
Bereich Maschinenbau
Mathematik I
Prof. Kortendieck
Formelsammlungen.
Verallgemeinerte Sinus-Funktion (harmonische Schwingung): Die Funktion sin
spielt eine wichtige Rolle für die Darstellung von harmonischen Schwingungen (z.B. in
der Elektrotechnik, Mechanik, Optik, Akustik usw.). Dazu wird die Funktion
verallgemeinert zur folgenden Form:
y = f(t) := A sin (wt + j)
Üblicherweise wird als Bezeichnung für die Variable t (für Zeit) verwendet. Wie bereits
bekannt bzw. leicht zu sehen ist, bewirken
• A (Amplitude) eine Spiegelung an der t-Achse, Dehnung oder Stauchung an der y-
Achse
• ω eine Spiegelung an der y-Achse, Dehnung oder Stauchung an der t-Achse und
eine Änderung der primitiven Periode in 2π
| ω|
• ϕ eine Phasenverschiebung in Richtung der t-Achse um − ϕ
ω
Bemerkung: Auch cos x ist eine harmonische Schwingung: cos x = sin (x + π 2 )
1.4.2 Zyklometrische Funktionen:
Die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen sind die zyklometrischen
Funktionen:
• arcsin y := sin -1 y = { x | sin x = y } ∩ [− π 2 , π 2 ]
Damit arcsin eine Funktion ist, also die Menge auf der rechten Seite der Gleichung
für ein festes gewähltes y nur aus jeweils einem Element besteht, wird der
Wertebereich der Funktion auf [ − π 2 , π 2 ] beschränkt. Dadurch ist mit arcsin: [-1,1] →
[ − π 2 , π 2 ] eine umkehrbare, stetige Funktion definiert.
• arccos y := cos -1 y = { x | cos x = y } ∩ [0,π]
Analog zu arcsin wird mit arccos: [-1,1] → [0,π] eine umkehrbare, stetige Funktion
definiert.
• arctan y := tan -1 y = { x | tan x = y } ∩ ( − π 2 , π 2 )
Damit arctan eine Funktion ist, also die Menge auf der rechten Seite der Gleichung
für ein festes gewähltes y nur aus jeweils einem Element besteht, wird der
Wertebereich der Funktion wie bei arcsin auf ( − π 2 , π 2 ) beschränkt.
Dadurch ist mit arctan: ⎟R → (− π 2 , π 2 ) eine umkehrbare, stetige Funktion definiert.
• arccot y := cot -1 y = { x | cot x = y } ∩ [0,π]
Analog zu arctan wird mit arccot: ⎟R → (0,π) eine umkehrbare, stetige Funktion definiert.
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