Geometrische Optik

Geometrische Optik
Beschreibung der Propagation durch Richtung
der k-Vektoren (≙ „Lichtstrahlen“)
k - Vektoren zeigen ⊥ zu Wellenfronten
für Ausdehnung D von Strukturen, die zu
geometrischer Eingrenzung führen gilt D >> λ
„Beugung“
„Phasenflächen“
„Strahlen“
Achtung: Kugelwellen → Strahlen kreuzen sich
in einem (mathematischen) Punkt → Problem
wird behoben durch
Betrachtung in Bild
Wellenoptik: Beugung
( → später)
391

dn
0
d r
=
Lichtstrahlen
� Verhalten im freien Raum, optisch homogen,
→ „Strahlen“ = Geraden
� Verhalten an Grenzflächen: Snellius-Gesetz
� Überlagerung von Strahlen: bei linearer Optik (I < I*):
Superposition, keine Wechselwirkung zwischen
Bündeln von Strahlen
392

Fermat´sches Prinzip
Weg der Strahlen verläuft so, dass Laufzeit von
A nach B minimal wird
Fermat-Prinzip bei der Reflexion
hier:
Fermat: α1 = α2
Fermat-Prinzip bei der Brechung
α
α1
β
α2
dn 0
dr ≠
n1
n2 > n1
Fermat: n1 sin α1 = n2 sin
393

„Abbildung“
vom Objekt-Punkt gehen Kugelwellen aus
charakterisiert durch Strahlen:
Zusammenführung einer Schar dieser Strahlen
(durch „abbildende“ optische Elemente)
in einem anderen Punkt im Raum: Bildpunkt
Po
Optik
PB
394

ebener Spiegel ist
das einzige optische
Element mit „idealer“
Abbildung P → P´
“virtuelles“ Bild
alle von P ausgehenden Strahlen scheinen von P´
auszugehen
Abbildung durch
Spiegel
Einfluss des
Sehvorganges
395

Abbildung durch „Lochkamera“
Abbildung hier: Punkt P → Kreisscheibe um P´
Strahlensatz
Φ Kreis (P´):
d' d
=
a b a
( + )
d'
=
( + )
da b
a
durch Abstand und Lochdurchmesser
gegeben
396

optimaler Durchmesser der Blende bei Lochkamera
wenn Lochdurchmesser (zu) groß
→ schlechte Auflösung
Überlapp der Kreisscheiben um P´
wenn Lochdurchmesser (zu) klein
→ schlechte Auflösung
(Beugung an der Öffnung, siehe später)
397

Abbildung durch optische Elemente
Analyse der geometrischen Zusammenhänge der
Strahlengänge und Oberflächen-Topographie
geschickte Auswahl charakteristischer Strahlen
wie z.B. : Dreiecks-Regeln und Strahlensätze
liefert Zusammenhänge zwischen
Eingangsparametern und dem weiterem Verlauf
der Strahlen
„Rechnungen“: mit Buch selber nachvollziehen
wichtig: Reflexion an ebenem Spiegel und an
gekrümmter Spiegelfläche
Brechung an ebener Grenzfläche und an
gekrümmter Grenzfläche (n1 / n2)
daraus aufbauen mit Matrix-Methode:
Strahlengang in komplexeren Systemen
398

Kugelfläche
Hohlspiegel
R
2cosα
FM cos α = ½ R
1
2cosα
OF = R - FM = R - = R ( 1 - )
für kleine Winkel α ( h/R

Charakteristische Strahlen
Konstruktion eines Bildpunktes
für h/R

h h
tanγ=
≈ ≈γ
g g
( −ε)
h
tanβ≈
≈β
b
zur Abbildung durch Hohlspiegel
Krümmungsmittelpunkt
∆SAM = α + γ + 180 o - δ = 180 o → α + γ = δ
δ = α + γ ß = δ + α
δ = - α + ß → 2 δ = γ + ß
1 1 2 1
+ ≈ ≈
g b R f
h
R
Näherung für

Hohlspiegel (achsen-ferne Strahlen)
Kugelfläche
für achsen-ferne Strahlen
f
h
R
gilt Näherung

s 1 = f - x
1 2
2
( ) 2 2
s = f− x + y
( ) ( ) 2 2
s= s + s = f− x + f− x + y
für y 2 = 4 f x (Parabel) →
( ) ( ) 2
s= f− x + f− x = 2f
Parabol-Spiegel
unabhängig von h !
ALLE Achsen-parallelen Strahlen schneiden sich nach
der Reflexion in einem Punkt
(jedoch: schlechte Abbildungseigenschaften bei
Abweichung von Parallelität zu den Achsen)
403

Empfänger
Empfänger
Parabol-Teleskop
Da Objekte sehr weit entfernt, sind die sehr guten
Fokussierungsbedingungen bei korrekter Ausrichtung
der Achse auf Beobachtungsgebiet gegeben.
404

für
dδ 2sin γ dn
λ 1−n sin γ λ
1
2
= ⋅
d 2 2 12 d
dn
≠0→ δ=δ λ
dλ Prismen
( )
δ = δ (α, γ, n(λ) )
aus Brechungsgesetz folgt:
minimale Ablenkung δ für α 1 = α 2 →
symmetrischer Durchgang (AC = BC)
Strahlen im Prisma ⊥ Winkelhalbierende (γ/2)
Konsequenz von Dispersion:
→ Farbzerlegung des Lichtes
da (i.d.R.) n blau > n rot → δ blau > δ rot
vergleiche Beugung (später !) δ blau < δ rot
405

Abbildung
durch gekrümmte
Grenzflächen
(führt auf Abbildungsgleichungen für Linsen)
406

f
Brechung an
sphärisch gekrümmten Grenzflächen
2
Rα
=
α−β
( )
n
2 f2= R
n2 −n1
f 2 ↔ R, n
ß + γ + 180° - α = 180°
h = R sin α = AF sin γ h /R

Matrix-Verfahren
in der geometrischen Optik
Propagation achsennaher Strahlen mit
geringem Winkel gegen die Achse
Geometrie:
zylindersymmetrisch um die Achse
408

Propagation im freien Raum
α1 = αo
r1 = (x1 - xo ) tan αo + r o ≈ αo (x1 - xo ) + r o
T �
mit Kleinwinkel-Näherung tan αo ≈ αo
(x1 - xo ) = d
r1 = αo d + r o
α1 1 0 αo
=
·
r1 d 1 r o
im Hinblick auf Brechung (n1 α = n2 ß)
wird statt (α) die Größe (nα α) transformiert
n α1 1 0 n αo
=
·
r1 d/n 1 r o
1 0
Propagation = Translations-Matrix
d/n 1
ro
xo
d
x1
r1
Strahl
α
Achse
409

Reflexion am Hohlspiegel (n = 1)
r
R
1
tan (α + α1) = - ≈ (α + α1)
r
1
α2 = - α1 - 2 r2 = r1
R
R �
M
Winkel jeweils zur Achse hin gemessen
α2 = 2 α + α1 = 2 (α + α1) - α1
(„ - “ wg. Richtungsumkehr, + x → - x )
α2 -1 - 2/R α1
Transformation
hier
R = MP
ε

n
n
2
1
α
= β
r
γ = α2 + ß tan
α = γ + α1
1 γ= =γ
R1
⎛n ⎞ ⎛ 1 n ⎞ 1
α 2 =γ−β=γ−⎜ ⎟α=γ−⎜ ⎟(
γ+α1)
⎝n2⎠ ⎝n2⎠ ⎛ r ⎞ 1
n2α 2 = n2γ−n1γ−n1α 1 =−n1α 1+ ( n2 −n1) ⎜ ⎟
⎝R1⎠ Vorzeichen-Konvention: α2 → - α2
r1
n2α2 = n1α1 + (n1 - n2) ( ) r2 = r1
R1
1
n2α2 1 (n1 - n2) ( ) n1α1
=
R1
r2 0 1 r1
B �
Brechung an gekrümmter Grenzfläche
Brechungsgesetz
n2 ß = n1 α
Beträge der Winkel betrachtet
1
1 (n1 - n2) ( )
R
= 1 Brechungsmatrix
0 1
411

n1 α1
r
Transformations-Matrix für allgemeinen Fall
Translation Translation Translation
Brechung Brechung
n1 α1 n2 α2 n2 α2 n3 α3
→ → →
r1 r1 r2 r2
n3 α3
r’
412

Transformation durch Brechungen und Translation
n1α1 n2α2 n2α2 n3α3
B� B� T� → 1 → → 12 → → 2 →
r1 r1 r2 r2
n3α3 n1α1 n1α1
B� T� B� M� = 2 12 1 =
r2 r1 r1
M� 1
1
1 (n2 - n3)( ) 1 0 1 (n1 - n2)( )
=
R2 ·
R1
d
·
0 1 1 0 1
n
für d = 0 → „dünne“ Linse
mit n2 = n und n1 = n3 = 1 →
M
1
f
� ( )
düLi =
1 -
0 1
2
1 1 1
= n−1 ( − )
f R R
1 2
413

Beispiel: dünne Linse
„dünn“: Ausdehnung der Linse spielt keine Rolle
y
„Brechung“ in der Mittelebene der Linse
(a) (b) (c)
Transformation von Achsen-parallelem Strahl
Brechung an die Mittenebene der Linsen:
y → y´ α (= 0) → α´ tan α´ ≈ α´ = - y / f
α´ 1 0 0 α´ 1 -1/f 0
y´ x 1 y y´ 0 1 y
T� M� Translation: Brechung: dünn
(b) → (c) bei (b)
T� M� zusammen: (α´, y) = dünn (0, y)
α´ 1 -1/f 0 - y/f
=
=
y´ x -x/f + 1 y (-x/f + 1) y
y´
für x = f wird y´ = 0 (wie erwartet)
xf
α´
414

⎛ cosϑ
⎞
∆= dsinϑ⎜1−⎟ 2 2
⎝ n −sin ϑ⎠
„dünne“ Linsen
für „dünne Linsen“ angenommen: ∆ → 0
Vernachlässigung des Strahlversatzes
415