Formelsammlung

Formelsammlung 1
Formelsammlung
Mathematische Grundlagen
Vektorielle Größen werden im Folgenden durch Fettdruck kenntlich gemacht.
Skalarprodukt zweier Vektoren
a⋅ b= b⋅ a = a ⋅ b ⋅cos ( a, b)
Kreuzprodukt
Das Kreuzprodukt (auch vektorielles oder äußeres Produkt) a x b (sprich a kreuz
b) zweier Vektoren ergibt einen Vektor, der senkrecht auf der von a und b
aufgespannten Ebene steht. Sein Betrag
|a x b| = a·b·sin∠(a, b)
ist der Flächeninhalt des von a und b gebildeten Parallelogramms. Die
Orientierung der Vektoren gehorcht der Rechte Hand Regel: Daumen: a,
Zeigefinger: b, Mittelfinger: Kreuzprodukt a x b. Alternativ: Gebogene Finger
zeigen Drehrichtung an, um Vektor a auf Vektor b liegen kommen zu lassen;
Daumen: Kreuzprodukt a x b.
Kinematik
Bestimmung der Momentangeschwindigkeit v(t) über den zurückgelegten Weg s
Δs
ds()
t
v () t = lim =
Δ→ t 0 Δt
dt
Bestimmung der Momentangeschwindigkeit v(t) über die Beschleunigung a (nach
einfacher Integration von a):
v()
t = a⋅ t+
v
(auch betragsmäßig schreibbar)
Kennen Sie die Momentangeschwindigkeit v(t), dann können Sie durch einfache
Integration von v die aktuelle Position s bestimmen:
s()
t = v⋅ t+
s
(auch betragsmäßig schreibbar)
(v erscheint hier der Übersichtlichkeit halber ohne das t in Klammern (also nicht v(t)), obwohl das die
vollständigere Schreibweise wäre. Im Folgenden erscheint das (t) immer nur dann, wenn noch einmal
explizit auf die Zeitabhängigkeit der betrachteten Größe hingewiesen werden soll.
Beachten Sie auch die Ähnlichkeit zur nachfolgenden Formel.)
Bestimmung der aktuellen Position r(t) über die Beschleunigung a (durch
doppelte Integration von a):
1
r()
a v r
2
2
t = ⋅ ⋅ t +
0⋅ t+
0
(auch betragsmäßig schreibbar)
0
0

2 Experimentalphysik 1 für Biologen & Chemiker
Komponenten der Beschleunigung
()
() d v t
a t = = a
t
⋅ t+ an⋅n
dt
mit dem Tangentialanteil der Beschleunigung
dv
•
at
= = vt
' = vt
dt
und dem Normalanteil der Beschleunigung, der sog. Zentripetalbeschleunigung
a oder a
n
ZP
v
=
r
Alle anderen Formeln für die Bewegung lassen sich daraus herleiten.
2
t
Kraft und Masse
Die Träge Masse m t und die Schwere Masse m s sind gleich groß. Hinweis:
Verwechseln sie nicht die Schwere Masse mit der Schwerkraft (s.u.)!
Das Produkt aus der Masse eines Objektes und seiner Beschleunigung gibt die
Kraft an, die die Beschleunigung ermöglicht.
F = m·a
Drei Newton’sche Axiome in nicht-beschleunigten Koordinatensystemen
(Inertialsysteme)
1. Trägheitsprinzip
2. Aktionsprinzip (F = m·a)
3. actio = reactio: Kräfte treten immer paarweise auf: F a = -F b
Kraft einer Feder mit der materialspezifischen Federkonstanten k bei Auslenkung
um eine Strecke x:
FF
=−k
⋅x (Hook’sches Gesetz); F
2
kg ⋅m
[ ] = = N ( Newton)
s
Gravitation und Schwerkraft
Gravitationskraft = Anziehungskraft zwischen zwei Massen m 1 und m 2 im
Abstand r zueinander
G = 6,6726·10 -11 -2
N·m
2·kg (Gravitationskonstante)
m ⋅m
F = G ⋅
r
1 2
2
Spezialfall für die Gravitationskraft zwischen einer Masse m und der Erdmasse
M E in der Nähe der Erdoberfläche: Gewichtskraft (umgangssprachlich „Gewicht“)
F g
r

Formelsammlung 3
ME
m
F g = m·g, wobei g = G⋅ = 9,81 R
2 s
2
R E = 6,378·10 6 m (Erdradius); M E = 5,97·10 24 kg (Erdmasse)
E
Harmonische Schwingungen
Winkelgeschwindigkeit oder Kreisfrequenz von Kreisbewegungen (allgemein):
dϕ
2⋅π
vt ang
() t
ω() t = = = 2⋅π ⋅ ν = ; [ω] = rad/s oder rad·s -1
dt T r
Beschleunigung einer harmonischen Schwingung:
2
ax
= x=−ω
⋅x
Schwingungs(kreis)frequenz eines Federpendels:
k
ω = ; [ω] = rad/s oder rad·s -1
m
Die Schwingungsdauer eines Federpendels ist nur abhängig von der
angehängten Masse und der Federkonstante; sie ist unabhängig von der
Auslenkung (=Amplitude) der Feder:
T
Federpendel
m
= 2⋅π
⋅ ; [T] = s
k
Gesamtfederkonstante bei Parallelschaltung von Federn:
k
∑
= k1 + k + ... = ,
ges 2
k i
i=
1
d.h. die Schwingungsdauer nimmt bei Parallelschaltung ab (Einsetzen in
T Federpendel !).
bzw. bei Reihenschaltung von Federn:
n
1 1 1 1
= + + ... =∑
k k k k
ges
1 2
d.h. die Schwingungsdauer nimmt bei Reihenschaltung zu (Einsetzen in
T Federpendel !).
n
i=
1
i
Schwingungs(kreis)frequenz eines Fadenpendels:
g
ω = ; [ω] = rad/s oder rad·s -1
l
Die Schwingungsdauer eines Fadenpendels ist unabhängig von der angehängten
Masse und der Auslenkung (=Amplitude); sie ist nur abhängig von der
Fadenlänge (und der Erdbeschleunigung):

4 Experimentalphysik 1 für Biologen & Chemiker
T
Fadenpendel
l
= 2⋅π
⋅ ; [T] = s
g
Reibung
Die Reibungskraft F R zwischen zwei Festkörpern ist proportional zur Auflagekraft
(= Normalkraft):
F R = µ R·F N
Scheinkräfte in Nichtinertialsystemen
Scheinkräfte treten in beschleunigten Systemen auf. Sie sind der
Beschleunigungskraft immer entgegen gerichtet.
Zentrifugalbeschleunigung a ZF = -Zentripetalbeschleunigung a ZP oder auch a n :
2
v
a ˆ
ZF
=− an
=− n
r
mit ˆn : Normaleinheitsvektor, Vektor zum Kreiszentrum mit dem Betrag Eins.
Energie
Arbeit = Kraft mal Weg („mal“ oder „über“ heißt immer Produktbildung =
Multiplikation):
W = F⋅ s;
[W] = N·m = J (Joule)
Die Arbeit ist unabhängig vom gewählten Weg; sie hängt nur von der Lage des
Anfangs- und des Endpunktes ab.
Ist die Kraft F längs des Gesamtweges s nicht konstant, beträgt der Arbeitsanteil
dW auf einem Teilwegstück ds:
dW = F·ds
Die Gesamtarbeit W 21 entlang des Gesamtweges s vom Ort s 1 zum Ort s 2 ist
dann das Wegintegral über die Kraft F
W21
s
∫ 2 s1
= F ⋅ds
Leistung ist Arbeit pro Zeit („pro“ heißt immer Quotientenbildung = Bruch):
W
P : = ; [P] = J/s = W (Watt)
t
Kinetische Energie = Bewegungsenergie
Ekin
1
: = ⋅mv
⋅
2
2
2

Formelsammlung 5
Potentielle Energie = Lageenergie
a) eines Objektes mit der Masse m auf einer Höhe h (gemeinhin potentielle
Energie): Epot, Lage( h)
= m⋅g⋅
h
b) einer um die Auslenkung x gespannten Feder (Federenergie):
1 2
Epot,
Feder
= ⋅k⋅
x
2
M ⋅m
c) zweier Massen im Abstand r (Gravitationsenergie): Epot,
Gravitation
=− G r
Energieerhaltungssatz
In jedem abgeschlossenen System bleibt die Gesamtenergie immer
erhalten: E = E = const.
∑
i
i
ges
Impuls
Impuls
p: = m⋅v; [p] = kg·m/s oder N·s.
Impulserhaltungssatz
Der Impuls eines Teilchensystems bleibt erhalten, ändert sich also zeitlich nicht,
wenn auf ein System keine äußeren Kräfte wirken.
Drehbewegungen – Drehmoment, Drehimpuls und Rotationsenergie
Drehmoment M
Der senkrechte Abstand zwischen der Wirkungslinie einer Kraft und der
Drehachse heißt Hebelarm l einer Kraft. Das Produkt aus Kraft und Hebelarm
heißt Drehmoment M (oder häufig auch T):
M = r x F;
dL
kg ⋅m M = = I ⋅α ; [M] = N·m (= ⋅
2 m )
dt
s
|M| = M = r·F·sin∠(r, F)
Entsprechend der Rechte-Hand-Regel: M steht senkrecht auf der von r und F
aufgespannten Ebene in Richtung der Drehachse, um die die Drehung im
Gegenuhrzeigersinn erfolgt.
Drehimpuls L (auch Drall genannt)
kg ⋅m L := r x p = I·ω; [L] = N·m·s (= ⋅
2 m ⋅ s )
s

6 Experimentalphysik 1 für Biologen & Chemiker
Drehimpulserhaltungssatz
Greifen keine äußeren Drehmomente ein, bleibt der gesamte Drehimpuls zeitlich
nach Betrag und Richtung konstant.
Trägheitsmoment I
Gesamtträgheitsmoment I ges einzelner Massen m i im jeweiligen Abstand r i zur
festen Drehachse:
I
∑
= m ⋅r
2
ges,
diskret i i
i
Satz von Steiner
Geht die Drehachse nicht durch den Schwerpunkt des Körpers, sondern parallel
zu einer Schwerpunktsachse, dann gilt für das Trägheitsmoment bezüglich einer
solchen Achse:
I = I + m ⋅h
Achse Schwerpunktsachse Schwerpunktsachse ges
2
Rotationsenergie E rot
Erot
1 2
= ⋅I⋅
ω
2

Formelsammlung 7
Mechanik starrer Körper
Hebelgesetz
Kraft mal (senkrechter) Kraftarm = Last mal (senkrechter) Lastarm
r 1 · F 1 = r 2 · F 2
Mechanik deformierbarer Medien
Mechanik deformierbarer Medien
Dehnungs- und
Stauchungselastizität:
Spannung σ
Biegungselastizität
Scherung:
Schubspannung τ
Kompression: Druck p
F
Δl
σ = = E⋅ ε = E⋅
A
l
ε: relative Längenänderung oder Dehnung (strain)
E: Elastizitätsmodul oder Young’s Modulus;
Materialkonstante; [E] = N·m -2
Kombination aus Dehnung und Stauchung
F
τ = = G ⋅ α
A
α: Neigungswinkel bei Scherung
Schub-, Scherungs- oder Torsionsmodul G;
[G] = N·m -2
F ΔV
N
p:
= = K⋅ ; [ p]
= =Pa
2
A V m
K: Kompressionsmodul: Widerstand eines
Festkörpers, einer Flüssigkeit oder eines Gases
gegenüber einer Volumenänderung; [K] = N/m 2
Hydrostatik und Hydrodynamik
Schweredruck
Druck durch die Gewichtskraft einer Flüssigkeitssäule der Höhe h:
m kg
p = ρ ⋅g⋅ h mit Dichte ρ = ; [ ρ ] = .
3
V m
Hydrostatisches Paradoxon
Der Druck ist bei gegebener Flüssigkeit nur von deren Dichte und der Höhe h der
Flüssigkeitssäule abhängig, ist also unabhängig von der Gefäßgestalt.
Pascal’sches Prinzip
Wird auf eine Flüssigkeit in einem geschlossenen Behälter ein Druck ausgeübt,
dann verteilt sich dieser gleichmäßig im gesamten Behälter.

8 Experimentalphysik 1 für Biologen & Chemiker
Auftrieb
Der Auftrieb ist unabhängig von der Masse des Körpers; die Auftriebskraft hat
dagegen den gleichen Betrag wie die Gewichtskraft der verdrängten Flüssigkeit:
Archimedisches Prinzip
F A = m fl ⋅ g
Oberflächenspannung σ 0
Δ W = σ ⋅Δ A,
Die Oberflächenspannung σ 0 entspricht der Arbeit ΔW, die notwendig ist, um
ΔA = 1 m 2 neue Oberfläche zu bilden.
0
Volumenstrom I und Kontinuitätsgleichung
Strömung idealer Flüssigkeiten durch ein Rohr unterschiedlicher
Querschnittsflächen A i : Zunahme (Abnahme) der Fließgeschwindigkeit bei
Abnahme (Zunahme) des Rohrquerschnitts A i :
dV dx
I = = V = A⋅ = A⋅ v = const.
Volumenstrom (wegen Volumen- bzw. Masseerhaltung)
dt dt
A1⋅ v1 = A2⋅ v2 = const.
Kontinuitätsgleichung
Bernoulli-Gleichung
Hydrodynamisches Paradoxon: Abnahme des (statischen) Druckes bei Zunahme
der Fließgeschwindigkeit:
1
2
2
pges
= p + ⋅ρ
⋅ v = const
Gesamtdruck = Statischer Druck + Staudruck = const.
bzw. erweiterte Bernoulli-Gleichung, wenn die Strömung zusätzlich einen
Höhenunterschied y zu überwinden hat:
1
2
2
pges
= p + ⋅ρ⋅ v + ρ⋅g ⋅ y = const
.
.

Formelsammlung 9
Schwingungen und Wellen
Schwingungen
Ansatz für die Differentialgleichung: Harmonische Federschwingung (d.h. ohne
Reibung): Die erstmalig auslenkende Kraft F x , d.h. die Gesamtkraft, die an dem
System aus Masse an Feder wirkt, ist gleich der entgegen gerichteten
Federrückstellkraft F x (2. Newton’sches Axiom: actio = reactio):
a) ohne Dämpfung:
F = m⋅ a = m⋅ x
=−k⋅x= F
x
Feder
also
m⋅ x + k⋅x=
0
F x – F Feder = 0
b ) mit Dämpfung:
m⋅ x+ k⋅x+ R⋅ x = 0
F x – F Feder - F Reibung = 0
c) für erzwungene Schwingungen:
m⋅ x+ R⋅x+ k⋅ x = F
0
⋅cos( ωeS
⋅t)
F x – F Feder - F Reibung = F Erreger
mit der Lösung:
xt () = A⋅sin( ω ⋅ t+
ϕ )
A: konstante Maximalamplitude
mit der Lösung:
xt () = At () ⋅cos( ω ⋅ t+
ϕ )
0
wobei A(t) jetzt eine zeitlich veränderliche
Maximalamplitude ist:
t
A()
t = x ⋅ e −β
⋅
0
mit
R
β = und x 0 : Anfangsamplitude
2 ⋅ m
mit der Lösung:
xt () = At () ⋅cos( ω ⋅ t) + B⋅cos( ω ⋅ t+
ϕ)
fgS
0
gedämpfte Schwingung + erzwungene Schwingung
eS
wobei ω fgS die Kreisfrequenz der freien
gedämpften Schwingung sei und ω eS die
Kreisfrequenz der antreibenden Kraft. ϕ ist
hier die Phasenverschiebung zwischen der
periodischen Zwangskraft F a und
erzwungener Schwingung.
Energie, die in einer Schwingung steckt
Da die Federauslenkung x der Maximalamplitude A entspricht:
Epot
1
= ⋅k⋅
A
2
2

10 Experimentalphysik 1 für Biologen & Chemiker
Freiheitsgrade
Ein System, das aus N Atomen aufgebaut ist, hat 3·N Freiheitsgrade (Zahl der
voneinander unabhängigen Bewegungsmöglichkeiten).
Davon entfallen
• 3 auf die Translation,
• 3 (2) auf die Rotation nicht-linearer (linearer) Moleküle und Festkörper
und
• 3·N - 6 (3·N – 5) auf die Schwingung.
Wellen
Die Wellenausbreitung wird als räumlich und zeitlich periodischer Vorgang über
die harmonische Wellenfunktion beschrieben:
⎛
( , )
0
sin 2 x t ⎞
ψ x t = ψ ⋅ ⎜ ⋅π ⋅ 2⋅π ⋅ ⎟= ψ0⋅sin( k⋅x ω⋅t)
⎝ λ
∓ T ⎠
∓
Negatives Vorzeichen: Welle bewegt sich zu positiven x-Werten (nach rechts).
Positives Vorzeichen:Welle bewegt sich zu negativen x-Werten (nach links).
Phasengeschwindigkeit
Die Geschwindigkeit des Wellenberges wird von den Eigenschaften des
Mediums bestimmt, in dem sich die Welle ausbreitet:
und vPh
v
Ph
Δx
λ 2⋅πν ⋅ ω
= = = λν ⋅ = =
Δt T k k
σ
= für Transversalwellen entlang einer eingespannten Saite
ρ
mit σ: Saiten- oder Seilspannung ; [σ] = N/m 2
ρ: Dichte des Mediums
oder
v
Schall
K γ ⋅R⋅T
= = für longitudinale Schallwellen
ρ M
mit K: Kompressionsmodul; [K] = N/m 2
ρ: Dichte des Mediums
Lautstärke
β = 10⋅ log I [β] = dB (Dezibel)
I 0
I: Schallstärke eines Tones
I 0 : Schallstärke einer Bezugsschallquelle bei der Hörgrenze I 0 = 10 -12 W/m 2 .

Thermodynamik 11
Doppler-Effekt
Frequenzverschiebung der ausgesendeten Welle bei sich bewegendem Sender
und/oder Empfänger. Die empfangene Frequenz beträgt:
uB
(1 ± )
vWelle
ν = ν
0
uQ
(1 ∓ )
v
wobei das obere/untere Vorzeichen gilt, wenn sich Quelle und Beobachter
aufeinander/voneinander zubewegen/wegbewegen.
u B : Geschwindigkeit des Beobachters = Empfängers, u Q : Geschwindigkeit des
Senders, v Welle : Phasengeschwindigkeit der Welle, ν 0 : Frequenz der
ausgesandten Welle, wenn sich Sender und Empfänger relativ zueinander in
Ruhe befinden.
Welle
Thermodynamik
Idealgasgleichung
Das Produkt aus Druck p und Volumen V ist bei gegebener Temperatur T und
Teilchenzahl N bzw. Stoffmenge n konstant. Es hat die Einheit einer Energie!
bzw.
p ⋅ V = n⋅R⋅
T
p ⋅ V = N⋅kB
⋅ T
mit
p: Druck
V: Volumen
n: Stoffmenge in mol
R: Allgemeine Gaskonstante; R = 8,314 J/(mol·K)
k B = 1,381·10 -23 J/K – Boltzmannkonstante
N: Zahl der Gasmoleküle im Volumen V
Realgasgleichung – van der Waals-Gleichung
2
⎛ a⋅
n ⎞
⎜ p +
2 ⎟⋅( V −n⋅ b)
= n⋅R⋅T
⎝ V ⎠
mit
n·b
a⋅n
2
V
2
Auschließungsvolumen: Eigenvolumen der n
mol Gasteilchen
Binnendruck π Erhöhung des Drucks p
aufgrund der Anziehung der Gasteilchen
untereinander.

12 Experimentalphysik 1 für Biologen & Chemiker
Boltzmann’scher Gleichverteilungssatz
Die mittlere thermische Energie beträgt für jeden Freiheitsgrad, der quadratisch
in die Energie eingeht:
1
E = ⋅ k
B
⋅ T
2
Wärmekapazität
Maß für die Energiezunahme des Systems, wenn dessen Temperatur erhöht
wird.
[C] = J·K -1
Molare Wärmekapazität
-1
[C m ] = J·K
-1·mol
C
Spezifische Wärmekapazität
-1
[C spez ] = J·K
-1·kg
m
C
dQ
C = . dT
C
= mit der Stoffmenge n in mol,
n
spez
C
= mit der Masse m in kg,
m
Hauptsätze der Thermodynamik
0. Hauptsatz
Alle Systeme, die sich mit einem gegebenen System im thermischen
Gleichgewicht befinden, stehen auch untereinander im thermischen
Gleichgewicht. Diese Systeme haben eine gemeinsame Eigenschaft, sie haben
dieselbe Temperatur.
1. Hauptsatz
Die von einem System mit seiner Umgebung ausgetauschte Summe von Arbeit
W und Wärme Q ist gleich der Änderung der Inneren Energie U des Systems.
dU = dQ + dW
Energieerhaltunssatz: Es gibt kein perpetuum mobile erster Art.
2. Hauptsatz
Bei freiwilligen Zustandsänderungen (irreversiblen Prozessen) nimmt die
Entropie (Maß für die Unordnung eines Systems) in einem abgeschlossenen
System zu,
dS irrev > 0,
bei vollständig umkehrbaren Zustandsänderungen (reversible Prozesse) bleibt
sie gleich,
dS rev = 0.

Thermodynamik 13
Der 2. Hauptsatz verbietet nicht die Existenz von hoch geordneten Systemen!
Dass dies manchmal bezweifelt wird und solche Systeme als Verletzung des 2.
Hauptsatzes (miss)verstanden werden, liegt daran, dass bei solchen
Argumentationen die entscheidende Randbedingung „in abgeschlossenen
Systemen“ einfach weggelassen oder falsch interpretiert wird.
3. Hauptsatz
Die Entropie ideal kristallisierter, reiner Festkörper nimmt am absoluten
Temperaturnullpunkt den Wert Null an
S = 0 bei T = 0 K