Tagungsband zum Doctoral Consortium der WI 2009

∑ ∑
minimiere TWT wT * x . (1)
=
j∈J
⎜⎛
jk ( max )
j ⎟⎞
t∈T
⎝ ⎠
jt
( max )
jk j t
Im Folgenden werden die Nebenbedingungen aufgeführt und erläutert:
∑
( j)
x = 1
j ∈ J,
k ∈ K , (2)
( )
∈ jk
jkt
t T
∑ x jkt * t − ∑ x jk −1
t * t ≥ l jk
j
( j)
J,
k ∈ K ,
( jk )
t∈T
( jk −1)
t∈T
c jk * x jkt
( it )
≤ Cit
i I,
t ∈T
.
∑
( jk ) ∈JK
∈ (3)
∈ (4)
Nebenbedingung (2) stellt sicher, dass jeder Engpassarbeitsgang jedes Loses genau einer Periode
zugewiesen wird. In Nebenbedingung (3) wird für die Einhaltung der Mindestübergangszeiten
gesorgt. Nebenbedingung (4) stellt die Kapazitätsbeschränkung dar. Ein Engpassarbeitsgang
belastet alle Kapazitätsgruppen, denen er zugeordnet ist, in der Periode, in der er eingeplant wird.
Bei Betrachtung der Zielfunktion und der ersten beiden Nebenbedingungen stellt man fest, dass
diese sich aus einzelnen Lostermen zusammensetzen, d.h., die Entscheidungsvariablen der
Engpassarbeitsgänge der einzelnen Lose haben keinen gegenseitigen Einfluss. Lediglich über die
Kapazitätsbeschränkung hängen die Entscheidungen bezüglich der einzelnen Lose zusammen. Um
die Komplexität des Optimierungsproblems zu reduzieren, wird eine Dekomposition des Problems
in einzelne Losunterprobleme im Folgenden mit Hilfe einer Langrang’ schen Relaxierung erreicht.
Die Kapazitätsbeschränkung wird relaxiert und in die Zielfunktion aufgenommen:
L
( ) ⎟ ⎟
⎛⎛
⎞ ⎞
* λ c ⎟
jk * x jkt − C
⎟ it .
⎠ ⎠
= ∑ ∑ wT
⎜⎜
jt x ( max ) +
jk ∑∑ it
( )
⎜⎜
∑ ∑
j t
j∈J
⎜⎛
⎟⎞
i∈It∈T it jit
jk
max
( ) ( )
j
⎝⎝
j∈Jk∈K t∈T
⎝ ⎠
Statt die Einhaltung der Beschränkung zu verlangen, wird eine Kapazitätsüberschreitung bei
Kapazitätsgruppe i in Periode t mit dem Term λit bestraft. Die einzelnen Strafterme werden im
Folgenden Kapazitätskosten genannt und ihre Gesamtheit Kapazitätskostenmatrix. Nach
Umstellung von Gleichung (5) erhält man folgende Gleichung:
⎛
⎞ ⎛
⎞
L λ λ * C
⎟ it .
⎠
= ∑ ∑ wT
( ) ⎜
⎟ −
⎜
jt * x max +
⎜∑∑
∑ ∑ it * c jk * x
jk
⎟ ∑ ∑
j t
jkt
it
j∈J
⎜⎛
( max ) ⎟⎞
⎝ ∈ ( j) ( jk) ( jk)
( jk ) ( jk )
jk j
j J k∈Ki∈I t∈T
⎠ ⎝ i∈It∈T t∈T
⎝ ⎠
Das so entstandene relaxierte Problem besteht aus der Zielfunktion (6) und den Nebenbedingungen
(2) und (3). Diese lassen sich alle in einzelne Losterme zerlegen, wodurch eine Dekomposition des
Optimierungsproblems in einzelne Losunterprobleme möglich wird. In diesen werden für jedes Los
die Perioden für die Engpassarbeitsgänge ermittelt. Das Hauptproblem besteht in der Festlegung
der Kapazitätskosten.
3.4. Hauptproblem
WI Doctoral Consortium 2009 50
Der Algorithmus für das Subgradientenverfahren kann wie folgt zusammengefasst werden:
1. Initialisiere die Kapazitätskosten mit Null und den Dämpfungsfaktor mit Eins (dieser wird
in jeder Iteration verringert, um ein allmähliches Konvergieren des Verfahrens zu
erreichen).
(5)
(6)