MathProf 5.0 - Themenbereich Analysis I
Inhaltsübersicht und Kurzbeschreibungen zu einigen Modulen, die im Programm MathProf 5.0 zum Themenbereich Analysis I implementiert sind.
Inhaltsübersicht und Kurzbeschreibungen zu einigen Modulen, die im Programm MathProf 5.0 zum Themenbereich Analysis I implementiert sind.
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Kurzbeschreibungen zu einigen Modulen, die im Programm<br />
<strong>MathProf</strong> <strong>5.0</strong> unter dem <strong>Themenbereich</strong> <strong>Analysis</strong> implementiert sind.<br />
• Mathematische Funktionen I<br />
Das Modul Mathematische Funktionen I ermöglicht die gleichzeitige grafische Darstellung und Koordinatenwertanalyse<br />
von bis zu acht mathematischen Funktionen der Form y = f(x,p).
• Mathematische Funktionen II<br />
Das Modul Mathematische Funktionen I ermöglicht die Durchführung von Analysen mit Optionen mathematischer<br />
Funktionen in expliziter Form. Ermöglicht wird die Darstellung und Untersuchung der:<br />
· Funktion f(x,p)<br />
· 1. Ableitung f'(x,p) von f(x,p)<br />
· 2. Ableitung f''(x,p) von f(x,p)<br />
· Umkehrfunktion (Umkehrkurve) fu(x,p) von f(x,p)<br />
· Krümmungskurve fk(x,p) von f(x,p)<br />
· Spiegelung von f(x,p) an der y-Achse → f(-x,p)<br />
· Spiegelung von f(x,p) an der x-Achse → -f(x,p)<br />
· Spiegelung von f(x,p) am Koordinatenursprung → -f(-x,p)<br />
· doppelten Anwendung der Funktionsarg. auf Funktion f(x,p) → f(f(x,p))<br />
· Stammfunktion F(x) von f(x) mit Konstantenwert C = 0<br />
· Evolute fe(x) von f(x)<br />
· Funktion g(x,p)<br />
· 1. Ableitung g'(x,p) von g(x,p)<br />
· 2. Ableitung g''(x,p) von g(x,p)<br />
· Umkehrfunktion (Umkehrkurve) gu(x,p) von g(x,p)<br />
· Krümmungskurve gk(x,p) von g(x,p)<br />
· Spiegelung von g(x,p) an der y-Achse → g(-x,p)<br />
· Spiegelung von g(x,p) an der x-Achse → -g(x,p)<br />
· Spiegelung von g(x,p) an Koordinatenursprung → -g(-x,p)<br />
· doppelten Anwendung der Funktionsarg. auf Funktion g(x,p) → g(g(x,p))<br />
· Stammfunktion G(x) von g(x) mit Konstantenwert C = 0<br />
· Evolute ge(x) von g(x)<br />
Ferner können Funktionsverknüpfungen folgender Formen ausgegeben werden:<br />
· Addition zweier Funktionen: f(x,p) + g(x,p)<br />
· Subtraktion zweier Funktionen: f(x,p) - g(x,p)<br />
· Multiplikation zweier Funktionen: f(x,p) · g(x,p)<br />
· Division zweier Funktionen: f(x,p) / g(x,p)
• Funktionen in Parameterform<br />
Das Modul Funktionen in Parameterform ermöglicht die gleichzeitige Darstellung und Untersuchung von bis zu drei<br />
Funktionen, die in Parameterform durch Terme der Form x = f(k,p) und y = f(k,p) definiert sind.<br />
· Darstellung von Funktionen in Parameterform, beschrieben durch Terme der<br />
Form x = f(k,p) und y = g(k,p)<br />
· Darstellung der 1. Ableitung von Funktionen in Parameterform, beschrieben durch Terme<br />
der Form x = f(k,p) und y = g(k,p)<br />
· Ortspunktanalyse von Funktionen in Parameterform, beschrieben durch<br />
Terme der Form x = f(k,p) und y = g(k,p)<br />
· Kurvenverlaufsanalyse von Funktionen in Parameterform, beschrieben durch<br />
Terme der Form x = f(k,p) und y = g(k,p)
• Funktionen in Polarform<br />
Das Modul Funktionen in Polarform ermöglicht die gleichzeitige grafische Darstellung und Untersuchung von bis zu drei<br />
Funktionen die in Polarform, beschrieben durch einen Term der Form r = f(w,p) bzw. r = f(φ,p), definiert sind.<br />
· Darstellung von Funktionen in Polarform, beschrieben durch einen Term der<br />
Form r = f(w,p) bzw. r = f(φ,p)<br />
· Darstellung der 1. Ableitung von Funktionen in Polarform, beschrieben durch<br />
einen Term der Form r = f(w,p) bzw. r = f(φ,p)<br />
· Ortspunktanalyse von Funktionen in Polarform, beschrieben durch einen<br />
Term der Form r = f(w,p) bzw. r = f(φ,p)<br />
· Kurvenverlaufsanalyse von Funktionen in Polarform, beschrieben durch einen<br />
Term der Form r = f(w,p) bzw. r = f(φ,p)
• Segmentweise definierte Funktionen<br />
Das Modul Segmentweise definierte Funktionen ermöglicht die Darstellung von Kurven der Form y = f(x,p), die über<br />
ihren gesamten Definitionsbereich hinweg durch mehrere Funktionen beschrieben werden.<br />
• Kurvenscharen<br />
Das Modul Kurvenscharen ermöglicht die grafische Darstellung von Kurvenscharen mathematischer Funktionen<br />
verschiedener Definitionsformen. Hierbei wird die Ausgabe und Analyse von Kurvenscharen folgender Arten ermöglicht:
· Kurvenschar mit Funktionen in expliziter Form y = f(x,u,p)<br />
· Kurvenschar, beschrieben durch Funktionen in Parameterform x = f(k,u,p) und y = g(k,u,p)<br />
· Kurvenschar mit Funktionen in Polarform r = f(w,u,p) bzw. r = f(φ,u,p)<br />
• Funktionsparameteranalyse<br />
Das Modul Funktionsparameteranalyse ermöglicht die Untersuchung des Verhaltens mathematischer Funktionen in<br />
Abhängigkeit von bis zu drei Parametern. Analysen dieser Art können mit Funktionen einer der nachfolgend aufgeführten<br />
Art durchgeführt werden:<br />
· Funktionen in expliziter Form y = f(x,u,v,p)<br />
· Funktionen in Parameterform, beschrieben durch x = f(k,u,v,p) und y = g(k,u,v,p)<br />
· Funktionen in Polarform r = f(w,u,v,p) bzw. r = f(φ,u,v,p)
• Funktionsschnittpunkte<br />
Das Modul Funktionsschnittpunkte ermöglicht die numerische Ermittlung und grafische Darstellung der Schnittpunkte<br />
zweier Funktionen, die in expliziter Form definiert sind. Hierbei werden u.a. ermittelt und grafisch ausgegeben:<br />
· Schnittpunkte und Schnittwinkel zweier Funktionen der Formen y = f1(x) und y = f2(x)<br />
· Gleichungen der Tangenten und Normalen in den Schnittpunkten dieser Funktionen<br />
· Eigenschaften der Krümmungskreise der Funktionen, welche durch diese Schnittpunkte verlaufen
• Parameter der Sinus- und Cosinusfunktion<br />
Das Modul Parameter der Sinus- und Cosinusfunktion ermöglicht die interaktive Analyse des Einflusses von<br />
Parametern auf Sinus- und Cosinusfunktionen. Eine Veränderung entsprechender Parameter beeinflusst/bewirkt:<br />
· Streckung bzw. Stauchung der Funktion in y-Richtung<br />
· Änderung der Länge der kleinsten Periode der Funktion<br />
· Verschiebung der Funktion in x-Richtung<br />
· Verschiebung der Funktion in y-Richtung<br />
• Kubische Funktion in allgemeiner Form<br />
Das Modul Kubische Funktionen in allgemeiner Form ermöglicht die Durchführung von Untersuchungen mit kubischen<br />
Funktionen der Form f(x) = ax³ + bx² + cx + d. Zudem erfolgt die Ermittlung von Nullstellen, Extrema und<br />
Wendepunkten der entsprechenden Funktion sowie die Darstellung derer 1. und 2. Ableitung.<br />
• Zahlenfolgen und rekursive Zahlenfolgen<br />
Verschiedene Module zu den Themengebieten Zahlenfolgen und rekursive Zahlenfolgen ermöglichen die numerische<br />
und interaktive Untersuchung und Darstellung reeller Zahlenfolgen. Es werden Tabellen für Glieder, Werte und<br />
Partialsummen der zu untersuchenden Zahlenfolge ausgegeben. Zudem erfolgt die Ermittlung des Grenzwerts der<br />
entsprechenden Zahlenfolge.
• Parabelgleichungen<br />
Das Modul Parabelgleichungen ermöglicht die interaktive, detaillierte Untersuchung quadratischer Funktionen. Das<br />
Programm erlaubt die Durchführung von Analysen mit quadratischen Funktionen folgender Darstellungsformen:<br />
· Allgemeine Form<br />
· Normalform<br />
· Scheitelpunktform<br />
· Nullstellen-Form<br />
· 3-Punkte-Form<br />
· Parameter-Darstellung<br />
· Allgemeine Gleichung-Hauptform<br />
Es können u.a. folgende Untersuchungen durchgeführt werden:<br />
· Ermittlung der Schnittpunkte zweier Funktionen (Parabeln und Geraden)<br />
· Ermittlung der von zwei Parabeln eingeschlossenen Fläche<br />
Zudem werden folgende Eigenschaften von Geraden und Parabeln ermittelt und ausgegeben:<br />
· Gleichungen der Funktionen<br />
· Parameter p und q, sowie Diskriminante von Parabeln<br />
· Nullstellen der Parabeln bzw. Geraden<br />
· Scheitelpunkte von Parabeln
• Parabel und Gerade<br />
Das Modul Parabel und Gerade ermöglicht die interaktive Durchführung von Analysen mit quadratischen Funktionen<br />
folgender Darstellungsformen:<br />
· Allgemeine Form<br />
· Normalform<br />
· Scheitelpunktform<br />
· Nullstellen-Form<br />
· 3-Punkte-Form<br />
· Parameter-Darstellung<br />
· Allgemeine Gleichung-Hauptform<br />
Geraden können in einer der nachfolgend aufgeführten Formen definiert werden:<br />
· Steigungs-Form<br />
· Zwei-Punkte-Form<br />
· Hessesche Normalenform<br />
· Achsenabschnittsform<br />
· Allgemeine Form<br />
Es können u.a. folgende Untersuchungen durchgeführt werden:
· Ermittlung der Schnittpunkte zweier Funktionen<br />
· Ermittlung der Fläche zwischen einer Gerade und einer Parabel<br />
Zusätzlich werden folgende Eigenschaften der Geraden und Parabeln ermittelt und ausgegeben:<br />
· Funktionsgleichungen der Parabeln und Geraden<br />
· Parameter p und q, sowie Diskriminante der Parabeln<br />
· Nullstellen der Parabeln und Geraden<br />
· Scheitelpunkte der Parabeln<br />
• Analyse quadratischer Funktionen<br />
Das Modul Analyse quadratischer Funktionen ermöglicht die Untersuchung einer quadratischen Funktion der Form f(x)<br />
= a (x - b)² + c. Eine Veränderung entsprechender Parameter beeinflusst/bewirkt:<br />
· Streckung bzw. Stauchung der Parabel<br />
· Verschiebung der Funktion in x-Richtung<br />
· Verschiebung der Funktion in y-Richtung<br />
• Ermittlung ganzrationaler Funktionen<br />
Das Modul Ermittlung ganzrationaler Funktionen ermöglicht die Bestimmung der Gleichungen ganzrationaler<br />
Funktionen aus vorgegebenen Bedingungen. Diese können sein:<br />
· Koeffizienten a[i] der Funktionsgleichung<br />
· Punkte, durch welche die Funktion verläuft<br />
· Punkte, durch welche die 1. Ableitung der Funktion verläuft<br />
· Punkte, durch welche die 2. Ableitung der Funktion verläuft<br />
Auch erfolgt die Ausgabe der 1., 2. und 3. Ableitung, sowie einer Stammfunktion der ermittelten Kurve.
• Ganzrationale Funktionen<br />
Das Modul Ganzrationale Funktionen ermöglicht die Durchführung der Analyse einer Interpolationsfunktion mit Hilfe<br />
mauspositionierbarer Punkte. Durch die Definition von bis zu fünf Stützstellen ermittelt das Programm interpolativ aus<br />
vorgegebenen Punkten eine ganzrationale Funktion, die durch diese Punkte verläuft.<br />
• Gebrochenrationale Funktionen<br />
Das Modul Gebrochenrationale Funktionen ermöglicht die Durchführung von Untersuchungen mit echt<br />
gebrochenrationalen Funktionen. Es lassen sich darstellen:<br />
· Gebrochenrationale Funktion f(x)<br />
· Teilfunktionen g1(x) und g2(x) der Funktion f(x)<br />
· 1. Ableitung der Funktion f(x)<br />
· 2. Ableitung der Funktion f(x)<br />
· Polgerade der Funktion f(x)<br />
· Asymptote der Funktion f(x)<br />
Zudem werden ermittelt:<br />
· Gleichung der Asymptote (Hüllkurve) der Funktion f(x)<br />
· Nullstellen und Pole der Funktion f(x)<br />
· Extremwerte der Funktion f(x)<br />
· Wendepunkte der Funktion f(x)
• Interpolation nach Newton und Lagrange<br />
Das Modul Interpolation nach Newton und Lagrange ermöglicht die interaktive Ermittlung von<br />
Interpolationspolynomen nach den Methoden von Newton und Lagrange. Das Programm ermittelt aus bis zu 100<br />
vorgegebenen Stützstellen interpolativ eine ganzrationale Funktion, die näherungsweise durch diese verläuft. Zudem<br />
kann die Durchführung einer Kurvendiskussion für die ermittelte Funktion veranlasst werden. Hierbei werden Nullstellen,<br />
Hoch- und Tiefpunkte, sowie Wendepunkte der Näherungsfunktion ermittelt und ausgegeben.<br />
• Polynomregression<br />
Das Modul Polynomregression ermöglicht die Auffindung von Näherungspolynomen bis achten Grades, die durch<br />
mindestens 3 und maximal 8 Stützstellen beschrieben werden. Zudem kann die Durchführung einer Kurvendiskussion für<br />
das ermittelte Näherungspolynomen veranlasst werden. Hierbei werden Nullstellen, Hoch- und Tiefpunkte, sowie<br />
Wendepunkte der Näherungsfunktion ermittelt und ausgegeben.<br />
• Nullstellen - Iterationsverfahren<br />
Das Modul Nullstellen - Iterationsverfahren ermöglicht die Durchführung interaktiver Analysen von Methoden, die bei<br />
der Nullstellenbestimmung mathematischer Funktionen Anwendung finden. Folgende Verfahren können untersucht<br />
werden:<br />
· Regula falsi 1. Art<br />
· Regula falsi 2. Art
· Allgemeines Iterationsverfahren<br />
· Newton-Verfahren<br />
· Vereinfachtes Newton-Verfahren<br />
· Intervallhalbierungsverfahren<br />
• Horner-Schema<br />
Das Modul Horner-Schema ermöglicht die numerische Anwendung des Horner-Schemas mit ganzrationalen Funktionen<br />
bis sechsten Grades, welches u.a. zur Bestimmung der Nullstellen derartiger Funktionen Anwendung findet sowie die<br />
Darstellung der untersuchten Funktion und derer Ableitungen.<br />
• Tangente - Normale<br />
Das Modul Tangente - Normale ermöglicht die Ermittlung der Tangente und Normale einer Funktion y = f(x,p) bei einem<br />
bestimmten Abszissenwert Px bzw. Qx. Es werden u.a. berechnet und ausgegeben:<br />
· Funktionswert an Stelle Px (Qx)<br />
· Steigungswinkel der Tangente in Punkt P (Q)<br />
· Funktionswert der 1. Ableitung der Funktion in Punkt P (Q)<br />
· Gleichung der durch Punkt P (Q) verlaufenden Tangente<br />
· Abstand der durch Punkt P (Q) verlaufenden Tangente zum<br />
· Koordinatenursprung<br />
· Nullstelle der durch Punkt P (Q) verlaufenden Tangente<br />
· Steigungswinkel der Normale in Punkt P (Q)<br />
· Gleichung der durch Punkt P (Q) verlaufenden Normale<br />
· Abstand der durch Punkt P (Q) verlaufenden Normale zum Koordinatenursprung<br />
· Nullstelle der durch Punkt P (Q) verlaufenden Normale<br />
· Eigenschaften des durch Punkt P (Q) verlaufenden Krümmungskreises<br />
· Krümmung der Kurve in Punkt P (Q)
• Tangente - Sekante<br />
Das Modul Tangente - Sekante ermöglicht die Analyse der Herleitung der Differenzialrechnung anhand des<br />
'Sekantenproblems'. Für zwei auf einer Funktionskurve f(x) liegende Punkte P und Q werden ermittelt und ausgegeben:<br />
· Funktionswerte an den Stellen Px und Qx<br />
· Steigung der durch die Punkte P und Q verlaufenden Sekante<br />
· Steigungswinkel der durch die Punkte P und Q verlaufenden Sekante<br />
· Gleichung der durch die Punkte P und Q verlaufenden Sekante<br />
· Abstand der durch die Punkte P und Q verlaufenden Sekante zum<br />
Koordinatenursprung<br />
· Nullstelle der durch die Punkte P und Q verlaufenden Sekante<br />
Bei Ausgabe der grafischen Darstellung werden zudem angezeigt:<br />
· Steigung der durch Punkt P verlaufenden Tangente<br />
· Steigungswinkel der durch Punkt P verlaufenden Tangente<br />
· Gleichung der durch Punkt P verlaufenden Tangente
• Tangente und Normale von externem Punkt<br />
Das Modul Tangente und Normale von externem Punkt ermöglicht die Ermittlung von Tangenten und Normalen an<br />
Kurven, welche durch einen, extern dieser liegenden, Punkt verlaufen. Das Programm ermittelt hierbei die, durch einen<br />
von der Kurve extern liegenden Punkt verlaufenden Tangenten an diese und gibt folgendes aus:<br />
· Gleichungen der Tangenten an eine Kurve, die durch einen extern liegenden<br />
Punkt, sowie einen auf der Kurve liegenden Punkt verlaufen<br />
· Tangentenpunkte der Kurve, durch welche zuvor aufgeführte Tangenten<br />
verlaufen<br />
· Steigungswinkel zuvor aufgeführter Tangenten<br />
· Gleichungen der Normalen, die durch die ermittelten<br />
Tangentenpunkte der Kurve verlaufen<br />
· Steigungswinkel der Normalen, die durch die ermittelten Tangentenpunkte der<br />
Kurve verlaufen<br />
• Kurvendiskussion<br />
Verschiedene Module zum Fachthema Kurvendiskussion ermöglichen die Durchführung von Analysen zur Bestimmung<br />
von Nullstellen, Extrema, Wendepunkten und weiterer Eigenschaften mathematischer Funktionen. Das Programm<br />
untersucht hierbei Funktionen auf folgende Punkte und Eigenschaften:<br />
· Nullstellen<br />
· Pole<br />
· Extrema (Hoch- und Tiefpunkte)<br />
· Wendepunkte<br />
Zusätzlich werden ausgegeben:<br />
· Eigenschaft der Funktion<br />
· Koordinaten des Schnittpunkts der Kurve mit der Y-Achse<br />
· Tangentensteigung in ermittelten Kurvenpunkten<br />
· Gleichungen der Tangenten und Normalen in ermittelten Kurvenpunkten<br />
· Art der Krümmung an ermittelten Kurvenpunkten<br />
· Eigenschaften der durch Extrema und Nullstellen verlaufenden Krümmungkreise
Grafisch darstellen lassen sich:<br />
· Untersuchte Funktion f(x)<br />
· 1. Ableitung f'(x) der untersuchten Funktion f(x)<br />
· 2. Ableitung f''(x) der untersuchten Funktion f(x)<br />
· 3. Ableitung f'''(x) der untersuchten Funktion f(x)<br />
· Polstellen der untersuchten Funktion f(x)<br />
· Tangenten in Nullstellen, Extrema und Wendepunkten der untersuchten<br />
Funktion f(x)<br />
· Normalen in Nullstellen, Extrema und Wendepunkten der untersuchten<br />
Funktion f(x)<br />
· Krümmungskreise durch Nullstellen und Extrema der untersuchten Funktion f(x)<br />
• Obersummen und Untersummen<br />
Das Modul Ober- und Untersummen ermöglicht die Untersuchung expliziter Funktionen bzgl. Ober- und Untersummen<br />
innerhalb eines frei wählbaren Intervallbereichs, in Abhängigkeit einer festlegbaren Anzahl von Stützstellen. Es werden<br />
die Berechnungsergebnisse folgender Werte ausgegeben:<br />
· Obersumme<br />
· Untersumme
· Mittelwert (von Ober- u. Untersumme)<br />
· Fehlerintervall (Differenz Ober- / Untersumme)<br />
· Fläche orientiert (Der exakte Wert des Integrals zwischen den Grenzen x1 und<br />
x2, mit welchem die Berechnungsergebnisse verglichen werden können)<br />
• Integrationsmethoden<br />
Das Modul Integrationsmethoden ermöglicht die Gegenüberstellung und Untersuchung verschiedener<br />
Integrationsmethoden, sowohl numerisch, wie auch grafisch. Es stehen zur Auswahl:<br />
· Simpson-Methode<br />
· Rechteck-Methode<br />
· Trapez-Methode<br />
Zur numerischen Ermittlung von Integralen werden folgende Verfahren zur Verfügung gestellt.<br />
· Rechteckregel (Obersummen)<br />
· Rechteckregel (Untersummen)<br />
· Trapezregel<br />
· Simpson-Verfahren<br />
· 3/8-Regel<br />
· 4. Newton-Cotes-Formel
· 5. Newton-Cotes-Formel<br />
· 6. Newton-Cotes-Formel<br />
· 7. Newton-Cotes-Formel<br />
· Tschebychow-Verfahren<br />
· Gauß-Quadratur<br />
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