Schwingungen und Wellen

� �
F= m⋅a ⇒ F = m⋅�� y
Dynamik y
⎡dy dy ⎤
Fel ⎢ ( x2) − ( x1) =μ( x2−x1) ⋅y
⎣dx dx ⎥
��
⎦
( ) − ( )
y′ x y′ x
⋅ =μ⋅��
Fel 2 1
x2 − x1
�������
Differentialquotient
y
für dx = x2 −x1 → 0 :
μ
y′′ = ⋅�� y oder
F
el
2 2
∂ y μ ∂ y
= ⋅
∂x F ∂t
2 2
el
Wellengleichung allg. gültig!
μ
Konstante hängt von dem System ab.
Fel
(z.B. Licht im Vakuum: μ0⋅ε0Produkt der magnetischen und elektrischen
Feldkonstanten; siehe später)
( ) 2
2
⎡ μ ⎤ kg / m kg / m 1
⎢ ⎥ = = = ;
⎣Fel ⎦ N kg⋅m/s m/s
die Konstante ist wie hier immer eine reziproke, quadratische Geschwindigkeit.
Die einfach–harmonische Welle y( x, t) y cos( kx t)
Wellengleichung:
�
( ω/k)
��
= ⋅ −ω erfüllt die
m
( )
( )
2
y= −ω ⋅ ym⋅cos kx−ωt ′′ = −
2
⋅ m ⋅ −ω
y k y cos kx t
2 2
∂ y 1 ∂ y
el
= ⋅ , wenn 2 2 2
∂x ∂t
F ω
= c =
k μ ist.
Die Phasengeschwindigkeit transversaler Seilwellen ist die Wurzel aus dem
Quotienten aus Spannkraft und linearer Massendichte!
→ Stimmung von Saiteninstrumenten durch Anpassung von c ~ F el (s.u.) !
ω
Aber: c∼Fel bestimmt nur die Kombination = λ⋅ν! Was wählt daraus die
k
Tonfrequenz ν aus?
82