Schwingungen und Wellen

Fall 2 Überlagerung von Wellen unterschiedlicher Frequenz
Betrachte: Ein „Wellenpaket“ = Allgemeines Auslenkungsmuster
R x = f x,t = 0 für t = 0;
ergänze zunächst formal periodisch
( ) ( )
Benutze räumliche Fouriersynthese zur Darstellung mit 0 = statt 0
( ) = 1⋅ ( ⋅ 0 −Φ1)
+ A ⋅cos( 2⋅k x−Φ
)
R x A cos 1 k x
+ ...
2 0 2
k
2π
L
2π
ω = :
T
Für t = 0 ändert die Ergänzung zu Teilwellen mit ω ( k)
in der Phase nichts, da immer
nur ω( n⋅k ) ⋅ t = 0addiert
wird! Das so erhaltene Wellenpaket
0
( )
( )
( ) 1 0 1 ( 0)
( )
f x,t = A ⋅cos 1⋅k x−Φ −ω 1⋅k ⋅t
+ A2⋅cos 2⋅k0x−Φ2 −ω 2⋅k0 ⋅t
+ ...
erfüllt also die Wellengleichung (Superpositionsprinzip!) und ist per Konstruktion für
t=0 mit dem beliebig vorgegebenen Auslenkungsmuster identisch. Die numerische
Auswertung von f(x,t) mit korrekt eingesetzter Dispersionsrelation ω ( k)
würde also
genau die raum-zeitliche Entwicklung des Auslenkungsmusters R(x) ergeben!
Für ein Ausbreitungsmedium mit linearer Dispersionsrelation (- man sagt „ohne
Dispersion“) kann ω ( k) = c⋅kgesetzt werden. Dann (und nur dann) kann man weiter
vereinfachen:
( )
( )
( ) ( )
A cos 2 k ( x ct)
f x,t = A ⋅cos 1⋅k x−ct −Φ
1 0 1
+
+ ...
⋅ ⋅ − −Φ
= R x−ct 2 0 2
( )
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