Kapitel 5

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN 

Einfache Zustandsänderungen idealer Gase 

Kapitel 5 


Einfache Zustandsänderungen 

• Betrachtung einfacher Zustandsänderungen 

– vom Ausgangszustand zum Endzustand 

– Zwischenzustände quasistatisch (Gleichgewicht) 

– Nebenbedingung erfüllen 

isobar � konstanter Druck p 

isochor � konstantes spezifisches Volumen v 

isotherm � konstante Temperatur T 

isentrop � konstante Entropie s (adiabat & reversibel) 

polytrop 

• Kombination von Zustandsänderungen � Wärme-Kraft-Maschinen ... 

Definition: Wärme-Kraft-Maschine 

Maschinen, die aus einem zugeführten Wärmestrom einen Strom 

mechanischer Arbeit (= Strom Technischer Arbeit) erzeugen. 



⎫ 

⎪⎬ 

Betrachtete Systeme: Geschlossenes System 

Lage 

des 

Systems 

in 

Kraftfeldern 

(Energie) 

s 

g 

Bewegung 

des 

Systems 

(Energie) 



⎪⎭ 

Energieübertragung 

- masselos (Arbeit und Wärme) 

- massegebunden (Energie) 

Verallgemeinerung 

Systemgrenze 

Systeminhalt bezogen zur Systemgrenze in Ruhe 

Energie des Systems 

(verschiedene Formen) 

F 

äußere Kräfte 

(Arbeit) 

nur Innere Energie 

Verformung 

der 

Systemgrenze 

(Arbeit) 

Eigenschaften des geschlossenen Systems 

• konstanter Isentropenexponent � 

• Innere Arbeit 

– Technische Arbeit (=Reibungsarbeit) zunächst vernachlässigt 

wi = 

• innere Bilanz für das geschlossene System 

�2 

q + wv (+wr) =q − pdv(+wr) =usys.2 − usys,1 

Wi 

�2 

= wv (+wt) =wv (+wr) =− pdv(+wr) 

msys 

1 


1 

2 

3 

4


Betrachtete Systeme: Offenes System 

Lage 

des 

Systems 

in 

Kraftfeldern 

(Energie) 

s 

g 

Bewegung 

des 

Systems 

(Energie) 





F 

Energieübertragung 



stationär 


(Arbeit) 

Eigenschaften des offenen Systems 

• konstanter Isentropenexponent � 

Systemgrenze 

Verformung 

der 

Systemgrenze 

(Arbeit) 

1 Einlassstutzen 

1 Auslassstutzen 

• Innere Arbeit 

– Reibungsarbeit, potentielle & kinetische Energie zunächst vernachlässigt 

wt = 

• innere Bilanz für das offene System 

˙ Δe = Δepot + Δekin 

�a 

Wt 

= wd (+wr) = vdp(+wr) (+Δe) 

˙m 

e 

�a 

q + wt = q + vdp(+wr) =ha − he 



• geschlossenes System 

• offenes System 

e 

⎭ 

wd 

⎫ 

⎬ 

Vorüberlegung: 

Wärmeaustausch zwischen System und Umgebung 

⎫ 

⎫ 

dq + dwi = dusys ⇒ dq − p dv = dusys 

⇒ dq = dusys + pdv 

(dwi = dwv) 

⎪⎬ 

⎪⎬ 

⎪⎭ 

⎪⎭ 

dq + dwt = dh ⇒ dq + v dp = du + v dp + p dv. 

(dwt = dwd) 

⇒ dq = du + pdv 

! Wärmeaustausch verhält sich sinngemäß gleich ! 



Isochore Zustandsänderung geschlossenes System 

• konstantes Volumen 

• aus thermischer Zustandsgleichung 

• Arbeit und Wärme 

dq + dwi 

�� 

−p dv 

� �� 

=0 

v = konst. = v0 und dv =0 

p2/p1 = T2/T1 

= dusys ⇒ q = � 2 

cv · dT = cv |T2 (T2 − T1) 

1 T1 

⇒ wi =0 

= 1 

κ−1 R (T2 − T1) 

Einfache Zustandsänderungen idealer Gase / Zustandsänderungen mit einer konstanten thermischen Zustandsgröße / Isochore Zustandsänderung 

5 

6 

7 

8


Isochore Zustandsänderung offenes System 

• konstantes Volumen 



• Verhältnis 

wt 

q 

dq + dwt 

�� 

v dp 

R 

= = 

cv 

cp − cv 

cv 

v = konst. = v0 und dv =0 

pa/pe = Ta/Te 

= dh ⇒ wt = � a 

vdp= v0 (pa − pe) =R (Ta − Te) 

e 

⇒ q = � a 

e cp dT − � a 

e vdp 

= cp | Ta 

Te 

= cv | Ta 

Te 

(Ta − Te) − v0 (pa − pe) 

� �� 

R(Ta−Te) 

1 

(Ta − Te) = κ−1 R (Ta − Te) 

= κ − 1 ⇒|wt |


Isobare Zustandsänderung 

• Visualisierung der Arbeit im p-v Diagram 

• Spezialfall der Zustandsänderung pv n = konst. 

w t 

p 

Isobare 

Einfache Zustandsänderungen idealer Gase / Zustandsänderungen mit einer konstanten thermischen Zustandsgröße / Isobare Zustandsänderung 


w 

pv n = konst.; p = p0 ⇒ n =0 

Isotherme Zustandsänderung geschlossenes System 

• konstante Temperatur 




wi 

q 

= −1 

dq + dwi = du 

�� 

cv dT 

� �� 

=0 

⇒|wi |=| q | 

v 

T = konst. = T0 und dT =0 

⇒ q = � 2 

� 2 dv 

pdv= RT0 

1 1 v 

= RT0 ln v2 

v1 

⇒ wi = RT0 ln p2 

p1 

= −R T0 ln p2 

p1 

= −R T0 ln v2 

v1 

p2/p1 = v1/v2 

! umgekehrte Richtungen ! 

Einfache Zustandsänderungen idealer Gase / Zustandsänderungen mit einer konstanten thermischen Zustandsgröße / Isotherme Zustandsänderung 


Isotherme Zustandsänderung offenes System 

• konstante Temperatur 




wt 

q 

= −1 

dq + dwt = dh 

�� 

=0 

T = konst. = T0 und dT =0 

pa/pe = ve/va 

! umgekehrte Richtungen ! 



⇒ q = − � a 

� a dp 

vdp= −R T0 

e e p 

= −R T0 ln pa 

pe 

⇒ wt = RT0 ln pa 

pe 

⇒|wt |=| q | 

Isotherme Zustandsänderung 



p 

w t 

w 

Isotherme 

v 

= RT0 ln va 

ve 

= −R T0 ln va 

ve 

p · v n = konst.; p · v = R · T0 ⇒ n =1 

wi = wt 

gleiche Flächen 


13 

14 

15 

16


Reversible und irreversible Zustandsänderungen 1 

Definition: Reversibilität und Irreversibilität 

• Reversibilität und Irreversibilität sind Eigenschaften thermodynamischer 

Prozesse. 

• Reversible Prozesse sind gedankliche Optimalprozesse, deren 

Eigenschaft die völlige Verlustfreiheit ist. 

• Kann ein System, in dem ein Prozess abgelaufen ist, wieder in seinen 

Anfangszustand gebracht werden, ohne dass irgend welche 

Änderungen in der Umgebung zurückbleiben, so heißt der Prozess 

reversibel oder umkehrbar. 

• Ist der Anfangszustand des Systems ohne Änderungen in der 

Umgebung nicht wiederherstellbar, so nennt man den Prozess 

irreversibel oder nichtumkehrbar. 

• In der Realität sind Prozesse immer irreversibel. 

Einfache Zustandsänderungen idealer Gase / Reversibilität und Irreversibilität 


Reversible und irreversible Zustandsänderungen 2 

Umgebung Umgebung 

Wärmeaustausch 

Arbeitsaustauch 

Zustand 1 � Zustand 2 � Zustand 1 

• reversible Zustandsänderung 

� keine bleibende Änderung der Umgebung 

• irreversible Zustandsänderung 

� bleibende Änderung der Umgebung 



Beispiel: Reversibler Prozess 

• gedanklicher Prozess nach Carnot 

A 

p 

s 


Kräftegleichgewicht 

in 

jeder 

tellung 

z 

2 

2 

2 

2 

Arbeit der 

Kolbenstange: 

WV � Fds � pAdz � p dV 

� m p dv 

Auslegungsvorschrift 

für 

l2(s) : 

g 

1 

p(s) A � l2(s ) / l1 mg 

! keine Veränderung der Umgebung nach Hin- und Herbewegen des Kolbens ! 


Beispiel: Vollständig irreversibler Prozess 

• Eintauchexperiment 

Gas 

p1, T1 

T w 

T 1 T w 

Wasserbad 

Umgebung Umgebung 

1 

p2, T2 

T w 

1 

S 

T 2 � T w 

! Innere Energie ist nur durch Änderung der Umgebung wieder zu gewinnen ! 


1 

17 

18 

19 

20


Adiabate, reversible (isentrope) Zustandsänderung 

• Entropie konstant 

• adiabat 

• keine Reibungsarbeit 

• keine sonstigen Verlustquellen 

Einfache Zustandsänderungen idealer Gase / Adiabate, reversible (isentrope) Zustandsänderung 


Zusammenhang 

zwischen den thermischen Zustandsgrößen 1 

• aus geschlossenem System: T � v 

• daraus: 

• oder: 

dwi = dusys ⇒ −p dv = cv dT 

− RT 

v dv = cv dT 

� 2 dv 

1 v = − � 2 

� cv dT 1 2 dT 

1 R T = − κ−1 1 T 

ln v2 1 T2 

= − v1 κ−1 ln T1 

� � 1 

1−κ 

v2 T2 

= 

v1 T1 

� �1−κ T2 v2 

= 

T1 v1 

s = konst. 

Einfache Zustandsänderungen idealer Gase / Adiabate, reversible (isentrope) Zustandsänderung / Zusammenhang zwischen den thermischen Zustandsgrößen 


Zusammenhang 


• Elimination der spezifischen Volumina mittels der thermischen 

Zustandsgleichung idealer Gase v = R T / p: 

� � κ−1 

κ 

T2 p2 

= bzw. 

T1 p1 

p2 

p1 

� 

T2 

= 

T1 

� κ 

κ−1 

• Elimination der Temperaturen mittels der thermischen 

Zustandsgleichung idealer Gase T = p v / R: 

� �−κ p2 v2 

= bzw. 

p1 v1 

v2 

� � 1 − κ 

p2 

= 

v1 p1 


Zusammenhang 


• aus offenem System: T � p 

• daraus: 

• oder: 

dwt = dh ⇒ v dp = cp dT 

RT 

p dp = cp dT 

� a dp 

e p = � a 

� cp dT κ a dT 

e R T = κ−1 e T 

ln pa κ Ta 

= pe κ−1 ln Te 

� � κ 

κ−1 

pa Ta 

= 

pe Te 

� � κ−1 

κ 

Ta pa 

= 

Te pe 


21 

22 

23 

24


Zusammenhang 


• Elimination der Drücke mittels der thermischen Zustandsgleichung 

idealer Gase p = R T / v: 

� �1−κ Ta va 

= bzw. 

Te ve 

va 

� 

Ta 

= 

ve Te 

� 1 

1−κ 

• Elimination der Temperaturen mittels der thermischen 

Zustandsgleichung idealer Gase T = p v / R: 

� �−κ pa va 

= bzw. 

pe ve 

va 

� � 1 − κ 

pa 

= 

ve pe 


Zusammenhang 


• Tabelle für die Umrechnung 

bei offenen Systemen 

(Stoffströmen) 

� e und a statt 1 und 2 

Exponent 

(linke Seite) = (rechte Seite) 

linke 

Seite 

rechte 

Seite 

Exponent 



• konstante Entropie 

• kein Wärmeaustausch 

• Arbeit 

T2 

T1 

p2 

p1 

v2 

v1 

T2 

T1 

1 

p2 

p1 

1 

1 1 

1 

Isentrope Zustandsänderung geschlossenes System 

dwi = dusys ⇒ wi = � 2 

cv dT = cv |T2 (T2 − T1) 

1 T1 

= RT1 

κ−1 

oder = RT1 

κ−1 

oder = RT1 

κ−1 

Einfache Zustandsänderungen idealer Gase / Adiabate, reversible (isentrope) Zustandsänderung / Arbeiten 


� T2 

T1 

� � p2 

p1 

� � v2 

v1 

� 

− 1 

� κ−1 � 

κ 

− 1 

� � 

1−κ 

− 1 

Isentrope Zustandsänderung offenes System 

• konstante Entropie 

• kein Wärmeaustausch 

• Arbeit 

dwt = dh ⇒ wt = � a 

cp dT = cp |Ta (Ta − Te) 

e Te 

= κRTe 

κ−1 

oder = κRTe 

κ−1 

oder = κRTe 

κ−1 

� Ta 


Te 

� � pa 

pe 

� � va 

ve 

� 

− 1 

� κ−1 � 

κ 

− 1 

� � 

1−κ 

− 1 

v2 

v1 

1 

s = konst. 

s = konst. 

25 

26 

27 

28


Isentrope Zustandsänderung 


Isentrope 


p 

w t 

w 

! Isentrope steiler als Isotherme ! 


v 

pv κ = konst. ⇒ n = κ 


Exkurs 1a: 

Isentrope oder isotherme Zustandsänderung 

wt = κwi 

• Kompression bzw. Expansion auf einen gegebenen Druck 

p 

isotherm 

v 

v 

Kompression geschlossenes System : wi,T >wi,S S 

offenes System : wt,T |wi,S| T 

offenes System : |wt,T | > |wt,S| T 


Exkurs 1b: 

Isentrope oder isotherme Zustandsänderung 

• Kompression bzw. Expansion auf ein gegebenes spez. Volumen 

p 

isotherm 

Kompression 

isentrop 

p 

isentrop 

Expansion 

isotherm 

v 

v 

Kompression geschlossenes System : wi,T


Exkurs 3a: 

Vergleich der Zustandsänderungen offenes System 

• Kompression 

Druckverhältnis 

sei 

gegeben 

• Arbeitsaufwand: 

– isotherm 

– isentrop 

– isochor 

– isobar 

Einfache Zustandsänderungen idealer Gase / Exkurse 

Arbeit isobar 

Arbeit isotherm 

Arbeit isentrop 

Arbeit isochor 

Wärme isotherm 

10 Wärme isochor 

Arbeitszufuhr 

Temp. isentrop 

Temp. 4isochor 

wt R Te q 

5 

isochor 

isentrop 

isotherm 

3.5 

3 

Ta Te R Te 0 

isobar 

2.5 

isotherm 

isochor 

2 

-5 

. 

-10 

isentrop 

1.5 

1 

5 10 15 20 25 30 35 40 

� 1, 4 

p /p aus ein 

pa pe TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN 

. 

Exkurs 3b: 

Vergleich der Zustandsänderungen offenes System 

• Expansion 


sei wt gegeben 

R Te • Arbeitsabgabe: 

– isotherm 

– isentrop 

– isochor 

– isobar 

e in 

Einfache Zustandsänderungen idealer Gase / Exkurse 


q 

R Te Arbeit isobar 

Arbeit isotherm 

Arbeit isentrop 

Arbeit isochor 

Wärme isotherm 

Wärme 5 isochor 

0 

-5 

-10 

Polytrope Zustandsänderung 

isochor 

• bisher betrachtete Zustandsänderungen 

Isochore : n →∞ 

Isobare : n =0 

Isotherme : n =1 

Isentrope : n = κ 

Arbeitsabfuhr 

isotherm 

isobar 

• Verallgemeinerung auf beliebige Exponenten n 

Einfache Zustandsänderungen idealer Gase / Polytrope Zustandsänderung 

isochor 

isentrop 

isentrop 

isotherm 

0.5 

0 

5 10 15 20 25 30 35 40 

� 1, 4 

1 

pa pe ⎫ 

⎪⎬ 

in : pv 

⎪⎭ 

n = konst. 

1 

T a u s / i n 

Temp. isentrop 

Temp. 2isochor 

T a 

1.5 Te Definition: Polytrope Zustandsänderung 

Polytrope Zustandsänderungen sind Zustandsänderung, deren 

thermische Zustandsgrößen über den Zusammenhang 

pv 

miteinander gekoppelt sind. 

Der Exponent n ist während der Zustandsänderung konstant, darf aber 

beliebig gewählt werden. 

n = konst. 


Polytrope Zustandsänderung differentiell 

• aus 

• differenzieren 

• umformen 

Einfache Zustandsänderungen idealer Gase / Polytrope Zustandsänderung 

pv n = konst. 

dp v+ pndv =0 

Produktregel & Kettenregel 

dp 

+ ndv = 0 

p v 

T a u s / T e in 

33 

34 

35 

36


Zusammenhang 


• aus 

pv n = konst 

• für die Anfangs- und Endpunkt 

� � 

der Zustandsänderung 

n 

p2 v2 

=1 

p1 v1 

� �−n p2 v2 

= 

p1 v1 

• einsetzen der thermischen Zustandsgleichung und Elimination 

� �1−n T2 v2 

– der Drücke 

= 

T1 v1 

� � n−1 

n 

T2 p2 

– der spezifischen Volumina = 

T1 p1 

Einfache Zustandsänderungen idealer Gase / Polytrope Zustandsänderung / Zusammenhang zwischen den thermischen Zustandsgrößen 


Zusammenhang 


• Tabelle für die Umrechnung 

bei offenen Systemen 

(Stoffströmen) 

� e und a statt 1 und 2 

Exponent 

(linke Seite) = (rechte Seite) 

linke 

Seite 

T2 

T1 

p2 

p1 

v2 

v1 

rechte 

Seite 

T2 

T1 

n 

n 1 

1 

1 n 

p2 

p1 

n 1 

n 

1 

n 

Exponent 

Einfache Zustandsänderungen idealer Gase / Polytrope Zustandsänderung / Zusammenhang zwischen den thermischen Zustandsgrößen 


Arbeitsaustausch des reversiblen, geschlossenen 

Systems mit der Umgebung 

dwi = −p dv 

p = p1 vn 

1 

vn ⇒ wi = −p1 vn � 2 

1 1 v−n dv 

wi 

= −p1 v n 1 

= p1 v n−n+1 

1 

= RT1 

n−1 

oder = RT1 

n−1 

oder = RT1 

n−1 

1 

−n+1 

� � v2 

Einfache Zustandsänderungen idealer Gase / Polytrope Zustandsänderung / Arbeiten und Wärme 

v1 

� � p2 

p1 

1 

n−1 

� v −n+1 

2 

� � v2 

v1 

� � 

1−n 

− 1 

� n−1 

n 

� � 

T2 

− 1 

T1 

� 

− 1 


Arbeitsaustausch des reversiblen, offenen 


dwt = v dp 

v = ve p1/n 

e 

p1/n ⇒ wt = ve p 1 

n 

e 

wt 

= ve p 1 

n 

e 

= pe ve 

= nRTe 

n−1 

oder = nRTe 

n−1 

oder = nRTe 

n−1 


� a 1 

p− n dp 

e 

1 

− 1 

n +1 

� 

p 

n 

n−1 

� � pa 

� � pa 

pe 

pe 

1 − n +1 

a 

− v −n+1� 

1 

� � 

1−n 

− 1 

1 − n − p +1 

� 

e 

� n−1 � 

n 

− 1 

� n−1 � 

n 

− 1 

�� 

1−n 

va 

− 1 

ve 

� � 

Ta 

− 1 

Te 

v2 

v1 

1 n 

n 

37 

38 

39 

40


Wärmeaustausch des reversiblen, geschlossenen 


dq = dusys − dwi ⇒ q =¯cv(T2 − T1) − RT1 

n−1 

¯cv = R 

� 

1 1 

κ−1 ⇒ = RT1 κ−1 − n−1 


� T2 

T1 

� � T2 

� 

n−κ T2 

q = RT1(κ−1)(n−1) 

�� n−κ p2 

oder = RT1(κ−1)(n−1) 

T1 

p1 

v1 

T1 

� 

− 1 

� 

− 1 

� 

− 1 

� n−1 � 

n 

− 1 

�� 

1−n 

n−κ v2 

oder = RT1(κ−1)(n−1) 

− 1 


Wärmeaustausch des reversiblen, offenen 


dq = dh − dwt ⇒ q =¯cp(Ta − Te) − nRTe 

n−1 

¯cp = κR 

� 

κ n 

κ−1 ⇒ = RTe κ−1 − n−1 


� Ta 

� � Ta 

� 

n−κ Ta 

q = RTe(κ−1)(n−1) 

�� n−κ pa 

oder = RTe(κ−1)(n−1) 

Te 

p1 

ve 

Te 

Te 

� 

− 1 

� 

− 1 

� 

− 1 

� n−1 � 

n 

− 1 

�� 

1−n 

n−κ va 

oder = RTe(κ−1)(n−1) 

− 1 


Polytrope, reversible Zustandsänderung 1 

• Polytropenexponent n und Wärmeaustausch 

n>1 Wärmeabfuhr adiabat Wärmezufuhr 

q0 

Kompression n κ 

(Druckanstieg) 

Expansion n>κ n= κ n < κ 

(Druckabbau) 

q 

= 

wi 

! festes Verhältnis während der Zustandsänderung ! 

n − κ 

q 

= 

κ − 1 

wt 

n − κ 

• Verhältnis Arbeits- zu Wärmeaustausch 

1 

κ − 1 n 



Polytrope, reversible Zustandsänderung 2 

• Visualisierung im p-v Diagramm 

p 

p1 bzw. 

pe 

isochor 

Wärmezufuhr 

isotherm 

Wärmeabfuhr isentrop 

v1 bzw. 

ve 


isobar 

v 

41 

42 

43 

44


Polytrope, irreversible Zustandsänderung 1 

• Berücksichtigung der Reibungsarbeit 

• Identifikation der Zusatzterme 

reversibles System reales (irreversibles) System 

wr =0 wr > 0 

geschlossenes dwi = dwv = −p dv dwi = dwv + dwr = −p dv+ dwr 

System dq −p dv= dusys dq + dwr −p dv= dusys 

offenes dwt = dwd = vdp dwt = dwd + dwr = vdp+ dwr 

System dq +v dp= dh dq + dwr +v dp= dh 

Einfache Zustandsänderungen idealer Gase / Polytrope Zustandsänderung / Verallgemeinerung 


Polytrope, irreversible Zustandsänderung 2 

• Beziehungen zum Patchen der reversiblen Gleichungen 

•Einfluss der Reibungsarbeit auf den Arbeits- und Wärmeaustausch 

�� 

� � �� 

� � �� 

wi = wv → wi = wv + wr 

wt = wd → wt = wd + wr 

q → q + wr 

�� Einfache Zustandsänderungen idealer Gase / Polytrope Zustandsänderung / Verallgemeinerung 


• Identifikation der Zusatzterme 

• Beziehung zum Patchen der Gleichungen 

� 

�� Berücksichtigung 

der potentiellen und kinetischen Energien 

Einfache Zustandsänderungen idealer Gase / Polytrope Zustandsänderung / Verallgemeinerung 

�� 

�� 

�� 

�� 

ohne Δekin u. Δepot mit Δekin u. Δepot 

Δe =0 Δe>0 

offenes dwt = dwd = vdp dwt = dwd + de = vdp+ de 

System dq + vdp= dh dq + vdp+ de = dh + de 


wd → wd + Δe 

! nur beim offenen System ! 

... der Lohn der ganzen Mühen ! 

• zwei Arbeitsblätter 

– enthalten alle hergeleiteten Beziehungen 

(zu den einfachen Zustandsänderungen idealer Gase) 

– Berücksichtigung der Reibungsarbeit 

– Berücksichtigung der kinetischen und potentiellen Energie 

(beim offenen System) 

• erste Tabelle 

– Polytrope 

– Isentrope 

• zweite Tabelle 

⎫ 

– Isochore ⎬ 

– Isobare 

⎭ 

konstante thermische Zustandsgröße 

– Isotherme 


45 

46 

47 

48


Polytrope und isentrope Zustandsänderung 

idealer Gase (Arbeitsblatt 1) 

Zustandsänderung geschlossenes System (ohne Δe) offenes System (mit Δe) 

polytrop: n �= κ n = konst. ⇒ T � �1−n � � n−1 

2/a v2/a 

p2/a n 

T = 

1/e v = 

1/e 

p ; pv 

1/e 

n Allgemeinfall: irreversibel, diabat 

= konst. 

wv = − � 2 

1 pdv= 1 n−1 RT1 

� � 

T2 

− 1 wd = T1 � a 

n vdp= e n−1 RTe 

� � 

Ta 

− 1 Te 

dwr �= 0;dq �= 0 

Sonderfall: reversibel, diabat 

wi = wv + wr 

= 

wt = wd + wr +Δe 

RT1 

� � 

T2 

n−1 − 1 + wr T1 

= n 

n−1 RTe 

� � 

Ta 

− 1 + wr +Δe 

Te 

dwr =0;dq �= 0 

Sonderfall: irreversibel, adiabat 

q + wr = usys,2 − usys,1 − wv q + wr = ha − he − wd 

= cv T1( T2 

dwr �= 0;dq =0 

1 

T2 

Ta 

n 

Ta 

− 1) − T1 n−1 RT1( − 1) = cp Te ( − 1) − T1 Te n−1 RTe ( − 1) Te 

n−κ 

q + wr = (κ−1) (n−1) RT isentrop: n = κ 

� � 

T2/a 

1/e T − 1 

1|e 

κ(T ) ≈ konst. ⇒ T � �1−κ � � κ−1 

2/a v2/a 

p2/a κ 

T = 

1/e v = 

1/e 

p ; pv 

1/e 

κ ds = dq + dwr =0 

= konst. 

wv = − � 2 

1 pdv= 1 κ−1 RT1 

� � 

T2 

− 1 wd = T1 � a 

κ vdp= e κ−1 RTe 

� � 

Ta 

− 1 Te 

1. Fall 

reversibel, adiabat: 

wi = wv 

= 

wt = wd +Δe 

RT1 

� � 

T2 

κ−1 − 1 T1 

= κ 

κ−1 RTe 

� � 

Ta 

− 1 +Δe 

Te 

dwr =0;dq =0 q = usys,2 − usys,1 − wv =0 q = ha − he − wd =0 

q =0 

2. Fall (Spezialfall) 

irreversibel, diabat: 

wi = wv + wr 

= 


RT1 

� � 

T2 

κ−1 − 1 + wr T1 

= κ 

κ−1 RTe 

� � 

Ta 

− 1 + wr +Δe 

Te 

dq = −dwr < 0 q + wr = usys,2 − usys,1 − wv =0 q + wr = ha − he − wd =0 

q = −wr 



Isochore, isobare & isotherme Zustandsänderung 

idealer Gase (Arbeitsblatt 2) 

Zustandsänderung 

isochor: 

geschlossenes System (ohne Δe) 

wv = − 

offenes System (mit Δe) 


50 

� 2 

1 pdv=0 wd = � dv =0⇒ v = v0 = konst. wi = wr 

a 

vdp= v0 (pa − pe) 

e 


Polytropenexponent: n →∞ 

p2/a p = 

1/e 

q + wr = u2,sys − u1,sys q + wr = ha − he − wd 

T2/a T1/e = cv (T2 − T1) 

= 

= cp (Ta − Te) − v0 (pa − pe) 

= cv (Ta − Te) 

1 

isobar: 

κ−1 R (T2 − T1) 

wv = − 

1 = κ−1 R (Ta − Te) 

� 2 

1 pdv= −p0 (v2 − v1) wd = � a 

e vdp=0 

dp =0⇒ p = p0 = konst. wi = wv + wr wt = wr +Δe 

Polytropenexponent: n =0 

v2/a v = 

1/e 

q + wr = u2,sys − u1,sys − wv q + wr = ha − he 

T2/a T1/e = cv (T2 − T1)+p0 (v2 − v1) 

= cp (T2 − T1) 

= 

= cp (Ta − Te) 

κ 

isotherm: 

dT =0⇒ T = T0 = konst. 

κ−1 R (T2 − T1) 

u2,sys − u1,sys =0 

wi = wv + wr = − 

κ = κ−1 R (Ta − Te) 

ha − he =0 

� 2 

1 pdv+ wr wt = wd + wr +Δe = � Polytropenexponent: n =1 = −R T0 ln 

a 

vdp+ wr +Δe 

e v2 

p2/a p = 

1/e 

+ wr 

v1 

pa 

= RT0 ln + wr +Δe 

pe v1/e v2/a = RT0 ln p2 

+ wr 

p1 

q + wr = RT0 ln 

va 

= −R T0 ln + wr +Δe 

ve v2 

v1 

q + wr = −R T0 ln pa 

= −R T0 ln 

pe 

p2 

p1 

= RT0 ln va 

ve 


Isentroper und polytroper Wirkungsgrad 

Lage 

des 

Systems 

in 

Kraftfeldern 

(Energie) 

s 

g 

Bewegung 

des 

Systems 

(Energie) 



F 

Energieübertragung adiabat 



stationär 


(Arbeit) 

Einfache Zustandsänderungen idealer Gase / Isentroper und polytroper Wirkungsgrad adiabater Maschinen 


Nutzung von Arbeitsblatt 1 


Systemgrenze 

Verformung 

der 

Systemgrenze 

(Arbeit) 

49 

1 Einlassstutzen 

1 Auslassstutzen 

Zustandsänderung geschlossenes System (ohne Δe) offenes System (mit Δe) 

polytrop: n �= κ n = konst. → T � �1−n � � n−1 

2/a v2/a 

p2/a n 

T = 

1/e v = 

1/e 

p ; pv 

1/e 

n Allgemeinfall: irreversibel, diabat 

= konst. 

wv = − � 2 

1 pdv= 1 n−1 RT1 

� � 

T2 

− 1 wd = T1 � a 

n vdp= e n−1 RTe 

� � 

Ta 

− 1 Te 

dwr �= 0;dq �= 0 

Sonderfall: reversibel, diabat 

wi = wv + wr 

= 


RT1 

� � 

T2 

n−1 − 1 + wr T1 

= n 

n−1 RTe 

� � 

Ta 

− 1 + wr +Δe 

Te 

dwR =0;dq �= 0 

Sonderfall: irreversibel, adiabat 

q + wr = usys,2 − usys,1 − wv q + wr = ha − he − wd 

= cv T1( T2 

dwR �= 0;dq =0 

1 

T2 

Ta 

n 

Ta 

− 1) − T1 n−1 RT1( − 1) = cp Te ( − 1) − T1 Te n−1 RTe ( − 1) Te 

n−κ 

q + wr = (κ−1) (n−1) RT isentrop: n = κ 

� � 

T2/a 

1/e T − 1 

1|e 

κ(T ) ≈ konst. → T � �1−κ � � κ−1 

2/a v2/a 

p2/a κ 

T = 

1/e v = 

1/e 

p ; pv 

1/e 

κ ds = dq + dwr =0 

= konst. 

wv = − � 2 

1 pdv= 1 κ−1 RT1 

� � 

T2 

− 1 wd = T1 � a 

κ vdp= e κ−1 RTe 

� � 

Ta 

− 1 Te 

1. Fall 

reversibel, adiabat: 

wi = wv 

= 

wt = wd +Δe 

RT1 

� � 

T2 

κ−1 − 1 T1 

= κ 

κ−1 RTe 

� � 

Ta 

− 1 +Δe 

Te 

dwr =0;dq =0 q = usys,2 − usys,1 − wv =0 q = ha − he − wd =0 

q =0 

2. Fall (Spezialfall) 

irreversibel, diabat: 

wi = wv + wr 

= 


RT1 

� � 

T2 

κ−1 − 1 + wr T1 

= κ 

κ−1 RTe 

� � 

Ta 

− 1 + wr +Δe 

Te 

dq = −dwR < 0 q + wr = usys,2 − usys,1 − wv =0 q + wr = ha − he − wd =0 

q = −wr 

51 

52


Vergleich der Arbeitsformen 

• Reibungsarbeit mit q=0 

� 

wr 

n−κ = (κ−1)(n−1) RTe 

• Druckänderungsarbeit 

wd = n 

� 

n−1 RTe 

• Mechanische Energiegleichung 

� � pa 

� � pa 

wt = wd + wr 

� 

n 

wt = n−1 + 

� 

n−κ 

(n−1)(κ−1) 

� �� n−1 �� 

pa 

n 

RTe 

− 1 

pe 

wt = κ 

� �� n−1 �� 

pa 

n 

κ−1 RTe 

− 1 

pe 



Isentrope Wirkungsgrade 

• Arbeit der isentropen Idealmaschine 

wt,is = κ 

� �� pa 

κ−1 RTe 

• Wirkungsgraddefinition 0 ↔ 1 

Kompression 

Expansion 


pe 

ηis,K = |wt,is| 

|wt| 

ηis,E = |wt| 

|wt,is| 

pe 

pe 

� n−1 

n 

− 1 

� n−1 �� 

n 

− 1 

� κ−1 �� 

κ 

− 1 

(�epot=�ekin=0) 

�� 

Definition: Isentroper Wirkungsgrad 

Der isentrope Wirkungsgrad vergleicht die Technische Arbeit einer realen 

Maschine mit der Technischen Arbeit, die eine perfekte, adiabate 

(isentrope) Maschine mit der Umgebung austauschen würde, um den 

gleichen Enddruck zu erreichen. 


Polytrope Wirkungsgrade 

• Wirkungsgraddefinition 0 ↔ 1 

Kompression 

Expansion 

ηpol,K = wd 

= 

wt 

ηpol,E = wt 

=1+ 

wd 

wr 

n−1 

n 

−→ ηpol,E = 

wd 

κ−1 

κ 

Definition: Polytroper Wirkungsgrad 

Der polytrope Wirkungsgrad vergleicht die Technische Arbeit einer 

Maschine mit ihrer Druckänderungsarbeit. 


1 

1+ wr 

wd 

−→ ηpol,K = 

� 

einsetzen der Arbeiten 

κ−1 

κ 

n−1 

n 


Arbeiten und Wirkungsgrade der Kompression als 

Funktion des Druckverhältnisses 

spez. Arbeit (kJ/kg) 

800 

700 

600 

500 

400 

300 

200 

100 

0 

T = 300K 

ein 

R= 

287 

J/ 

kg/ 

K 

n= 

1. 

5 

kappa= 

1. 

4 

eta 

= 0. 

857 

po 

l 

5 

10 



15 

20 

Arbeit 

isentrop 

Arbeit 

dissipiert 

Arbeit 

polytrop 

isentroper 

Wirkungsgrad 

25 

30 

35 

→ pa/pe 

1 

0. 

95 

0. 

9 

0. 

85 

0. 

8 

0. 

75 

0. 

7 

40 

isentroper Wirkungsgrad 

53 

54 

55 

56


Arbeiten und Wirkungsgrade der Expansion als 

Funktion des reziproken Druckverhältnisses 

spez. Arbeit (kJ/kg) 

400 

200 

0 

-200 

-400 

-600 

-800 

-1000 

-1200 

5 

T = 1500K 

ein 

R= 

287 

J/ 

kg/ 

K 

n= 

1. 

3 

kappa= 

1. 

4 

eta 

= 0. 

808 

po 

l 

Arbeit 

isentrop 

Arbeit 

dissipiert 

Arbeit 

polytrop 

10 

1 / Druckverhältnis 



15 

• Folgerungen aus den Diagrammen 

20 

isentroper 

Wirkungsgrad 

• Temperaturerhöhung durch die Reibungsarbeit 

25 

30 

35 

→ pe/pa 

– überproportionaler Arbeitsbedarf bei der Kompression 

– unterproportionaler Arbeitsverlust bei der Expansion 

• Wirkungsgrade 

– vergleichbar bei geringem Druckverhältnis (Gebläse) 

– mit dem Druckverhältnis steigende Abweichungen 

1 

0. 

95 

0. 

9 

0. 

85 

0. 

8 

0. 

75 

40 

Zusammenhänge zwischen 

dem isentropen und dem polytropen Wirkungsgrad 

Kompression Expansion 

n>κ n

Kapitel 5

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