Geometrieunterricht abstrakt - Institut für Mathematik

Lutz Führer (Frankfurt am Main) (Stand 8.08.2008)
Geometrieunterricht abstrakt –
Vom Begründensollen zum Vermutenwollen
Wichtiger aber als alles bisher Gesagte ist für die Erhaltung der Staatsform eine Maßregel, die bis
jetzt allgemein vernachlässigt wird: die Erziehung im Geiste der Verfassung.
ARISTOTELES 1
Wenn wir es nämlich nicht erreichen, bei einer Mehrheit von Schülern... ein Bedürfnis nach Begründungen,
Erklärungen, „Verursachungen“ und damit also nach Einsicht und prinzipiellem Denken
zu wecken, so ist kaum erkennbar, welchen Sinn ein Mathematikunterricht [jenseits des bürgerlichen
Rechnens; L. F.], der für alle obligat ist, noch haben könnte. Es wäre dann gerechtfertigt,
mit Wagenschein von einer „Tragik des Mathematikunterrichts“ zu sprechen, nämlich: „Dass den
meisten das Durchsichtige dunkel, das Zugängliche verschlossen bleibt“, obwohl doch gerade das
Lernen von Mathematik der Idealfall für ein Lernen durch Verstehen sein sollte und auch – das ist
meine Überzeugung – sein könnte.
WINTER 1983, S. 64
Beschäftigung mit Beweisen kann (möglicherweise) Beiträge zu allgemeinen Lernzielen liefern. Solche
sind u. a.:
• Argumente formulieren können
• Argumente finden können
• Argumentationen wiedergeben können
• Argumentationen analysieren können
• Argumentationen finden können
• auf Argumente anderer eingehen können
• Erkennen der Notwendigkeit einer gemeinsamen
Argumentationsbasis als Voraussetzung für sinnvolle Kommunikation
• Begriffe präzisieren können
• Notwendigkeit der Präzisierung von Begriffen erkennen
• Mängel von Schlussweisen erkennen können
• falsche Schlüsse erkennen können
• logisch richtige Schlüsse führen können
• generalisieren, spezialisieren und analogisieren können.
BÜRGER 1979, S. 130
Ohne Festlegung auf irgendwelche schulischen Rahmenbedingungen und mit Zugeständnis
informeller (alters- und kontextabhängiger) Bedeutungen von „Beweisen“ soll im Vortrag über
Wege nachgedacht werden, wie Schüler zur mathematischen Gewohnheit des stichhaltig
begründen Wollens geführt werden könnten. Es geht in diesem Vortrag nicht um konkreten
Geometrieunterricht, aber um dessen Rechtfertigung, Motivation und Verteidigung, kurz: um
etwas, das Lehrer im Geiste des ARISTOTELES-Zitats wollen sollen könnten.
Warnung:
Die Ausführungen zum didaktischen Vortragshintergrund in Kapitel 1 sind sehr ausführlich;
wer nur den Vortrag selbst ein- oder abschätzen möchte kann sie getrost überspringen.
1 zit. n. J.-M. ZEMB: Aristoteles. Rowohlts Bild-Monographien 1961/1997, S. 138.

1. Hintergedanken des Vortrags
1.1 Aktuelle Didaktik des Beweisens
2
Die Ausführungen im eigentlichen Vortrag stützen sich weitgehend auf Literatur, die mindestens
zwanzig Jahre alt. ist. Das bedarf einer Rechtfertigung.
Soweit ich sehe, hat sich das Thema Beweisenlehren in den letzten beiden Jahrzehnten seitens
der veröffentlichten Mathematikdidaktik weitgehend auf drei nur schwach verbundene Teilbereiche
zurückgezogen, nämlich auf die ad hoc begründete Empfehlung singulärer Unterrichtsbeispiele
an Lehrer, auf die kommerzialisierte Beobachtung von Schülerverhalten und auf die
verwässernde Gleichsetzung von Begründen, Argumentieren und Beweisen in der deskriptivphänomenologischen
Grundschuldidaktik. 2 Während die eklektische Beispieltradition am
Rande der wissenschaftlichen Didaktik abwechselnd geduldet oder mit dem Totschlagsargument
„unwissenschaftlich“ ausgegrenzt wird („Stoffdidaktik“), haben die sog. „empirische
Unterrichtsforschung“ und die verbal durchgeadelte Kindermund-Phänomenologie bedenkliche
Verdrängungserfolge in der Wissenschaft vom Mathematik Lernen und Lehren. Diese Erfolge
sind freilich weniger Ausdruck einer besonderen methodischen Gediegenheit, die ihre
Nutznießer gerne für sich beanspruchen 3 , und vom retrospektiv-analytischen Erkenntnisinteresse
her sind konstruktive Erträge zum Lernenlehren auch nicht zu erwarten. Wo sie pressewirksam
behauptet werden, wie z. B. KLIEMEs Großforschungsbefund, der Pythagorassatz
werde mit strukturiertem Unterricht nachhaltiger gelehrt als mit unstrukturiertem 4 , handelt es
sich regelmäßig um Alte Hüte, die modisch empirisch-reformpädagogisch-fremdenfreundlich
aufgeputzt werden, notfalls als Artefakte der eingesetzten Methoden. 5 Den eigentlichen Motor
der drittmittelorientierten Themenselbstbeschränkung vieler Wissenschaftszweige hat Jürgen
MITTELSTRAß 1980 so beschrieben:
„Gemeint ist das Folgende: Moderne Industriegesellschaften sind in ihrem Bewusstsein und in ihren Strukturen
so beschaffen, dass sie nur diejenigen Wissenschaften bzw. diejenigen wissenschaftlichen Resultate aufnehmen,
die ihnen selbst »technisch« d. h. in Form von Technikwissenschaften, angeboten werden. Gegenüber diesen
Bedingungen technischer Kulturen müssen sich folglich auch die nicht-technischen Wissenschaften oder
Humanwissenschaften (ich meine die Geistes- und Sozialwissenschaften) technisch machen, um »anwendbar«
zu werden bzw. schon ihren Ressourcenfrieden mit technischen Kulturen, hier vertreten durch die Kultusbürokratien,
zu schließen. Diese Entwicklung ist verheerend – nicht nur für die Wissenschaften, die nunmehr unter dem
Paradigma technischer Rationalitäten kritische und Orientierungspotentiale degenerieren lassen, sondern auch
für die technischen Kulturen selbst, die außer einem (wissenschaftsgestützten) Verfügungswissen kein rationales
Orientierungswissen außerhalb „technischer“ Rationalitäten mehr auszubilden vermögen.
2 Dieses bewusst etwas provozierende Urteil ist nicht allzu ernsthaft recherchiert, weil ich nach vielem „eleganten
Unsinn“, den ich zum Thema in den letzten Jahren fand, müde wurde „alles“ zu lesen. Immerhin sehe
ich keinen großen Widerspruch, wenn ich Google zum Stichwort „International Newsletter on the Teaching
and Learning of Mathematical Proof“ durchsehe, oder auch http://www.lettredelapreuve.it/ , das ZDM-
Archiv zu den Stichworten „Beweis“, „Beweisen“ oder „Proof“ und das aktuelle ZDM-Heft 40.3 (2008) mit
dem schönen Titel „Didactical and Epistemological Perspectives on Mathematical Proof“. (Als vierte Kategorie
wäre evtl. noch „drittmittelträchtige Trivialitäten auf sehr internationalem Verbalniveau“ zu erwähnen;
von FREUDENTHAL einst „Jet-Set-Didaktik“ genannt. )
3 denn sie verdanken sich vielfach naturalistischen Fehlschlüssen, wie ich auf der AK-Tagung in Königswinter
gezeigt habe. Das „Problem der theoretischen Terme“ wird schlicht ignoriert; vgl. z. B. JAHNKE 1978. Bei
ARISTOTELES heißt es dazu: „Aber man kann auch nicht durch sinnliche Wahrnehmung allein erkennen und
wissen. Denn wenn sich auch die sinnliche Wahrnehmung auf ein Qualitatives und nicht auf ein bestimmtes
Einzelne bezieht, so kann man doch notwendig nur ein Einzelnes und irgendwo und jetzt wahrnehmen. Was
aber allgemein ist und in allem, das ist (als solches) unmöglich wahrzunehmen. Denn es ist kein räumlich
Einzelnes und Jetzt; denn dann wäre es nicht allgemein. Was immer ist und allenthalben, nennen wir allgemein.“
ARISTOTELES 1967, S. 49.
4 Vgl. FAZ vom 20.06.2007 (http://www.afw-fernstudium.de/wordpress/?p=11) sowie
http://www.dipf.de/bildungsforschung/biqua_pythagoras_videostudie.htm
5 Vgl. Klaus KLEMM in der ZEIT vom 15.5.2008 (http://www.zeit.de/2008/21/C-Bildungsforschung )

3
Das Glück des Wissenschaftlers und das Glück der Gesellschaft wären also doch nicht immer dasselbe? Festzustehen
scheint, dass dies nur für den Fall des Unglücks gilt. Wer da mehr aus dem Ruder läuft, die Wissenschaft
oder die Gesellschaft, ist schwer zu sagen. Einerseits stellt sich mit der zunehmenden Verwissenschaftlichung
der gesellschaftlichen Verhältnisse die Gesellschaft als ein Produkt wissenschaftlicher Rationalitäten
dar, andererseits hat die Wissenschaft ihre Rationalitäten längst auf die Erwartungen der Gesellschaft eingestellt:
sie bietet im wesentlichen Expertenwissen für das, was die Gesellschaft will.“ (MITTELSTRAß 1982, S. 19)
„Die Adressaten sind wir selbst: die Gelehrten neuester Konfektion (in der Regel kleine Größen) und die Kultus-
und Wissenschaftsbürokratien mit ihrem unstillbaren, von technischen Kulturen verordneten Hang zur Rationalisierung
und Arithmetisierung der Bildungsverhältnisse.“ (Ebenda, S. 29)
1.2 Langer Atem
„In der didaktischen Literatur werden zwei Lernziele genannt:
1. Die Schüler gewinnen die Einsicht, dass man eine geometrische Behauptung beweisen muss.
2. Die Schüler erkennen, dass man nicht alles beweisen kann. - Wozu »muss« man aber auch solche Sätze
beweisen, die ebenso evident sind wie die »Axiome«?
Man »muss« sie gar nicht beweisen...“ (ZAHN 1979, S. 161)
Diese Sätze entstammen einer gründlichen Auseinandersetzung mit den logischen Grundlagen
und Hintergründen schulischen Beweisens. Hier ging es dem damaligen Autor speziell um
vorgebliche Beweispflichten für Beobachtungen, Feststellungen oder Urteile, die schon evident
sind. Weil Schüler über den längsten Teil ihrer Schulzeit nichts von alternativen Modellen
konkreter Axiomensysteme erführen,
„fällt die Forderung zum Beweisen evidenter Folgesätze vom Himmel. Entsprechendes gilt auch für Sätze, die
zwar nicht von Anfang an evident sind, aber z. B. durch Ziehen von Hilfslinien und anschaulichen Erläuterungen
evident gemacht werden können.“ (Ebenda)
Schulisches Beweisen beschränke sich nun einmal die weitaus meiste Zeit auf gegenständliche
Evidenzsicherung. 6 Daher könne es dort nicht um die Vermittlung von Inhalten der mathematischen
Logik gehen, sondern „nur“ um die Einübung in schlüssiges Denken und Reden.
Das dürfte heute zum allgemeinen Konsens gehören. Trotzdem wurde das Beweisenlehren
seitdem mitnichten einfacher.
Yuri MANIN habe gesagt: „Ein guter Beweis ist ein Beweis, der uns klüger macht.“ schrieb
Thomas MORMANN (1981, S. 139). Unter dem Stichwort „Beweiswürdigkeit mathematischer
Sätze in der Schulmathematik“ (ebenda, S. 136-142) erlaubte er sich im Geiste des MANIN-
Zitats sogar, die schulische Beweiswürdigkeit des Pythagorassatzes in Frage zu stellen:
„Man kann so beispielsweise den Satz des Pythagoras als eine Formel verstehen, mit der
man aus den Längen zweier Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks die Länge der dritten berechnet.
Ein solches Umgehen mit dem Satz des Pythagoras mag vom Standpunkt der wissenschaftlichen
Mathematik als ziemlich unwissenschaftlich erscheinen, es ist für viele Zwecke
jedoch angemessen. Mit gewissen Einschränkungen kann man nämlich das mathematische
Wissen geradezu als Formelwissen bezeichnen. Ein mathematischer Satz kondensiert das mathematische
Wissen zu einer Formel oder zu einem auf andere Weise sehr stark stilisierten
Ausdruck; dadurch gewinnt das mathematische Wissen eine größere Beweglichkeit, und man
braucht bei seiner Anwendung nicht mehr den ganzen Hintergrund einzubeziehen, der es begründet.
Eine Formel kann als abstraktes Modell eines inhaltlichen Sachverhaltes verstanden werden.
Die Formel F = ½ g⋅h ist so ein algebraisches Modell der Fläche eines Dreiecks. Auch ein zunächst
rein instrumentelles Verständnis mathematischer Sätze ist daher ein möglicher Ausgangspunkt
der Entwicklung des mathematischen Wissens. Es ist legitim und in gewissem
Sinne auch kaum zu umgehen, dass der Prozess der Begriffsentwicklung zunächst einmal an
einer formalen Zeichentätigkeit festgemacht wird. Es kommt darauf an, die Anwendungspra-
6 Hier schließe ich mich der ganz anderen Ansicht (nach SNEED) an, die z. B. in JAHNKE 1978, JAHNKE/OTTE
1979 und MORMANN 1981 vertreten wird: Beweisen ist nicht tautologisch. Es „verallgemeinert“ und verändert
das Wissen, indem es nach „Erklärungen“ aus allgemeinerer Sicht zielt, besser: auf wechselwirkende
Einbettung des Beobachteten, Gewussten oder Vermuteten in übergreifende Bezugs- und Deutungsrahmen.

4
xis der Begriffe so anspruchsvoll und vielschichtig zu gestalten, dass ein über das rein formale
Hantieren mit den Begriffen hinausgehendes Verständnis erreicht wird. In der Beziehung
von Satz und Beweis konzentriert sich die komplexe Beziehung zwischen Entwicklung und Begründung
des mathematischen Wissens.
Der Logiker Y. MANIN hat einen guten Beweis folgendermaßen charakterisiert: »Ein guter
Beweis, ist ein Beweis, der uns klüger macht.« Was das heißt, ist oben erläutert worden: Ein
guter Beweis verdeutlicht die theoretische (begriffliche) und praktische (operative) Bedeutung
des Satzes, den er beweist. Klüger werden wir aber durch einen Beweis nur dann, wenn
wir imstande sind, ihn zu einem bestimmenden Bestandteil unserer mathematischen Tätigkeit
und Reflexion zu machen. Die Dualität eines Beweises 7 ergibt sich daher nicht ausschließlich
aus ihm selbst, sondern hängt ab von der Umgebung, in der er sich befindet.“
(MORMANN 1981, S. 136 f.)
Wenn es so ist, wie ich mit vielen Didaktikern behaupte, dass der eigentliche Sinn des Beweisens,
nämlich Wissen mit anderem Wissen zu verbinden und intuitiv wirksam in den Sinnzusammenhang
eines Sachgebietes einzubetten 8 , nur langfristig vermittelbar ist, dann wäre in
der Tat zu überlegen, ob der fragend-entwickelnde Vortrag von drei isolierten Beweisen im
Mathematikunterricht der Mittelstufe – am Gymnasium üblicherweise für den Winkelsummensatz,
den Pythagorassatz und die Irrationalität von 2 – irgend jemanden „klüger machen“
kann.
Wo sich Lehrer überhaupt (noch) bemühen, ins Beweisenlernen einzuführen, um intuitiven
Sinn und – mittelbar – flexiblere Anwendbarkeit zu fördern, brauchen sie einen Langen Atem
und neuerdings auch Mut, denn Beweise vorführen, erklären, nachmachen ist bekanntlich etwas
anderes als zum Beweise Erfinden anstiften und anleiten. Zwar gibt es noch das offizielle
Feigenblatt „mathematisch
argumentieren“ in
den KMK-Standards, aber
dieses begriffslose
Assoziationsfeld ist ein
so weitläufiges Dach,
dass die halbe Welt darunter
Platz findet, nicht
nur die ganze Mathematik
und die KMK-
Musteraufgaben. Was
hier an „Kompetenzgraden“
in Prüfungsorgien
eingebracht und nachgemessen
werden soll, gilt
anscheinend eher der
Verhütung allzu groben
gedanklichen und sprachlichen
Unsinns als der
Förderung und Anerkennung
irgendwelcher kreativen
gedanklichen Leistungen.
So erfordert es
7 MORMANN meint damit die wechselwirkende Einbindung des Satzes in ein Satzgefüge („Begriffsentwicklung“)
zugleich mit der Erschließung von Satzanwendungen („Formel“). Bezogen auf ein Gebiet (wie hier
„Geometrie“) könnte man auch MITTELSTRAß’ Begriffe Orientierungswissen und Verfügungswissen bemühen.
8 bei MORMANN und JAHNKE etwa: Kenntnisse zu Erkenntnissen verallgemeinern...
ZAHN 1979, S. 113 f.

5
denn Mut und Zähigkeit auf Lehrerseite, das unvermeidlich langwierige Beweisenlehren trotz
Lehrplänen, Standards und Outputfixierung durchzuhalten.
Dass es Langen Atem braucht, war unter den zahlreichen Spezialisten, die sich vor dem Siegeszug
der outputfixierten Unterrichtsforschung um vernünftige Einstellungen zum Beweisenlehren
bemühten, einhelliger, wohlbegründeter Konsens, den Heinrich WINTER in seiner
fundamentalen Arbeit von 1983 so ausdrückte:
„Logik in der Schule nicht als Stoffgebiet sondern als permanente Sprechkritik... Die Aufgabe des Lehrers ist
es, Beweissprechakte zu initiieren (direkt oder indirekt) und den weiteren Verlauf diskret zu steuern... Speziell
bei jüngeren Schülern (die Erziehung zum argumentativen Verhalten beginnt mit dem 1. Schultag!) hat es sich
als fruchtbar erwiesen, Beweissprechakte mit der Frage »Woher weißt du das?« zu initiieren, denn hierdurch
wird das Reflektieren angeregt, das nicht nur irgendein Nachdenken über die Behauptung darstellt, sondern
ein Nachdenken über die Herkunft des eigenen Wissens und vor allem darüber, wie der Gesprächspartner die
Behauptung wohl versteht: beim Reflektieren in diesem Sinne versucht man die Gedanken des Gesprächspartners
kennen zu lernen einschließlich der Gedanken, die der andere über die eigenen Gedanken hat.“
(WINTER 1983, S. 85, 91 f.)
Dieses Zitat soll zugleich auf eine delikate Grenzziehung hinweisen, zwischen kindlichen Begründungssprechakten
und altersspezifischem Herstellen von intersubjektiv mitteilbaren
Sachzusammenhängen. „Argumentatives Verhalten“ kann vor jedem Problemhorizont exaktifizierbares,
prototypisches, „präformales Beweisen“ sein, anschaulich oder handelnd vorbereiten,
aber nicht jede mit „weil das ist ...“ eingeleitete Sprechblase sollte schon als Beweissprechakt
gefeiert werden, hauptsächlich weil der alltägliche Gebrauch von sprachlichen Begründungsformen
sehr oft nur affirmativ ist, nicht auf Bezugserweiterung zielt („Verallgemeinerung“).
WINTER gibt dazu viele Beispiele und warnt vor einer Vermengung von Alltags-
mit systematischen Begründungen. Es kommt bei letzteren schon auf epistemische und soziale
Funktionen „des“ Beweisens an; der Austausch privater Weltbildchen und Befindlichkeitszusammenhänge
ist nicht gemeint. Dieser Hinweis scheint mir notwendig, weil sich die Infiltration
der schwach institutionalisierten Sekundarstufendidaktik in Deutschland mit erziehungswissenschaftlich
unterfütterten Grundschulmoden auch in diesem Bereich kaum übersehen
lässt.
1.3 Relativierungen „des Beweisens“
„Über den Begriff ‚Beweis’ bestehen keine einheitlichen Vorstellungen. Dieser Begriff kann in der Umgangssprache unterschiedlich
aufgefasst werden, er wird in verschiedenen Wissenschaften nicht in gleicher Weise verwendet und auch
in der Mathematik wird im allgemeinen nicht mit einem definierten Beweisbegriff gearbeitet. Den folgenden Ausführungen
soll gleichfalls ein etwas unscharfer Beweisbegriff zugrunde gelegt werden, der Überlegungen im Hinblick auf den
Mathematikunterricht angepasst ist, also ein didaktischer orientierter Beweisbegriff ist. Beweisen soll als eine (noch genauer
zu beschreibende) Form des Begründens von Aussagen (Behauptungen, Feststellungen) angesehen werden.“
„Der Schüler soll lernen zu argumentieren
• sich an Vereinbarungen halten (z. B. Definitionen)
• allgemeine Aussagen an Spezialfällen testen (Beispiele – Gegenbeispiele)
• begründen, folgern, beweisen
• Begründungen auf Stichhaltigkeit prüfen, Scheinargumente aufdecken
• mathematische Überlegungen bzgl. ihrer Bedeutung bewerten.“
BÜRGER 1979, S. 103
(WITTMANN 1981/1997, S. 55 (nach WINTER))
»Ich habe durch Ausmessen der Winkel stets eine Summe von rund 180° erhalten.«
»Ich kann immer ein Papierdreieck so falten, dass die drei Innenwinkelfelder sich zu einem gestreckten

Winkelfeld zusammensetzen.«
6
»Ich kann immer die Parallele zu einer Seite durch die gegenüberliegende Ecke zeichnen und durch Vergleich
von Wechselwinkelpaaren den Satz begründen.«
»Die Winkelsumme muss 180° betragen, wenn der Wechs elwinkelsatz an Parallelen gilt.«
»Die Winkelsumme muss 180 ° betragen, wenn die Punk tspiegelung winkeltreu ist.«
Man könnte noch hinzufügen:
(WINTER 1972, S. 72)
»Zeichne ich ein Dreieck rundherum so, dass das Lineal oder Geo-Dreieck nur (verschoben und) immer
nur im Uhrzeigersinn gedreht wird, dann ergeben die Winkel-Drehungen zusammen einen einfachen
Richtungswechsel der Linealkante.« (Das ist im Wesentlichen der sog. THIBAUT-Beweis von 1809; vgl.
auch die Bedenken dazu in LIETZMANN 1912, S. 6 f.)
Angesichts der alten Erfahrungen mit dem Beweisenlehren im realen Unterricht wurde auch
von didaktischer Seite seit Jahrhunderten für eine behutsame, genetische, altersangepasste
Stufung der mathematischen Argumentationsansprüche im Unterricht geworben. Zwölf Jahre
nach seiner Promotion bei HILBERT schrieb Walter LIETZMANN, die „rechte Hand KLEINs in
didaktischen Fragen“, mit Bezug auf die damals aktuellste Axiomatik:
„Das Gesagte wird hinreichen, um zum Schluss zu kommen, dass für die Planimetrie der Schule die
rationale Geometrie nicht in Frage kommt ...
Man beachte, was das für unsere Schulmathematik bedeutet. Sie ist von Anfang an, am Maßstabe der
heutigen Mathematik gemessen, unstreng. Und wer das Wesen der Mathematik in der Strenge ihres
Aufbaues sieht, der muss bekennen, dass unsere Schulmathematik, wenigstens die Geometrie, keine
Mathematik ist. Gott sei Dank hat man aber auch schon vor den modernen Axiomatikern und vor den
modernen Analytikern Mathematik getrieben, und damit schon ist unsere Schulmathematik als Mathematik
gerettet.“ (LIETZMANN 1916, S. 105; vgl. dazu auch den Anfang von LIETZMANN 1912)
Um noch ein neueres Beispiel (von vielen möglichen) zu geben:
„Das Beweisen soll im folgenden nicht nur als »ausgereifte« mathematische Aktivität verstanden, sondern
im Zusammenhang mit anderen, weniger strengen Formen, mit in der Schule möglichen Vorformen,
sowie mit außenmathematischen Formen rationaler Argumentation, gesehen werden. Gegenüber diesen
weniger strengen Formen des Begründens stellen Argumentationen in mathematischem Kontext hochstilisierte
und sehr weitgehend normierte Formen der Argumentation dar.
Aus zwei Gründen erscheint es notwendig, vor- und außenmathematische Formen des Begründens in den
mathematischen Unterricht einzubeziehen.
Zum einen erwächst mathematisches Beweisen aus solchen Vorformen, indem diese zunehmend im Verlauf
mehrerer Schuljahre verfeinert, ausdifferenziert werden; die jeweils erworbenen Begründungsformen
werden einer zunehmend strengeren Analyse unterzogen, als unzureichend [?] erkannt und auf diese
Weise modifiziert.
Zum anderen soll mathematisches Argumentieren als Teil einer allgemeinen Argumentationsfähigkeit angesehen
werden; die strengeren mathematischen Begründungsformen können Rückwirkungen haben auf
Begründungen in außermathematischen Zusammenhängen, sie korrigieren oder Unvollständigkeiten in
einer Argumentation deutlich werden lassen, bzw. umgekehrt können vormathematische und alltägliche
Begründungsformen oder Formen, Zusammenhänge zwischen Dingen in Gedanken herzustellen, in
strengere Begründungen oder gar mathematische Beweise einmünden.“ (BECKER 1980, S. 89 f.)
WINTER hat sich eingehend mit dem delikaten Verhältnis zwischen inner- und außermathematischem
Begründen auseinander gesetzt. Diesbezüglich sei einmal mehr auf seinen Aufsatz
(1983, S. 85-88) verwiesen.
Historisch betrachtet, haben die Schüler selber allen „Strengewellen“ am Ende doch getrotzt.
Man hätte sich die vielen didaktischen Plädoyers für „anschauliches“, „prototypisches“, „generisches“
und „präformales“ Beweisen als „mathematisch seriös“ sparen können, wenn die
Hochschulmathematik mit ihrem Ausbildungs- und Urteilsmonopol in Sachen Wissenschaftlichkeit
im Laufe des 20. Jahrhunderts ebenso von der platonisch-aristotelischen Begrifflichkeit
abgerückt wäre wie die philosophische Erkenntnistheorie.
„Im Folgenden wird gezeigt, dass auch unter Mathematikern der Beweisbegriff zu tief greifenden Fragestel-

7
lungen führt, und dass diese nicht durch rein mathematische Argumentationen, sondern nur durch Übereinkunft
beigelegt werden können. Die Frage, was als Beweis gilt, ist also nicht nur eine mathematische, sondern
auch eine soziologische. Es ist daher die Verantwortung der Lehrer, die Natur des Beweises im jeweiligen
Klassenzimmer mitzubestimmen.“
(DREYFUS 2002, S. 15 f.)
Spätestens seit der grundsätzlichen Wissenschaftskritik von KUHN und LAKATOS hat sich in
der Erkenntnistheorie die Vorstellung verflüchtigt, jede Wissenschaft wisse in ihrer Zeit genau,
was zünftiges Argumentieren heiße, mag es nun je nach Bereichstradition als „Beweisen“,
Erweisen, Belegen, Rechtfertigen, Stützen, Widerlegen o. Ä. bezeichnet werden. Dass
Beweisbegriffe oft nur relationale, soziale, kontextuelle und historische Klarheit besitzen, hatte
für die Wissenschaftstheorie schon Ernst CASSIERER 1910 hinreichend dargelegt. LAKATOS
hat es dann im Anschluss an POPPER und KUHN mit dem Eulerschen Polyedersatz für Mathematiker
durchdekliniert. 9 In KLINE 1980 kann man nachlesen, dass sich die Relativierungen
des mathematischen Wissens auf viele seiner Wurzeln verallgemeinern lassen. HANNA 1997
referiert weitere Relativierungen. In der Regel, so HANNA, würden freilich innermathematische
Grenzfälle und neue Computeraktivitäten gern ins mathematisch Grundsätzliche übertrieben.
10
Man muss die Vorstellungen von „strengem“ Beweisen, die sich in der heutigen Wissenschaftspraxis
eingebürgert haben, gar nicht in Zweifel ziehen, um deren unvermeidliche Einbettung
in ein (historisch gewachsenes) professionelles Problembewusstsein zu Kenntnis zu
nehmen. Für Mathematik in allgemeinbildender Funktion können jedenfalls professionelle
Standards nicht ohne zusätzliche Rechtfertigungen maßgeblich werden. Außerhalb der Scientific
Community muss Mathematisches immer als sowohl gesellschaftlich wie auch subjektiv
konnotiertes Bildungsgut gedacht werden. Dort sind ernsthafte Begriffe seit hundert Jahren
Begriffsfelder mit weit reichenden Querbezügen auf unterschiedlichsten Bewusstheitsstufen,
nicht Erfüllungsmengen von Definitionen im Geiste der aristotelischen Logik. Ohne „Metasprache(n)“,
ohne vor- und übermathematisches Zielbewusstsein und Zielstreben sind keine
Axiomatik, keine Begrifflichkeit und kein Beweisen möglich (auch keine Empirie), das haben
Erkenntnistheoretiker von ARISTOTELES über KANT bis DINGLER und LORENZEN immer neu
erklärt. In JAHNKEs Dissertation von 1978 sind die vielfältigen philosophischepistemologischen
Schwierigkeiten zusammen getragen, in HEINTZ 2000 und ULLMANN 2008
die wissenschaftssoziologischen.
Es macht also auch innerhalb der wissenschaftlichen Praxis nicht ohne soziale Kontextuierungen
und ohne semantisches Urteilsvermögen Sinn, „vom“ (= von dem) Beweisen zu reden.
Demzufolge ist es nur konsequent, wenn für den Schulunterricht höchst unterschiedliche Ansprüche
an „stringentes Argumentieren“ reklamiert werden. Am weitesten hat das wohl Astrid
BECKMANN im Anschluss an HOLLAND begründet und ausgeführt. Hier eine Übersicht von Ihrer
Website (Abruf 23.07.2008):
9 Ob das ein halbwegs typisches Beispiel für mathematische Erkenntnisprozesse ist, kann für unsere weiteren
Überlegungen offen bleiben. (Ich möchte ja mitnichten behaupten, Mathematik sei eine empirische oder quasi-empirische
Wissenschaft.)
10 Daraus dann gleich neue Schul-Curricula für die USA und den Rest der Welt abzuleiten, entspringt leider einer
ebenso modischen wie naiv-mechanistischen Trivialisierung der Wechselwirkungen zwischen Wissenschafts-,
Bildungs- und Gesellschaftspraxis.

8
Mehr oder minder geistreiche Kurzfassungen solcher Kataloge finden sich in diversen amtlichen
Bestimmungen zum KMK-Stichwort „mathematisch Argumentieren“, z. B. im aktuellen
niedersächsischen „Kerncurriculum für Realschulen“. Leider beschränkt sich zu oft die Einsicht,
Beweisansprüche relativieren zu müssen, auf unterrichtsmethodischen Ablasshandel im
platonischen Geiste der Herablassung. Das ist immer dort so, wo sich Mitglieder einer Scientific
Community eines „eigentlichen Beweisstandards“ oder „-ideals“ gewiss sind oder „irgendwie“
zu sein glauben, indem sie die kontextuellen Bindungen schlicht ignorieren. Bei
Frau BECKMANN steht in diesem Geiste – und die bestimmten Artikel sind wohl keine Unachtsamkeit,
wie man etwa bei ihrem Lehrer HOLLAND 1996 deutlich sehen kann:
„Beweisen ist das begründete Folgern auf Grund der Voraussetzungen und bekannter Sätze.“
(http://www.mathematik-unterrichten.de/; Abruf 23.07.2008)
Umgekehrt hat JAHNKE 1978 sehr überzeugende Gründe zusammengetragen, warum wissenschaftliches
Beweisen nicht auf tautologische Theoriesicherung, sondern auf Theorieerweiterung
zielt, in der die Voraussetzungen und bekannten Sätze genetisch „aufgehoben“ (im Sinne
von „besser erklärt“) sind. Und das sollte sich mit einiger Anstrengung vollkommen gleichsinnig
auf das Beweisen im Mathematikunterricht jedweder Reflexionsstufe übertragen lassen.
Bei WINTER, der auch die epistemologische Relativität durchschaut, heißt es zum zweifelhaften
Stichwort „objektives Beweisbedürfnis“ ganz salomonisch:
„Üblicherweise wird in der didaktischen Literatur Beweisbedürfnis definiert als Einsicht des Schülers in die
Notwendigkeit, dass eine mathematische Aussage (auf ‚fachmathematische Art‘) bewiesen werden muss.
Damit ist die Beweisbedürftigkeit vorzugsweise eine kognitive Angelegenheit: Schüler x erkennt, dass die
Aussage y eines Beweises bedarf. Es handelt sich insofern um ein objektives Beweisbedürfnis, als es der
Satz ist [und nicht der Schüler; L. F.], der innerhalb eines bestimmten Kontextes eines Beweises bedarf.“
(WINTER 1983, S. 64)
Was den „bestimmten Kontext“ ausmacht, kann durch ein lokales oder globales System von
angenommenen Basissätzen und -urteilen beschrieben sein:

9
„Wenn wir von einem geometrischen Satz sagen, dass er eines Beweises bedarf, so meinen wir aus mathematischer
Sicht [d. h. hier: aus den Traditionen und Spielregeln der Mathematikerzunft heraus; L. F.], dass
dieser Satz nicht zum Fundament bzw. zu den Axiomen der Geometrie gehört, die letztlich Denkvereinbarungen
sind. Dabei wird stillschweigend vorausgesetzt, dass der betreffende Satz aus diesen Vereinbarungen gefolgert
werden kann. Wir sprechen dann von objektiver Beweisbedürftigkeit.
Für den [heutigen; L. F.] Geometrieunterricht in der Sekundarstufe I spielen indes solche Überlegungen kaum
eine Rolle.“ (KRATZ 1983, S. 81)
Auch in der Sekundarstufe II wird man einer Aussage nur ausnahmsweise Beweisbedürfnis in
diesem strengen Sinne unterstellen. WINTER liefert aber in seinem ganzen Aufsatz von 1993
genug Gründe, das schulische Beweisenlehren auf die unterschiedlichen Problemhorizonte
der Schüler abzustimmen, die sich eben über die ganze Schulzeit entwickeln und auch qualitativ
verändern (man denke nur an die Beobachtungen der VAN HIELEs). Gewöhnlich wird der
fachliche Rahmen eines Argumentationsversuchs heute nicht mehr wie noch bei KRATZ auf
„das Fundament bzw. die Axiome der Geometrie“ bezogen, sondern – im Anschluss an BÜR-
GER – auf eine lokale „Argumentationsbasis“. 11 Ein solcher Bezugsrahmen aus meist nur stillschweigend
vorausgesetzten, aber konsensfähig berufbaren Basissätzen, -urteilen und zulässigen
Schlussweisen wird im Schulrahmen lokal, unvollständig und nicht frei von ad-hoc-
Regeln bleiben, aber er soll von vornherein dem rein Subjektiven gegenüber gestellt werden,
wohl mit sachlichen Gründen modifizierbar, aber nicht abdingbar. 12 Will man die Rede vom
„Beweisbedürfnis einer Behauptung“ (und nicht des Schülers oder Redners) beibehalten, dann
muss sie im Schulrahmen auch mit dem jeweils erreichten Wissens- und Reflexionsstand kontextuiert
werden – auch wenn das explizit nicht geht. 13
Im geistreichen Geometrielehrbuch von DENK/HOFMANN wird schon am Anfang in diese
Richtung erzogen:
11 Vgl. BÜRGER 1979 und FISCHER/MALLE 1985
12 Hier muss auf die Charakterisierung von „präformalen“ Beweisen bei SEMANDINI 1974 und KIRSCH 1979
hingewiesen werden, auch auf die etwas anders gewichteten Ausführungen von WITTMANN/MÜLLER 1988 zu
inhaltlich-anschaulichen Beweisen. In beiden Fällen sollen auch die informellen Argumentationen das Allgemeine
im Besonderen, Prototypischen, nicht-Singulären enthalten,
13 Das bei Anfängern häufige Unbehagen, was denn nun vorausgesetzt werden dürfe, schwindet meist mit einiger
Gewöhnung. Schlimm wird es nur, wenn zu rasch benotet und abgeurteilt wird.

10
Die Liberalisierung schulischer Beweisstandards ist schulisch und erkenntnistheoretisch zeitgemäß,
sollte aber nicht auf das Bemühen um Sachlogik verzichten und Geltungsbindung an
Sachverhalte, überlokale Wirklichkeiten und professionelles Fachwissen anstreben. Manche
hochmodischen Hinweise auf die soziale und/oder subjektive Bedingtheit von Geltungs- und
Wahrheitsurteilen laufen leider Gefahr, der Ermutigung geistiger Kleingärtnerei zu dienen.
(Vgl. das folgende Zitat aus LERGENMÜLLER/SCHMIDT 2001 oder auch KADUNZ/STRÄßER
2007, S. 69-75, 87-94 und 159-176 sowie GRAUMANN u. a. 1996, S. 180-181.)
1.4 Beweisen für alle?
„Aspekt des Begründens und Beweisens:
Dieser Aspekt wird nur noch am Rande von der Hauptschule berührt. Die Schüler sollen durch diesen Aspekt
angeregt werden, Argumentationen zu einem geometrischen Satz zu präzisieren und logische Schlüsse zu
ziehen.
Ein geometrischer Satz enthält eine Voraussetzung und eine Folgerung. Dies ist besonders dann gut zu erkennen,
wenn dieser Satz in eine Wenn-Dann-Form gebracht wird...
Die Umkehrung des geometrischen Satzes (Voraussetzung und Folgerung werden vertauscht) führt entweder
zu einer wahren oder zu einer falschen Aussage...
Der Wahrheitsgehalt von geometrischen Sätzen lässt sich durch Mess-, Falt-, Dreh- und viele andere Aktivitäten
überprüfen.“
LEUTENBAUER 2003, S. 32 f.

11
Demnach haben der heutige Hauptschüler und die heutige Hauptschule kein Beweisbedürfnis
und auch kaum Begründungsbedürfnisse. 14 Wozu dann Geometrieunterricht? Nach einigen
„Aspekten des Geometrieunterrichts“ – a) zeichnerisch-konstruktiver; b) Figurenlehre; c)
räumliches Anschauungs- und Vorstellungsvermögen; d) Messen und Berechnen; e) organischer
Begriffserwerb; f) Aspekte des Begründens und Beweisens (s. Zitat oben); g) Problemlöseübungen;
h) Anwendungen – nennt das Handbuch als „Zielbereiche“:
• Förderung des räumlichen Anschauungsvermögens,
• Förderung des funktionalen Vorstellens und Denkens und Hinführung zum Beweisbedürfnis
(Figuren und Körper sind „nicht starr vorgegeben, sondern sie werden
bewegt und verändert abgebildet. Die Schüler können dadurch Zusammenhänge
und Abhängigkeiten entdecken.“),
• Förderung der zeichnerischen und sprachlichen Ausdrucksfähigkeit und
• Weckung einer ‚geometrischen Neugier‘ an Hand interessanter und merkwürdiger
Problemstellungen.
Anschließend heißt es bei LEUTENBAUER 2003, S. 33:
„Wichtig ist dabei, dass der Lehrer behutsam ohne Gängelung zu einer von den Schülern selbst vollzogenen
Erkenntnisgewinnung führt. Hilfe dabei sind tabellarische Anordnungen.“
Und damit endet dort der Abschnitt „Aufgaben und Ziele des Geometrieunterrichts“.
Grundphilosophie eines solchen Unterrichts ist offenbar die „getarnte Unterweisung“ in Fakten
und Fertigkeiten. Zu Argumentationsbedürfnissen wird nur hingeführt, denn aus wohlfeilen
Gründen will dieser Unterricht gar nicht intellektuell fordern, sondern Vorzufindendes affirmativ,
d. h. bestätigend und beschwichtigend, sichern. Im weiteren nenne ich diese pragmatisch-affirmative
Unterrichtsauffassung kurz „pagUFF“.
Zugegeben, real-existierene Disziplin-, Niveau- und Bewertungsprobleme, Standards und andere
Test-Artefakte, können zur pagUFF (mit mehr oder weniger Tarnungsanteil) zwingen.
Das sei jedem Hauptschullehrer zugestanden. Ich halte es aber für inakzeptabel, Geometrieunterricht
an öffentlichen Sekundarstufen welchen Typs auch immer, von vornherein als pagUFF
zu anzulegen. Die Tugend, Tatsachenbehauptungen sachlich zu begründen, gehört zum
demokratischen Miteinander. Sie kann natürlich nicht durch den Mathematikunterricht allein
anerzogen werden, aber kein Teilgebiet der Sek. I-Mathematik kann so zum begründenden
Argumentieren und vernünftigen Reden anregen wie die Elementargeometrie. Kann, könnte,
sollte, eigentlich... Die Sek.I-Geometrie tut es sicher nicht, wenn die Lehrperson nur pagUFF
will (und kann?).
Ein Großteil des verordneten Geometriestoffs ist überdies „das Pulver nicht wert“, wenn er
nur im Rahmen der pagUFF verabfolgt wird: zahllose Vokabeln und Begriffe, viele Figurentypen,
Zirkel- und Lineal-Konstruktionen, Pythagoras, Berechnungen von Standardwinkeln,
-flächen und -körpern, Problemlöseaktivitäten ... können vergessen werden und werden vergessen,
wenn sie nicht in den aktiven Begriffs- und Wortschatz der Schüler eindringen, d. h.
wenn sie nicht ernsthaft argumentativ genutzt werden. Bedeutung können die geometrischen
Bezeichnungen, Beobachtungen, Entdeckungen, Vermutungen und Praktiken in der pagUFF
nur noch auf einem Wege bekommen: über Anwendungen, die den Lernenden nachhaltig beeindrucken,
die also innerhalb seines aktuellen Horizonts als persönlich nützlich erscheinen,
oder außerhalb dieses Horizonts als „irgendwie attraktiv“ genug. Das geht, solange niemand
14 obwohl solche „wissenschaftsorientierten“ Ansprüche vor fünfzig Jahren im Kern der Begründungen standen,
die zum Ersatz der Volksschule durch Grund- und Hauptschule führten. (Vgl. z.B. MEYER 1969; BAU-
MERT u. a. 1994, Kap. 9-10; DAMEROW 1977; HENNES/SCHMIDT 1982)

12
offen sagt: „Ich will aber nicht Landvermesser werden, und Maurer oder Schreinermeister
auch nicht. Ich würde gern ins Büro, oder in die Verwaltung. Da kommt man nicht so dreckig
und kaputt nach Hause. Aber ich krieg später wohl eh nur Hartz IV.“ Und wenn es nur heimlich
gesagt wird? Umso schlimmer. Wo auch immer der pagUFF unvermeidlich sein mag,
gewollt werden sollte er nicht, weil das hieße, die erzieherische Hoffnung und Legitimation
von vornherein aufgeben.
Man kann über Friedrich DRENCKHAHNs Haltung während der Nazizeit heute urteilen, wie
man mag, 15 er gehörte zweifellos zu den fähigsten Volksschuldidaktikern der Nachkriegszeit.
Ich kenne keine andere Quelle, wo die sonst nur heimlich gehegte und bis heute wohl mehrheitlich
verbreitete Grundhaltung der bundesrepublikanischen Öffentlichkeit so deutlich ausgesprochen
wird:
„Die Volksschule ist für Kinder vom 6. bis zum 14. (15.) Lebensjahr bestimmt. Sie zählt ihre Klassen von unten
nach oben (1 bis 8 [9]) und gliedert sich in Grundschule und Volksschuloberstufe. Ihre Aufgabe ist die Entwicklung
der kindlichen Kräfte und die Vermittlung von grundlegendem Wissen und Können in Verbindung mit
einer Persönlichkeitsentwicklung bis zu dem Grade, dass sich die Jugendlichen bei ihrer Schulentlassung in
bescheidenem Ausmaße dem werktätigen und öffentlichen Leben zuwenden können und dieses mit ihnen fertig
wird. Sie ist die einzige Schulform ohne Positivauslese, d. h., sie hat in der Grundschule alle bildungsfähigen,
körperlich und geistig gesunden Kinder aufzunehmen und in der Oberstufe jene zu behalten, die nicht zu
weiterführenden Schulen übergehen.“
DRENCKHAHN 1958, S. 21 f. (Klammern im Original; kursive Hervorhebung von mir, L. F.)
Nach meiner Erfahrung machen es sich die heutigen Bildungspropheten zu leicht, wenn sie
diese öffentliche Einstellung und den davon hart betroffenen „unteren sozialen Rand“ mit der
Hauptschule abzuschaffen versprechen. Gesamtschulen funktionieren auch nicht ohne materielle
Ausstattung und ohne motiviertes Personal, und sie kaschieren die Probleme oft nur
schlecht und recht, weil sie die voranschreitende soziale Spaltung der Gesellschaft nicht aufheben
können.
Bei allem Respekt vor den Schwierigkeiten der Hauptschule: Ein Geometrieunterricht, der nur
pagUFF will, verdient seine Steuergelder nicht. Natürlich strengt jeder Geometrieunterricht
an, der mehr als pagUFF will. Das ist – je nach Zielansprüchen und auf unterschiedliche Weise
– in jeder Schulform so, und in der Hauptschule gewiss besonders mühsam. Man darf sich
und die Schüler/innen aber – siehe das obige DRENCKMANN-Zitat – von Zeit zu Zeit daran erinnern,
dass öffentliche Schulpflicht und -finanzierung nicht (nur) deswegen eingeführt wurden,
damit die Jugendlichen sich irgendwie entwickeln und irgendwo, irgendwann Spaß haben,
ohne das „wahre“ Wirtschafts- und Gesellschaftsleben zu stören.
Damit soll keineswegs autoritärer Paukunterricht anempfohlen werden, der wäre nicht nur unzeitgemäß
und rechtlich bedenklich, er würde auch das hier gesetzte Ziel torpedieren, Jugendliche
demokratisch zum aufrechten Gang und zur sozialen Empathie zu erziehen. Das zentrale
unterrichtsmethodische und curriculare Problem jedes auf Begründungen, Zusammenhänge
und Wechselbezüge zielenden Geometrieunterrichts in der Sek. I liegt zweifellos in der Frage
„Wie kann im Geometrieunterricht echte Begründungsbereitschaft oder gar Begründungsbedürfnis
erzeugt werden?“ Es muss im Alltag auch dann noch zu Begründungen angehalten
werden, wenn – Motivationstheorie hin, Lehrerversagen her – „die“ oder nicht alle anwesenden
Schüler dazu partout keine Lust haben. Dann bedarf es zusätzlich anderer Unterrichtswege
als Motivieren, Anregen, Anweisen und Prüfen.
Nach HENNES/SCHMIDT 1982, S. 169, besteht jedoch kein Grund zum Defätismus:
„Das folgende thesenartige Fazit ist auch hier als Herausforderung zu weiterem fachdidaktischen Bemühen
anzusehen:
• Die Leistungen von Hauptschülern bzgl. des logischen Schließens dürften nicht so schlecht sein, als dass
15 s. z. B. ULLMANN 2008.

13
es aussichtslos erschiene, sich hier um Verbesserungen zu bemühen. Die Leistungsfähigkeit im Hinblick
auf elementare (aussagen-)logische Schlüsse ist vermutlich nicht schlechter als bei anderen gleichaltrigen
Gruppen.
• Das Niveau der ermittelten Leistungen - sowohl hier als auch in den zitierten Untersuchungen - kann
nicht als befriedigend betrachtet werden. Hierbei ist allerdings zu beachten, dass ein Mathematikunterricht,
der es versäumt, das logische Schließen auf einem breiten Betätigungsfeld explizit zu beachten,
zur Fähigkeit des korrekten logischen Schließens - manch verbreiteten Transferhoffnungen zum Trotz -
wenig oder gar nichts beiträgt (...).
• Die Erwartung, im Mathematikunterricht der Hauptschule (und nicht nur hier!) die Fähigkeit zum logischen
Schließen spürbar zu fördern, dürfte keineswegs unbegründet sein. Auch unter Beibehaltung der »üblichen
Inhalte« erscheint dies realistisch, und zwar bereits dadurch, dass die faktisch ohnehin auftretenden
Schlussweisen bewusst gemacht werden.
Es wird hier nicht dafür plädiert, die Schlussregeln unbedingt zum Gegenstand der unterrichtlichen Betrachtungen
zu machen. Es geht vielmehr darum, diese »im Zusammenhang mit dem Begründen verschiedener
Aussagen oder Verfahrensweisen immanent« zu üben (WALSCH 1975, S. 112). Dann erscheint die Programmatik
von WALSCH ( ... ) auch für den Mathematikunterricht der Hauptschule als eine keineswegs von vornherein illusionäre
Herausforderung.“ (HENNES/SCHMIDT 1982, S. 169; ohne die dort zahlreichen Unterstreichungen)
2. Einige Beweisaktivitäten (Beginn des eigentlichen Vortrags)
2.1 Induktion aus Messungen?
Ein Beispiel aus Unterrichtsbesuchen:
Ref. X teilt ein Arbeitsblatt mit sechs verschiedenen Dreiecken aus. Die Fünftklässler/innen sollen die Innenwinkel
messen und zusammenzählen. Fast alle bekommen 180° heraus. Aber es gibt drei Abweichungen:
178°, 180,5° und 181°. Ref. X fordert zur Diskussio n dieser Resultate auf, lässt dann abstimmen und fügt der
Vereinbarung im rot umrandeten Merkkasten „Wir wollen fortan ... 180°.“ einen fachwissenschaftlichen Se gen
vom Hörensagen hinzu. Auf die anschließende Frage des Besuchers, warum und was die Kinder hier lernen
sollten, antwortet statt des Ref. X sein Fachlehrer-Mentor Y nicht ohne Stolz: „So können wir Zeit sparen und
die wichtigen Winkelaufgaben schon früher rechnen. Das hat sich bei mir immer bewährt.“
Wie ich hörte, haben Kollegen sehr Ähnliches beobachtet und dann die nämliche Erfahrung gemacht
16 : Alle Versuche, die „alle Wirklichkeit“, Wahrnehmung und Denken, normativ strukturierende
Funktion des Winkelsummensatzes (oder des gleichwertigen Parallelenaxioms) zu verteidigen, wurden
als Aufforderung zur Unterwerfung unter unseren didaktischen Geschmack verstanden. Leider gilt:
„Von dem so stark hervorgehobenen epistemologischen Status des Satzes bliebe jedenfalls nichts übrig,
wenn er, wie vielfach üblich, einfach nur durch Messung verifiziert würde.“ (KROLL 1994, S. 94)
Geistreicher als Arbeitsblätter vom o.g. Typ wäre zweifellos eine „induktive“ Einführung ins
Thema durch Nachahmung und -„messung“ der Entfernungsverhältnisse im rechtwinkligen
Halbmonddreieck über der Hypothenuse Erde-Sonne, wie sie ARISTARCH Anfang des dritten
vorchristlichen Jahrhunderts vorgenommen hatte. ARISTARCH fand bei der Sonne 3° statt 10’.
Können’s Schüler besser? (S. z. B. VAN DER WAERDEN 1966, S. 336-339.)
Ganz im Sinne der präformalen Einführung mit prototypischen Aktivitäten und Beispielen
sind die beiden folgenden Ansätze von Könnern formuliert. Erfahrungsgemäß haben Studierende
große Schwierigkeiten, die fundamentalen Unterschiede zwischen der naiven Beispielmesserei
und diesen Erkenntnisanläufen zu sehen:
16 Vgl. etwa WALSCH 1975, S. 125 ff.

16
Es macht keinen pädagogischen und keinen epistemologischen Sinn, die physikalische Wirklichkeit
von der mathematisch korrekt erfundenen zu trennen. Aber es ist eher ein Wechsel-
als Zusammenspiel, denn es ist in der Mathematik nicht anders als in anderen Wissenschaften:
Wo sich theoretische Gewohnheiten und Traditionen eingeschliffen haben, verteidigt man
Theorien notfalls auch gegen die Phänomene (solange es geht, s. KUHN 1999).
„Ob z. B. die Winkelsumme im Dreieck genau zwei Rechte beträgt, kann empirisch niemals festgestellt werden.
Und selbst wenn sich eine Abweichung von zwei Rechten ergäbe, so wäre dieses Ergebnis immer noch
kein Argument gegen die Gültigkeit der euklidischen Geometrie; denn die Winkel müssen ja irgendwie realisiert
sein, z. B. bei einem großen Dreieck durch den Winkel der Lichtstrahlen, mit denen die beiden anderen
Ecken anvisiert werden. Verlaufen aber die Lichtstrahlen geradlinig? Aus einer Abweichung der Winkelsumme
von zwei Rechten könnte nur geschlossen werden, dass die g l e i c h z e i t i g e Annahme der Gültigkeit der
euklidischen Geometrie und der geradlinigen Ausbreitung des Lichtes unmöglich ist.“ (WOLFF 1967, S. 100)
MORMANN 1981 weist wiederholt darauf hin, dass in der Absoluten Geometrie (nach Sätzen
von LEGENDRE 17 ) die Dreieckswinkelsumme stets höchstens 180° beträgt und dass
diese Summe stets genau 180° wäre, sobald man sie für ein Dreieck garantieren könnte.
„Wie würde eine mögliche Widerlegung von ‘Die Winkelsumme im Dreieck beträgt 180°’ aussehen? Wir würden
ein Dreieck finden müssen, seine Winkel messen und herausfinden, dass sie zusammen nicht 180° betr agen.
Nun wird ein Dreieck aus drei einander schneidenden Geraden gebildet. Um ein Dreieck zu finden, hat
man also zuerst drei einander schneidende Geraden zu finden. Schieben wir einmal Bedenken darüber beiseite,
dass geometrische Geraden überhaupt unzugänglich für die Sinne sind. Die Optik lehrt uns, dass das
Licht sich in homogenen Medien auf geraden Linien bewegt. So könnten wir uns also vorstellen, dass wir ein
‘Lichtdreieck’ bilden, etwa dadurch, dass wir drei Blinklichter so anordnen, dass an dem Ort, an dem sich jedes
dieser drei Blinklichter befindet, die anderen beiden sichtbar sind. Wir könnten also an jedem Ort eines
Blinklichts den Winkel zwischen den beiden anderen messen. Wenn wir die Winkel dann addieren, haben wir
die Winkelsumme unseres ‘Lichtdreiecks’. Nehmen wir an, diese Summe betrage 190°. Haben wir uns hier
eingebildet, unsere geometrische Aussage widerlegt zu haben?
Natürlich nicht. Wir würden sagen, unsere Messung müsse falsch gewesen sein, oder das Medium, durch das
sich die Lichtstrahlen unserer Blinklichter bewegt haben, sei keineswegs homogen gewesen. Und wenn beides
nicht funktionieren würde, wären wir genötigt, der geometrischen Optik die Schuld zu geben und zu sagen,
dass Licht sich in homogenen Medien nicht immer in geraden Linien bewegt. Was wir aber niemals tun
würden, wäre der Geometrie die Schuld zu geben...
Aber warum? Die Antwort ist in aller Kürze, dass wir Euklid nicht nur in der Optik, sondern allgemein in den
Wissenschaften benötigen, ganz zu schweigen vom Alltagsleben. Euklid aufzugeben, würde bedeuten, unser
ganzes Wissen in Verwirrung zu stürzen, dadurch, dass wir keine Geometrie mehr hätten. Im Gegensatz dazu
würden wir, wenn wir die Idee aufgäben, dass sich Licht in geraden Linien bewegt, nur unsere Optik zu modifizieren
haben. Das würde zwar bedenklich sein, aber keine Katastrophe. Es ist also, wie unser kleines Argument
zeigt, logisch möglich, Euklid die Schuld zu geben, aber es ist tatsächlich praktisch nicht möglich. Man
könnte sagen, Euklid sei praktisch unwiderlegbar oder praktisch a priori.“ (MUSGRAVE 1993, S. 192 f.)
17 S. z. B. ALEXANDROFF U. A. 1971, S. 390-397.
DRENCKHAHN 1935, S. 38.

17
Um 1827 hat bekanntlich GAUß im Rahmen der „Hannoverschen Landesvermessung“ die
Winkelsumme im Dreieck Inselsberg, Brocken und Hohehagen nachmessen lassen. Er erhielt
180°15“ – was im Rahmen der Messgenauigkeit leider nicht als Falsifikation gelten konnte.
(Abb. aus REIDT/WOLFF/ATHEN 1965, S. 326; Näheres zur Gaußschen Messung in FÜHRER
1997, S. 262 f.)
In FÜHRER/GEY/WESTERMANN 1984 (S. 47 f.) habe ich eine Unterrichtsstunde mit Siebentklässlern
geschildert, in der ausgehend von einer Wiederholung von THIBAUTS Beweis die
(globale) Messproblematik ernsthaft aufgeworfen wurde (vgl. zu diesem Beispiel auch die
Ausführungen in LIETZMANN 1912, S. 6 f.).
Dass jede ernsthafte Messkritik heikel ist und dass sie alle mühsam aufgebauten „Beweisbedürfnisse“
auf eine harte Probe stellt, darf nicht als Ausflucht genommen werden, intellektuell
redliche Verbindungen zwischen Anschauungsraum und euklidischer Geometrie zu suchen, z.
B. nach dem Vorbild von BENDER/SCHREIBER 1985. Ein Absondern der „wahren Geometrie
der geistigen Formen“ ist spätestens seit der Relativitätstheorie unzeitgemäß. Um auch dazu
ein Beispiel zu nennen, gewissermaßen ein hochkarätiges Pendant zur naiven Messerei: Im
Anhang von FÜHRER 1997 (S. 224-230) ist ein Ausschnitt aus WAGENSCHEINs berühmter
Schilderung von 1974 abgedruckt, die ich im selben Buch sehr kritisch analysiert habe (S. 95-
98). Sie bildet gewissermaßen ein reformpädagogisch-sokratisches Gegenstück mit klassizistischer
Hintergrundideologie, wie sie ULLMANN 2008 geißelt. Es ist also gar nicht so weltfremd,
wenn Schüler – wie Lehrer und Unterrichtsforscher immer wieder berichten – gleichzeitig
einen Beweis für überzeugend erklären und dann im nächsten konkreten Fall lieber
noch einmal nachmessen und -rechnen möchten.

2.2 Eigenmann-Aufgaben
Einführende Übungen:
Aus einer Übung zur Didaktik der Geometrie:
18
a) Einige Ihrer Schüler bekommen für Aufgabe 1 in einer Stillarbeit ebenfalls 23° heraus, andere 22°, 22, 5°,
23,7° und manche sogar 12°. Was tun Sie als Lehrer?
b) Lösen Sie gemäß Verabredung in Ihrer Übungsgruppe eine der anderen Aufgaben sowohl „rechnerisch“
als auch „zeichnerisch“ – jeweils mit einer Skizzenfolge.

19
c) Lehrerin Lidl führt mithilfe solcher Skizzenfolgen für Eigenmann-Aufgaben in das Pflichtthema „Konstruieren“
ein, Lehrer Aldi bevorzugt für seinen Unterricht die altbewährte „Türklinkendidaktik“, d. h., er holt beim
Drücken der Türklinke zum Klassenraum sein Schulbuch mit Lösungseinträgen heraus, lässt am Stundenbeginn
„Hausaufgaben vergleichen“, fragt nach Unklarheiten und überfliegt inzwischen die nächste Lehrbuchseite
für den anschließenden Stundeneinstieg. Welche Vor- und Nachteile hat jede der beiden Methoden?
Stichworte zur Nutzung im Unterricht 18 :
• Lösungscomics (zunächst nur abzeichnen; später von Schülern mit Hilfsmodulen = Makros abgekürzt)
• zeichnerische oder rechnerische Lösung (zunächst) frei
• verdeckter Lösungsanschrieb
• approximative Aufgaben und Lösungen („Wie gut ist ...?“)
• Lösungsvarianten (auch unvollständige oder falsche Lösungsvorlagen)
• unterbestimmte Aufgaben (funktionale Kinematisierung; früher: Determination)
• überbestimmte Aufgaben („Warum geht es nie?“)
• schrittweise explizitere Heuristik („Was ist der Trick beim Lösen?“ z. B. Hilfslinien zwischen
prominenten, aber noch unverbundenen Punkten, Vergleich mit bekannten Aufgaben/Sätzen,
Symmetriesierung ...; POLYA )
2.3 Satzheuristik: Archimedes’ Winkeldreiteilung
Die berühmte Einschiebekonstruktion für die Winkeldreiteilung, die nach arabischen Quellen
Archimedes zugeschrieben wird (SCHNEIDER 1979, S. 165), ist von BREIDENBACH 1933 in einen
organischen Zusammenhang mit vielen anderen solchen Konstruktionen gestellt worden.
Leider ist dieser frei rekonstruierte Zusammenhang recht anspruchsvoll und kaum schulgeeignet.
Im Vortrag wird ein sehr viel einfacherer heuristischer Zugang vorgestellt.
18 Frei nach FÜHRER 1997, S. 69.
Grafik teilweise aus WIKIPEDIA

20
2.4 Satzheuristik: Freudenthals Taschentuch
Es gibt viele genetische Beweisrekonstruktionen für den pythagoreischen Lehrsatz – wenn
man ihn schon kennt. Gibt es solche Wege auch für die Behauptung des Satzes selbst?
Eine genetische Rekonstruktion der Satzfindung aus Flechtwerken findet sich im Buch von
GERDES 1990. Leider kann sie m. E. kaum anders in den Unterricht gebracht werden als berichtend
– und würde zum Beweisen- und Vermutenlernen nicht viel beitragen können. Wir
stellen daher noch drei andere, vermutlich weniger bekannte Versuche vor:
A. WYSS u. a. 1978, S. 66
Aus einer Übung zur Didaktik der Geometrie, die an WYSS’ Abbildungsfolge anknüpfte:
a) Denken Sie sich für den Anfang eines „dynamischen Arbeitsblattes“, den Sie auf der Veranstaltungs-
Homepage finden, einen sinnvollen Übungsauftrag für Schüler einer 9. Realschulklasse aus. (Hinweis: das
Blatt läuft nur „dynamisch“ im Internet-Explorer. Wenn Sie Firefox o. Ä. benutzen, können Sie für IE-
Ansichten den IE-Tab installieren, s. http://www.erweiterungen.de/detail/IE_Tab/ .)
b) Wie kann man aus der Figurenschar einen strengen Beweis bekommen?
c) Bekanntlich kann man den Kreisradius genau sechsmal außen herum „abzirkeln“. Das gibt – Vorsicht: leider
nur bei sorgfältigster Ausführung – ein schönes Blumenmuster. Mit dieser Kreisteilung bekommt man
natürlich auch ein gutes gleichseitiges Dreieck mit aufgesetzten „Bogen-Sehnen-Zweiecken“.
Kann man die oben zitierte Bewegungsidee
zu einem „pythagoreischen Lehrsatz für Bogen-Sehnen-Zweiecke“ ausbauen
(kürzer: ... zu einem „Satz von Wilhelm Tell“)? Versuchen Sie
eine druckreife Formulierung und einen Beweis zu geben.
Eine Standardtechnik zur Beweis- und Satzfindung ist die Variation
von Spezialfällen; wir kommen darauf noch allgemeiner im
dritten Kapitel zurück. Rechts ein arithmetischer Zugang zum
Pythagorassatz. Man variiere die Leiterstellung und messe nach,
welche Achsenabschnitte zu jedem Stellungswinkel α gehören –
oder welche Leiterlängen zu welchen Achsenabschnitten. (Das
liefert mit angenäherten pythagoreischen Tripeln erst eine numerische
Satzidee, dann eine geometrische Umdeutung zwecks Begründungsversuch.)
α

21
In FREUDENTHAL 1979 (S. 187 f.) heißt es in Bezug auf SOKRATES’ Lehrstunde für MENON:
„Ich habe diese Sokratische Stunde zahllose Male wiederholt. Mit Variationen, und kürzlich ist mir die beste
gelungen. Ein Quadrat – ein Taschentuch, auf dem Tisch ausgebreitet – durch Falten halbieren. Es gelingt,
fast ohne Hilfe, mit 7-8jährigen. Das Halbieren ist leichter als das Verdoppeln, da es innerhalb der Figur stattfindet;
nachher geht es auch mit dem Verdoppeln einfach. Das Kind faltet natürlich erst seitenparallel. Nein,
das ist ein Rechteck. Dann von allen Seiten zugleich einen Streifen, aber das ist ungenau. Und nach einigem
Zögern schlägt es die Ecken des Taschentuchs zur Mitte. Das ist das halbe Quadrat. Warum? Man sieht es,
ad oculos demonstriert, auch wenn es nur das geistige Auge ist.“
Wenn FREUDENTHALs Argument für innere Teilquadrate stimmt, dann sollte es auch mit der
Aufforderung, ein Dreiviertel-Quadrat zu erzeugen Erleuchtungen geben:
Leider ist das Quadrat rechts zu klein. Es fehlen die unschraffierten schmalen Dreiecke. Zusammen
machen die immerhin 4 Zweiunddreißigstel des Anfangsquadrates aus. Aber dagegen
kann man sich etwas überlegen ...
2.5 Genese eines Sätzchens über Korbbögen
Korbbögen sind ein höchst beziehungsreiches Thema, um auch erwachsenen Studierenden
suggestiv klarzumachen, dass Geometrieunterricht Sehen lehrt, übt und verändert. 19 Nachdem
ich auf der Bendorfer Tagung des AK Geometrie in einem schönen Vortrag von Eberhard
SCHRÖDER über Korbbögen dessen beiläufige Bemerkung angezweifelt hatte, zweiteilige
Korbbögen in einem
Rechteck „müssten“ oder
„würden stets“ mittels
der Inkreismitte eines
Diagonaldreiecks
konstruiert, hat mich das
Thema immer wieder
fasziniert.
Im Vortrag möchte ich
darüber berichten, welch
mühsamer Weg mich zu
dem 20 Sätzchen rechts
geführt hat.
19 Auf der Homepage von Herrn WALSER (http://www.math.unibas.ch/~walser/ ) findet man sehr viel dazu. Unter
http://www.juergen-roth.de/einparken/index.html kann man überraschend reichhaltige Bezüge zum Thema
Einparken studieren.
20 von der Behauptung her leicht zu beweisenden ...

2.6 Vierecksmitten (nach FÜHRER 1985/2005)
22

2.7 Eine Satzfindungsstrategie
Zitate aus der Methodenschrift von Archimedes (Werke, S. 382 ff,.).
2.8 Wie gut ist die Feldmesserregel?
23
Untersuchung der Feldmesserregel für Rechtecksflächen. (Zitate aus FÜHRER 1997a und
MORMANN 1981)
2.9 Wie gut kann man wissen, wie ... ?
Das Volumen des Berliner Fernsehturms – samt Erfahrungen mit dieser Aufgabe...
3. Sätze erfinden lehren?
Anfänge eines Katalogs heuristischer Satzfindungsstrategien...
4. Statt eines Fazits
„Wenn ich an einem Problemfeld interessiert bin, dann versuche ich einfach, es zu verstehen. Ich denke
längere Zeit darüber nach und versuche, tiefer und tiefer zu bohren. Wenn ich ein gewisses Verständnis
erreicht habe, weiß ich was richtig ist und was nicht.
Natürlich ist es auch möglich, dass man sich täuscht, dass man nur glaubt, es verstanden zu haben,
und dann stellt sich hinterher heraus, dass man im Irrtum war. Aber im allgemeinen bekommt man ein
Gefühl dafür, was los ist und welche Beziehungen gelten sollten, sobald man wirklich fühlt, dass man
etwas verstanden hat, weil man durch zahlreiche Beispiele und durch Querbezüge genügend Erfahrung
mit diesem bestimmten Problemfeld hat. Dann erst stellt sich die Frage: Wie beweist man es?
Das kann lange dauern.... Ich schätze die Bedeutung von Beweisen nicht so hoch ein. Ich glaube, es
ist wichtiger, etwas zu verstehen ...“
(ATIYAH 1984, S. 16f; Übers. leicht modifiziert nach WITTMANN/MÜLLER 1988, S. 252).

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