Pivotsuche und Fehleranalyse

Pivotsuche 

Fehleranalyse 

Pivotsuche und Fehleranalyse 

Zeliha Kaya-Güngör 

06.05.11 

Zeliha Kaya-Güngör Pivotsuche und Fehleranalyse

Inhaltsverzeichnis 

1 Pivotsuche 

Wozu Pivotsuche? 

Permutation 

Partielle Pivotsuche 

Totale Pivotsuche 



2 Fehleranalyse 

Kondition und Rundungsfehler 

Residuum 

Rundungsfehlereinfluss 






Permutation 



Gauß’sche Eliminationsverfahren sind im Allgemeinen nicht 

ohne Zeilenvertauschungen durchführbar 

LR-Zerlegung: 

Mit Pivotsuche setzen sich die Dreiecksmatrizen L und R aus 

kleineren Elementen zusammen 






Permutation 



Es existieren mehrere Pivotsuche-Strategien.Wir konzentrieren uns 

auf 

partielle Pivotsuche 

totale Pivotsuche 


Permutation 




Permutation 



Die Stabilisierung der Gauß-Elimination wird durch 

Bewegungen von Daten erreicht, wie den Austausch von zwei 

Matrixzeilen 

Eine Permutationsmatrix entspricht der Einheitsmatrix mit 

umgeordneten Zeilen, 

z.B.: 

⎡ 

0 0 0 

⎤ 

1 

⎢ 

P = ⎢1 

⎣0 

0 

0 

0 

1 

0 ⎥ 

0⎦ 

0 1 0 0 


Permutation 




Permutation 



Eine n × n Permutationsmatrix sollte niemals explizit gespeichert 

werden 

Eine Möglichkeit: p(4 1 3 2) 

oder auch p(2 4 3 1) 


Permutation 




Permutation 



P sei eine n × n Permutationsmatrix und A eine beliebige n × n 

Matrix: 

PA führt zu Zeilenvertauschungen von A 

AP führt zu Spaltenvertauschungen von A 

Permutationsmatrizen sind orthogonal 

Es gilt: P −1 = P T 

Ein Produkt von Permutationsmatrizen ist eine 

Permutationsmatrix 


Austausch-Permutation 




Permutation 



Austausch-Permutationen: 

Diese sind Permutationen erhalten durch lediglich zwei 

Zeilenvertauschungen der Einheitsmatrix 

EA vertauscht zwei Zeilen von A 

AE vertauscht zwei Spalten von A 

Wenn P = En...E1 und jedes Ek bis auf die Zeile k und p(k), 

die vertauscht werden, der Einheitsmatrix entspricht, dann ist 

p(1 : n) ein nützlicher kodierenden Vektor 





Oder auch Spaltenpivotsuche genannt 


Permutation 



Bei der Durchführung der LR-Zerlegung können Null-Pivots 

oder sehr kleine Pivots auftauchen 

Dieses Problem wird duch partielle Pivotsuche umgangen 

In jeder Spalte wird das betragsmäßig größte Element in die 

Diagolposition durch Zeilenvertauschungen gebracht 






Permutation 



Die partielle Pivotsuche hat zur Folge, dass kein Multiplikator 

größer als 1 im absoluten Wert ist, weil folgendes gilt 

|(EkMk−1...M1E1A)kk| = max|(EkMk−1...M1E1A)ik| 

wobei k ≤ i ≤ n 


Algorithmus 



G.E mit partieller Pivotsuche: 


Permutation 



Wenn A ∈ R n×n , dann berechnet der folgende Algorithmus die 

Gauß-Eliminationen M1, ..., Mn−1 und die 

Austausch-Permutation E1, ..., En, so dass 

Mn−1En−1....M1E1A = R eine obere Dreiecksmatrix ist 

A(1 : k, k) wird überschrieben mit R(1 : k, k), k = 1 : n 

A(k + 1 : n, k) wird überschrieben mit 

−Mk(k + 1 : n, k), k = 1 : n − 1 

der ganzzahlige Vektor piv(1 : n − 1) bestimmt die 

Austausch-Permution 

Ek vertauscht die Zeile k und piv(k), k = 1 : n − 1 





Permutation 



Aufwand mit partieller Pivotsuche ist aus der Sicht der 

Gleitkommaarithmetik minimal 

Es sind nur O(n 2 ) Vergleiche mit der Suche des Pivots 

verbunden 

Der allgemeine Algorithmus beinhaltet 2n 3 /3 Operationen 





Permutation 



Um nun das lineare Gleichungssystem Ax = LRx = b nach dem 

Aufruf des Algorithmus zu lösen 

berechnen wir y = Mn−1En−1...M1E1b 

lösen das obere Dreieckssystem Rx = y 

und lösen anschließend das untere Dreieckssystem Ly = b 






Permutation 



In der partiellen Pivotsuche wird der kte Pivot bestimmt unter 

Scannen der Teilspalte A(k : n, k) 

In der totalen Pivotsuche wird der größte Eintrag der 

Teilmatrix A(k : n, k : n) in die Position (k, k) permutiert. 






Permutation 



Es wird das obere Dreieckssystem 

Mn−1En−1...M1E1AF1...Fn−1 = R berechnet, mit der Eigenschaft, 

dass wir in Schritt k mit der Matrix 

A k−1 = Mk−1Ek−1...M1E1AF1...Fk−1 konfrontiert werden 

und für die Austausch-Permutationen Ek und Fk gilt 

|(EkA k−1 Fk)kk| = max|(EkA k−1 Fk)ij| 

k ≤ i ≤ n 

Ek ist die Austausch-Permutation in den Zeilen und Fk die 

Austausch-Permutation in den Spalten 


Algorithmus 



G.E mit kompletter Pivotsuche 


Permutation 



Der Algorithmus bestimmt die komplette 

Pivotierungs-Faktorzerlegung PAQ = LR, wobei L eine untere 

Dreiecksmatrix und R eine obere Dreiecksmatrix ist. 

P = En−1...E1 und Q = F1...Fn−1 sind Produkte von 

Austausch-Permutationen 

A(1 : k, k) wird überschrieben mit R(1 : k, k) , k = 1 : n. 

A(k + 1 : n, k) wird überschrieben mit L(k + 1 : n, k), 

k = 1 : n − 1 


Bemerkung 




Permutation 



Gauß-Elimination auch für die Bestimmung der Determinante 

geeignet 

Angenommen Rang(A) = r < n 

Daraus folgt, dass wir am Anfang des Schrittes k + 1 haben : 

A(r + 1 : n, r + 1 : n) = 0 

Dies impliziert, dass Ek = Fk = Mk = I für k = r + 1 : n und 

der Algorithmus nach dem Schritt r mit der folgenden 

Faktorisierung beendet werden kann: 

� � � � 

L11 0 R11 R12 

PAQ = LR = 

0 0 

L21 In−r 


Bemerkung 




Permutation 



Totale Pivotsuche ist aufwändiger als partielle Pivotsuche, da 

die Suche auf jeder Stufe zweidimensional ist 






Residuum 


Wir vergleichen x in Ax = b mit dem gestörten Problem 

(A + ∆A)(x + ∆x) = b + ∆b 

Schranke für die Änderung der Lösung abhängig von den 

Störungen ∆A und ∆b: 

�∆x� ≤ 

�A−1� 1 − �A−1 (�∆b� + �∆A� · �x�) 

� · �∆A� 






Residuum 


Konditionszahl κ(A) ≥ 1 gibt den Verstärkungsfaktor an, mit dem 

sich die Änderungen in den Daten auf die Änderung der Lösung 

auswirken 

Schranke für die Änderung der Lösung mit: 

κ(A) = �A� · �A −1 � 

Es gilt �∆A� ≤ u�A� und �∆b� ≤ u�b�, so dass wir erhalten: 

� � 

�∆x� uκ(A) �b� 

uκ(A) 

≤ + 1 ≤ 2 · 

�x� 1 − uκ(A) �A� · �x� 1 − uκ(A) 

Der Anwender muss die Datenunsicherheit und die 

Konditionszahl abschätzen und dann entscheiden, ob κu

Residuum 




Residuum 


Zu einer Näherung ˜x der Lösung x definiert man das Residuum 

bzw den Rest: 

r := b − A˜x 

Qualität von ˜x, wenn man r kennt: 

Es gilt die Abschätzung 

�x − ˜x� ≤ κ(A) �r� 

�A� 

die direkt aus x − ˜x = A −1 r folgt 

A normiert, d.h �A� = 1 

Dann sagt der Faktor κ(A) aus, inwiefern man vom Residuum 

r auf die Lösungsgüte rückschließen kann. 






Residuum 


Sei A = LR die exakte Lösung (ohne Pivotsuche) 

Stattdessen erhält man die Zerlegungen ˜ L und ˜ R 

numerische Lösung ˜x ist exakt zu den Daten bzw. der 

Koeffiziendenmatrix Ã und der rechten Seite 

Ã˜x = b 






Residuum 


Für die geänderte Koeffizientenmatrix Ã gilt dabei die 

Abschätzung: 

|Ã − A| ≤ |˜L||˜R|(3u + u 2 ) 






Residuum 


Schranke reicht nicht aus, um die Gaußelimination als 

numerisch stabilen Prozess zu bezeichnen 

Dafür bräuchte man die Eigenschaft 

Es gibt aber Zerlegungen mit 

|˜L||˜R| ≈ |A| 

|˜L||˜R| >> |˜L˜R| ≈ |LR| = |A| 






Residuum 


Das Ziel der Pivotsuche muss es also sein, eine Zerlegung zu 

bestimmen, bei der das Produkt |˜L||˜R| möglichst klein wird 

Partielle Pivotsuche garantiert lij ≤ 1, für rij gilt die Schranke 

|rij| ≤ 2 n−1 a0, a0 = max|aij|, 1 ≤ i, j ≤ n 

Mit totaler Pivotsuche sind die Schranken etwas besser 

definiert 


Bemerkung 



Bemerkung zur Gaußelimination 


Residuum 


G.E und LR-Zerlegungen sind auch unter dem Einfluss der 

Rundungsfehler identische Verfahren 

Sie liefern ein kleines Residuum r = A˜x − b, das aber im 

Allgemeinen keine Rückschlüsse auf �˜x − x� zulässt. 


Quellen 




Residuum 


Matrix Computation, Gene H. Golub und Charles F. Van 

Loan, 1989 

Numerical Linear Algebra, Lloyd N. Trefethen und David Bau, 

1997 

wikipedia.de 


Vielen Dank für die Aufmerksamkeit !!!

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