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HSLU T&A, Horw Ing-Tool/ „Matrizen“ 

7 Anhang: Tools 

7.1 Einbettung in die Matrizenrechnung 

7.1.1 Erste Aufgaben zur Matrizenrechnung 

1. Aufgabe: Definieren Sie die Matrizen A = 

� 

� 

� 

� 

1 0 -2 

-3 5 1 

4 2 -1 

� Josef Schuler, j.schuler@bluewin.ch Seite 39 von 48 V 1.2 HS08/09 

� 

� 

� 

� 

und B = 

2. Aufgabe: Matrizen addieren und subtrahieren A + B und A – B 

3. Aufgabe: Multiplizieren mit einer Zahl (Skalar) 3*A 

4. Aufgabe: Matrizenmultiplikation A*B 

5. Aufgabe: Transponieren und addieren Sie Q := A + A T 

6. Aufgabe: Definieren Sie die Diagonalmatrix W = 

7. Aufgabe: Eine Einheitsmatrix vom Typ 4x4 definieren 

8. Aufgabe: Berechnen Sie die Matrix R = W + 3* E 

9. Aufgabe: Bestimmen Sie den Rang der Matrix A 

10. Aufgabe: Bestimmen Sie die Inverse der Matrix A 

11. Aufgabe: Bestimmen Sie die Determinante der Matrix A 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

4 0 0 0 

0 7 0 0 

0 0 4 0 

0 0 0 2 

3 1 5 

2 0 -1 

3 4 1 

12. Aufgabe: Bestimmen Sie das charakteristische Polynom, die Eigenwerte und Eigenvektoren 

der Matrix A (siehe Skript über Eigenvektoren) 

Ein weiteres Beispiel für Aufgabe 12: �� 1 

2� 

R � �� 

�0 

3� 

13. Aufgabe: Berechnen Sie die Aufgaben aus Kapitel 3 mit Maple resp. MatLab durch. 

14. Aufgabe: Berechnen Sie die Aufgaben aus Kapitel 7.1.2 mit Maple resp. MatLab durch. 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

�


7.1.2 Übungen zu den Gleichungssystemen 

Aufgabe 7.1: Lösen Sie das Gleichungssystem A X = B mit MAPLE, indem Sie die Matrizengleichung 

auf X auflösen und die entsprechenden Matrizenmultiplikationen 

mit Maple durchführen. 

� 

� 

� 

x1 + 2x2 + 3x3 = 4 

� 

2 x1 + 3x2 + 4x3 = 5 

4x 1 + 2x 2 + 5x 3 = 1 

� 

� 

oder A X = B mit A = 


� 

� 

� 

� 

1 2 3 

2 3 4 

4 2 5 

� 

� 

� 

� 

; B = 

Aufgabe 7.2: Lösen nun das Gleichungssystem A X = B mit MAPLE, indem Sie dem Befehl 

LinearSolve(A,b) arbeiten. 

Aufgabe 7.3: Lösen Sie die linearen Gleichungssysteme in Kap. 5 Maple und dem Befehl 

LinearSolve(A,b). 

Aufgabe 7.4: Wir haben ein Gleichungssystem 

a) Bestimmen Sie die Lösung. 

� 

� 

� 

� 

10x + 5.000y + 3.0z = 1� 

5x + 2.495y + 4.5z = 0� 

� 

. 

15x + 7.494y + 7.5z = 0� 

b) Die Zahl von a32 = 7.494 wurde falsch abgeschrieben. Richtig wäre 7.493. Bestimmen 

Sie die Lösung mit der neuen Zahl. Immerhin hat sich der Wert der Elements a32 um fast 

ein Promille geändert. 

c) Leider war die Zahl nochmals falsch, es sollte nicht a32 = 7.493, sondern a32 = 7.495 heissen. 

Bestimmen Sie die Lösung nochmals. 

Aufgabe 7.5: Welches der folgenden Gleichungssysteme hat eine nicht triviale Lösung? 

Triviale Lösungen sind x = 0, y = 0, z = 0. 

a) 

x + 3y - 2 z = 0 

x - 8 y + 8 z = 0 

3 x - 2 y + 4 z = 0 

b) 

x + 3 y - 2 z = 0 

x - 3 y + z = 0 

3 x - 2 y - 2 z = 0 

�4� 

�5� 

� � 

�1�


7.1.3 Schlecht konditionierte Gleichungssysteme 

Wenn die Determinante bei einem Gleichungssystem nicht Null, aber sehr klein ist, verglichen 

mit z.B. den Koeffizienten der Matrix, so muss mit grösseren Fehlern gerechnet werden. Kleine 

Änderungen bei den Koeffizienten können grosse Veränderungen in den Ergebnissen nach 

sich ziehen. Rundungsfehler können grosse Auswirkungen haben. 

Man nennt solche Gleichungssysteme "schlecht determiniert" oder "instabil" oder "illconditioned". 

Beispiel: 

Aufgabe 7.6: 

� 

� 

� 

� 

x + 2.01y + 3.00z = 6.99� 

4x + 5.00y + 5.99z = 15.975� 

� 

3.5x + 4.00y + 4.50z = 12.5� 

a) Bestimmen Sie die Lösung mit Maple (Rechengenauigkeit: 12 Gleitkommastellen) ergibt 

x = y = z = 

b) Jetzt ändern wir im ursprünglichen System die letzte Konstante geringfügig um 0,01, d.h. 

wir betrachten das System 

� 

� 

� 

� 

Wir finden die Lösungen 

x + 2.01y + 3.00z = 6.99� 

4x + 5.00y + 5.99z = 15.975� 

� 

3.5x + 4.00y + 4.50z = 12.51� 

x = y = z = 

Die Lösungen haben sich völlig verändert. 

In der Praxis hat man oft Gleichungssysteme zu lösen, deren Koeffizienten und Konstanten 

aus Messungen stammen und daher mit Fehlern behaftet sind. Ist das Gleichungssystem instabil, 

dann können geringfügige Messfehler die berechneten Ergebnisse unbrauchbar machen. 

� Josef Schuler, j.schuler@bluewin.ch Seite 41 von 48 V 1.2 HS08/09


7.2 Maple 

In Maple gibt es zwei Packages für die Matrizenrechnung, das alte linalg und das neuere LinearAlgebra. 

Die Befehle mit dem alten Package werden der Vollständigkeitshalber aufgelistet, 

aber nicht tiefer behandelt. 

Sie können wie immer mit der Palette arbeiten. Insbesondere auch bei der Definition einer 

Matrix. Aufpassen muss man, wenn man die Matrizenmultiplikation mit der Palette durchführt 

(korrekte Wahl des Multiplikationszeichens). 

Beachten Sie, dass zu Beginn und nach jedem „restart“ das Package neu geladen werden 

muss. 

7.2.1 Befehle mit Package „linalg“ 

� with(linalg): 

� 

� 

� 

� 

1 0 -2 

-3 5 1 


4 2 -1 

> A := matrix([[1, 0, –2], [–3, 5, 1], [4, 2, –1]]; 

2. Aufgabe: Matrizen addieren und subtrahieren 

> Cadd := evalm(A + B) oder > Csub := evalm(A – B) 

3. Aufgabe: Multiplizieren mit einer Zahl (Skalar) 

> CmalS := evalm(3*A); 

4. Aufgabe: Matrizenmultiplikation 

> Cmul := multiply(A, B); oder 

> Cmul := evalm(A &* B) 

5. Aufgabe: Transponieren 

> transpose (A); 


diag. Lernen Sie die Helpfunktion kennen: Mit 

> ?diag 

wird der Befehl erklärt. 


� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

und B = 

� 

� 

� 

� 

4 0 0 0 

0 7 0 0 

0 0 4 0 

0 0 0 2 

3 1 5 

2 0 -1 

3 4 1 

7. Aufgabe: Eine Einheitsmatrix vom Typ 4x4 definieren und danach ausdrucken 

> E:= array(identity, 1 .. 4, 1 .. 4) 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

mit der Instruktion


7.2.2 Befehle mit Package „LinearAlgebra“ 

� with(Linear Algebra): 

� 

� 

� 

� 

1 0 -2 

-3 5 1 


4 2 -1 

> A := Matrix([[1, 0, –2], [–3, 5, 1], [4, 2, –1]]; 


� 

� 

� 

� 

und B = 

� 

� 

� 

� 

3 1 5 

2 0 -1 

3 4 1 

Bemerkung: Mit der Option shape (constant[3], identity, diagonal,…) erzeugt man spezielle 

Matrizen. 


> Cadd := (A + B) oder > Csub := (A – B) 


> CmalS := evalm(3*A); 


> Cmul := (A�B); 

5. Aufgabe: Transponieren 

> Transpose (A); 


Siehe Aufgabe 1. 

� 

� 

� 

4 0 0 0 

0 7 0 0 

0 0 4 0 

0 0 0 2 

7. Aufgabe: Eine Einheitsmatrix vom Typ 4x4 definieren und danach ausdrucken 

Siehe Aufgabe 1. 


> Rank (A); 


> MatrixInverse (A); 


> Determinant (A); 



> Eigenvalues (A) resp. Eigenvalues (A, output=list) 

> Eigenvectors (A) resp. Eigenvectors (A, output=list) 

> CharachteristicPolynomial(A, lambda) 

13. & 14. Aufgabe: Berechnen Sie die Aufgaben aus Kapitel 3 & 7.1.2 mit Maple durch. 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

�


7.3 Matlab 


>>A=[1 0 -2; -3 5 1; 4 2 -1] 

>>B=[3 1 5; 2 0 -1; 3 4 1] 

� 

� 

� 

� 

1 0 -2 

-3 5 1 

4 2 -1 


� 

� 

� 

� 

und B = 

� 

� 

� 

� 

3 1 5 

2 0 -1 

3 4 1 

Bemerkungen: 

1. Mit dem Befehl diag(v) wird eine Diagonalmatrix mit den Elementen in v erzeugt. 

2. Mit dem Befehl eye (n) wird eine (n x n)-Diagonalmatrix erzeugt. 

3. Mit dem Befehl ones (n, m) wird eine (n x m)-Matrix erzeugt, die alle den Wert 1 haben. 

4. Mit dem Befehl zeros (n, m) wird eine (n x m)-Matrix erzeugt, die alle den Wert 0 haben. 


>>C = A + B 

>>D = A - B 


>>E = 3*A 


>>F = A*B 

>>G = B*A 

5. Aufgabe: Transponieren und addieren 

>>H = A + A' 


Siehe Bemerkungen Aufgabe 1. 

>>W = diag([4 7 4 2]) 

7. Aufgabe: Eine Einheitsmatrix vom Typ 4x4 definieren 

Siehe Bemerkungen Aufgabe 1. 

>>E = eye(4) 

>>I3 = ones(3,4) 

>>I4 = zeros(4,3) 

� 

� 

� 

4 0 0 0 

0 7 0 0 

0 0 4 0 

0 0 0 2 

Bemerkung: Definieren Sie die anderen Typen aus Aufgabe 1 ebenfalls. 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

�



>>rank(A) 


>>J1 = inv(A) 

oder 

>>J2 = A^(-1) 


>>d = det(A) 



EW = eig(A) Eigenwerte werden herausgegeben 

[EV,EW]= eig(A) Eigenvektoren als Spalten und die Eigenwerte in Diagonalmatrix. 

Die Eigenvektoren werden normiert, d.h. auf die Länge 1 

[EV,EW]= 

eig(A,‘nobalance‘) 

gebracht. 

Eigenvektoren als Spalten und die Eigenwerte in Diagonalmatrix. 

Die Eigenvektoren werden nicht normiert. 

poly(A) Charakteristisches Polynom von A. Es werden aber nur die 

Koeffizienten des Polynoms herausgegeben. Der höchste Koeffizient 

zuerst. 

>>EW=eig(A) 

>>[EV, EW]=eig(A) 

>>[EV, EW]=eig(A, ´nobalance´) 

>>poly(A) 

Ein weiteres Beispiel: 

>> R = [1 2; 0 3] 

>>EW=eig(R) 

>>[EV1, EW1]=eig(R) 

>>[EV2, EW2]=eig(R,´nobalance´) 

>>poly(R) 

R = 

1 2 

0 3 

EV1 = 

1.0000 0.7071 

0 0.7071 

EW1 = 

1 0 

0 3 

EV2 = 

1 1 

0 1 



EW2 = 

1 0 

0 3 

r = 

1 -4 3 

13. Aufgabe: Berechnen Sie die Aufgaben aus Kapitel 3 mit MatLab durch. 

14. Aufgabe: Berechnen Sie die Aufgaben aus Kapitel 7.1.2 mit MatLab durch. 

15. Aufgabe: Bearbeiten Sie auch die Aufgaben im Skript über Eigenwerte und Eigenvektoren 

mit MatLab. 

Noch eine Schlussbemerkung: 

Gegeben ist ein Gleichungssystem A� x � b (A: Matrix, x und b Vektoren), mit A eine reguläre Matrix 

(d.h. det A � 0). Die formale Lösung erhält man durch: 

1. Von links mit 

�1 

�1 

�1 

A multiplizieren � A A� 

x � A b 

2. 

�1 

�1 

A A � E (Einheitsmatrix) � x � A b 

In Worten ausgedrückt: Die Lösung x erhält man, indem b „von links mit A dividiert“ wird. 

In MATLAB: >> x=A\b 

In Maple können Sie das ja mit dem Befehl LinearSolve(A,b) lösen. Diesen Befehl gäbe es 

auch in MatLab, wenn man die symbolic Toolbox installiert hat. Wir haben (z.Z.) diese Toolbox 

nicht installiert und müssen es wie oben beschrieben lösen. 



7.4 Testataufgaben 

Die nachfolgenden Aufgaben sind Testataufgaben für Maple und MatLab. 

Testataufgabe 1: Definieren Sie die Matrix A = � � � 

a) Berechnen Sie die Inverse Matrix A –1 

a b� 

� 

c d � 

. 

b) Berechnen Sie das Produkt A � A –1 und vereinfachen Sie das Resultat (falls notwendig). 

simplify funktioniert auch mit Matrizen. 

Testataufgabe 2: 

� 

a) Die Matrizen A und B definieren A = 

� 

� 

� 

1 

–2 

–3 

2 

1 

2 

3� 

–2� 

� 

1� 

Berechnen Sie die Matrizen: U:= A . B, V := 2A + 4B 

b) Berechnen Sie die Transponierte von A: R:= A T . 

c) Berechnen Sie die Inverse von A, d.h. A �1 . 

d) Überprüfen Sie, ob A . A �1 die Einheitsmatrix ergibt. 

e) Berechnen Sie A . A + E (E ist die Einheitsmatrix) 

f) Berechnen Sie A 3 , B 2 

g) Berechnen Sie (A � B) –1 und B –1 � A –1 

h) Berechnen Sie (A � B) T , B T � A T 

i) Berechnen Sie v := 2 A + 3 B 

und B = 

j) Berechnen Sie die Eigenwerte und –vektoren der Matrizen A und B 


� 

� 

� 

� 

2 3 –5� 

2 –1 1� 

� 

2 0 –5� 

k) Lösen Sie die Gleichungssysteme mit A resp. B als Koeffizientenmatrix und b = [1; 2; 3] 

als konstanten Vektor.


7.5 Lösungen 

Zu Maple 

Aufgabe 7.1 & 7.2 

x = -7/5; y = 9/5; z = 3/5 

Aufgabe 7.4: 

a) x = -500.35 ; y = 1000 ; z = 1.5, 

b) x = -250.1 ; y = 500 ; z = 0.666666 

c) keine Lösung 

Aufgabe 7.5: 

a) hat unendlich viele Lösungen, b) nur die triviale Lösung 

Aufgabe 7.6: 

a) 

b)

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