Eigenfrequenz- und Dämpfungsmessung 1 Einleitung 2 Grundlagen - DGaQs

Eigenfrequenzmessung P. Fey
in der die Amplitude � und Phase � aus dem Zeitpunkt und der Strecke der ursprünglichen
Auslenkung, also den Anfangsbedingungen, ermittelt werden. Die Eigenfrequenz � dieses einfachen
Systems ist
� � 2�� �
� .
Damit sind zwei für die Eigenfrequenz relevante Einflussgrößen gegeben. Zum einen die Steifigkeit
des untersuchten Werkstücks, hier repräsentiert durch die Federkonstante �, und die
Dichte des Werkstücks in Form der Masse �. Weitere mögliche Einflussgrößen sind z. B. die
Abmessungen des Prüflings, anschaulich nachzuvollziehen an einem Pendel dessen Länge variiert
wird, oder indirekte Einflussgrößen wie die Temperatur, die durch thermische Ausdehnung
die Abmessungen verändern kann und die Steifigkeit des Werkstücks beeinflusst.
Wird ein Werkstück kontinuierlich mit einer Frequenz nahe seiner Eigenfrequenz angeregt, so
kommt es zur Resonanz. Anschaulich vorstellbar wird dieses Phänomen an einem Kind, das auf
einer Schaukel sitzt. In dem Moment, in dem die schwingende Schaukel den höchsten Punkt
ihrer Bahn erreicht hat, schiebt man die Schaukel ein Stück an, fügt dem System also etwas
Energie hinzu. Beim nächsten Mal schiebt man die Schaukel wieder etwas an. Intuitiv fügt man
der Schaukel mit ihrer Eigenfrequenz Energie hinzu, was dazu führt das das Kind immer höher
schaukelt. Würde man nicht im Takt der Schaukel, also mit der Eigenfrequenz anschubsen, so
würde man teilweise die Schaukel abbremsen, wenn man schubst, bevor die Schaukel den
höchsten Punkt erreicht.
In der Realität wird an einem schwingenden System immer die Resonanzfrequenz, d. h. die
Eigenfrequenz unter Einfluss der Dämpfung, gemessen. Eine Kompensation des Unterschieds
zwischen Resonanzfrequenz und Eigenfrequenz ist nicht notwendig, da, wie in der Einleitung
bereits erwähnt, das eigentliche Ziel der Überwachung von Eigenfrequenzen die Vermeidung
von Resonanzen ist. Daher sind die in der Realität auftretenden Resonanzfrequenzen für die
Anwendung bedeutend. Erweitert man das oben dargestellte Kräftegleichgewicht um einen der
Geschwindigkeit �� proportionalen Reibungsanteil, der hier durch eine Reibungskonstante �
charakterisiert wird, führt dies zu folgender Differentialgleichung:
��� � ��� � ���
Eine Lösung dieser Differentialgleichung ist eine gedämpfte Schwingung, die der Bewegungsgleichung
�
��
� � � e ��cos��� �
�
d�
� � ��
2m� gehorcht, also eine gegenüber der ungedämpften Bewegungsgleichung verminderte Frequenz
und einen exponentiellen Abklingterm enthält. Der Abklingterm beschreibt, wie viel Energie
der Schwingung innerhalb einer bestimmten Zeit entnommen wird. Die aus dem Abklingterm
ermittelbare Dämpfung bestimmt, wie schnell die Amplitude der Schwingung zurückgeht, also
wie schnell eine einmal angeregte Schwingung wieder verschwindet. Durch eine hohe Dämpfung
wird erreicht, das eine angeregte Schwingung nur von kurzer Dauer ist und damit nur ein
kurzes Geräusch erzeugt. Außerdem wird so verhindert, dass diese Schwingung ein weiteres
Bauteil mit möglicherweise derselben Eigenfrequenz zum Schwingen anregt.
Für den Fall eines Systems, das mit nur einer einzelnen Frequenz schwingt, kann die Dämpfung
aus dem Abklingen der Schwingung abgelesen werden. Dieser Fall tritt in der Realität so gut
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