Holzhüter, Zustandsregelung

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Prof. Dr. Th. Holzhüter Zustandsregelung 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 −0.2 0 1 2 3 4 5 Abbildung 14: Verhalten des Regelkreises bei einem Führungs-Sprung. 1.5 1 0.5 0 −0.5 −1 −1.5 0 1 2 3 4 5 Abbildung 15: Verhalten des Regelkreises bei anfänglichem Regelfehler, den der Beobachter aber nicht kennt.Dick: x1 = y, dünn: x2 = z; die Schätzwerte sind jeweils gestrichelt; strich-punktiert: Stellgröße. 21
Prof. Dr. Th. Holzhüter Zustandsregelung Man kann also den Verstärkungs-Vektor L eines Beobachters durch den Matlab- Aufruf L = place(A’, C’, P)’ erhalten, wobei P der Spaltenvektor aus den gewünschten Polen des Beobachters ist. Natürlich ist auch (mit den in Abschnitt 1.6 gemachten Einschränkungen) der Aufruf L = acker(A’, C’, P)’ möglich. Eine analytische Berechnung des Verstärkungs-Vektors L ist meist nicht möglich. Eine Ausnahme bildet der Fall, wenn das System in Beobachter- Normalform vorliegt, vgl. Abschnitt 2.6. 2.6 Beobachter für die Beobachter-Normalform Besonders einfach wird die Polvorgabe für den Beobachter, wenn das System in der Beobachter-Normalform gegeben ist. Diese Normalform enthält, wie die Regelungs- Normalform, neben Nullen und Einsen nur die Koeffizienten der Übertragungs-- Funktion ˙ Mit (71) F (s) = b0 + b1s + b2s 2 + . . . + bn−1s n−1 a0 + a1s + a2s 2 + . . . + an−1s n−1 + s n lautet die Zustandsraum-Darstellung in Beobachtungs-Normalform ⎛ • ⎞ x1 ⎜ ⎟ ⎝ . ⎠ xn = ⎛ 0 ⎜ 1 ⎜ 0 ⎜ ⎝ . 0 0 1 0 0 0 . . . . . . . . . . .. 0 0 0 −a0 −a1 −a2 . ⎞ ⎛ ⎟ ⎛ ⎞ ⎟ x1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ . ⎠ + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ xn b0 b1 . 0 0 0 . . . 1 −an−1 (72) y = ( 0 0 . . . 0 ⎛ ⎞ x1 ⎜ ⎟ 1 ) ⎝ . ⎠ xn bn−1 ⎞ ⎟ ⎠ u Offenbar ist die System-Matrix die Transponierte der System-Matrix der Regelungs-Normalform (19) und B und C sind in (72) gegenüber der Regelungs- Normalform vertauscht und transponiert. Die System-Matrix AL der Zustandsraum-Darstellung des Beobachters lautet damit ⎛ 0 ⎜ 1 ⎜ A − LC = ⎜ 0 ⎜ ⎝ . 0 0 0 1 0 0 0 0 0 . . . . . . . . . ... . . . 0 0 0 1 ⎞ −a0 ⎛ ⎞ ⎟ L1 −a1 ⎟ ⎜ −a2 ⎟ ⎜ L2 ⎟ ⎟ − ⎜ ⎟ ( 0 ⎟ ⎝ . ⎠ . ⎠ ̷Ln −an−1 0 . . . 0 1 ) (73) Da dieses System wiederum in Beobachtungs-Normalform vorliegt, läßt sich daraus die Übertragungs-Funktion des Beobachters direkt ablesen (74) FL(s) = ZL(s) (a0 + L1) + (a1 + L2)s + · · · + (an−1 + Ln)s n−1 + s n 22
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