Holzhüter, Zustandsregelung

Prof. Dr. Th. Holzhüter Zustandsregelung
Man kann also den Verstärkungs-Vektor L eines Beobachters durch den Matlab-
Aufruf
L = place(A’, C’, P)’
erhalten, wobei P der Spaltenvektor aus den gewünschten Polen des Beobachters
ist. Natürlich ist auch (mit den in Abschnitt 1.6 gemachten Einschränkungen) der
Aufruf
L = acker(A’, C’, P)’
möglich. Eine analytische Berechnung des Verstärkungs-Vektors L ist meist
nicht möglich. Eine Ausnahme bildet der Fall, wenn das System in Beobachter-
Normalform vorliegt, vgl. Abschnitt 2.6.
2.6 Beobachter für die Beobachter-Normalform
Besonders einfach wird die Polvorgabe für den Beobachter, wenn das System in der
Beobachter-Normalform gegeben ist. Diese Normalform enthält, wie die Regelungs-
Normalform, neben Nullen und Einsen nur die Koeffizienten der Übertragungs--
Funktion ˙ Mit
(71)
F (s) =
b0 + b1s + b2s 2 + . . . + bn−1s n−1
a0 + a1s + a2s 2 + . . . + an−1s n−1 + s n
lautet die Zustandsraum-Darstellung in Beobachtungs-Normalform
⎛ • ⎞
x1
⎜ ⎟
⎝ . ⎠
xn
=
⎛
0
⎜ 1
⎜ 0
⎜
⎝ .
0
0
1
0
0
0
. . .
. . .
. . .
. ..
0
0
0
−a0
−a1
−a2
.
⎞
⎛
⎟ ⎛ ⎞
⎟ x1
⎟
⎜
⎟ ⎜ ⎟ ⎜
⎟ ⎝ . ⎠ + ⎜
⎟
⎝
⎠ xn
b0
b1
.
0 0 0 . . . 1 −an−1
(72)
y = ( 0 0 . . . 0
⎛ ⎞
x1
⎜ ⎟
1 ) ⎝ . ⎠
xn
bn−1
⎞
⎟
⎠ u
Offenbar ist die System-Matrix die Transponierte der System-Matrix der
Regelungs-Normalform (19) und B und C sind in (72) gegenüber der Regelungs-
Normalform vertauscht und transponiert.
Die System-Matrix AL der Zustandsraum-Darstellung des Beobachters lautet damit
⎛
0
⎜ 1
⎜
A − LC = ⎜ 0
⎜
⎝ .
0
0
0
1
0
0
0
0
0
. . .
. . .
. . .
...
. . .
0
0
0
1
⎞
−a0 ⎛ ⎞
⎟ L1
−a1 ⎟ ⎜
−a2 ⎟ ⎜ L2
⎟
⎟ − ⎜ ⎟ ( 0
⎟ ⎝ . ⎠
. ⎠
̷Ln
−an−1
0 . . . 0 1 )
(73)
Da dieses System wiederum in Beobachtungs-Normalform vorliegt, läßt sich daraus
die Übertragungs-Funktion des Beobachters direkt ablesen
(74)
FL(s) =
ZL(s)
(a0 + L1) + (a1 + L2)s + · · · + (an−1 + Ln)s n−1 + s n
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