Holzhüter, Zustandsregelung

Prof. Dr. Th. Holzhüter Zustandsregelung
Das Einlaufen der Schätzwerte von x und z für dieses Beispiel ist in Abb. 17 dargestellt.
Es ist als Anfangswert für den Beobachter (ˆx ˆz) T = (1 0) T angenommen.
Stellgröße u und Ausgang y werden entsprechend der Situation bei einer konstanten
Störung z = 1 als u = 1 und y = 2 angenommen.
Abb. 18 zeigt einen kombinierter Führungs- und Stör-Sprung mit r = 1 und
z = −0.5. Der Zustands-Regler für die Strecke (87) mit Pol bei s = −2 hat
die Rückführung K = −1. Die Kombination des Störgrößen-Beobachter mit diesem
Regler und der Störgrößen-Aufschaltung ergibt wegen K ∗ = (K − I) =
(−1 − 1) T nach (83) das System
(91)
� • � � � � � � � � �
ˆx −5 0 ˆx 3 2 y
=
+
ˆz −4 0 ˆz 4 0 r
� �
� �
ˆx
y
u = ( −1 −1 ) + ( 0 2 )
ˆr
r
Die Übertragungs-Funktion des Reglers lautet (ohne Minuszeichen)
(92)
G(s) =
7 s + 8
s 2 + 5 s
Der Regler hat also PI-T1-Charakter. Er enthält also wie erwartet einen Integralteil,
der für stationäre Genauigkeit sorgt.
2.9 Kalman-Filter
Die Auslegung eines Beobachters durch Polvorgabe hat den Nachteil, daß man die
Bedeutung der Pole für die Schätzgüte des Beobachters nur schwer beurteilen kann.
Eine Alternative bietet das Kalman-Filter. Bis diesem Ansatz wird unterstellt,
daß das System entsprechend Abb. 19 mit zwei Arten von Störungen beaufschlagt
ist: Störungen w, die auf den Streckeneingang wirken (Prozess-Rauschen), und
Meßstörungen v, die auf den Streckenausgang wirken (Meß-Rauschen).
Die Systemgleichungen lauten
(93)
˙x = Ax + Bu + Gw
y = Cx + v
Die Störungen v und w werden als weißes Rauschen mit Mittelwert Null und Varianzen
(94)
(95)
E(ww T ) = Q
E(vv T ) = R
angenommen. Der Zustands-Beobachter mit minimaler Fehler-Varianz (optimaler
Beobachter) ist das Kalman-Filter. Dessen Rückführungen L berechnen sich
wie die des optimalen Zustandsreglers in Abschnitt 1.10 über eine Matrix-Riccati-
Gleichung
(96)
(97)
0 = AP + P A T − P C T R −1 CP + GQG T
L = P C T R −1
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