Holzhüter, Zustandsregelung

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Prof. Dr. Th. Holzhüter Zustandsregelung Man kann eine Zustandsraum-Darstellung des Systems erhalten, indem man als Zustände die Variablen (13) x1(s) = 1 N(s) u(s) x2(s) = sx1(s) = x1(s) ˙ . xn(s) = sxn−1(s) = s n−1 x1(s) = x (n−1) 1 (s) einführt. Die höheren Zustände sind dabei die Ableitungen des ersten Zustandes: xj = xj−1 ˙ = x (j−1) 1 , j ∈ {2 . . . n}. Bei dieser Definition gilt für die Ableitung des Zustandes xn (14) (15) (16) n−1 u(s) ˙xn = s s N(s) = sn u(s) N(s) = (N(s) − a0 − a1s − . . . − an−1s n−1 ) u(s) N(s) = u(s) − a0x1 − a1x2 − . . . − an−1xn Der Ausgang y des Systems läßt sich schreiben als (17) (18) y(s) = b0 + b1s + . . . + bn−1sn−1 u(s) N(s) = b0x1(s) + b1x2(s) + . . . + bn−1xn u ✲ ❝ ✲✑✑ ✑ ¨x1✲ ✑ ✑ ✑ ˙x1✲ ✑ ✑ ✑ ✲ x1 �� ❍❨ ✻❆❑ ❍ ❆ −a2 −a1 −a0 ✛ ✛ ✛ ✲ ✲ b2 b1 b0 ✲ ❝ ✲ y ❅ ❅❘ ❄ Abbildung 1: Regelungs-Normalform des Systems 2. Ordnung mit der Übertra- b0 + b1s + b2s gungs-Funktion G(s) = 2 a0 + a1s + a2s 2 . 3 + s 3
Prof. Dr. Th. Holzhüter Zustandsregelung Damit lautet die vollständige Zustandsraum-Darstellung in Matrix-Schreibweise dann: (19) (20) ⎛ ˙ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ x1 0 1 0 . . . 0 x1 0 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ x2 ⎟ ⎜ 0 0 1 . . . 0 ⎟ ⎜ x2 ⎟ ⎜ 0. ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ . ⎟ = ⎜ ... ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ . . ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ . ⎟ + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ u ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ xn−1 ⎠ ⎝ 0 0 0 . . . 1 ⎠ ⎝ xn−1 ⎠ ⎝ 0 ⎠ xn −a0 −a1 −a2 . . . −an−1 xn 1 ⎛ ⎞ x1 ⎜ ⎟ ⎜ x2 ⎟ ⎜ ⎟ y = ( b0 b1 . . . bn−2 bn−1 ) ⎜ . ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ xn−1 ⎠ Diese Darstellung heißt Regelungs-Normalform und ist besonders geeignet für den Entwurf eines Zustandsreglers, vgl. Abschnitt 1.8. 1.5 Mehrgrößen-System In der Zustandsraum-Darstellung zeigt ist der Unterschied zwischen Eingrößen- Systemem (SISO) und Mehrgrößen-Systemen (MIMO) nicht so deutlich wie im Frequenz-Bereich. Beim SISO-System sind B = b und C = c T nur Vektoren und D ist nur ein Skalar. Bei MIMO-System sind B, C, D dagegen ”echte” Matrizen. Als Beispiel betrachten wir das in Abb. 2 widergegebene Dreitank-System. Zur u1 ✲ Tank 1 ✻ x1 z1 ❄ Q13 ✲ Tank 3 ✻ x3 z3 ❄ xn ✛ Q32 Abbildung 2: Dreitank-System Tank 2 ✻ x2 z2 ✛ u2 ❄ 4
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