Grundlagen der Computer-Tomographie

Grundlagen der
Computer-Tomographie

Quellenangabe
Die folgenden Folien sind zum Teil dem Übersichtsvortrag:
imbie.meb.uni-bonn.de/epileptologie/staff/lehnertz/CT1.pdf
entnommen.
Als Quelle für die mathematischen Grundlagen wurde benutzt:
http://rcl.physik.uni-kl.de/ (dann wählen „Labs“, „Computertomographie“,
„Theorie“ (Seite ganz bis zum Ende durchlaufen) „Mathematik“)
Als Buch ist zu empfehlen: W.A. Kalender: Computertomographie
Publicis MCD Verlag, 2000

Erzeugung von Röntgenstrahlung

Nachweis von Röntgenstrahlung

Mathematische Grundlagen zur Bildrekonstruktion
Radon-Transformation
Die Grundlage der Bildrekonstruktion mittels der gefilterten Rückprojektion
stellt die Radon-Transformation dar. Johann Radon konnte 1917 in einem
Artikel "Über die Bestimmung von Funktionen durch ihre Integralwerte längs
gewisser Mannigfaltigkeiten" zeigen, dass eine zweidimensionale
Objekteigenschaft f(x,y) exakt beschrieben ist, wenn eine unendliche Anzahl
von Linienintegralen vorliegt. Eine zweidimensionale Objekteigenschaft
wäre zum Beispiel im Falle der Computertomographie die Verteilung des
Absorptionskoeffizienten µ(x,y), welche im CT-Bild in Form von
unterschiedlichen Graustufen sichtbar gemacht wird.

Die Radon-Transformation hat folgende allgemeine Form:
Das Linienintegral, welches entlang
der Geraden g unter dem Winkel Θ
und der Position s verläuft, wird im
Folgenden als Projektion p(Θ,s) zum
Winkel und zur Position s bezeichnet.
Die entsprechende Geradengleichung
für die Gerade g, entlang derer die
Projektion p(Θ,s) verläuft, lässt sich
wie folgt bestimmen:

Betrachte die Gerade g unter dem Winkel Θ und Position s als die
Orthogonale der Ursprungsgeraden entlang s im Punkt s
Mit: Wird daraus die Geradengleichung:
Folgende Abbildung stellt die Aufnahme einer Projektion p(Θ,s) unter dem
Winkel Θ und entlang aller Positionen s ∈ [ s 0 ,s max ] dar:

Werden jetzt für alle Winkel Θ ∈ [0,180] und für alle Positionen s[s 0 ,s max ] die
zugehörigen Projektionen p(Θ,s) bestimmt, so geht - laut Radon-
Transformation - keine Information über die Objekteigenschaft von f(x,y)
verloren. Doch wie kann man anhand der Projektionen p(Θ,s) die Funktion
f(x,y) rekonstruieren?
Die Antwort zu diesem Problem liefert das Fourier-Scheiben-Theorem.
Der Anschauung wegen wird im Folgenden eine Projektion zum Winkel Θ =
0° gewählt. Die Projektion p(0°,s) kann somit geschrieben werden als p(0°,x)
und die Integration geht über Geraden, die parallel sind zur y-Achse.
Daraus folgt:
Die 1-dimensionale Fourier-Transformierte P(0°,u) von p(0°,x) lautet:

lässt sich umformen in:
Die 1-dim. Fourier-Transformierte zum Winkel Θ = 0° ergibt demnach die
Werte der 2-dim. Fourier-Transformierten F(u,0) von f(x,y) auf der u-Achse.
Auf diese Art und Weise ist also ein erster Zusammenhang zwischen
Projektion p(Θ,s) und der Funktion f(x,y) hergestellt.

Im Folgenden wird eine Projektion zum Winkel Θ ≠ 0° betrachtet. Diese
Projektion p(Θ,s) kann als eine Projektion auf der x´-Achse eines gedrehten
Koordinatensystems aufgefasst werden. Wendet man die gleichen Überlegungen
wie beim Fall Θ = 0° an, so stellt die 1-dim. Fourier-Transformierte der Projektion
die Werte auf der u´-Achse im Fourierraum F(u,v) dar. Die u´-Achse ist dabei um
den gleichen Winkel Θ gedreht wie die x´-Achse.

Allgemein gilt:
Die Fourier-Transformierte einer um den Winkel Θ gedrehten Funktion f(x,y) ist
um den gleichen Winkel Θ gegenüber der Fourier-Transformierten F(u,v)
verdreht.
Damit gilt das Fourier-Scheiben-Theorem:
Gegeben sei eine Funktion f(x,y) und sei F(u,v) deren 2-dim. Fourier-
Transformierte. Sei weiter P(Θ,w) die 1-dim. Fourier-Transformierte der
Projektion p(Θ,s). Dann beschreibt P(Θ,w) die Werte von F(u,v) auf einem
Radialstrahl zum Winkel Θ.
Das heißt also:
Durch inverse Fourier-Transformation kann man die
ursprüngliche Funktion f(x,y) aus den Projektionen
p(Θ,s) rekonstruieren.

Vorgehensweise:

Es gibt aber Probleme, die man mit der gefilterten Rücktransformation löst:
a) Rückprojektion
Die gesuchte Funktion µ(x,y) wird im Folgenden der Einfachheit halber mit f(x,y)
bezeichnet. Durch inverse Fourier-Transformation berechnet sich f(x,y) dann zu:
Im Fourier-Raum werden jetzt ebene Polarkoordinaten eingeführt:

Dann folgt:
Mit kann man dies umschreiben in:
Nach dem Fourier-Scheiben-Theorem gilt:
mit

) Rückprojektion mit Filterung
Wäre der Faktor |w| nicht in der Gleichung, so würde man durch inverse
Fourier-Transformation von P(Θ,w) die originale Projektion p(Θ,s) zurück
erhalten. Dieser Faktor |w| stellt eine so genannte Filterung im Fourier-
Raum dar. ist daher eine gefilterte Projektion.
Diese gefilterte Projektion kann man auf zwei Arten bestimmen:
1) Multiplikation der 1-dim. Fourier-Transformierten P(Θ,w) im Fourier-
Raum mit |w| nach der Gleichung:
2) Faltung der gemessenen Projektion p(,s) mit Faltungsfunktion h(s):

Die folgende Tabelle soll die Operationen im Ort- bzw. Fourier-
Raum verdeutlichen:
Ortsraum Fourier-Raum
f(x,y)
gesuchte Funktion
p(Θ,s)
Projektion p(Θ,s)== ln(I 0 /I)
h(s)
Faltungskern |w|
F(u,v)
2-dim. Fourier-Transform. der Funktion f(x,y)
P(Θ,w)
1-dim. Fourier -Transformierte von p(Θ,s)
|w|
Filterfunktion
Faltung im Ortsraum Filterung im Fourier-Raum

Prinzipiell kann man beide Verfahren zur Bestimmung der gefilterten
Projektionen verwenden. Entweder werden die durch Messungen
bestimmten Projektionen p(Θ,s) in den Fourier-Rraum transformiert, dort
mit dem Faktor |w| multipliziert und wieder durch inverse Fourier-
Transformation in den Ortsraum zurück transformiert, oder direkt im
Ortsraum mit der Faltungsfunktion h(s) gefaltet. In der Praxis wird das erst
genannte Verfahren verwendet, also die Filterung im Fourier-Raum.
Dieses Verfahren ist um ein Vielfaches schneller als die Faltung im
Ortsraum, da für die Fouriertransformation sehr schnelle Algorithmen
existieren (Fast-Fourier-Transform, FFT).
Bedeutung des Filters
Die Daten P(Θ,w) liegen in Polarkoordinaten vor, während der Fourier-
Raum F(u,v) ein kartesisches Koordinatensystem darstellt. Da die Werte
P(Θ,w) aufgrund der Polarkoordinaten für kleine w dichter liegen als für
große, liegen auch die Funktionswerte F(u,v) im kartesischen
Koordinatensystem für kleine u und v dichter als für große. Dies hat zur
Konsequenz, dass im Fourier-Raum tiefe Frequenzen (entspricht großen
Abmessungen) stärker betont werden als hohe Frequenzen (entspricht
kleinen Details).

Polarkoordinaten kartesische Koordinaten
Durch die Faltung im Ortsraum, oder der Filterung im Fourier-Raum, wird
dieser Fehler ausgeglichen.
Hohe Frequenzen werden dadurch angehoben, während tiefe Frequenzen
abgeschwächt werden.
Folgende Abbildung zeigt anschaulich die Bedeutung der gefilterten
Rückprojektion im Vergleich zur ungefilterten Rückprojektion:

Bedingt durch den Messprozess ist
das Spektrum von P(Θ,w) mehr oder
weniger stark verrauscht. Im Fourier-
Raum F(u,v) liegt dieses Rauschen
im hochfrequenten Bereich. Durch
den Einsatz eines mathematisch
korrekten Filters (wie |w|) wird auch
das Rauschen stark angehoben.
Aus diesem Grund verwendet man
praktische Filter, zum Beispiel den
sog. Shepp-Logan-Filter. Dieser hat
Tiefpasscharakter: zu hohe
Raumfrequenzen, in deren
Größenordnung das Rauschen liegt,
werden abschwächt, gleichzeitig
bleibt der Filter möglichst nahe an
der mathematisch exakten
Filterfunktion |w|. Durch dieses
Verfahren wird zwar die räumliche
Auflösung etwas schlechter, das
hochfrequente Rauschen im Fourier-
Raum jedoch stärker gedämpft.

Die mathematisch exakte Filterung:
wird durch eine praktische Filterung ersetzt:
mit Filterfunktion H(w).
In folgender Tabelle sind der Filter im Fourierraum H(w) sowie der
Faltungskern im Ortsraum h(s) der Shepp-Logan-Filterfunktion aufgelistet:

Graphisch dargestellt sehen beide Funktionen folgendermaßen aus:
Shepp-Logan-Filter H(w)
Faltungskern h(s) nach Shepp-Logan
Da der Faltungsprozess mit dem Shepp-Logan-Faltungskern h(s) sehr
zeitintensiv ist, verwendet man stattdessen eine Ersatzfunktion h s :
Diese liefert an den Stellen s (diskret) die gleichen Funktionswerte wie
h(s), ist aber viel schneller zu berechnen. In folgender Abbildung sind
beide Funktionen - h(s) und die Diskretisierung h s - in einem
gemeinsamen Koordinatensystem dargestellt:

Zur Bildberechnung teilt das Computerprogramm den zu untersuchenden
Körperabschnitt in ein quadratisches Raster, der Bildmatrix, auf. Je mehr Pixel
dieses Raster enthält, desto höher ist die Auflösung. In der Praxis besteht die
Bildmatrix bei den meisten Computertomographen aus 512 x 512 Pixel.
Vor Beginn der Messwertaufnahme werden alle Werte in der quadratischen
Bildmatrix auf den Wert Null gesetzt. Erst im Laufe des Aufnahmeverfahrens
füllt sich die Bildmatrix mittels des Verfahrens der Rückprojektion mit Werten
ungleich Null, welche bei der Ausgabe des CT-Bildes die exakte Funktion
f(x,y) der Absorptionskoeffizienten approximiert. Je mehr Projektionen
aufgenommen wurden, das heißt je kleiner die Winkelschrittweite ∆Θ ist, um
die sich das Quelle-Detektor-System dreht, desto besser wird die gesuchte
Funktion f(x,y) den wahren Absorptionskoeffizienten angenähert. Nach
Berechnung der approximierten Funktion f(x,y) werden die Matrixeinträge in
entsprechende Graustufen umgewandelt.
Diese approximierte Funktion f(x,y), umgesetzt in Graustufen, stellt
letztendlich die gewünschte Schichtaufnahme des entsprechenden
Körperabschnitts dar.

Die Idee der Rückprojektion ist, nach jeder Aufnahme einer Projektion,
welche sich direkt aus dem Intensitätsmesswert I berechnen lässt, den
gefilterten Projektionswert entlang des Strahlengangs unter dem Winkel Θ
und der Position s über die Bildmatrix zu verschmieren. Dazu zieht man
unter dem Winkel Θ alle gefilterten Projektionswerte wie einen Kamm
über die Matrix, und trägt dabei in jedes getroffene Matrixelement den
entsprechenden Wert ein. Nach Rotation des Quelle-Detektor-Systems
um eine Winkelschrittweite ∆Θ beginnt das Verfahren von Neuem, und die
nächsten Werte werden in die gestreiften Matrixelemente hinzuaddiert.
Auf diese Art und Weise wird allmählich die gesuchte Funktion f(x,y) der
Absorptionskoeffizienten angenähert. Folgende Abbildung stellt das
Verfahren schematisch für eine Projektion unter dem Winkel dar. In
diesem Fall werden jeweils 10 Messwerte der Intensität I(,s)
aufgenommen, direkt in gefilterte Projektionen umgerechnet und entlang
des entsprechenden Strahls in die Bildmatrix eingetragen: