Von den Bruchzahlen zu den rationalen Zahlen - Mathematik und ...
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<strong>Von</strong> <strong>den</strong> <strong>Bruchzahlen</strong> <strong>zu</strong> <strong>den</strong><br />
<strong>rationalen</strong> <strong>Zahlen</strong><br />
Vortrag von Lisa Tischler, Martin<br />
Hänel <strong>und</strong> Franz Zeh<br />
1
Gliederung<br />
1. Einführung der Rechenregeln in Lehrbüchern<br />
2. Lernsituation Addition/Subtraktion<br />
3. Lernsituation Multiplikation/Division<br />
4. Quellen<br />
2
These<br />
1. Es ist heut<strong>zu</strong>tage didaktisch legitim, die<br />
Rechenregeln der <strong>rationalen</strong> <strong>Zahlen</strong> ohne<br />
Einführung <strong>zu</strong> behandeln.<br />
3
Arbeitsauftrag 1<br />
Schaut euch das euch vorliegende Schulbuch an<br />
<strong>und</strong> beantwortet die folgen<strong>den</strong> Fragen!<br />
1. An welches Vorwissen der SuS wird in dem<br />
Lehrbuch angeknüpft?<br />
2. Findest du die Regeln <strong>zu</strong>r<br />
Addition/Subtraktion<br />
<strong>und</strong> Multiplikation/Division anschaulich<br />
dargestellt? Begründe!<br />
4
Lehrbuchbeispiele <strong>zu</strong>r Einführung<br />
• Motivation: Subtraktion uneingeschränkt ausführbar<br />
• Häufig verwendete Modelle in Schulbüchern:<br />
– Thermometerdarstellung<br />
– Kontostände<br />
– Pegelstände<br />
– Geografische Höhenangaben<br />
• Selten verwendete Modelle in Schulbüchern:<br />
– Countdown bei Raketenstarts<br />
– Abweichungen vom Sollgewicht bei Dosen<br />
– Ergebnisse von Wahlen<br />
– Zeitverschiebung in Be<strong>zu</strong>g auf MEZ<br />
5
Einführung der Rechenregeln in<br />
Schulbüchern ‐ Beispiele<br />
6
Einführung der Rechenregeln in<br />
Schulbüchern ‐ Beispiele<br />
8
Einführung der Rechenregeln in<br />
Schulbüchern ‐ Beispiele<br />
9
Einführung der Rechenregeln in<br />
Schulbüchern ‐ Beispiele<br />
10
Einführung der Rechenregeln in<br />
• Addition/Subtraktion<br />
Schulbuch <strong>Mathematik</strong> 7,<br />
1988<br />
<strong>Mathematik</strong><br />
heute 7, 1987<br />
Schulbüchern<br />
Gamma 7,<br />
1977<br />
<strong>Mathematik</strong> 7,<br />
Hahn/Dzewas,<br />
1989<br />
Lernstufen<br />
<strong>Mathematik</strong><br />
7, 1991<br />
<strong>Mathematik</strong><br />
7, Kuypers,<br />
1993<br />
Getrennt nein ja nein ja Ja ja ja ja<br />
Außermath.<br />
Beispiele <strong>zu</strong>r<br />
Einführung<br />
Konto, Temp Pegel, Konto Temp,<br />
Pegel<br />
LS 7,<br />
1999<br />
Mathemati<br />
k plus 7,<br />
2006<br />
Temp, Konto nein nein Spiel Spiel,<br />
Konto,<br />
Geografie<br />
Regelkästen 2 3 2 1 (Sub.) 1 (Sub.) 3 2 2<br />
Nur ganze<br />
<strong>Zahlen</strong><br />
Regeln<br />
verständlich<br />
Außermath.<br />
Beispiele in<br />
Übungsaufgab<br />
en<br />
Ja, außer 2 Seiten ja nein nein ja nein nein nein<br />
ja ja ja nein nein nein ja ja<br />
nein Konto, Temp,<br />
Spiel nur bei<br />
Add.<br />
Pegel Konto, Temp Konto, Pegel,<br />
Temp<br />
Temp,<br />
Konto, Skat,<br />
Fahrstuhl,<br />
Handelsbilan<br />
z<br />
Konto,<br />
Geografi<br />
e, Temp.<br />
Seitenanzahl 9 11 5 9 10 12 6 8<br />
Geografie,<br />
Jahreszahl,<br />
Pegel,<br />
11
Einführung der Rechenregeln in<br />
• Multiplikation/Division<br />
Schulbuch <strong>Mathematik</strong> 7,<br />
1988<br />
<strong>Mathematik</strong><br />
heute 7, 1987<br />
Schulbüchern<br />
Gamma 7,<br />
1977<br />
<strong>Mathematik</strong> 7,<br />
Hahn/Dzewas,<br />
1989<br />
Lernstufen<br />
<strong>Mathematik</strong><br />
7, 1991<br />
<strong>Mathematik</strong><br />
7, Kuypers,<br />
1993<br />
Getrennt ja ja nein ja ‐ ja ja ja<br />
Modelle <strong>zu</strong>r<br />
Einführung<br />
Konto, Pfeile Pfeile Klassenfahr<br />
t, Temp<br />
LS 7,<br />
1999<br />
Spiel, Konto ‐ Pfeile Konto Skat<br />
Regelkästen 2 11 1 2 ‐ 2 3 2<br />
visualisiert nein nein Ja,<br />
Multiplikati<br />
onstafel<br />
Regeln<br />
verständlich<br />
Außermath.<br />
Beispiele in<br />
Übungsaufga<br />
ben<br />
Rückgriff auf<br />
Vorwissen<br />
nein ‐ nein ja nein<br />
Mathemati<br />
k plus 7,<br />
2006<br />
ja nein ja ja ‐ Nur Wort ja Nur Wort<br />
nein nein nein nein ‐ Temp Temp, Temp,<br />
Wärmeaus<br />
dehnung<br />
nein Ja, natürliche<br />
<strong>Zahlen</strong><br />
nein nein ‐ Ja,<br />
<strong>Bruchzahlen</strong><br />
Ja,<br />
natürlich<br />
e <strong>Zahlen</strong><br />
Seitenanzahl 7 13 6 9 ‐ 9 6 6<br />
nein<br />
12
Einführung der Rechenregeln in<br />
• Addition/Subtraktion:<br />
Schulbüchern ‐ Fazit<br />
– Zur Einführung viele verschie<strong>den</strong>e Alltagsbeispiele<br />
– Hinführung <strong>zu</strong> Regeln nicht einseitig (nur Pfeile)<br />
– Regeln kurz <strong>und</strong> verständlich<br />
• Multiplikation/Division:<br />
– Rückgriff auf Vorwissen (<strong>Bruchzahlen</strong>, natürliche <strong>Zahlen</strong>)<br />
– Alltagsbeispiele verwen<strong>den</strong><br />
– Regeln durch Visualisierung stützen<br />
13
Kompetenzerwerbsschema<br />
Wissen Situatio‐<br />
nen<br />
W2<br />
Addition <strong>und</strong><br />
Subtraktion<br />
rat. <strong>Zahlen</strong><br />
W1<br />
Die <strong>rationalen</strong><br />
<strong>Zahlen</strong><br />
S5 Gutschein/<br />
Schuldschein‐<br />
spiel <strong>zu</strong>r<br />
Einführung<br />
Add. Subt.<br />
S1<br />
Einführung in<br />
die neg.<br />
<strong>Zahlen</strong> an<br />
Alltagsbei‐<br />
spielen<br />
S6<br />
Regeln für Add.<br />
<strong>und</strong> Subt.<br />
S2<br />
<strong>Zahlen</strong>gerade<br />
<strong>und</strong><br />
Koordinaten‐<br />
system mit 4<br />
Quadranten<br />
S7<br />
Übung<br />
S3<br />
Betrag<br />
S8<br />
Anwendungs‐<br />
aufgaben +<br />
Test<br />
S4<br />
Vgl. <strong>und</strong><br />
Ordnen rat.<br />
<strong>Zahlen</strong><br />
Vor.: N, Q+ Fortschritte im Können<br />
Kompetenz<br />
TK 2 Die SuS<br />
lernen Regeln<br />
für Add. Subt.<br />
Kennen <strong>und</strong><br />
anwen<strong>den</strong><br />
TK1 Die SuS<br />
nutzen rat.<br />
<strong>Zahlen</strong> <strong>zu</strong>r<br />
Beschreibung<br />
math. <strong>und</strong><br />
alltäglicher<br />
Sachverhalte<br />
14
Zeit <strong>zu</strong>m Spielen!<br />
Spielt das euch <strong>zu</strong>gewiesene Spiel!<br />
Gutschein‐Schuldschein‐Spiel<br />
Saldix<br />
Hin <strong>und</strong> Her
Arbeitsauftrag 2<br />
Setzt euch in Gruppen gleicher Spiele <strong>zu</strong>sammen, bearbeitet<br />
die folgen<strong>den</strong> Arbeitsaufträge <strong>und</strong> haltet eure Ergebnisse auf<br />
einer Folie fest!<br />
• Stellt euer Spiel kurz vor!<br />
• Nennt Vor‐ <strong>und</strong> Nachteile des Spiels bezüglich der Einführung von<br />
Addition <strong>und</strong> Subtraktion rationaler <strong>Zahlen</strong>!<br />
• Wie könnten die Regeln für die Addition <strong>und</strong> Subtraktion rationaler<br />
<strong>Zahlen</strong> mit Hilfe des Spiels hergeleitet wer<strong>den</strong>?<br />
• Zusatz: Wie könnten mögliche weiterführende Aufgaben lauten?
Hin <strong>und</strong> Her<br />
• für 2‐3 Spieler<br />
• 1 Rechenzeichenwürfel: gibt Blickrichtung der Figur an<br />
• 1 <strong>Zahlen</strong>würfel mit 0, �1, �2, �3, �4, �5 � gibt Anzahl der<br />
<strong>zu</strong> laufen<strong>den</strong> Schritte vor‐ (+) oder rückwärts (‐) an<br />
• jeder Spieler erhält drei Spielfiguren (mit Gesicht)<br />
• um Spielfigur ins Spiel <strong>zu</strong> bringen, muss 0 gewürfelt wer<strong>den</strong><br />
� pro R<strong>und</strong>e höchstens drei Möglichkeiten<br />
• Start ist Nullpunkt<br />
• Ziel ist es, mit zwei Figuren ins Ziel (entweder �14 oder �14)<br />
<strong>zu</strong> gelangen (muss nicht exakt erreicht wer<strong>den</strong>)<br />
• es wird reihum gewürfelt <strong>und</strong> Aktion ausgeführt<br />
• auf jedem Feld darf maximal eine Figur stehen � kann auch<br />
rausgeworfen wer<strong>den</strong>
Hin <strong>und</strong> Her<br />
• Verbindung <strong>Zahlen</strong>gerade in �<br />
• Spielfeld (<strong>Zahlen</strong>gerade) ohne bevor<strong>zu</strong>gte Richtung<br />
• Vor‐ <strong>und</strong> Operationszeichen<br />
• Automatisieren der Rechenregeln<br />
• Austausch unter SuS<br />
• Voraus<strong>den</strong>ken gefragt<br />
• spielerisches Entdecken von ����� � ��<br />
• <strong>zu</strong> jeder Subtraktionsaufgabe passende Additionsaufgabe<br />
• Rechnungen nicht reflektiert<br />
• bei möglichen Raumbedingungen: Schüler als Spielfiguren
Saldix<br />
• für 3‐4 Spieler<br />
• jeder Spieler erhält gleich viele Spielsteine<br />
• Spielsteine wer<strong>den</strong> reihum auf freie Ecken der<br />
Dreiecke platziert<br />
• wer letzte freie Ecke eines Dreiecks belegt, erhält<br />
Punktzahl (Plus oder Minus) im Inneren � bei<br />
Umschließen mehrerer Dreiecke erhält Spieler<br />
Punkte aus allen betroffenen Dreiecken<br />
• alle Steine platziert � Spielende<br />
• Sieger ist Spieler mit höchster Gesamtpunktzahl
Saldix<br />
• nur für Addition<br />
• gutes Spiel <strong>zu</strong>r Übung<br />
• nicht <strong>zu</strong>r Einführung � Unterscheidung von Vor‐ <strong>und</strong><br />
Rechenzeichen notwendig<br />
• Austausch unter SuS<br />
• Voraus<strong>den</strong>ken gefragt � Strategie<br />
• hauptsächlich negative Ergebnisse<br />
• Spielfeld selbst konstruierbar<br />
• variierbarer Schwierigkeitsgrad<br />
• Raum für weiterführende Aufgaben
Gutschein‐Schuldschein‐Spiel<br />
• für 4‐5 Spieler<br />
• jeder Spieler erhält 5 Gut‐ <strong>und</strong> 5 Schuldscheine<br />
• gespielt wer<strong>den</strong> 10 Run<strong>den</strong><br />
• Spieler drehen nacheinander die Drehscheibe <strong>und</strong><br />
führen angezeigte Aktion aus:<br />
– gib GUT = Gutscheine abgeben<br />
– nimm GUT = Gutschein nehmen<br />
– gib SCHULD = Schuldschein abgeben<br />
– nimm SCHULD = Schuldschein nehmen<br />
• die Kontostände wer<strong>den</strong> jede R<strong>und</strong>e protokolliert<br />
• Spieler mit höchstem Kontostand nach 10 Run<strong>den</strong> ist<br />
Sieger
Gutschein‐Schuldschein‐Spiel<br />
• realitätsnah<br />
• Vor‐ <strong>und</strong> Operationszeichen<br />
• enaktives Erfahren der Addition <strong>und</strong> Subtraktion in ℚ �<br />
Selbstformulierung der Regeln<br />
• Verbindung <strong>zu</strong>r <strong>Zahlen</strong>gera<strong>den</strong><br />
• größer – kleiner Relationen<br />
• spielerisches Entdecken von � �� � ��<br />
• Auffassung von Klassen differenzgleicher Paare<br />
• verschie<strong>den</strong>e Konzepte für Protokolle (Binnendifferenzierung)<br />
� Übertragung auf formale Ebene
weiterführende Aufgaben<br />
1. Michael hat 20€ Schul<strong>den</strong>. In <strong>den</strong> Schulferien trägt er eine St<strong>und</strong>e<br />
lang Zeitungen aus <strong>und</strong> erhält dafür als Entlohnung 6€. Wie viel<br />
Geld (bzw. Schul<strong>den</strong>) hat Michael nun?<br />
Michael hat nun ..........€ …………………….<br />
Schreibe <strong>den</strong> Vorgang als Rechnung auf:<br />
� � � � � �<br />
2. Adrian hat 80€ Schul<strong>den</strong>. Bei einem Pokerspiel verzockt er weitere<br />
30€. Wie sieht sein Kontostand nun aus?<br />
Sein Kontostand beträgt ..........€ Adrian hat also ………€ Schul<strong>den</strong>.<br />
Schreibe <strong>den</strong> Vorgang als Rechnung auf:<br />
� � � � � �<br />
23
weiterführende Aufgaben<br />
3. Aline hat kein Geld <strong>und</strong> hat bei ihrer Mutter bereits 12€ Schul<strong>den</strong>.<br />
In einem Warenhaus sieht sie einen relativ günstigen MP3 Player,<br />
<strong>den</strong> sie sich für 23€ kauft. Wie viel Schul<strong>den</strong> hat Aline nun?<br />
Aline hat nun ……€ Schul<strong>den</strong>.<br />
Schreibe <strong>den</strong> Vorgang als Rechnung auf: � �<br />
4. Mark hat zwei Schuldscheine: einen in Höhe von 20€ <strong>und</strong> einen in<br />
Höhe von 30€. Im Ganzen hat er also 50€ Schul<strong>den</strong>. Ende des<br />
Jahres wird ihm von der Bank der niedrigere Schuldschein erlassen<br />
(= weggenommen). Wie viele Schul<strong>den</strong> hat Mark nun noch?<br />
Mark hat jetzt nur noch ……€ Schul<strong>den</strong>.<br />
Schreibe <strong>den</strong> Vorgang als Rechnung auf: � �<br />
24
These<br />
2. Die Addition <strong>und</strong> Subtraktion rationaler<br />
<strong>Zahlen</strong> sollte getrennt voneinander<br />
eingeführt wer<strong>den</strong>.<br />
25
Kompetenzerwerbsschema<br />
Wissen Situation Kompe‐tenz<br />
W4<br />
Vernetztes<br />
Wissen<br />
W3<br />
Multiplika‐<br />
tion <strong>und</strong><br />
Division rat.<br />
<strong>Zahlen</strong><br />
S13<br />
Verknüpfung<br />
TK 1‐3 mittels<br />
komplexer<br />
Aufgaben<br />
S9 Einführung<br />
Muti. Divis.<br />
mittels Gut‐<br />
schein Schuld‐<br />
scheinspiel<br />
S14 Alltagspro‐<br />
bleme<br />
mathematisch<br />
modellieren <strong>und</strong><br />
lösen<br />
S10<br />
Regelformu‐<br />
lierung<br />
S11<br />
Übung<br />
S12<br />
Anwendungs‐<br />
aufgaben<br />
TK 4 Die SuS<br />
können mit<br />
<strong>rationalen</strong><br />
<strong>Zahlen</strong><br />
rechnen <strong>und</strong><br />
in vernetzten<br />
Situationen<br />
anwen<strong>den</strong><br />
TK 3<br />
S. TK2 nur mit<br />
Mult. Divis.<br />
Fortschritte im Können 26
Einführung Multiplikation/Division<br />
• 10G <strong>und</strong> nimm 3 mal hintereinander 2G auf:<br />
10�3∙2�10�6�16<br />
• 10G <strong>und</strong> gib 3 mal hintereinander 2S ab:<br />
10�3∙ �2 � 10 � �1 ∙ 3 ∙ �2 � 10 � �3 ∙ �2 �10�6�16<br />
• Die Multiplikation wird vorgegeben,<br />
da es keine einfache auf Alltagserfahrung beruhende<br />
Erklärung gibt. Im Anschluss muss diese Regel aber<br />
dann z. B. durch Gleichungen zweckmäßig gezeigt<br />
wer<strong>den</strong>, damit sie nicht „vom Himmel fällt“.<br />
• Multiplikation von gleichen VZ ergibt +<br />
27
Einführung Multiplikation/Division<br />
• 10G <strong>und</strong> nimm 3mal hintereinander 2 S auf:<br />
10 � 3 ∙ �2 � 10 � 6 � 4<br />
• Gib 3mal hintereinander 2G ab:<br />
�3 ∙ 2 � �6<br />
• Multiplikation von ungleichen VZ ergibt ‐<br />
28
Einführung Multiplikation/Division<br />
• Division ist die Umkehrung der Multiplikation<br />
29
Alternative Einführungen<br />
• Gleichungsansatz (Freu<strong>den</strong>thal)<br />
(‐4)+4=0 I. <strong>und</strong> (‐3)+3=0 II.<br />
• (‐4)+(‐3)+4+3=0 (‐4)+(‐3)=‐(4+3)<br />
�. ∙ 3 ��� ��. ∙ ��4�<br />
3∙ �4 � 3 ∙ 4 � 0 ��� �4 ∙ �3 � �4 ∙ 3 � 0<br />
�4 ∙ �3 � 4 ∙ 3<br />
• Analoges Vorgehen mit Division<br />
30
Alternative Einführungen<br />
Permanenzreihen (z.B. Kontomodell nach<br />
Winter)<br />
• Monatlicher Zugang von 50€<br />
‐2 für „vor 2 Monaten“<br />
+3 für „in 3 Monaten“<br />
‐100€ für 100€ Schul<strong>den</strong><br />
+50€ für 50€ Guthaben<br />
31
Alternative Einführungen<br />
Quelle. http://didaktik.mathematik.hu‐berlin.de/files/did_alg_zt_skript.pdf<br />
32
Merkregel<br />
Enaktive Ebene: Ein Stück Papier mit einem Plus‐Zeichen auf der Vorderseite<br />
<strong>und</strong> einem Minus‐Zeichen auf der Rückseite verwen<strong>den</strong>, dass die Maße z. B.<br />
2x 3 Einheiten hat. Beginn im 1. Quadranten mit Plus‐Zeichen, umklappen <strong>zu</strong><br />
2. Quadranten (Seite zeigt Minus‐Zeichen), umklappen auf 3. Quadranten<br />
(Seite zeigt Plus‐Zeichen) <strong>und</strong> 4. Qudranten (Seite zeigt Minus‐Zeichen). Dabei<br />
wird jeweils der orientierte Flächeninhalt berechnet.<br />
33
These<br />
3. Multiplikation von <strong>rationalen</strong> <strong>Zahlen</strong> ist<br />
einfacher als die Addition derselben.<br />
34
Quellen<br />
• H.‐J. Vollrath, Algebra in der Sek<strong>und</strong>arstufe, Bibliographisches<br />
Institut & F. A. Brockhaus AG, Mannheim, 1994.<br />
• F. Padberg/ R. Danckwerts/ M. Stein, <strong>Zahlen</strong>bereiche –Eine<br />
elementare Einführung, Spektrum Akademischer Verlag, Berlin,<br />
1995.<br />
• L. Hefendehl‐Hebeker/ S. Prediger, Unzählig viele <strong>Zahlen</strong>:<br />
Zahlbereiche erweitern‐ Zahlvorstellungen wandeln, In: Praxis der<br />
<strong>Mathematik</strong> in der Schule Heft 11/ Oktober 2006/ 48. Jg, 1‐7.<br />
• http://jones.math.unibas.ch/~zehrtc/institut/semesterarbeiten/M<br />
Mohler.pdf (Zugriff 02.11.2011)<br />
• Plus 7, Schöningh Verlag, 1976, Schönbeck <strong>und</strong> Schupp<br />
• Gamma 7 Gymnasium, Klett Verlag, 1977<br />
• <strong>Mathematik</strong> heute 7, Schroedel / Schöningh Verlag, 1987<br />
• <strong>Mathematik</strong> 7 Geamtschule, Westermann Verlag, 1988<br />
35
Quellen<br />
• <strong>Mathematik</strong> 7, Westermann Verlag, 1989, Hahn/Dzewas<br />
• Lernstufen <strong>Mathematik</strong> 7, Cornelsen Schwann Verlag, 1991, Leppig<br />
• <strong>Mathematik</strong> 7. Schuljahr, Cornelsen Verlag, 1993, Kuypers<br />
• Lambacher Schweizer 7 Gymnasium, Klett Verlag, 1999<br />
• <strong>Mathematik</strong> plus 7 Gymnasium Berlin, Cornelsen / Volk <strong>und</strong> Wissen,<br />
2006<br />
• Lambacher Schweizer 7 Gymnasium, Klett Verlag, 2006<br />
• Faktor 7 <strong>Mathematik</strong> Berlin, Schrödel, 2006<br />
• <strong>Zahlen</strong> <strong>und</strong> Größen 7, Cornelsen / Volk <strong>und</strong> Wissen, 2009<br />
• http://didaktik.mathematik.hu‐berlin.de/files/did_alg_zt_skript.pdf<br />
(Zugriff 12.11.2011)<br />
36
Vielen Dank für eure<br />
Aufmerksamkeit!<br />
37
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