Präsentation Proportionalität - Mathematik und ihre Didaktik
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<strong>Proportionalität</strong><br />
Robert Piasek<br />
Mathias Ünzelmann
Gliederung<br />
1. Rahmenplananalyse <strong>Proportionalität</strong><br />
2. Kompetenzerwerbsschema mit<br />
Beispielaufgaben<br />
3. Modellierungsaufgaben
Rahmenlehrplananalyse<br />
„In allen Jahrgangsstufen erhalten die Schülerinnen <strong>und</strong> Schüler beim<br />
Arbeiten mit Zahlen <strong>und</strong> beim Rechnen ausreichend Gelegenheit,<br />
Muster, Strukturen <strong>und</strong> Zuordnungen zu entdecken <strong>und</strong> diese in<br />
unterschiedlicher Weise darzustellen. Hierauf wird bei der Behandlung<br />
der <strong>Proportionalität</strong> aufgebaut.“ (Berliner Rahmenlehrplan Gr<strong>und</strong>schule)
Zuordnungen <strong>und</strong> <strong>Proportionalität</strong><br />
in der Primarstufe<br />
3/4 Themenfeld Zahl <strong>und</strong> Operation:<br />
- Zuordnungen in Sachsituationen erkennen <strong>und</strong> diese sprachlich sowie in<br />
Tabellen darstellen<br />
- einfache Sachsituationen zu proportionalen Zuordnungen untersuchen<br />
5/6 Themenfeld Zahl <strong>und</strong> Operation<br />
- Zuordnungen in Tabellen erkennen <strong>und</strong> beschreiben<br />
- Zuordnungen grafisch darstellen<br />
- aus Darstellungen Eigenschaften der Zuordnung ablesen <strong>und</strong><br />
Rückschlüsse auf die Sachsituation ziehen<br />
- Sachaufgaben zur <strong>Proportionalität</strong> inhaltlich lösen<br />
Abschlussstandards Klasse 6:<br />
- erkennen Zuordnungen, beschreiben sie sprachlich <strong>und</strong> in Tabellen<br />
- lösen Sachaufgaben zur <strong>Proportionalität</strong>
Fazit zur Primarstufe<br />
• keine Herausarbeitung der Eigenschaften<br />
(Quotientengleichheit, Additivität, etc.)<br />
• keine Betrachtung von antiproportionalen Zuordnungen<br />
(sinnvoll?!)<br />
• Aber Zuordnung von Größen als wichtige Voraussetzung<br />
integriert
Sek<strong>und</strong>arstufe I<br />
Themenfeld P2 Klasse 7/8: Verhältnisse mit<br />
<strong>Proportionalität</strong> erfassen<br />
- Vertiefung durch graphische <strong>und</strong> tabellarische<br />
Darstellung<br />
- Nutzen Verhältnisgleichungen <strong>und</strong> Tabellen zur<br />
Berechnung von Proportionen <strong>und</strong> prozentualen<br />
Anteile<br />
Inhalte: Maßstab, realitätsnahe Probleme, Prozent- <strong>und</strong><br />
Zinsrechnung, Dreisatz; Quotientengleichheit;
„Das Vergleichen von Anteilen als zentrale Idee der<br />
Prozentrechnung wird über die proportionale Zuordnung<br />
eingeführt. Für die Berechnung des Prozentwertes, des<br />
Gr<strong>und</strong>wertes <strong>und</strong> auch des Prozentsatzes wird sowohl<br />
anschaulich mit Diagrammen gearbeitet als auch in der<br />
Tabelle. Dabei wird der Dreisatz als eine Möglichkeit zur<br />
Berechnung proportionaler Verhältnisse erarbeitet. Die<br />
Schülerinnen <strong>und</strong> Schüler wählen <strong>ihre</strong>n Lösungsweg<br />
bewusst aus <strong>und</strong> begründen ihn.“<br />
Antiproportionale Zusammenhänge werden nicht<br />
erwähnt!!!
Sek<strong>und</strong>arstufe I<br />
Themenfeld P7 Klasse 7/8: proportionale <strong>und</strong> antiproportionale<br />
Modelle<br />
- Besonderheiten gegenüber anderen Zuordnungsmöglichkeiten<br />
herausstellen<br />
- Vertiefung durch Vergleich mit antiproportionalen Zuordnungen<br />
- Interpretieren <strong>und</strong> Validieren von Ergebnissen bei Modellierung<br />
Inhalte: Quotienten- <strong>und</strong> Produktgleichheit; Zuordnungsvorschriften mit<br />
Termen darstellen;<br />
„Schülerinnen <strong>und</strong> Schüler vertiefen ihr Wissen, indem sie eigene<br />
Beispielaufgaben zu den unterschiedlichen Zuordnungen finden<br />
oder entwickeln, an denen sie sich die wichtigen Eigenschaften<br />
(diskrete <strong>und</strong> kontinuierliche Beispiele) verdeutlichen.“
Fazit Sek<strong>und</strong>arstufe I<br />
• kaum inhaltliche Unterschiede in den beiden<br />
Themenfeldern<br />
• zentrale Kompetenzen: funktionaler Zusammenhang,<br />
Zahl <strong>und</strong> Modellieren<br />
• Verwendung unterschiedlicher Darstellungsformen<br />
• wichtig für Prozentrechnung <strong>und</strong> andere<br />
Verhältnisgleichungen<br />
• Aber wo bleibt der Bezug zum Funktionsbegriff???
1. THESE<br />
Die „zeitliche“ Trennung von proportionalen<br />
Zusammenhängen (Modul P2) zum Funktionsbegriff<br />
(Modul P4) <strong>und</strong> vor allem zur Antiproportionalität<br />
(Modul P7) in der Doppeljahrgangsstufe<br />
7/8 ist nicht sinnvoll.
Kompetenzerwerbsschema<br />
Wissen<br />
Proportionales <strong>und</strong><br />
antiproportionales<br />
Modellieren<br />
Proportionale <strong>und</strong><br />
antiproportionale<br />
Eigenschaften<br />
Proportionale <strong>und</strong><br />
antiproportionale<br />
Zuordnungen<br />
Lösen von Problem mit<br />
Verhältnisgleichungen<br />
<strong>Proportionalität</strong>sfaktor<br />
Erkennen <strong>und</strong> Beschreiben<br />
von (anti)proportionalen<br />
Zuordnungen<br />
Mehrfaches Anwenden<br />
von proportionalen<br />
Zuordnungen in<br />
Sachsituationen<br />
Verhältnisgleichheit,<br />
Quotientengleichheit,<br />
Produktgleichheit<br />
Rechnen mit<br />
(anti)proportionalen<br />
Zusammenhängen<br />
Lernerfolgskontrolle<br />
Additivität<br />
Darstellen von<br />
(anti)proportinalen<br />
Zuordnungen in<br />
Tabellen <strong>und</strong><br />
Diagrammen<br />
Können<br />
Die SuS beschreiben,<br />
interpretieren <strong>und</strong><br />
berechnen proportionale<br />
<strong>und</strong> antiproportionale<br />
Zusammenhänge in<br />
Alltagssituationen <strong>und</strong><br />
verwenden für sie<br />
unterschiedliche<br />
Darstellungsformen<br />
Die SuS können mit den<br />
Eigenschaften von<br />
proportionalen <strong>und</strong><br />
antiproportionalen<br />
Zuordnungen Probleme<br />
aus Sachsituationen<br />
modellieren.<br />
Die SuS leiten die Eigenschaften<br />
von proportionalen <strong>und</strong><br />
antiproportionalen<br />
Zuordnungen her <strong>und</strong><br />
können mit ihnen<br />
<strong>Proportionalität</strong><br />
begründen.<br />
Die SuS können proportionale<br />
<strong>und</strong> antiproportionale<br />
Zusammenhänge<br />
beschreiben mit ihnen<br />
Lösungsschemata<br />
anwenden <strong>und</strong> sie in<br />
geeigneten Formen<br />
darstellen.
<strong>Mathematik</strong> 7. Gesamtschule. Westermann. 1993.
<strong>Mathematik</strong> 7. Gesamtschule. Westermann. 1993.
Kompetenzerwerbsschema<br />
Wissen<br />
Proportionales <strong>und</strong><br />
antiproportionales<br />
Modellieren<br />
Proportionale <strong>und</strong><br />
antiproportionale<br />
Eigenschaften<br />
Proportionale <strong>und</strong><br />
antiproportionale<br />
Zuordnungen<br />
Lösen von Problem mit<br />
Verhältnisgleichungen<br />
<strong>Proportionalität</strong>sfaktor<br />
Erkennen <strong>und</strong> Beschreiben<br />
von (anti)proportionalen<br />
Zuordnungen<br />
Mehrfaches Anwenden<br />
von proportionalen<br />
Zuordnungen in<br />
Sachsituationen<br />
Verhältnisgleichheit,<br />
Quotientengleichheit,<br />
Produktgleichheit<br />
Rechnen mit<br />
(anti)proportionalen<br />
Zusammenhängen<br />
Lernerfolgskontrolle<br />
Additivität<br />
Darstellen von<br />
(anti)proportinalen<br />
Zuordnungen in<br />
Tabellen <strong>und</strong><br />
Diagrammen<br />
Können<br />
Die SuS beschreiben,<br />
interpretieren <strong>und</strong><br />
berechnen proportionale<br />
<strong>und</strong> antiproportionale<br />
Zusammenhänge in<br />
Alltagssituationen <strong>und</strong><br />
verwenden für sie<br />
unterschiedliche<br />
Darstellungsformen<br />
Die SuS können mit den<br />
Eigenschaften von<br />
proportionalen <strong>und</strong><br />
antiproportionalen<br />
Zuordnungen Probleme<br />
aus Sachsituationen<br />
modellieren.<br />
Die SuS leiten die Eigenschaften<br />
von proportionalen <strong>und</strong><br />
antiproportionalen<br />
Zuordnungen her <strong>und</strong><br />
können mit ihnen<br />
<strong>Proportionalität</strong><br />
begründen.<br />
Die SuS können proportionale<br />
<strong>und</strong> antiproportionale<br />
Zusammenhänge<br />
beschreiben mit ihnen<br />
Lösungsschemata<br />
anwenden <strong>und</strong> sie in<br />
geeigneten Formen<br />
darstellen.
Arbeitsauftrag I<br />
Begutachtet mit Eurem Partner die<br />
Einstiegsseiten eines Schulbuches.<br />
Skizziert das Vorgehen <strong>und</strong> bewertet es.
Faktor 8 – <strong>Mathematik</strong>. Schroedel. 2007.
<strong>Mathematik</strong> 7. Mecklenburg-Vorpommern. 2003.
Einführung in die <strong>Mathematik</strong>. 7. Schuljahr. 1974.
Lambacher Schweizer. Klasse 7. 2007.
Kompetenzerwerbsschema<br />
Wissen<br />
Proportionales <strong>und</strong><br />
antiproportionales<br />
Modellieren<br />
Proportionale <strong>und</strong><br />
antiproportionale<br />
Eigenschaften<br />
Proportionale <strong>und</strong><br />
antiproportionale<br />
Zuordnungen<br />
Lösen von Problem mit<br />
Verhältnisgleichungen<br />
<strong>Proportionalität</strong>sfaktor<br />
Erkennen <strong>und</strong> Beschreiben<br />
von (anti)proportionalen<br />
Zuordnungen<br />
Mehrfaches Anwenden<br />
von proportionalen<br />
Zuordnungen in<br />
Sachsituationen<br />
Verhältnisgleichheit,<br />
Quotientengleichheit,<br />
Produktgleichheit<br />
Rechnen mit<br />
(anti)proportionalen<br />
Zusammenhängen<br />
Lernerfolgskontrolle<br />
Additivität<br />
Darstellen von<br />
(anti)proportinalen<br />
Zuordnungen in<br />
Tabellen <strong>und</strong><br />
Diagrammen<br />
Können<br />
Die SuS beschreiben,<br />
interpretieren <strong>und</strong><br />
berechnen proportionale<br />
<strong>und</strong> antiproportionale<br />
Zusammenhänge in<br />
Alltagssituationen <strong>und</strong><br />
verwenden für sie<br />
unterschiedliche<br />
Darstellungsformen<br />
Die SuS können mit den<br />
Eigenschaften von<br />
proportionalen <strong>und</strong><br />
antiproportionalen<br />
Zuordnungen Probleme<br />
aus Sachsituationen<br />
modellieren.<br />
Die SuS leiten die Eigenschaften<br />
von proportionalen <strong>und</strong><br />
antiproportionalen<br />
Zuordnungen her <strong>und</strong><br />
können mit ihnen<br />
<strong>Proportionalität</strong><br />
begründen.<br />
Die SuS können proportionale<br />
<strong>und</strong> antiproportionale<br />
Zusammenhänge<br />
beschreiben mit ihnen<br />
Lösungsschemata<br />
anwenden <strong>und</strong> sie in<br />
geeigneten Formen<br />
darstellen.
VOLLRATH, WEIGAND (2007), S. 167.
Kompetenzerwerbsschema<br />
Wissen<br />
Proportionales <strong>und</strong><br />
antiproportionales<br />
Modellieren<br />
Proportionale <strong>und</strong><br />
antiproportionale<br />
Eigenschaften<br />
Proportionale <strong>und</strong><br />
antiproportionale<br />
Zuordnungen<br />
Lösen von Problem mit<br />
Verhältnisgleichungen<br />
<strong>Proportionalität</strong>sfaktor<br />
Erkennen <strong>und</strong> Beschreiben<br />
von (anti)proportionalen<br />
Zuordnungen<br />
Mehrfaches Anwenden<br />
von proportionalen<br />
Zuordnungen in<br />
Sachsituationen<br />
Verhältnisgleichheit,<br />
Quotientengleichheit,<br />
Produktgleichheit<br />
Rechnen mit<br />
(anti)proportionalen<br />
Zusammenhängen<br />
Lernerfolgskontrolle<br />
Additivität<br />
Darstellen von<br />
(anti)proportinalen<br />
Zuordnungen in<br />
Tabellen <strong>und</strong><br />
Diagrammen<br />
Können<br />
Die SuS beschreiben,<br />
interpretieren <strong>und</strong><br />
berechnen proportionale<br />
<strong>und</strong> antiproportionale<br />
Zusammenhänge in<br />
Alltagssituationen <strong>und</strong><br />
verwenden für sie<br />
unterschiedliche<br />
Darstellungsformen<br />
Die SuS können mit den<br />
Eigenschaften von<br />
proportionalen <strong>und</strong><br />
antiproportionalen<br />
Zuordnungen Probleme<br />
aus Sachsituationen<br />
modellieren.<br />
Die SuS leiten die Eigenschaften<br />
von proportionalen <strong>und</strong><br />
antiproportionalen<br />
Zuordnungen her <strong>und</strong><br />
können mit ihnen<br />
<strong>Proportionalität</strong><br />
begründen.<br />
Die SuS können proportionale<br />
<strong>und</strong> antiproportionale<br />
Zusammenhänge<br />
beschreiben mit ihnen<br />
Lösungsschemata<br />
anwenden <strong>und</strong> sie in<br />
geeigneten Formen<br />
darstellen.
VOLLRATH, WEIGAND (2007), S. 167ff.
VOLLRATH, WEIGAND (2007), S. 167ff.
Zusammenhang zwischen<br />
<strong>Proportionalität</strong> <strong>und</strong> Monotonie<br />
VOLLRATH, WEIGAND (2007), S. 167ff.
2. THESE<br />
Der Monotoniebegriff wird zu Recht erst in der<br />
Sek<strong>und</strong>arstufe II thematisiert, da sonst falsche<br />
Rückschlüsse zu (anti)proportionalen<br />
Zusammenhängen entstehen können.
1. Möglichkeit 2. Möglichkeit<br />
Elemente der <strong>Mathematik</strong> 7. 2006.
Elemente der <strong>Mathematik</strong> 7. 2006.
Kompetenzerwerbsschema<br />
Wissen<br />
Proportionales <strong>und</strong><br />
antiproportionales<br />
Modellieren<br />
Proportionale <strong>und</strong><br />
antiproportionale<br />
Eigenschaften<br />
Proportionale <strong>und</strong><br />
antiproportionale<br />
Zuordnungen<br />
Lösen von Problem mit<br />
Verhältnisgleichungen<br />
<strong>Proportionalität</strong>sfaktor<br />
Erkennen <strong>und</strong> Beschreiben<br />
von (anti)proportionalen<br />
Zuordnungen<br />
Mehrfaches Anwenden<br />
von proportionalen<br />
Zuordnungen in<br />
Sachsituationen<br />
Verhältnisgleichheit,<br />
Quotientengleichheit,<br />
Produktgleichheit<br />
Rechnen mit<br />
(anti)proportionalen<br />
Zusammenhängen<br />
Lernerfolgskontrolle<br />
Additivität<br />
Darstellen von<br />
(anti)proportinalen<br />
Zuordnungen in<br />
Tabellen <strong>und</strong><br />
Diagrammen<br />
Können<br />
Die SuS beschreiben,<br />
interpretieren <strong>und</strong><br />
berechnen proportionale<br />
<strong>und</strong> antiproportionale<br />
Zusammenhänge in<br />
Alltagssituationen <strong>und</strong><br />
verwenden für sie<br />
unterschiedliche<br />
Darstellungsformen<br />
Die SuS können mit den<br />
Eigenschaften von<br />
proportionalen <strong>und</strong><br />
antiproportionalen<br />
Zuordnungen Probleme<br />
aus Sachsituationen<br />
modellieren.<br />
Die SuS leiten die Eigenschaften<br />
von proportionalen <strong>und</strong><br />
antiproportionalen<br />
Zuordnungen her <strong>und</strong><br />
können mit ihnen<br />
<strong>Proportionalität</strong><br />
begründen.<br />
Die SuS können proportionale<br />
<strong>und</strong> antiproportionale<br />
Zusammenhänge<br />
beschreiben mit ihnen<br />
Lösungsschemata<br />
anwenden <strong>und</strong> sie in<br />
geeigneten Formen<br />
darstellen.
Das Adenauer-Denkmal (Bonn)<br />
vom Künstler Hubertus von Pilgrim<br />
Wie groß müsste wohl ein<br />
entsprechendes Denkmal sein, wenn<br />
es Adenauer „von Kopf bis Fuß“ in<br />
demselben Maßstab darstellen soll?
10 cm<br />
12 cm<br />
Größe des Mädchens ca. 1,30m.<br />
<strong>Proportionalität</strong>sfaktor:<br />
130cm : 10cm = 13<br />
Größe des Kopfes:<br />
12cm * 13 = 156cm<br />
Wie ist das Verhältnis zwischen<br />
Kopf-Größe <strong>und</strong> Körper-Größe?<br />
Robert: 169cm : 24cm = 7,04<br />
Mathias: 186cm : 26cm = 7,15<br />
156cm * 7 = 1092cm = 10,92m
1,2 cm<br />
10 cm<br />
Verhältnis Kinderkopf zu<br />
Erwachsenenkopf:<br />
Erwachsenenkopf um 1,1<br />
größer<br />
<strong>Proportionalität</strong>sfaktor:<br />
10cm : (1,1 * 1,2cm) = 7,6<br />
Körpergröße eines männlichen<br />
Erwachsenen:<br />
185cm * 7,6 = 14,06m
Wie schwer ist dieses Bison-Baby?<br />
Noch etwas schwach auf den Beinen ist das kleine Bisonkalb Astor, das im Strals<strong>und</strong>er Tierpark<br />
Mitte August zur Welt kam. Der Zoo der Hansestadt ist der einzige im Land, in dem die bis zu einer<br />
Tonne schweren Wildrinder aus Nordamerika heimisch sind. Foto: dpa
3,8cm<br />
4,6cm<br />
8,8cm<br />
6,6cm<br />
Volumenverhältnis der Mutter zum Kalb:<br />
1,74 * 1,91 * 1,8 = 5,98<br />
Gewicht des Kalbes:<br />
900kg : 5,98 = 150,5kg<br />
Muttertier ca. 900kg schwer<br />
Höhenverhältnis:<br />
Längenverhältnis:<br />
6,6cm : 3,8cm = 1,74<br />
8,8cm : 4,6 cm = 1,91<br />
Breitenverhältnis zwischen<br />
1,74 <strong>und</strong> 1,9, also ca. 1,8
3. THESE<br />
Die Thematik der (Anti)-<strong>Proportionalität</strong> ist<br />
nicht ausreichend für Modellierungsaufgaben<br />
geeignet, da hiermit nur einfache Probleme<br />
gelöst werden können <strong>und</strong> komplexere<br />
Betrachtungen nicht möglich sind.
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