Logische Grundlagen des Mathematikunterrichts - Mathematik und ...

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Logische Grundlagen des Mathematikunterrichts 

Alexander Tochtenhagen, Marcel Grüneberg 

Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät II - Institut für Mathematik 

10. November 2010 

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Inhaltsverzeichnis 

1 Logik 

2 Rahmenplan 

3 Logische Grundlagen 

4 Äquivalenzumformungen 

5 Beweise 

6 Bedingungen 

7 Zum Anfang 

8 Quellen 

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Einführung 

Ein Jäger geht auf die Jagd 

Ein Jäger geht auf die Jagd; So- 

nusvox ist sein Hüfthorn, aus wel- 

chem duae praemissae als zwei Ro- 

sen hervorgehen; der das Horn hal- 

tende Arm bedeutet Argumenta; auf 

seiner Brust ist Conclusio geschrie- 

ben; Syllogismus ist sein Waidmes- 

ser, Quaestio der Bogen in seiner 

rechten Hand; vor ihm springen zwei 

Jagdhunde, ein schöner Veritas und 

ein häßlicher Falsitas; Gegenstand 

der Jagd ist ein Hase Problema; 

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Einführung 

Definition Logik 

Logik 

Logik ist die Lehre des vernünftigen (Schluss-)Folgerns. 

Logik untersucht die Gültigkeit von Argumenten hinsichtlich 

ihrer Struktur unabhängig vom konkreten Inhalt der 

eigentlichen Aussagen. 

man spricht auch von ” mathematischer”Logik. 

Logik ist Disziplin der Philosophie, der Mathematik und der 

Informatik 

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Einführung 

Historischer Überblick 

Die Logik wurde als ” Wissenschaft vom richtigen 

Schließen”von Aristoteles begründet und hat, durch 

Mittelalter bis zu Kant und Hegel, die verschiedensten 

philosophischen (und theologischen) Erweiterungen erfahren. 

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Einführung 






George Boole führte als erster für den Teilbereich der 

Aussagenlogik eine Formalisierung ein. Dies kann insofern als 

die Geburtsstunde mathematischer Logik dienen, als damit die 

Logik einer mathematischen Betrachtung zugänglich wurde. 

Booles Ansatz wurde später zur Prädikatenlogik erweitert. 

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Einführung 






George Boole führte als erster für den Teilbereich der 

Aussagenlogik eine Formalisierung ein. Dies kann insofern als 

die Geburtsstunde mathematischer Logik dienen, als damit die 

Logik einer mathematischen Betrachtung zugänglich wurde. 

Booles Ansatz wurde später zur Prädikatenlogik erweitert. 

Den Höhepunkt der Entwicklung stellt die Veröffentlichung 

der ” Principia Mathematica” von A.N. Whitehead und B. 

Russel dar. 

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Ein paar einfache Probleme 

Wason Selection Task 

Gegeben sind Karten mit einer Ziffer auf der einen Seite und einem 

Buchstaben auf der anderen Seite. 

These: Wenn die Karte auf einer Seite einen Vokal hat, dann hat 

sie auf der anderen Seite eine gerade Zahl. 

Aufgabe: Welche Karten sind umzudrehen, um die These zu 

testen? 

Tipp: Es sind so wenig wie möglich, aber soviel wie nötig 

umzudrehen. 

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Die Verneinung 

Aufgabe: Verneine folgende Aussagen! 

1 Alle Schüler sind fleißig. 

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Aufgabe: Verneine folgende Aussagen! 

1 Alle Schüler sind fleißig. 

2 Der gegenwärtige König von Frankreich hat eine Glatze. 

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Logik im Berliner Rahmenplan 

Sekundarstufe I 

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Prozessbezogene Kompetenzbereiche 

Die Aufgabe des Mathematikunterrichts ist es, auf allen 

Niveaustufen Schülerinnen und Schülern den Erwerb der 

folgenden Kompetenzen zu ermöglichen. 

Argumentieren 

Probleme lösen 

Modellieren 

Darstellungen verwenden 

Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der 

Mathematik umgehen 

Kommunizieren 

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Argumentieren 

Mathematisches Argumentieren umfasst das Erkunden von 

Situationen, das Aufstellen von Vermutungen und das schlüssige 

Begründen von vermuteten Zusammenhängen. In der 

Sekundarstufe I kommen beim Argumentieren unterschiedliche 

Grade der Strenge zum Tragen: vom intuitiven, anschaulichen 

Begründen bis zum mehrschrittigen Beweisen durch Zurückführen 

auf gesicherte Aussagen. 

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Prozessbezogene Standards 

Die folgenden Standards werden von Schülerinnen und Schülern 

aller Schulformen und am Ende beider Doppeljahrgangsstufen 

erwartet. 

Argumentieren 

Die Schülerinnen und Schüler 

erkunden mathematische Situationen und stellen 

Vermutungen auf, 

begründen die Plausibilität von Vermutungen oder widerlegen 

diese durch Angabe von Beispielen oder Gegenbeispielen, 

entwickeln schlüssige Argumentationen zur Begründung 

mathematischer Aussagen, 

hinterfragen Argumentationen und Begründungen kritisch, 

finden und korrigieren Fehler. 

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Beispiele 

Mathematikunterricht soll nicht nur mathematische Inhalte 

transportieren, sondern Schülerinnen und Schüler dazu befähigen 

diese auch kritisch zu prüfen. =⇒ Beweisen! 

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Beispiele 




P6 – 7/8 Konstruieren und mit ebenen Figuren argumentieren 

⋆⋆ beweisen den Satz des Thales 

⋆⋆ beweisen den Satz über die Winkelsumme im Dreieck 

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Beispiele 







P5 – 9/10 Mit Winkeln und Längen rechnen 

⋆⋆⋆ beweisen den Sinus- und den Kosinussatz in beliebigen 

Dreiecken 

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Beispiele 







P5 – 9/10 Mit Winkeln und Längen rechnen 

⋆⋆⋆ beweisen den Sinus- und den Kosinussatz in beliebigen 

Dreiecken 

P2 – 9/10 Längen und Flächen bestimmen und berechnen 

⋆⋆⋆ beweisen den Satz des Pythagoras und seine Umkehrung 

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Beispiele 

P1 – 9/10 Neue Zahlen entdecken 

⋆⋆⋆ beweisen die Irrationalität einer Quadratwurzel (indirekter 

Beweis) 

Der indirekte Beweis wird erstmalig im Profilkurs im Rahmen des 

Moduls ” Entdecken, Begründen, Beweisen”behandelt. 

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Sekundarstufe II 

Kurs ma–Z3 Logik 

Aussagen– und Prädikatenlogik 

Quantoren, Verknüpfungen bei Aussageformen, 

Mengendiagramme 

logische Schlussformen 

Beachte: Zusatzkurse dürfen nicht vor dem Besuch der 

entsprechenden Grund– oder Leistungskurse belegt werden 

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Mathematische Logik 

Einführung 

Die Mathematische Logik ist eine Ausdehnung der formalen 

Methode der Mathematik auf das Gebiet der Logik. 

logisches Denken findet sein Abbild in einem Logikkalkül 

erfolgreiche Inangriffnahmen von Problemen, bei denen rein 

inhaltliches Denken versagt 

nützlich in Disziplinen die eine axiomatische Begründung 

zulassen 

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Aussagenlogik 

Definition 

Aussage 

Eine Aussage ist ein Satz, von dem es sinnvoll ist zu behaupten, 

dass sein Inhalt richtig oder falsch ist. 

Beispiele: 

Der Schnee ist schwarz. 

9 ist eine Primzahl. 

Hertha BSC steigt nächste Saison nicht auf. 

Die Masse m eines Körpers ist von seinem Bewegungszustand 

unabhängig, d.h. m0 = mv . 

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Aussagenlogik 

Verknüpfung von Aussagen 

Bei Aussagen interessiert uns nicht Inhalt, sprachliche Gestallt 

oder gedankliche Struktur. 

Was uns interssiert ist der Wahrheitswert 

Wichtige Verknüpfungen sind: ∧(und), ∨(oder), ¬(Negation), 

⇒(Implikation), ⇔(Äquivalenz) 

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Aussagenlogik 

Verknüpfung von Aussagen 

Bei Aussagen interessiert uns nicht Inhalt, sprachliche Gestallt 

oder gedankliche Struktur. 

Was uns interssiert ist der Wahrheitswert 

Wichtige Verknüpfungen sind: ∧(und), ∨(oder), ¬(Negation), 

⇒(Implikation), ⇔(Äquivalenz) 

A B ¬A A∧B A∨B A ⇒ B A ⇔ B 

f f w f f w w 

f w w f w w f 

w f f f w f f 

w w f w w w w 

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Aussagenlogik 

Aussagenlogische Gesetze 

tertium non datur 

Der Satz vom Ausgeschlossenem Dritten behauptet, dass zwei 

einander widersprechende Aussagen nicht beide ungültig sein 

können. 

A ¬A A ∨ ¬A 

wahr falsch wahr 

falsch wahr wahr 

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Aussagenlogik 

Aussagenlogische Gesetze 

ex falso quodlibet 

Aus Falschem folgt Beliebiges, d.h. aus einer Falschen Annahme 

kann man quasi beliebige Aussagen ableiten. 

Das bedeutet aber auch, dass aus Wahrem nur Wahres folgen darf. 

Angeblich soll Bertand Russel zu einem Philosophen gesagt haben, 

dass ein falscher Satz jeden beliebigen Satz impliziert. Daraufhin 

meinte der Philosoph, können Sie mir beweisen: ” Wenn 1 = 2, so 

sind Sie der Papst.” [6] 

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Schlussregeln 

Modus ponendo ponens 

Abtrennungsregel 

Der Modus ponendo ponens, ist eine Schlussfigur (modus) der 

klassischen Logik, die durch das Setzen (ponendo) einer Aussage 

eine andere Aussage setzt (ponens). Aus einer gegebenen erster 

Prämisse, ” Wenn A, dann B”, und durch das Setzen der zweiten 

Prämisse A folgt die Konklusion B. 

A ⇒ B 

A 

B 

Beispiel: 

” Wenn es regnet, wird die Straße nass“ und Es regnet“ folgt 

” 

logisch: Die Straße wird nass“. 

” 

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Schlussregeln 

Modus tollendo tollens 

Aufhebungsregel 

Der Modus tollendo tollens ” durch Aufheben aufhebende 

Schlussweise“ist eine Schlussfigur (modus), die es erlaubt, dass aus 

den Voraussetzungen ” nicht B“und ” Wenn A, dann B“auf die 

Wahrheit von nicht A geschlossen werden kann. 

A ⇒ B 

¬B 

¬A 

Beispiel: 

” Wenn es regnet, ist die Straße nass“und Die Straße ist nicht 

” 

nass”folgt logisch Es regnet nicht”. 

” 

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Schlussregeln 

Modus tollendo tollens 

Aufhebungsregel 

Der Modus tollendo tollens ” durch Aufheben aufhebende 

Schlussweise“ist eine Schlussfigur (modus), die es erlaubt, dass aus 

den Voraussetzungen ” nicht B“und ” Wenn A, dann B“auf die 

Wahrheit von nicht A geschlossen werden kann. 

A ⇒ B 

¬B 

¬A 

Beispiel: 

” Wenn es regnet, ist die Straße nass“und Die Straße ist nicht 

” 

nass”folgt logisch Es regnet nicht”. 

” 

Achtung, der Schluss: Die Straße ist nass, daher regnet es“ist 

” 

unzulässig und falsch. 

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Prädikatenlogik 

Grundlagen 

Prädikatenlogik ist ebenfalls eine klassische Logik 

Erweiterung der Aussagenlogik betrachten 

Prädikatenlogik kann mögliche Variablen mit Hilfe 

sogenannter Quantoren quantifizieren 

Für uns wichtig an dieser Stelle sind die folgenden Quantoren: 

∀ für alle 

∃ es existiert 

∃! es existiert genau ein 

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Formalisierung 

Mit Hilfe der Prädikatenlogik lässt sich ein großer Bereich an 

Sätzen formalisieren und dann auf seine Gültigkeit innerhalb eines 

Axiomsystems prüfen. 

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Ein Mädchen spielt Schach. 

Es gibt jemanden, der Mädchen ist und Schach spielt. 

Es gibt ein x, für das gilt: x ist Mädchen und x spielt Schach. 

∃x : x ist Mädchen ∧ x spielt Schach. 

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Ein Mädchen spielt Schach. 

Es gibt jemanden, der Mädchen ist und Schach spielt. 

Es gibt ein x, für das gilt: x ist Mädchen und x spielt Schach. 

∃x : x ist Mädchen ∧ x spielt Schach. 

Alle Frauen sind gute Autofahrer. 

Für jedes Ding gilt, wenn es eine Frau ist, dann fährt es gut 

Auto. 

Für alle x gilt: ist x eine Frau, dann fährt x gut Auto. 

∀x : x ist eine Frau ⇒ x fährt gut Auto. 

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Wahrheitswerte 

Beachte, auch in der Prädikatenlogik lassen sich Wahrheitswerte 

den Aussagen zuordnen. 

Die Aussage ∃x : F (x) ist genau dann wahr, wenn es 

mindestens eine Belegung der Variable x gibt, sodass F(x) 

erfüllt ist. 

Die Aussage ∀x : F (x) ist genau dann wahr, wenn für alle 

Belegungen der Variable x, F (x) erfüllt ist. 

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Die Implikation 

Betrachte folgende Aussage: ” wenn x < 3, dann x < 5”, d.h. 

x < 3 ⇒ x < 5, ∀x ∈ R 

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Fall Einsetzung 

für x 

x < 3 ⇒ x < 5, ∀x ∈ R 

x < 3 x < 5 x < 3 ⇒ x < 5, d.h. x ≥ 3 ∨ x < 5 

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für x 

ww 

x < 3 ⇒ x < 5, ∀x ∈ R 

x < 3 x < 5 x < 3 ⇒ x < 5, d.h. x ≥ 3 ∨ x < 5 

2 2 < 3 2 < 5 2 < 3 ⇒ 2 < 5, 2 ≥ 3 ∨ 2 < 5, wahr 

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für x 

ww 

wf 

x < 3 ⇒ x < 5, ∀x ∈ R 

x < 3 x < 5 x < 3 ⇒ x < 5, d.h. x ≥ 3 ∨ x < 5 

2 2 < 3 2 < 5 2 < 3 ⇒ 2 < 5, 2 ≥ 3 ∨ 2 < 5, wahr 

– – – – 

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für x 

ww 

wf 

fw 

x < 3 ⇒ x < 5, ∀x ∈ R 

x < 3 x < 5 x < 3 ⇒ x < 5, d.h. x ≥ 3 ∨ x < 5 

2 2 < 3 2 < 5 2 < 3 ⇒ 2 < 5, 2 ≥ 3 ∨ 2 < 5, wahr 

– – – – 

4 4 < 3 4 < 5 4 < 3 ⇒ 4 < 5, 4 ≥ 3 ∨ 4 < 5, wahr 

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für x 

ww 

wf 

fw 

ff 

x < 3 ⇒ x < 5, ∀x ∈ R 

x < 3 x < 5 x < 3 ⇒ x < 5, d.h. x ≥ 3 ∨ x < 5 

2 2 < 3 2 < 5 2 < 3 ⇒ 2 < 5, 2 ≥ 3 ∨ 2 < 5, wahr 

– – – – 

4 4 < 3 4 < 5 4 < 3 ⇒ 4 < 5, 4 ≥ 3 ∨ 4 < 5, wahr 

6 6 < 3 6 < 5 6 < 3 ⇒ 6 < 5, 6 ≥ 3 ∨ 6 < 5, wahr 

Man erkennt: Kritische Fall ” wf”kann nicht eintreten. 

Damit ist die Allgemeingültigkeit der Aussage x < 3 ⇒ x < 5 

gezeigt. 

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Grundlagen der Äquivalenzumformungen 

Beispiele 

Grundlage: Aussageform 

Aussageform A(x,y,...) ist sprachliches Gebilde, welches 

mindestens eine Variable enthält und nach geeigneter 

Ersetzung in eine wahre oder falsche Aussage übergeht 

A(x) : √ x = 2, M = {x ∈ R : √ x = 2} = {4} 

B(x, y) : x + 10y = 8 

M = {(x, y) ∈ R 2 : x + 10y = 8} = {(k, ( 

8 − k 

10 )) ∈ R2 , k ∈ R} 

Belegung für die eine Aussageform wahr wird, wird als 

Erfüllungsmenge M über der Grundmenge G n bezeichnet. 

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Äquivalenz von Aussageformen 

Man bezeichnet zwei Aussageformen A(x,y,...) und B(x,y,...) unter 

der gleichen Grundmenge als äquivalent genau dann, wenn ihre 

Erfüllungsmengen übereinstimmen. 

Dementsprechend bezeichnet man eine Umformung einer 

Gleichung, die die Erfüllungsmenge nicht verändert als 

Äquivalenzumformung. 

Dazu gehören: 

Addition eines Terms und 

Multiplikation eines Terms (ungleich Null) auf beiden Seiten 

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Beweis 

Verallgemeinerung 

Satz 

Wendet man eine injektive Abbildung f auf beide Seiten einer 

Gleichung an, so bezeichnet man dies als Äquivalenzumformung. 

Beweis 

zu zeigen ist: 

Sei (x,y,..) eine Lösung der Gleichung h = j, mit h,j Terme, 

dann ist (x,y,...) eine Lösung der Gleichung f (h) = f (j). 

Es existieren keine Lösungen von f (h) = f (j), die nicht 

gleichzeitig Lösungen von h = j sind. 

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Beweis 

Zum Beweis 

Zum ersten Punkt: folgt direkt aus der Definition einer Funktion 

Zum zweiten Punkt: folgt direkt aus der Injektivität von f 

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Typische Schülerfehler 

Fehler 

Lösen von Gleichungssystemen über R 

Äquivalenzumformungen von Gleichungen über R 

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Lösungsmenge des Gleichungssystems 

Abbildung: Lösungsmenge dargestellt als Schnittmenge von Ebenen 

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Lösungsmenge des verändertem Gleichungssystems 

Abbildung: Lösungsmenge dargestellt als Schnittmenge von Ebenen 

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Erfahrungen 

Welche Erfahrungen habt ihr damit im Unterricht gemacht und wie 

seid ihr damit umgegangen? 

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Definition 

Beweis 

Eine endliche Kette von Umformungen, die mit Hilfe gültiger 

Schlussregeln durchgeführt werden und die von wahren bzw. als 

wahr angenommenen Aussagen (Prämissen) ausgehen und zu der 

Aussage A (Konklusion) führen, nennen wir Beweis der Aussage A. 

einige wichtige Beweisverfahren: 

direkter Beweis 

indirekter Beweis 

Beweis durch Kontraposition 

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Direkter Beweis 

Vorgehen 

Man geht von einer bereits bewiesenen oder als wahr 

angenommenen Voraussetzung aus, aus der mit Hilfe von gültigen 

Schlussregeln nach einer endlichen Anzahl von Schritten die 

Behauptung folgt. 

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Indirekter Beweis 

Vorgehen 

Die Implikation ” wenn A, dann B”kann auch mit Hilfe der 

Adjunktion und Negation dargestellt werden, wie schon vorher 

gesehen in Abschnitt ” Implikation”. 

A ⇒ B ⇔ B ∨ ¬A 

Die Implikation ist nicht nur dann wahr, wenn die Voraussetzung 

und die Behauptung wahr ist, sondern auch dann, wenn die 

Verneinung falsch ist. 

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Kalkül 

Die Annahme für den indirekten Beweis gewinnen wir durch 

die Negation der Behauptung. 

Mit gültigen Schlussregeln schließen wir solange weiter, bis ein 

Widerspruch zur Voraussetzung oder zur Annahme sichtlich 

wird. 

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Wahrheitstafel zur Verneinung der Implikation 

A B ¬A ¬B A ⇒ B ⇔ B ∨ ¬A ¬(A ⇒ B) ⇔ ¬B ∧ A 

w w f f w f 

w f f w f w 

f w w f w f 

f f w w w f 

Wir wissen, dass eine Aussage und ihre Negation nicht gleichzeitig 

wahr sein können. Daraus muss folgen, dass die Annahme falsch 

und die Negation der Annahme (Behauptung) wahr ist. 

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Kontraposition 

Beweis durch Kontraposition 

Achtung: Häufig mit dem indirekten Beweis verwechselt. 

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Wahrheitstabelle 

Wahrheitswerte 

A B ¬A ¬B A ⇒ B ⇔ B ∨ ¬A ¬B ⇒ A ⇔ ¬A ∨ B ¬(A ⇒ B) ⇔ ¬B ∧ A 

w w f f w w f 

w f f w f f w 

f w w f w w f 

f f w w w w f 

Erkenntnis: ¬B ⇒ ¬A ⇔ A ⇒ B 

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Erfahrungen 

Eigene Erfahrungen mit Beweisen im Schulalltag und zu Beginn 

des Studiums 

Welche Erfahrungen habt ihr beim Unterrichten von Beweisen 

gemacht? 

Würde euch eine solch theoretische Einführung zum Beginn 

des Studiums helfen mit Beweisen umzugehen? 

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Notwendige und Hinreichende Bedingung 

Grundlagen 

Notwendige Bedingung und hinreichende Bedingung sind 

Begriffe aus der Aussagenlogik. 

Unterscheidung zwischen notwendigen und hinreichenden 

Typen von Voraussetzungen 

Unterscheidung ermöglicht die genauere Einordnung von 

Schlussfolgerungen 

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Notwendige Bedingung 

Notwendige Bedingung 

Eine notwendige Bedingung ist eine unersetzbare Voraussetzung, 

ohne die ein Ereignis nicht eintritt. Die Erfüllung der 

Voraussetzung garantiert jedoch nicht den Eintritt des Ereignisses. 

Umgangssprachlich wird eine notwendige Bedingung auch 

K.O.-Kriterium genannt 

Das heißt, wenn wir wissen, dass B nicht gilt, so kann auch A nicht 

gelten. Dies liegt daran, dass aus etwas Wahrem nichts Falsches folgen 

darf. 

Beispiel: Nur wer volljährig ist, darf an der Bundestagswahl teilnehmen. 

Volljährigkeit ist eine notwendige Bedingung für das Wahlrecht zum 

Deutschen Bundestag. Sie ist aber nicht allein entscheidend: man muss 

noch weitere notwendige Bedingungen erfüllen, z. B. die deutsche 

Staatsbürgerschaft besitzen. 

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Hinreichende Bedingung 

Hinreichende Bedingung 

Eine hinreichende Bedingung ist eine Voraussetzung, bei deren 

Erfüllung Ereignis zwangsläufig eintritt und keine weiteren 

Voraussetzungen benötigt werden. Das Vorliegen des Ereignisses 

jedoch auch andere Ursachen haben, das heißt wenn das Ereignis 

vorliegt, ist es nicht zwingend, dass eine bestimmte hinreichende 

Bedingung erfüllt sein muss. 

Das heißt, wenn wir wissen, dass A gilt, so muss B gelten. Dies liegt 

daran, dass aus etwas Wahrem nichts Falsches folgen darf. 

Beispiel: Wenn es regnet, wird die Straße nass. Regen ist hinreichend 

(ausreichend) dafür, dass die Straße nass wird. Regen ist aber keine 

notwendige Bedingung hierfür, weil es auch andere Möglichkeiten gibt, 

eine Straße zu befeuchten, zum Beispiel durch besprengen mit einem 

Wasserschlauch. 

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Notwendige und hinreichende Bedingungen für Extrema 

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Eine notwendige Bedingung für die Existenz eines Extremums an 

der Stelle x0 ist das Vorliegen einer waagerechten Tangente, d. h. 

also f ′ (x0) = 0. 

Ist das auch schon hinreichend? 

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Hinreichend wäre: 

f ′ (x0) = 0 und f ′′ (x0) < 0 für ein Maximum und 

f ′ (x0) = 0 und f ′′ (x0) > 0 für ein Minimum. 

Wie man sieht ist die notwendige Bedingung in der hinreichenden 

Bedingung enthalten. Würde auch nur der Ausdruck f ′′ (x0) = 0 

ausreichen? 

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Lösung der Aufgaben 




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Die Karten A und 7 müssen umgedreht werden, was den 

Schlussregeln Modus ponendo ponens bzw. Modus tollendo tollens 

entspricht. 

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Aufgabe: Verneine folgende Aussage! 

Der gegenwärtige König von Frankreich hat eine Glatze. 

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Ausführliche Analyse des Problems 

Wir konnten uns in der Vergangenheit davon überzeugen, dass Aussagen wahr oder 

falsch sind. Wenn eine Aussage wahr ist, dann ist ihre Verneinung falsch; und wenn 

eine Aussage falsch ist, dann ist ihre Verneinung wahr. Eine dritte Möglichkeit gibt es 

nicht (Satz vom ausgeschlossenen Dritten, tertium non datur). 

Wie sieht es nun mit der Aussage ”Der gegenwärtige König von Frankreich hat eine 

Glatze“und ihrer intuitiven Verneinung ”Der gegenwärtige König von Frankreich hat 

keine Glatze“aus? Einer der beiden Sätze muss wahr sein, der andere falsch. Welcher 

ist wahr, welcher falsch? 

Geht man nun der Reihe nach alle Dinge durch, die eine Glatze haben, wird man unter 

ihnen den gegenwärtigen König von Frankreich nicht finden (denn Frankreich hat 

keinen König). Der Satz ”Der gegenwärtige König von Frankreich hat eine Glatze“wäre 

demnach falsch. Geht man alle Dinge durch, die keine Glatze haben, dann wird man 

jedoch auch nicht auf den gegenwärtigen König von Frankreich stoßen. Der Satz ”Der 

gegenwärtige König von Frankreich hat keine Glatze“wäre somit nicht weniger falsch! 

Wir stehen damit vor dem Problem, dass sowohl ein Satz als auch seine Verneinung 

falsch ist. Das ist nicht nur nicht einsichtig, sondern vor allem mit unserer logischen 

Sprache nicht verträglich. 

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Ausführliche Lösung des Problems 

Auch hier entsteht das Problem aus einer falschen Analyse. Die Kennzeichnung der 

” 

gegenwärtige König von Frankreich“ist – wie jede Kennzeichnung – kein Eigenname. 

Der Satz ”Der gegenwärtige König von Frankreich hat eine Glatze“muss korrekt 

analysiert werden als Ës gibt genau ein Ding, das König von Frankreich ist, und dieses 

Ding hat eine Glatze“. Dieser Satz ist falsch. 

Wenn man diesen Satz verneint, kommt man zu Es ist nicht der Fall, dass es genau 

” 

ein Ding gibt, das gegenwärtiger König von Frankreich ist, und dass dieses Ding eine 

Glatze hat“. Diese Verneinung ist unproblematisch. Der Satz Der gegenwärtige König 

” 

von Frankreich hat keine Glatze“muss analysiert werden als Ës gibt genau ein Ding, 

das gegenwärtiger König von Frankreich ist, und dieses Ding hat keine Glatze“. Dieser 

Satz ist nicht die Verneinung des ersten Satzes! Die Möglichkeit, dass beide Sätze 

zugleich falsch sein können, ist daher kein Problem für unsere logische Sprache. 

Als Nebenprodukt von Russells Theorie der Kennzeichnungen fällt also die 

Beobachtung ab, dass die Verneinung von ”Der gegenwärtige König von Frankreich 

hat eine Glatze“keineswegs ”Der gegenwärtige König von Frankreich hat keine 

Glatze“lautet.[1] 

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Quellen 

Bertrand Russel: On Denoting – 

(http://www.jstor.org/pss/2248381) 

Berliner Rahmenlehrplan für die Sekundarstufe I – Mathematik 

Berliner Rahmenlehrplan für die Sekundarstufe II – 

Mathematik 

Georg Klaus: Moderne Logik (1972) 

D.Hilbert – W. Ackermann: Grundzüge der theoretischen Logik 

(1958) 

http://page.mi.fu-berlin.de/shinyinj/bkurs/Brueckenkurs.pdf 

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Spock 

Logic is the beginning of wisdom, not the end. 

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