Aufgabenkatalog - Institut für Mechanik der TU Berlin

Mechanik I Prof. Popov WS 2006/07 Seite 1
Aufgabenkatalog zur Stereo- und Elastostatik
18. Oktober 2006
Vorwort
Auf den folgenden Seiten ist der Aufgabenkatalog für Mechanik 1 abgedruckt, aus dem jede Woche
Aufgaben für die Große Übung, die Tutorien und das eigenständige Arbeiten ausgewählt werden.
Lösungen zu den Tutoriums- und Hausaufgaben werden ungefähr eine Woche nach Bearbeitung
veröffentlicht. Leider schleichen sich manchmal in die veröffentlichten Lösungen Fehler ein. Wir
bemühen uns, diese möglichst zügig zu beseitigen. Jeder Student ist aber in erster Linie selbst
verantwortlich. Darum selbständig rechnen! Wer gerne noch mehr Aufgaben (mit Musterlösungen)
rechnen möchte, sei auf die breite Auswahl an Aufgabenbüchern verwiesen.
Die Aufgaben werden nicht notwendigerweise in der Reihenfolge des Katalogs abgearbeitet.
Der Katalog kann in den Tutorien käuflich erworben werden oder im Internet unter
http://mechanik.tu-berlin.de/popov/index.html heruntergeladen werden.
Bei Fragen zur Organisation bitte zuerst das Informationsblatt und die entsprechenden Internetseiten
gründlich durchlesen.
Inhaltsverzeichnis
1 Statik starrer Körper 2
1.1 Zentrale und allgemeine Kräftegruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Schwerpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Auflagerreaktionen und Stabwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4 Schnittlasten in Balken und Rahmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2 Elastostatik 25
2.1 Zug/Druck, Wärmedehnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2 Torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3 Biegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.4 Hauptspannungsberechnung, Mohrscher Spannungskreis . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.5 Stabilität, Knickung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Literatur
[1] Gross, Dietmar, Werner Hauger und Walter Schnell: Technische Mechanik, Band 1
Statik. Springer, 6. Auflage, 2004. (Neuere Ausgabe) in der Lehrbuchsammlung: 5Lh378.
[2] Schnell, Walter, Dietmar Gross und Werner Hauger: Technische Mechanik, Band 2
Elastostatik. Springer, 6. Auflage, 1998. (Neuere Ausgabe) in der Lehrbuchsammlung: 5Lh379.
[3] Gross, Dietmar, Werner Hauger, Walter Schnell und Peter Wriggers: Technische
Mechanik, Band 4 Hydromechanik, Elemente der Höheren Mechanik, Numerische Methoden.
Springer, 2. Auflage, 1995. (Neuere Ausgabe) in der Lehrbuchsammlung: 5Lh381.
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Aufgabenkatalog zur Stereo- und Elastostatik
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1 Statik starrer Körper
1.1 Zentrale und allgemeine Kräftegruppe
1. An einer Halterung greifen die Kräfte F1 und F2 an. Die
Wirkungsrichtungen der Kraft sind durch den Winkel α
bzw. β beschrieben (siehe Skizze).
(a) Geben Sie die Kräfte in der dargestellten
PSfrag replacements
Basis an.
(b) Wie groß ist die resultierende Kraft? Geben Sie Betrag
und Richtung an.
(c) Zeichnen Sie eine Freischnittskizze und berechnen
Sie die Kraft in der Einspannstelle.
(d) Gehen Sie nun von folgenden Zahlenwerten aus:
F1 = 2,5 kN, F2 = 2,0 kN, β = 30 ◦ . In welcher
Richtung α muss die Kraft F1 an der Halterung angreifen,
damit an der Einspannstelle nur eine axiale
Kraft (Kraft in y-Richtung) wirkt?
Literatur: [1, S. 14-22]
PSfrag replacements
2. Der skizzierte Haken ist durch die zwei Kräfte F1 =
1,8 kN und F2 = 2,6 kN belastet. Die Wirkungsrichtungen
der Kräfte werden durch die Winkel α = 15 ◦ und
β = 55 ◦ beschrieben.
Ersetzen Sie die zwei Kräfte durch eine resultierende
Kraft Fres. Bestimmen Sie den Betrag und die Richtung
dieser resultieren Kraft rechnerisch und zeichnerisch.
3. Eine Kiste hängt an zwei Seilen. Die Seilkraft F2
wird gemessen. Sie beträgt 5,0 kN. Die Richtung der
Seilkräfte wird durch die Winkel α = 15◦ und β =
20◦ beschrieben.
PSfrag replacements
(a) Bestimmen Sie die Seilkraft F1.
(b) Welche Masse hat die Kiste?
Geg.: α = 15 ◦ , β = 20 ◦ , F2 = 5,0 kN, g =
9,81 m s −2
g
α
F1
y
α β
F1 F2
e y
β
β
e x
α
F2
e y
x
F2
F1
e x

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4. Die abgebildete Hebevorrichtung wird
zum Umschlagen vonPSfrag Holzstämmen replacements ver-
wendet. Das Seil und der Balken schließen
stets einen Winkel von 45 o ein (siehe
Abbildung). Der Schwerpunkt der
Last liege stets genau unterhalb des
Kranhakens. Die Masse mS der Stämme
sei 200 kg, die Masse mH der Hebevorrichtung
sei 50 kg.
(a) Wie groß ist die Kraft F im vertikalen
Seil?
(b) Bestimmen Sie die Vektoren r CE
und r DE. Hinweis: Der erstgenannte
Buchstabe ist der Punkt,
zu dem der Vektor zeigt, d.h.
r CE = r C − r E.
(c) Fertigen Sie eine Freischnittskizze
des Hakens an. Wie lauten die
Gleichgewichtsbedingungen? Geben
Sie die Kräfte in den Seilen
in vektorieller Form an.
Literatur: [1, S. 14-28]
PSfrag replacements
5. Ein Ozeandampfer wird von drei Schleppern gezogen.
In den drei Seilen wirkt die gleiche Zugkraft F = 20 kN.
Die Wirkungsrichtungen der Kräfte werden durch die
Winkel α = 15 ◦ , β = 10 ◦ und γ = 20 ◦ beschrieben.
Welche resultierende Zugkraft Fres wirkt auf den Ozeandampfer?
e y
b
D
e x
a
45 o
C
A B
F
E
1 2
y
γ
α β
g
F
F
x
F
c
c
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6. Ein einfacher Lastenaufzug gemäß der Skizze trage eine Last G = 1 kN. Der Aufzug besteht
aus den Stäben 1 und 2, einer Rolle mit dem Radius r und einem Seil. Die Gewichte der
Rolle, der Stäbe und des Seils sollen vernachlässigt werden.
(a) Bestimmen Sie die Vektoren r AE, r BE und r CE.
Hinweis: Der erstgenannte Buchstabe ist der
Punkt, zu dem der Vektor zeigt, d.h. rAE =
rA − rE. PSfrag replacements
(b) Wie groß ist der Betrag der Seilkraft?
(c) Fertigen Sie eine Freischnittskizze der Rolle an.
Geben Sie die Kräfte, die das Seil auf die Rolle
ausübt, in vektorieller Form an. Nehmen Sie
dabei r ≪ l an. PSfrag replacements
(d) Wie groß sind die Stabkräfte in den Stäben 1
und 2?
(e) Kann man notfalls einen Stab durch ein Seil ersetzen?
(f) Wie groß sind die Auflagerreaktionen in B?
Geg.: l, G, r
7. Das Gewicht G1 ist an einem Ring befestigt,
der durch zwei Seile (undehnbar,
gewichtslos) gehalten wird. Das eine
Seil ist an der Spitze des Dreibeins I
befestigt, das andere Seil ist über eine
Rolle (Radius vernachlässigbar klein)
an der Spitze des Dreibeins II geführt
und durch das Gewicht G2 = G belastet.
(a) Wie groß ist der Winkel β?
(b) Wie groß muß das Gewicht G1
sein, damit α = 45 ◦ ist?
(c) Wie groß sind die Stabkräfte in
den Stäben 1-6?
Geg.: G2 = G, a, α = 45 ◦
a
a
a
l
l
C
A
B
I
a
√
3a
II
g
1
2
α
3
a
β
4
Rolle
6
G2
z
y
x
Ring
G1
2
1
l
5
e z
a
2
E
a
2
G
a
e x
2r

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8. Die unteren Zylinder haben die Masse m und den Radius r. Der obere Zylinder hat die Masse
M und den Radius R. Es gelte h < r.
(a) Drücken Sie die Winkel α und β durch
gegebene Größen aus.
PSfrag replacements
(b) Machen Sie alle in der skizzierten Anordnung
auftretenden Kontaktkräfte durch
Freischnitte sichtbar und berechnen Sie
die Kontaktkräfte. Alle Kontakte seien
glatt. Die Winkel α und β sind dabei
aus dem 1. Teil bekannt. Die Ausdrücke
dafür müssen nicht eingesetzt werden.
Geg.: m, M, r, R, g, h, a.
PSfrag replacements
9. Aus den drei gewichtslosen Stäben 1, 2, 3 der
Länge l wird ein Gelenkviereck gebildet. Die Gelenke
sind reibungsfrei. An den Gelenken C und
D hängen die Gewichte G1 und G2.
Durch eine im Punkt D angreifende Kraft P mit
horizontaler Wirkungslinie soll erreicht werden,
dass die Stäbe I und II um den Winkel α gegen
die Vertikale geneigt sind.
Man berechne die Kraft P und die Kräfte in den
drei Stäben.
Geg.: α = 45◦ , l = 1 m, G= 100 N, G1 = G,
G2 = 2G
Literatur: [1, S. 14-22]
PSfrag replacements
10. Das dargestellte räumliche Tragwerk ist im
Punkt A gelagert (feste Einspannung) und
wird im Punkt D durch die Last F belastet.
Die Balkenabschnitte AB und CD verlaufen
parallel zur y-Achse. Der Abschnitt BC ist ein
Halbkreisbogen parallel zur x,z-Ebene.
Geg.: R, F
M
α m m
β
r
r
h h
A
B
α
3R
1
C
G1
A
R
C
a
R
B
3
2R
2
G2
F
g
D P
D e x
e y
e z
(a) Geben Sie die Vektoren r DA, r CA, r BA an. Hinweis: Der erstgenannte Buchstabe ist der
Punkt, zu dem der Vektor zeigt, d.h. r DA = r D − r A.
(b) Geben Sie die vektorielle Darstellung der äußeren Kraft in der eingezeichneten Basis an.
(c) Berechnen Sie das Kreuzprodukt r DA × F . Welche physikalische Bedeutung hat die so
berechnete Größe?
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PSfrag replacements
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11. Für den unter Wirkung äußerer Kräfte stehenden Hebel ist die Größe der Kraft F so zu
bestimmen, dass Momentengleichgewicht herrscht. Zusätzlich sind die Lagerreaktionen zu
bestimmen. Gehen Sie wie folgt vor:
ey (a) Bestimmen Sie die Vektoren r BA, r CA und r DA.
Hinweis: Der erstgenannte Buchstabe ist der
Punkt, zu dem der Vektor zeigt, d.h. r BA =
r B − r A.
(b) Geben Sie die eine vektorielle Darstellung der
drei äußeren Kräfte an. Benutzen Sie die eingezeichnete
Basis.
(c) Berechnen Sie die Kraftmomente der dreiα
äußeren Kräfte bezüglich des Punktes A.
(d) Wie groß muß die Kraft F sein, damit das Moment
bezüglich des Lagerungspunktes A zu Null
wird.
(e) Fertigen Sie eine Freischnittskizze des Systems
an. Wie kann man die Lagerkräfte in A berechnen?
Geg.: F1 = 1 kN, F2 = 2 kN, a = 0, 25 m, b = 1 m und α = 30◦ Literatur: [1, S. 33-44 u. 53-58]
12. Wie groß ist das Moment der Kraft F
bezüglich des Punktes B? Rechnen Sie sowohl
vektoriell (Kreuzprodukt) als auch skalar
( Kraft mal Hebelarm“).
” PSfrag replacements
Geg.: a, F
Literatur: [1, S. 53-57]
13. Für den Hebel ist die Position s so zu bestimmen, dass
statisches Gleichgewicht herrscht. Ferner sind die Auflagerreaktionen
zu ermitteln.
Geg.: F = 20 kN, α = 30◦ PSfrag replacements
, b = 1 m
F
e y
e z
e z
B
e x
A
F1
A
e x
F
α
C
a b a
F
α
F
s
b
a
B
a
A
D
F2
a
a

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Aufgabenkatalog zur Stereo- und Elastostatik
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14. Die abgebildete Kippvorrichtung dient zum
Entladen von Waggons. Für einen gegebenen
Waggon (Masse m, Radabstand PSfrag 2a, Schwer- replacements
punkthöhe b, Pufferhöhe c) soll der maximal
mögliche Kippwinkel bestimmt werden.
(a) Wie groß sind die Stützkräfte an den
Rädern für einen gegebenen Winkel α?
(b) Bei welchem Winkel αk kommt es zum
Kippen des Waggons?
(c) Der Puffer C ist für eine maximale Kraft
Fzul ausgelegt. Überprüfen Sie, ob die
Pufferkraft für den unter (b) berechneten
maximal möglichen Kippwinkel unter der
zulässigen Kraft Fzul bleibt.
c
C
a
a
G
B
α
Geg.: a = 2, 0 m, b = 1, 6 m, c = 1, 2 m, m = 25 t, g = 9, 81 m s −2 , Fzul = 250 kN
15. Ein Klapptisch besteht aus der Platte 1
(Gewicht G1, Schwerpunkt S1), den Beinen
2 und 3 (Gewichte G2 = G3 PSfrag replacements = G,
Schwerpunkte im Gelenk A) sowie der
massenlosen Stange 4.
Berechnen Sie die Kraft in der Stange 4
unter Vernachlässigung der Reibung!
Geg.: G1, G, l, ϕ
PSfrag replacements
16. Bei einem Kolbenkompressor wirke in der skizzierten
Stellung auf die Kolbenfläche die Gaskraft FG. Wie groß
ist das erforderliche Antriebsmoment MA, wenn die Reibungskräfte
vernachlässigt werden können?
Geg.: FG, l, α
g
1
4 l
17. Drei Studenten tragen eine 1,2 m mal 2,4 m große Holzplatte
wie abgebildet (horizontal). Welche Kraft müssen
die Studenten aufbringen, um die 50 kg schwere Holzplatte
zu halten? Es sei angenommen, daß die Holzplatte
homogen ist.
1
4 l
FG
A
S1
4
2
α
1
ϕ
A
1
2 l
l
b
3
MA
A
PSfrag replacements
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18. Ein Rahmen ist wie in der oberen Skizze
abgebildet gelagert. Darunter ist das
Freikörperbild mit den vier unbekannten
Lagerreaktionen dargestellt.
PSfrag replacements
(a) Schreiben Sie das Kräftegleichgewicht
(zwei skalare Gleichungen)
und die Momentengleichgewichte
um B und C (je eine skalare
Gleichung) auf. Sind die Gleichungen
linear unabhängig?
(b) Kann man alle vier Lagerreaktionen
aus den Gleichgewichtsbedingungen
berechnen? Diskutieren
Sie das Ergebnis aus (a)
im Hinblick auf die statische Bestimmtheit
des Systems.
Geg.: F , a, b
1.2 Schwerpunkt
MA
19. Es sind die Schwerpunktabstände xS und yS des nebenstehend
skizzierten Blechteiles zu bestimmen. (Dicke d
= 3mm)
F
A B
a
e y
F
e x
PSfrag replacements
20. Man bestimme mithilfe des Tabellenverfahrens die Koordinaten des Flächenmittelpunktes xs,
ys für die zwei skizzierten Querschnitte.
a)
a
b
y
2a
Literatur: [1, S. 66-76]
PSfrag replacements
x
b)
120 mm
1
2
3
y
T 120
yS
b
Cx
20
xS
80
S
70
Profil T 120:
Fläche:
A = 29,6 cm2 90 mm
8 mm
x
32,8 mm
S
C
120 mm
Cy
Bx
10
70
100
120 mm

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Aufgabenkatalog zur Stereo- und Elastostatik
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21.
(a) Berechnen Sie PSfrag den Flächeninhalt replacements
und die beiden Koordinaten des
Flächenmittelpunkts der skizzierten
Fläche bzgl. des eingezeichneten
Koordinatensystems. Ver- 8a
wenden Sie dazu eine Tabelle!
(b) Geben Sie ohne neue Rech-
2a
nung die Koordinaten des
Flächenmittelpunkts
zierten Fläche an!
der skiz-
Geg.: a
22. Man bestimme per Integration die Lage des Li-
PSfrag replacements
nienmittelpunkts eines Kreisbogens und den
Flächenmittelpunkt eines Kreissektors mit dem
Öffnungswinkel α. Man bestimme auch den
Flächenmittelpunkt einer Halbkreisfläche.
Warum fällt der Linienmittelpunkt und der
Flächenmittelpunkt mit dem Schwerpunkt von Linie
bzw. Fläche zusammen, wenn eine konstante Dichte
(längs der Linie bzw. über die Fläche) angenommen
wird?
23. Berechnen Sie die Koordinaten des Mittelpunkts
der Fläche, die durch den Graphen
der Normalparabel, die y-Achse und die Linie
y = a2 y
a
begrenzt wird (s. Skizze).
2
(a) Stellen Sie die Funktionsgleichung PSfrag replacements der
Normalparabel auf
(b) Berechnen Sie alle notwendigen Integrale!
Geg.: a
Skizze zu a) Skizze zu b)
a
a
x
y
S
y
R
8a 2a
x
4a
S
a
a
x
y
R
y
x
a x
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Aufgabenkatalog zur Stereo- und Elastostatik
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24. Das skizzierte System, das sich im Schwerefeld der Erde befindet, besteht aus einer ebenen
Scheibe, die mit drei Pendelstützen gelagert ist. Die Scheibe setzt sich aus zwei Teilen mit den
Dichten ρ1 undPSfrag ρ2 zusammen. replacements Beide Teile haben die konstante Dicke t. Der Lagerungspunkt
B kann so verändert werden, daß sich verschiedene Winkel 0 o < β < 90 o einstellen lassen.
(a) Bestimmen Sie ρ2 in
Abhängigkeit von ρ1 so,
daß der Schwerpunkt der
Scheibe im Ursprung des
in der Skizze eingetragenen
Koordinatensystems
befindet.
(b) Bestimmen Sie die Kraft
in der Pendelstütze BE als
Funktion von β.
(c) Für welchen Winkel βk existiert
kein Gleichgewichtszustand?
Begründen Sie.
PSfrag replacementsGeg.:
g, t, s, l, ρ1
Schwerpunkt des Kreisausschnittes:
y
r
2r sin α
xS = 3α
2α
x
PSfrag replacements
25. Für die dargestellte Kreisscheibe, die in der oberen Hälfte eine
kreisförmige Aussparung besitzt, bestimme man über das Taγ2
bellenverfahren das Verhältnis der Dichten ρi derart, dass derγ1
Schwerpunkt im Mittelpunkt der Kreisscheibe liegt. Der Mittelpunkt
der Aussparung befindet sich im Abstand R/2 von der
Mitte der Kreisscheibe.
Hinweis: Der Schwerpunkt einer Halbkreisfläche liegt bei ys = 4R
3π ,
wobei R den Radius bemißt.
Geg.: R, r
A
B
β
l
l
D
E
ρ1
l
y
ρ2
l
l
1
2 R
26. Aus einer halbkreisförmigen Scheibe (Dicke t, Dichte PSfrag ρ) replacements
ist ein
rechteckiges Stück entfernt. Bei gegebenem r und a bestimme
man b mithilfe des Tabellenverfahrens so, dass der Schwerpunkt
S die eingezeichnete Lage annimmt.
b
Gegeben: r, a = 9π2 r
64
Literatur: [1, S. 66-76]
F
3s
g
C
S
x
y
a
r
r
R
γ1
2s
γ2
x

PSfrag replacements
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Aufgabenkatalog zur Stereo- und Elastostatik
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27. Eine Walze (homogen, Masse m,
Radius r) liegt an einem Absatz
(Höhe r
2 ) einer schiefen Ebene (Winkel
α zur Horizontalen). Auf die Walze
stützt sich ein Körper (homogen,
Masse M, Kantenlängen 2a). An dem
Körper greift die Kraft F (ebenfalls
Winkel α zur Horizontalen) an. Die
gesamte Anordnung ist reibungsfrei.
Gegeben: M, m, g, F , a, r, α
r/2
Hinweis: Benutzen Sie das eingezeichnete
Koordintensystem.
g
F
A
m
α
r
B
y
C
M
D
α
(a) Schneiden Sie Walze und Körper frei und zeichnen Sie alle angreifenden Kräfte ein.
(b) Berechnen Sie die Schnittkräfte in den Berührpunkten A, B und C.
(c) Ermitteln Sie den Schwerpunkt des Körpers. Welchen Wert a∗ darf a höchstens annehmen,
damit der Körper nicht nach links über die Walze kippt?
(d) Wie groß darf für a < a∗ die Kraft F höchstens sein, damit die Walze in Punkt B nicht
abhebt?
28. Die abgebildete Rauchklappe
(Masse m, Schwerpunkt S) ist im
Punkt B drehbar gelagert. Sie soll
bei einem Winkel θ = 30o PSfrag replacements geöffnet
bleiben. Berechnen Sie die dafür
notwendige Steifigkeit k der Feder
unter der Annahme, daß die Feder
bei θ = 0 entspannt ist.
Geg.: a, b, l, m, g, θ = 30 o
C
k
l
θ
S
B
A
2a
S
B
A
a
2a
a
E
a
b
x
PSfrag replacements
Mechanik I Prof. Popov WS 2006/07 Seite 12
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PSfrag replacements
1.3 Auflagerreaktionen und Stabwerke
29. Für den mit einer trapezförmigen Streckenlast beaufschlagten
Balken sind die Auflagerreaktionen zu ermitteln.
Geg.: qA, qB, l
30. Berechnen Sie für den skizzierten Balken die Auflagerreaktionen.
Die Streckenlast q(x) ist wie dargestellt PSfrag co- replacements
sinusförmig.
Geg.: q0, l
qA
A x
B
31. Betrachtet wird der abgebildete Kran in einer Werkhalle. Der horizontale Träger ist rechts
und links im Mauerwerk gelagert.
Literatur: [1, S. 78-85]
s
z
q0
z
x
q(x)
l
q(x)
l
qB
(a) Skizzieren Sie vier verschiedeneLagerungsmöglichkeiten
und fertigen Sie
für alle vier Varianten
Freischnittskizzen an.
(b) Für welche Varianten kann
man die Auflagerkräfte
aus den Gleichgewichtsbedingungen
berechnen?
Wann spricht man von
einem statisch bestimmten
System?

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Aufgabenkatalog zur Stereo- und Elastostatik
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32. Die abgebildete Konstruktion ist Teil einer Erdölförderanlage in einem Naturschutzgebiet in
Alaska.
PSfrag replacements
A
β B
E
M
5a 6a
D
Untersucht wird die dargestellte Lage, bei der der Träger ABC horizontal ist. In diesem Fall
ist die Kraft im Kabel gerade F . Welches Drehmoment M muss in diesem Fall durch den
Motor aufgebracht werden, um die Last F gerade zu halten? Die Gewichte des oberen Trägers
seien GC, GB mit den Schwerpunkten SC bzw. SB. Das Gegengewicht ist GW . Die Stange
AD ist beidseitig gelenkig gelagert und ihr Gewicht ist vernachlässigbar.
Geg.: F = 1000 N, GC = 240 N, GB = 520 N, GW = 800 N, α = 30 o , β = 60 o , a = 0,3 m
PSfrag replacements
Literatur: [1, S. 88]
33. Ein LKW mit dem Gesamtgewicht G
(Schwerpunkt S) steht in der gezeichneten
Lage auf einer Brücke, die in
der Mitte (Zwischenlager E) geteilt
ist.
Bestimmen Sie alle Auflagerund
Zwischenlagerreaktionen in
A, B, C, D, E.
Geg.: a, G = 90 kN
Literatur: [1, S. 78-92]
2a
3a
SW
A
B
SB SB
2a
α
a
S
E
SC
2a
F
C
6a 6a
a
g
C
D
2a
Mechanik I Prof. Popov WS 2006/07 Seite 14
Aufgabenkatalog zur Stereo- und Elastostatik
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34. Das abgebildete System besteht aus einem Balken AC und einem Stab CD, die in den Punkten
A, B und D gelenkig an die Umgebung gekoppelt sind und im Punkt C gelenkig miteinander
verbunden sind. Der Balken AC ist durch eine lineare Streckenlast belastet.
y
(a) Ist das System statisch PSfrag replacements
bestimmt?
Begründen Sie ihre Antwort.
(b) Bestimmen Sie den Betrag und
die Wirkungslinie der Resultierenden
der Streckenlast.
(c) Bestimmen Sie sämtliche Auflagerreaktionen.
(d) Welcher Beanspruchung unterliegt
der Stab CD?
Geg.: l, a, α, q0
Literatur: [1, S. 78-92]
35. Das skizzierte Tragwerk besteht aus zwei gelenkig
gelagerten Winkelträgern, die durch ein
Gelenk miteinander verbunden sind. Das Tragwerk
wird durch eine konstante Streckenlast
und eine Einzelkraft belastet.
Bestimmen Sie alle Auflagerreaktionen.
q0
PSfrag replacements
Geg.: F = 1 kN, q0 = 0, 3 kN
m , a = 2 m, b = 4 m
36. Ein homogene Scheibe (Masse m) ist wie abgebildet
über zwei Pendelstützen und ein Loslager
gelagert.
PSfrag replacements
(a) Berechnen Sie die Auflagerreaktionen,
d.h. die Kräfte in den Pendelstützen und
die Kraft im Loslager C.
(b) Skizzieren Sie die Kraft im Lager C als
Funktion der Länge b, wobei 0 < b < 2a.
Geg.: a, b, g, m, α = 30 o
A x B C
a
b
l
√ 3
3 a
a b
F
A B
α
a
C
l
2a
A B
α
α
q0
D
y
e y
a
x
g
e x

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37. Das abgebildete Tragwerk soll so
ausgelegt werden, daß die Sicherheit
gegen Versagen
PSfrag
der Lager
replacements
für die
Belastung durch die Einzelkraft F
möglichst groß ist. Die Hauptabmessungen
des Tragwerks sind aus funktionalen
Gründen bereits vorgegeben.
Lediglich die Position des Gelenks
E, d. h. die Länge a, kann noch l
verändert werden. Die zulässigen
Lagerkräfte sind für alle Lager gleich
groß.
(a) Bestimmen Sie die Länge a,
für die die Sicherheit gegen
Versagen der Lager A, B, C,
D maximal wird.
(b) Wie groß sind in diesem Fall
die Beträge der Lagerkräfte in
den Lagern A, B, C und D?
Geg.: F , l
F
38. Ein in A, B und C gelagerter Gerberträger wird durch die konstante Streckenlast q und eine
Einzelkraft F = 3
PSfrag replacements
2ql belastet. Die Hauptabmessungen des Gerberträgers sind aus funktionalen
Gründen bereits vorgegeben. Lediglich die Lage des Gelenkes G (0 < a < l) kann noch gewählt
werden. Die zulässigen Lagerkräfte (betragsmäßig) seien für alle Lager gleich groß.
(a) Berechnen Sie die Auflagerkräfte in
Abhängigkeit von a.
(b) Bestimmen Sie nun (z.B. grafisch) die Länge
a so, dass die Sicherheit gegen Versagen eines
(beliebigen) Auflagers möglichst groß wird.
Hinweis: Zur betragsmäßigen Erfassung der
Lagerkräfte sind auch die horizontalen Komponenten
entscheidend.
Geg.: q, l, F = 3
2 ql
F
A
D
x
l
y
E
a
C
B
1
2 l
G
A B C
a
l
l
+ x
z
q
Mechanik I Prof. Popov WS 2006/07 Seite 16
Aufgabenkatalog zur Stereo- und Elastostatik
18. Oktober 2006
39. Ein in P gelenkig gelagerter Balken
PSfrag replacements
wird von zwei Seilen AC und BD
gehalten und durch eine Kraft F
im Punkt E belastet. Man berech- 2l
ne den Vektor der Auflagerkraft F P
im Lager P und die Kräfte FAC bzw.
FBD in den beiden Seilen.
Hinweis: Die Lager in A, B und P
sind Festlager.
Geg.: l, F
40. Das dargestellte räumliche Tragwerk ist im
Punkt A gelagert (feste Einspannung) und
wird im Punkt D durch die Last F belastet. Die
Balkenabschnitte AB und CD verlaufen parallel
zur y-Achse. Der Abschnitt BC ist ein Halbkreisbogen
parallel zur x,z-Ebene. Berechnen
Sie die Auflagerreaktionen im Punkt A.
Geg.: R, F
PSfrag replacements
41. Eine Seilwinde ist durch ein Festlager
A und ein Loslager B gelagert.
Durch die an der Kurbel angreifende
Kraft P soll der Last G das Gleichgewicht
gehalten werden. Wie groß
muß die Kraft P sein, und welche
Kräfte wirken in der eingezeichneten
Stellung in den Lagern?
Geg.: l, a, c, r, h, G, ϕ = 45 ◦
B
l
P
z
PSfrag replacements
42. Auf der in den Punkten A, B und C jeweils
PSfrag replacements
zweiwertig gestützten Plattform wird im
Punkt D ein Loch gebohrt und dabei die
Kraft F0 und das Moment M0 erzeugt.
Man berechne sämtliche Auflagerkräfte.
Gegeben: L, F0, M0
h
z
ϕ
y
2l
2l
B
3R
z
C
A
x
A
2l
R
C
y
D
2R
l
F
E
F
x
D x
y
z
P
c
P
A
A
a
z
L
L
L
L
G
l
F0
r
M0
L
D
B
y
x
C
B

Mechanik I Prof. Popov WS 2006/07 Seite 17
Aufgabenkatalog zur Stereo- und Elastostatik
18. Oktober 2006
43. Die Achse eines Brennofenwagens
wird durch Wagengewicht und Zuladung
mit m = 1,5 t belastet.
Berechnen Sie die Kräfte in den
Lagern. Hängen die Kräfte vom
Abstand der Lager ab?
PSfrag replacements
44. Die abgebildete Vorrichtung wird in
einer Werkstatt benutzt, um schwere
Komponenten (z.B. Motoren) zu bewegen.
Berechnen Sie die Kräfte in
der Strebe BD und im Hydraulikzylinder
BF. Die Masse des Motors sei
m = 125 kg.
Geg.: a = 1 m, b = 2 m, m = 125 kg,
g = 9,81 m s−2 PSfrag replacements
Literatur: [1, S. 98-102]
45. Das Tor einer Flugzeughalle wird mittels des abgebildeten
Mechanismus langsam geöffnet bzw. geschlossen.
Zwischen dem Rad in A und der Wand soll die
Reibung vernachlässigt werden.
Unter der Annahme einer zweigliedrigen Tür (jeweils
Höhe h, Breite b und Masse m) soll die Kraft im Seil
AB berechnet werden.
Geg.: h, b, m, g, ϕ PSfrag replacements
G
a
F
b
F
H
A B
C
ϕ
b
D
A
a
C
E
D
b
a
B
g
Mechanik I Prof. Popov WS 2006/07 Seite 18
Aufgabenkatalog zur Stereo- und Elastostatik
18. Oktober 2006
46. Das abgebildete Fachwerk aus neun Stäben wird
wie skizziert im Knoten II durch eine Einzelkraft
F belastet.
PSfrag replacements
(a) Überprüfen Sie, ob das skizzierte Fachwerk
statisch bestimmt ist.
(b) Berechnen Sie die Stabkräfte Si (i =
1, ..., 9). Geben Sie zu jedem Stab an, ob
er auf Zug oder Druck belastet ist.
y
Geg.: l, F
PSfrag replacements
47. Gegeben ist das skizzierte Tragwerk aus einem
fest eingespannten Balken und einem Fachwerk
aus 13 Stäben. Es wird belastet durch
das Gewicht G = 2q0a an einem über 2 Rollen
geführten Seil (reibungsfrei). Der Balken wird
zusätzlich durch eine nicht konstante Streckenlast
qz(x) belastet, deren Maximalwert mit q0
gegeben ist.
(a) Erkennen Sie Nullstäbe?
¡
¢
¢ ¤ £ ¤
¥
¥ ¦
§
§ ¨
©
© � � � � �
��
��
��
��
��
� � � � �
y
1
x
(VI)
(b) Berechnen Sie die Auflagerreaktion in A
und B.
PSfrag replacementsA
(c) Berechnen Sie die Stabkräfte in den
Stäben 8, 9, 10. Handelt es sich um Zugoder
Druckstäbe?
(d) Ermitteln Sie die Beanspruchungsgrößen
im Balken und stellen Sie sie graphisch
dar.
Geg.: q0, a, r, G = 2q0a
48. Das aus 15 gelenkig miteinander verbundenen Stäben
bestehende ebene Fachwerksystem, das in den Punkten
A und B gelagert ist, wird durch die vier Kräfte belastet.
(a) Begründen Sie die statische Bestimmtheit.
(b) Benennen Sie drei Nullstäbe und begründen Sie Ihre
Wahl.
(c) Bestimmen Sie die Auflagerreaktionen in A und B.
q0
6
8
(V)
7
(IV)
(I) 2 (II) 3 (III)
l
l
x
a
1
(d) Ermitteln Sie die Kräfte in den Stäben 12, 13 und
14 mit Hilfe des Ritterschen Schnittes und geben 1
Sie an, ob die Stäbe auf Zug oder Druck bean-
11A
sprucht werden.
Geg.: F , l
2a
a
4
F
2
r
3 5 7
6
r
F
3
2
z
7
6
9
4
8
5
l
x
+
9
G
9
5
a
8
10
√ 2F
11
10
11
F
45 o
l
14
13
12
4
a
12
13
B
15
l
2
l
B a
F
z
l
l
2
l
2

Mechanik I Prof. Popov WS 2006/07 Seite 19
Aufgabenkatalog zur Stereo- und Elastostatik
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49. Das aus einem Starrkörper, einer Fachwerkscheibe (Stäbe 1 bis 7) und dem Stab 8 bestehende
System ist in den Punkten A und B statisch bestimmt gelagert. Ein im Punkt D befestigtes
Seil wird über reibungsfreie Umlenkrollen in E und F geführt und mit einer Kraft P belastet.
Zusätzlich wirkt im Punkt C die Kraft 1
PSfrag replacements
P . Der Radius der Umlenkrollen kann bei der Lösung
vernachlässigt werden.
(a) Bestimmen Sie die Auflagerreaktionen
des Systems.
(b) Ermitteln Sie die Kräfte in den
Stäben 4, 5 und 6 mit einem
Ritterschen Schnitt. Geben
Sie jeweils die Beansprungsart
(Zug/Druck) an.
(c) Der Stab 8 wird aus dem System
entfernt. Verändern Sie
die Lagerung so, daß auch das
neue System statisch bestimmt
gelagert ist. Skizzieren Sie eine
der möglichen Lösungen. Begründen
Sie Ihre Entscheidung
durch den Nachweis der statischen
Bestimmtheit.
Geg.: P , a
2
1
2 P
50. Der Dachbinder einer Turnhalle soll als Fachwerkkonstruktion
wie nebenstehend skizziert
ausgebildet werden. Berechnen Sie die Auflagerreaktionen
und Stabkräfte. Nutzen
PSfrag
Sie
replacements
die Symmetrie.
Geg.: α, l, F
1
C
4
a a a a
3
2
D
E
5
7
6
A y P
B
51. Das aus 8 gelenkig miteinander verbundenen Stäben bestehende ebene Fachwerksystem, das
in den Punkten A, B und D gelagert ist, wird durch das Gewicht G belastet. Das Gewicht
hängt an einem Seil, das im Knoten A befestigt ist und über zwei in C und F reibungsfrei
gelagerte Rollen mit vernachlässigbar kleinem Radius läuft. Die Masse der Stäbe, des Seils
und der Rollen können ebenfalls vernachlässigt werden.
α
l
4
F
x
α
8
l
4
F
l
3F
α
l
4
F
α
l
4
a
a
a
Mechanik I Prof. Popov WS 2006/07 Seite 20
Aufgabenkatalog zur Stereo- und Elastostatik
18. Oktober 2006
(a) Überprüfen Sie die notwendige Bedingung
für die statische Bestimmtheit
des Fachwerks.
(b) Benennen Sie drei Nullstäbe und begründen
Sie ihre Wahl.
(c) Bestimmen Sie die Auflagerreaktionen
in A, B und D.
(d) Ermitteln Sie die Kräfte in den Stäben
4, 6 und 7 mit einem Ritterschen
Schnitt. Geben Sie jeweils die Beansprungsart
(Zug/Druck) an.
PSfrag replacements
Geg.: G, l
Literatur: [1, S. 88-91 u. 98-112]
52. Der gezeichnete ebene Fachwerkkran besteht aus 16
Stäben und wird durch die Kraft P belastet.
(a) Begründen Sie die statische Bestimmtheit.
4a
(b) Bestimmen Sie die Stabkräfte 1 undPSfrag 2. replacements
(c) Ermitteln Sie die Stabkräfte der angekreutzten
Stäbe mit Hilfe des Ritterschen Schnittes und geben
Sie an, ob die Stäbe auf Zug oder Druck beansprucht
werden.
Geg.: a, P
53. Ein Kranausleger soll mit dem abgebildeten
mechanischen System beschrieben
werden. Für die Dimensionierung
müssen die Auflagerkräfte
und Stabkräfte bestimmt werden.
(a) Überprüfen Sie die notwendige
Bedingung für statische Bestimmtheit
des Fachwerks.
(b) Bestimmen Sie die Lagerreaktionen
in A (Knoten VI) und
B (Knoten IV).
(c) Ermitteln Sie nun die Stabkräfte
in den Stäben 1 bis 9
mit Hilfe des Knotenschnittverfahrens
und mit dem Ritterschnittverfahren.
Geg.: l, F
Literatur: [1, S. 98-112]
Ax
Az
Bz
l
A
A
B
8
7
l
6
2l
4
C
G
a
4a
5
2
F
3
1
P
2a 2a 2a 2a
ey ex (I) 1
ez (II) 2
(III)
3 4 5
(VI)
8 (V) 9
l
2
(IV)
6
B
D
7
l
2 2l
l
1
+
2
y
E
x
l
F
g
a

Sfrag replacements
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Aufgabenkatalog zur Stereo- und Elastostatik
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1.4 Schnittlasten in Balken und Rahmen
54. Das skizzierte Tragwerk, bestehend aus 4
Balkenelementen, wird am ersten Balkenelement
durch eine konstante Sreckenlast
belastet. C ist ein Gelenk, B und D sind
biegesteife Ecken.
55.
Gegeben: q0, l
PSfrag replacements
e z
q0
A
x1
z2
z1 x2
e x
B
60◦ C
z3
x3
l l
(a) Begründen Sie die statische Bestimmtheit des skizzierten Tragwerkes.
(b) Berechnen Sie die Auflagerreaktionen und die Gelenkkräfte.
(c) Berechnen Sie die Normalkraft, die Querkraft und das Biegemoment für
die Balkenlemente 1 und 2.
(d) Skizzieren Sie die Schnittlastenverläufe aus (c) unter Angabe charakteristischer Werte.
x
3l
q0
l
3l
l
(a) Berechnen Sie für das skizzierte ebene Tragwerk die Auflagerreaktionen und Stabkräfte.
l
2l/3
(b) Bestimmen Sie nun die Schnittlasten M(x), Q(x) im Bereich 0 < x < 3l.
(c) Skizzieren Sie die Schnittgrößen.
Geg.: q0, l
Literatur: [1, S. 116-134]
56. Das skizzierte Rahmentragwerk soll näher untersucht
werden.
(a) Berechnen Sie die Normalkraft, die Querkraft sowie
das Biegemoment für jeden Punkt des PSfrag Rahmens. replacements
(b) Skizzieren Sie die Schnittlastverläufe für F = q0l
unter Angabe charakteristischer Werte.
(c) Wie groß ist das maximale Biegemoment?
Geg.: F , q0, l
l
2
l
2
F
q0
x
l
z
x4
E
l
D
z4
l
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Aufgabenkatalog zur Stereo- und Elastostatik
18. Oktober 2006
57. Der skizzierte Balken ist links fest eingespannt und wird
durch eine cosinusförmige Streckenlast q(x) PSfrag belastet. replacements
(a) Berechnen Sie den Verlauf der Schnittgrößen (Biegemoment,
Querkraft, Normalkraft).
(b) Skizzieren Sie den Verlauf der Schnittgrößen unter Angabe
charakteristischer Werte.
(c) Wie groß ist das maximale Biegemoment? PSfrag replacements
Geg.: q0, l
58. Der skizzierte Balken ist in A und B gelenkig gelagert
und wird durch eine lineare Streckenlast q(x) belastet.
Berechnen Sie den Verlauf der Schnittgrößen (Biegemoment,
Querkraft, Normalkraft).
Geg.: q1, q2, l
PSfrag replacements
Literatur: [1, S. 116-129]
59. Die skizzierten Balken sind statisch
bestimmt in den Punkten
A, B und C gelagert. Sie werden
im Bereich AB durch eine linear
von Null auf q0 ansteigende
Streckenlast sowie im Bereich BC
durch eine entgegengesetzte konstante
Streckenlast q0 belastet.
q0
z
q1
x
3l 2l
q(x)
l
A x
B
Die Verläufe von Biegemoment
M(x) und Querkraft Q(x) sollen
in den folgenden Schritten bestimmt
werden.
Benutzen Sie für alle Berechnungen das eingezeichnete Koordinatensystem.
z
q(x)
A B C
z
(a) Wie lauten (allgemein) die Differentialgleichungen, die die Berechnung der gesuchten
Schnittlasten Q(x), M(x) ermöglichen?
(b) Nehmen Sie eine Bereichseinteilung vor und stellen Sie die Funktion der Streckenlast qj
für alle Abschnitte j auf.
(c) Geben Sie die Rand- und Übergangsbedingungen an, die zur Berechnung der Schnittlasten
benötigt werden. Weist die Querkraft einen Knick oder Sprung an der Stelle x = 3l
auf? Begründen Sie.
(d) Bestimmen Sie nun die gesuchten Größen M(x) und Q(x) im Abschnitt BC.
(e) Skizzieren Sie den Querkraft- und den Biegemomentenverlauf im Abschnitt BC.
PSfrag replacements
Geg.: q0, l
60. Ein in A, B und C gelagerter Gerberträger wird
durch die Streckenlast q belastet.
Bestimmen Sie die Lage des Gelenkes G (Maß a) so,
dass das maximal auftretende Biegemoment einen
möglichst kleinen Wert annimmt.
Geg.: q, l
q0
l
q0
G
A B C
a
l
l
x
q2
x
q

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Aufgabenkatalog zur Stereo- PSfragund replacements Elastostatik
18. Oktober 2006
61. Bestimmen Sie für das skizzierte System die Schnittlasten mit
(a) dem Globalschnittverfahren und
(b) mittels der Schnittlastendifferentialgleichungen.
Stellen Sie die Schnittlastverläufe grafisch dar! Das Maximum
der Streckenlast sei q0.
Geg.: q0, l, F = q0l
PSfrag replacements
62. Der abgebildete Kran soll untersucht werden.
Die Länge des horizontalen Trägers AC und
die Lage der Auflager A und B sind aus funktionalen
Gründen bereits festgelegt. Die Höhe
h
der Stütze AD soll nun so bemessen sein, daß
das maximale Biegemoment in der Struktur
möglichst klein ist.
Das undehnbare Seil wird über reibungsfreie
Rollen mit vernachlässigbar kleinem Radius
geführt. Für den Abstand der Lager gilt a =
2
3 l.
(a) Erläutern Sie kurz die notwendigen Berechnungsschritte.
(b) Berechnen Sie die Höhe der Stütze AD.
D
F
z
l
g
x
A B
a
(c) Skizzieren Sie für diesen Fall den Verlauf des Biegemomentes im gesamten Kran unter
Angabe charakteristischer Werte.
(d) Bis zu welchen Lasten kann der Kran zugelassen werden, wenn das maximal zulässige
Biegemoment 5 · 10 5 N m beträgt (Länge l = 5 m).
63. Die beiden in C gelenkig verbundenen Balken haben die konstante Massenbelegung mx. Sie
werden durch ihr Eigengewicht, durch die Einzelkraft PSfrag F replacements
und eine Steckenlast q(x) wie skizziert
belastet. Die Streckenlast sei sinusförmig, ihr Maximum betrage qC.
(a) In wieviele Bereiche muß das Gesamtsystem mindestens zerteilt
werden, um die Schnittlasten mit Hilfe der Schnittlastendifferentialgleichungen
(SL-DGL) zu bestimmen? Warum?
(b) Geben Sie die SL-DGL für dieses Problem an. Bestimmen Sie
durch Integration deren Lösungen!
(c) Geben Sie die erforderlichen Rand-, Übergangs- und
Stützbedingungen an.
(d) Berechnen Sie die Schnittlasten und skizzieren Sie die Lösung!
Geg.: qC, l, F , g, mx
l
g
l
l
l
y
l
q(x)
q0
x
C
F
A
B
C
D
¡ ¢
¦
¡
¨
¨ ��
� � � � ©
m
¤
¦ §
¤ ¥
��
¢ £
Mechanik I Prof. Popov WS 2006/07 Seite 24
Aufgabenkatalog zur Stereo- und Elastostatik
18. Oktober 2006
64. Der skizzierte Balken hat die konstante Massenbelegung mx. Er wird durch sein Eigengewicht
und eine zusätzliche Steckenlast q(x) wie skizziert belastet. Die Streckenlast sei sinusförmig,
ihr Maximum betrage q0.
PSfrag replacements
x, u
(a) Geben Sie die Schnittlastendifferentialgleichungen für dieses
Problem an. Bestimmen Sie durch Integration deren allgemeine
Lösungen!
(b) Geben Sie die erforderlichen Randbedingungen an.
(c) Berechnen Sie alle Schnittlasten und skizzieren Sie die
Lösung!
Geg.: q0, l, g, mx
65. Das skizzierte Tragwerk wird auf dem waagerechten
Teil des gewinkelten Trägers durch eine parapolische
Streckenlast belastet.
PSfrag replacements
(a) Berechnen Sie die Auflagerreaktionen in den Lagern
A und B.
(b) Berechnen Sie den Verlauf der Beanspruchungsgrößen.
Geg.: a, q0, Scheitelwert 3
2 · q0
66. Das skizzierte Tragwerk wird auf dem waagerechten Teil
des gewinkelten Trägers durch eine konstante PSfragStrecken replacements
last belastet.
(a) Begründen Sie die statische Bestimmtheit des skizzierten
Tragwerkes.
(b) Berechnen Sie die Auflagerreaktionen und die Gelenkkräfte.
(c) Skizzieren Sie den Verlauf der Beanspruchungsgrößen
und geben Sie die charakteristischen Werte
an.
PSfrag replacements
Geg.: a, q0
A
a
a
g
A
Gelenk
Gelenk
q(x)
�
��
�
�
��
�
�
� � �
�
�
�
�
�
�
�
� � � ��
� � � � � � �
l mx
67. Ein kreisförmiger Träger (Radius R) ist in A durch ein Festlager und in B durch ein Loslager
an die Umgebung gekoppelt. In B greift eine horizontale Kraft F an.
3
2 q0
(a) Bestimmen Sie den Schnittkraftvektor in dem
gekrümmten Träger für beliebige Winkel ϕ.
(b) Wie groß sind für ϕ = 45o und für ϕ = 90o l
R
m
die
A
Normalkraft und die Querkraft?
ϕ
ex B
(c) Bestimmen Sie nun den Schnittmomentenvek- C
tor in dem gekrümmten Träger für beliebigeD
Winkel ϕ.
ez (d) Wie groß ist für ϕ = 45 o und für ϕ = 90 o das
Biegemoment?
Geg.: R, F
B
a
x
a
B
q(x)
C
q0
z, w
a
a
F
��
��

Mechanik I Prof. Popov WS 2006/07 Seite 25
Aufgabenkatalog zur Stereo- und Elastostatik
18. Oktober 2006
2 Elastostatik
2.1 Zug/Druck, Wärmedehnung
68. Ein Draht aus hochfestem Stahl (Länge l = 20 cm, E-Modul E = 210 GPa) wird durch
Einwirkung einer Kraft F = 10 kN um ∆l = 0, 5 mm verlängert.
(a) Wie groß ist die Dehnung ε?
(b) Berechnen Sie die Spannung σ im Draht.
(c) Welche Querschnittsfläche A hat der Draht? Wie groß ist der Durchmesser d des Drahtes,
wenn man einen kreisförmigen Querschnitt zu Grunde legt?
Literatur: [2]: Zug und Druck Stäben, Abschnitt 1.1 bis 1.4
69. Ein Stab der Länge l = 10 cm mit kreisförmigem Querschnitt (Durchmesser d = 2 cm)
verlängert sich unter der Einwirkung einer Längskraft F = 5 kN um ∆l = 0, 2 mm.
(a) Wie groß ist die Dehnung ε des Stabes?
(b) Welche Spannung σ herrscht im Stab?
(c) Kann der Stab aus Stahl sein?
70. Das abgebildete mechanische System besteht aus zwei
Stäben (Längen: l1 = 10 cm, l2 = 8 cm, Durchmesser:
d1 = 3 cm, d2 = 2 cm, E-Modul:
PSfrag
E1 = E2 =
replacements
210 GPa).
Am rechten Ende greift die Kraft F = 20 kN an.
Wie groß ist die gesamte Längenänderung?
PSfrag replacements
Literatur: [2]: Zug und Druck Stäben, Abschnitt 1.1 bis 1.4
71. Der starre Hebel BDE ist über zwei Stäbe AB und CD
gestützt. Stab AB ist aus Aluminium (E-Modul E1) und
hat eine Querschnittsfläche A1. Stab CD ist aus Stahl
(E-Modul E2) und hat eine Querschnittsfläche A2. Im
Punkt E ist der Hebel durch eine Einzelkraft F belastet.
(a) Wie groß sind die Längenänderungen der Stäbe
AB und CD?
(b) Bestimmen Sie die Absenkung des Punktes E unter
der angegebenen Last.
l1
1 2
A
B
l2
1
2 l2
C
l2
F
F
D E
Geg.: F = 30 kN, l1 = 300 mm, l2 = 400 mm, E1 = 70 000 N mm −2 , E2 = 200 000 N mm −2 ,
A1 = 500 mm 2 , A2 = 600 mm 2
Literatur: [2]: Statisch bestimmte Stabsysteme: Abschnitt 1.5, insb. Beispiel 1.5
Mechanik I Prof. Popov WS 2006/07 Seite 26
Aufgabenkatalog zur Stereo- und Elastostatik
18. Oktober 2006
72. Der starre Hebel AF ist über zwei Stäbe BC und
DE gestützt. Beide Stäbe sind aus Stahl (E-Modul
E = 200 kN mm−2 PSfrag replacements
) und haben eine rechteckige
Querschnittsfläche (12 mm × 6 mm). Im Punkt A
ist der Hebel durch eine Einzelkraft P belastet.
(a) Ist der starre Hebel AF statisch bestimmt
gelagert? Kann man die Kräfte in den
Stäben BC und DE nur aus den Gleichgewichtsbedingungen
bestimmen?
(b) Wie groß sind die Kräfte in den beiden
Stäben?
(c) Bestimmen Sie die Auslenkung des Punktes
A unter der angegebenen Last.
A
B C
D
F
a
1
2 a
1
2 a
a b
Geg.: P = 2, 5 kN, a = 100 mm, b = 125 mm, E = 200 kN mm −2 , A = 72 mm 2
Literatur: [2]: Statisch unbestimmte Stabsysteme: Abschnitt 1.6, insb. Beispiel 1.7
73. Der Architraph eines Daches mit dem Gewicht
G soll auf zwei Säulen aufgestellt werden.
Es sind nur Säulen der Längssteifigkeit EA
verfügbar und das Dach soll zu jeder Zeit waagerecht
liegen. (Das heißt, die Säulen sollen sich
unter der Dachlast gleichmäßig absenken.)
PSfrag replacements
(a) Welches Längenverhältnis
h1
h2
muß
gewählt werden, damit der Architraph
waagerecht steht?
(b) Wie groß ist der Winkel α zu wählen?
Geg.: EA, G, l
74. Das gezeigte ebene, symmetrische Dreibein besteht
aus drei elastischen Stäben. Alle drei Stäbe
haben den E-Modul E. Die Stäbe PSfrag1 replacements
und 3 haben
die Querschnittsfläche A, Stab 2 hat die Querschnittsfläche
2A.
l
Das Dreibein wird im oberen Gelenkpunkt, in dem
alle Stäbe gelenkig verbunden sind, durch eine
Kraft P belastet. Knicken der Stäbe sei ausgeschlossen.
Die Verformungen sind sehr klein und
rein elastisch.
(a) Berechnen Sie die Stabkräfte S1, S2 und S3.
(b) Wie groß ist die Durchsenkung w des Punktes
A?
Geg.: P , E, A, l
h1
l
l
g
A
P
1 2
y
l
P
3
α
E
h2
x

Mechanik I Prof. Popov WS 2006/07 Seite 27
Aufgabenkatalog zur Stereo- und Elastostatik
18. Oktober 2006
75. Eine Kraft F soll mit einem Stabzweischlag im Abstand a vom
Punkt C gehalten werden. Beide Stäbe bestehen aus dem gleichen
Werkstoff und haben jeweils eine konstante Querschnittsfläche
A. Die zulässige Spannung σzul ist bei PSfrag Zug- und replacements Druckbeanspruchung
gleich.
(a) Wie groß muß der Winkel α < 90 ◦ gewählt werden, damit
möglichst wenig Material benötigt wird? Beachten
Sie, daß in keinem der Stäbe die maximale Spannung
überschritten werden darf.
(b) Wie verschiebt sich der Punkt B in diesem Fall, wenn die F
PSfrag replacements
Last F = 1
2 Aσzul wirkt?
Geg.: F , a, E, A, σzul
76. Das skizzierte System aus vier elastischen Stäben
wird im zentralen Knoten P mit der Last F in
der angegebenen Richtung belastet. Alle Bauteile
haben den Elastizitätsmodul E und einen quadratischen
Querschnitt mit der Kantenlänge D. Die
Längen sind der Skizze zu entnehmen.
Bestimmen Sie die x- und y-Komponenten der Verschiebung
des Punktes P! Die Verschiebung soll
klein und Knicken ausgeschlossen sein.
Geg.: a, b, c, d, D, F, α, E
d
c
3
B
1
y
a b
2
F
a
2
P α 1
77. Das skizzierte System aus drei elastischen Stäben wird im zentralen Knoten P mit der durch
den Vektor F = {Fx, Fy} T gegebenen Kraft belastet. Die dadurch hervorgerufene Verschiebung
soll mit dem zu bestimmenden Vektor u = {ux, uy} T beschrieben werden.
Alle Bauteile haben den Elastizitätsmodul PSfrag replacements E und die Querschnittsfläche A. Die Längen sind
der Skizze zu entnehmen. Die Verschiebung soll klein und Knicken ausgeschlossen sein.
a
y
b
(a) Geben Sie die Längenänderung ∆li der drei
Stäbe i ∈ {1, 2, 3} als Funktion der Verschiebungskomponenten
ux und uy an!
(b) Bestimmen Sie die Vektoren der Stabkräfte Si als Funktionen von ux und uy!
d
2
P
F
1 x
(c) Stellen Sie mit Hilfe der Gleichgewichtsbeziehungen
ein Gleichungssystem zur Bestimmung
von ux und uy auf!
(d) Geben Sie die Lösung für ux und uy an!
Geg.: a, b, c, d, A, E, Fx, Fy
Hinweis: Verwenden Sie die Abkürzung r :=
√ a 2 + c 2 !
c
3
4
A
α
C
x
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Aufgabenkatalog zur PSfrag Stereo- replacements und Elastostatik
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78. Der skizzierte Balken sei starr, die Stäbe sollen die Federsteifigkeit
k1 bzw. k2 haben und nicht ausknicken. Es sollen
kleine Verformungen angenommen werden.
79.
PSfrag replacements
(a) Bestimme die Längenänderung ∆l1, ∆l2 der Stäbe 1
und 2!
(b) Bestimme die Verschiebung uB des linken Lagers B
und den Winkel ϕ, um den sich der Balken unter der
Belastung dreht!
Geg.: l, α, F , k1, k2
A
2 3
l
1
l
l
�
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k2
2
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B
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1
��
¢ £
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��
¦ §
α
�
£
k1
¡
©
�
§
C
l l
Stab 1 der abgebildeten Konstruktion wird um ∆θ
erwärmt. Wie groß ist dann die Verschiebung von Knoten
A?
Geg.: E, A = const, αt, l, ∆θ
80. Das abgebildete mechanische System besteht aus zwei Stäben mit kreisförmigem Querschnitt,
die zwischen zwei starren Platten angebracht sind. Die Stäbe wurden bei Raumtemperatur
spannungsfrei eingefügt. Danach wurden die Stäbe um unterschiedliche Temperaturen ∆T1
und ∆T2 erwärmt.
(a) Leiten Sie Gleichungen für die Spannungen in beiden
Stäben als Funktion von ∆T1, ∆T2, α1, PSfrag α2, replacements E1, E2, l1,
l2, d1 und d2 her.
1 2
(b) Setzen Sie nun die folgenden Zahlenwerte ein:
Längen: l1 = 30 cm, l2 = 50 cm, Durchmesser:
d1 = 10 cm, d2 = 8 cm, E-Modul: E1 = 206 GPa,
E2 = 147 GPa, thermische Ausdehnungskoeffizienten:
α1 = 1, 3 · 10−5 K−1 , α2 = 0, 6 · 10−5 K−1 , Temperaturerhöhungen:
∆T1 = 20 K, ∆T2 = 40 K.
81. Die Endquerschnitte eines konischen Stabes
l
sind durch zwei gleiche, anfangs PSfragungespannte replacements
Federn Federsteifigkeit c verbunden.
c
Wie verschiebt sich der rechte Endquerschnitt
A, wenn der Stab (nicht die Federn) um ∆T
erhitzt wird? Knickung sei ausgeschlossen.
Geg.: D, d, l, E, c, α, ∆T
D
α, E
x
c
A
starre Platte
d
F
A

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PSfrag replacements
82. Ein starrer Balken der Länge 4l ist durch ein festes Gelenklager
in A und zwei Stäbe in B und C gestützt. Der
Balken und die Stäbe sind als gewichtslos zu betrachten.
Im unbelasteten Zustand seien die Stäbe ungedehnt. Die
Stäbe haben die Querschnittsflächen A1 = A2 = A und
die Längen l1 = l, l2 = 2l, E-Modul E.
83.
Sfrag replacements
Der Balken wird durch eine konstante Streckenlast q belastet.
Der Stab 1 wird zudem um ∆T erwärmt. Der lineare
Wärmeausdehnungskoeffizient für den Werkstoff des Stabes
1 ist α.
(a) Berechnen Sie für diesen Fall die Stabkräfte S1 und S2 sowie die Lagerkraft in A.
(b) Für welche Temperaturänderung ∆T ∗ wird die gesamte Belastung von Stab 1 getragen?
Geg.: q, ∆T , α, A, l, E
A A
A:
H1
H2
H1
H1
H2
H2
d D1
l
l
D2
Zur Verbindung der beiden Hülsenringe H1 (E1 = 2,1 · 10 5 N/mm 2 ,
D1 = 40 mm) und H2 (E2 = 0,8 · 10 5 N/mm 2 , D2 = 50 mm)
wird ein Niet (EN = 2,1 · 10 5 N/mm 2 ) bei einer Temperatur von
T0 = 520 K durch die Bohrung (d = 20 mm) geschlagen. Man berechne
die Spannungen in den Hülsenringen H1 und H2 sowie im
Schaft des Nietes nach Abkühlung auf T1 = 290 K. (Annahme: die
Nietköpfe sind starr, die Hülsen von Anfang an kalt: 290 K).
Geg.: αt = 12 · 10 −6 1/K
84. Der skizzierte Stab besteht in seinem rechten Teil 3 aus einem homogenen Werkstoff, in
seinem linken Teil (1 und 2) aus einem symmetrisch aufgebauten Verbund-Körper. Zwischen
den Teilen des Stabes befindet sich eine starre Platte. Der Stab liegt zunächst spannungsfrei
zwischen zwei festen Widerlagern. Dann wird Teil 3 des Stabes um eine Temperatur ∆θ
PSfrag replacements erwärmt.
S:
A1/2
A2
A1/2
S
2
1
1
A
l1 l2
(a) Wie groß sind die Normalspannungen in den drei Querschnittsteilen?
(b) Wie groß ist die Verschiebung der starren Platte?
y
x
3
B
1
C
q
2
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Geg.: l1 = 4, 00m, l2 = 3, 50m
A1 = 300cm 2 , E1 = 2 · 10 4 N/mm 2 ,
A2 = 100cm 2 , E2 = 2 · 10 5 N/mm 2 ,
A3 = 700cm 2 , E3 = E1 = 2 · 10 4 N/mm 2 ,
αt3 = 12 · 10 −6 1/K, ∆θ = 40K
2.2 Torsion
85. Wie groß ist die Torsionsfederkon-
PSfrag replacements
stante für die skizzierte Welle?
Geg.: d1 = 2 cm, d2 = 4 cm, a = 25
cm, b = 50 cm, e = 30 cm, G = 86
GPa
d1
a b e
86. Der vorläufige Entwurf einer Welle zur Verbindung eines Motors
mit einem Generator sieht eine Hohlwelle mit Innendurchmesser
di = 100 mm und Außendurchmesser da = 150 mm vor. Die ma-
PSfrag replacements di da
ximal zulässige Schubspannung beträgt τzul = 85 MPa. Welches
maximale Drehmoment kann durch die Welle übertragen werden,
wenn
(a) die Welle wie geplant gefertigt wird,
(b) eine Vollwelle gleicher Masse gefertigt wird,
(c) eine Hohlwelle gleicher Masse und Außendurchmesser da =
200 mm gefertigt wird?
Literatur: [2]: Torsion kreiszylindrischer Wellen: Abschnitt 5.1
87. Die Enden einer abgesetzten Welle (Abschnitt 1: Durchmesser d1, Abschnitt 2: Durchmesser
d2) sind in den Lagern A und B gegen Verdrehung festgehalten. Auf ein Zahnrad, das mit
der Welle fest verbunden ist, wirkt ein Kräftepaar, so daß auf die Welle das Torsionsmoment
MT übertragen wird.
PSfrag replacements
(a) Wie groß sind die in den Lagern A und B aufzunehmenden
Torsionsmomente?
(b) In welchem Wellenabschnitt tritt für den Fall
a > b > c die größte Schubspannung τmax auf
und wie groß ist sie?
(c) An welcher Stelle müßte das Zahnrad auf dem
Wellenabsatz 2 befestigt sein, damit der Verdrehwinkel
maximal wird?
Geg.: d1, d2, a, b, c, MT
1 2
A x
B
a b c
d2

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88. Eine Vollwelle aus Stahl (Durchmesser
d) und eine Hohlwelle aus
Aluminium (Außendurchmesser PSfrag replacements da,
Wandstärke t) sind rechts fest ein- da
gespannt und links über eine starre
Platte verbunden. Wie groß ist
di d
das maximal zulässige Drehmoment,
das auf die starre Scheibe aufgebracht
werden kann, wenn die zulässigen
Schubspannungen für die Stahlwelle
τS = 120 MPa und für die Aluminumwelle
τA = 70 MPa betragen.
starr
l
Geg.: Vollwelle aus Stahl: d = 50 mm, GS = 80 GPa, τS = 120 MPa, Hohlwelle aus Aluminium:
t = 8 mm, da = 76 mm, GA = 27 GPa, , τA = 70 MPa
89. Dargestellt ist ein durch zwei äußere Drehmomente belasteter zusammengesetzter zylindrischer
Stab aus elastischem Material mit dem Schubmodul G.
PSfrag replacements
d1
a
2M
a
starr
Bestimme ξ = d1/d2 so, dass links und rechts der starren Scheibe betragsmäßig dieselben
maximalen Spannungen auftreten!
90. Zwei Torsionswellen mit kreisförmigem Querschnitt, die aus dem gleichen Material gefertigt
wurden, sind durch Zahnräder miteinander verbunden. Die Zahnräder sind so geformt, daß
PSfrag es replacements nur zu Torsionsbeanspruchungen in den Wellen kommt. Die linke Welle 1 (Radius r1) wird
mit dem Moment M1 und die rechte Welle 2 (Radius r2) mit dem Moment M2 belastet.
M1
A
l1
Welle 1
d2
x1
a
M
d1
x2
l2
a
d2
Welle 2
B
M2
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(a) Berechnen Sie die Torsionswiderstände für die beiden Wellen.
(b) Zeigen Sie, daß im statischen Gleichgewicht M1 = −2M2 gilt.
(c) Bestimmen Sie die Länge l2 der rechten Welle für den Fall, daß die Verdrehung der
Wellenquerschnitte in den Punkten A und B dem Betrag nach gleich groß sind. Gehen
Sie davon aus, daß sich die Zahnräder nicht verdrehen.
(d) In welchem der beiden Querschnitte ist die Schubspannung am größten?
Geg.: r, r1 = r, r2 = √ 2r, d, l1 = 20d, d1 = 2d, d2 = d
91. Dargestellt ist ein Stab mit rundem PSfragQuerschnitt, replacements
bei dem a nur unwesentlich größer ist als b.
(a) Bestimmen Sie das polare Flächenträgheitsmoment
Ip.
(b) Bestimmen Sie nun den Verdrehwinkel ϕ am
rechten Ende des Stabes!
G, l
2a 2b
92. Dargestellt ist ein Stab, der durch ein Torsionsmoment MT beansprucht wird. Als Profile
PSfrag replacements
sollen (A) ein Vollkreisquerschnitt und (B) ein dünnwandig geschlossener Rohrquerschnitt
mit denselben A Abmessungen und dem gleichen Material betrachtet werden.
B
PSfrag replacements
A B
93.
PSfrag replacements
2R
t
G, l
l
MT
MT
l
G, l
(a) Um welchen Faktor ist das Profil (A) torsionssteifer als das Profil (B)?
(b) Berechnen Sie das Torsionsmoment MT,zul für die zwei Profile, so daß die zulässige
Schubspannung τzul gerade nicht überschritten wird.
(c) Wie groß ist der Verdrehwinkel ϕ infolge der Belastung durch das zulässige Torsionsmoment
MT,zul?
(d) Stellen Sie die Schubspannungsverläufe im Querschnitt für die drei Profile unter Angabe
charakteristischer Werte und der Richtung graphisch dar.
Geg.: MT , R = 10 cm, t = 2 mm, l = 2 m, G = 81000 N/mm 2 , τzul = 80 N/mm 2
t
dm
£
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£
£
£
¢
¢
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£
£
£
Bei welchem Verhältnis α = dm
t kann ein Kreisring als
dünnwandiges geschlossenes Profil auf Torsion untersucht
werden? Ingenieurmäßig wird i.a. ein relativer Fehler von 3%
akzeptiert.
Geg.: dm
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
£
£
£
£
£
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£
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2R
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2R
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¡
M

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Aufgabenkatalog zur Stereo- und Elastostatik
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2.3 Biegung
94. Ermitteln Sie für den abgebildeten Balken (Länge
l, Biegesteifigkeit EI) die BiegeliniePSfrag und diereplacements maximale
Durchsenkung!
Geg.: a, l, F , β, EI
Literatur: [2]: Biegelinie: Abschnitt 4.5
95. Der abgebildete schlanke Balken (Länge l, Biegesteifigkeit
EI) ist über ein Fest- und ein Loslager
gelagert und wird über seine gesamte PSfrag Länge replacements durch
abschnittsweise lineare Streckenlasten belastet. Ermitteln
Sie die Biegelinie w(x) und die maximale
Durchsenkung ˆw!
PSfrag replacements
Geg.: l, q, EI
96. Der skizzierte Balken ist in A und B gelenkig gelagert
und wird durch eine lineare Streckenlast q(x) belastet.
(a) Berechnen Sie die Biegelinie w(x).
(b) Erklären Sie, wie man die maximale Durchsenkung
ˆw berechnen kann!
Geg.: q1, q2, l, EI
97. Der skizzierte Balken ist links fest eingespannt und wird
durch eine cosinusförmige Streckenlast q(x) belastet.
PSfrag replacements
(a) Berechnen Sie die Durchbiegung w(x) und skizzieren
Sie den Verlauf.
(b) Wie groß ist die maximale Durchsenkung ˆw?
Geg.: q0, l, EI
98. Der abgebildete schlanke Balken (Biegesteifigkeit
PSfrag replacements
EI, Länge l) ist links fest eingespannt und wird
über die gesamte Länge durch eine konstante
Streckenlast q0 belastet. Zudem greifen am rechten
Ende eine Einzelkraft F und ein Moment M
an. Zeigen Sie, daß für die Absenkung ˆw und die
Neigung ˆϕ des rechten Balkenendes gilt
F l3 Ml2 q0l4 ˆw = + +
3EI 2EI 8EI
F l2 Ml q0l3 ˆϕ = + +
2EI EI 6EI
Geg.: q0, F , M, l, EI
.
,
z
q1
a
q
β
F
l 2l
l
A x
B
q0
z
q0
z
x
l
q(x)
l
q(x)
l
F
M
q2
x
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PSfrag replacements
99. Der abgebildete schlanke Balken (Biegesteifigkeit
EI) ist links fest eingespannt und wird im Abschnitt
x
BA durch eine konstante Streckenlast q0 belastet.
z
Bestimmen Sie die Absenkung des Punktes A.
Geg.: q0, l, EI
100. Berechne bitte den Querverschiebungszustand der skizzierten Systeme durch Integration der
Verschiebungsdifferentialgleichungen!
PSfrag replacementsq0
Geg.: l, q0, M0 = q0
2 l2 , EI
¤
¡
¡
¢
¢ £
£
¦
¦ ¦ §
¦
§
¤ ¥
¥
PSfrag replacements q0
l
EI
M0
�
¨
¨©
©
�
��
�
�
� � �
�
�
PSfrag replacements
101. Der abgebildete Balken ist rechts fest eingespannt und
links über ein Loslager an die Umgebung gekoppelt. Der
Balken wird durch eine lineare Streckenlast q(x) und
eine Kraft F belastet.
��
A
�
l
l
z, w
(a) Wie lautet die Differentialgleichung für die Durchsenkung w(x)?
(b) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Biegeliniendifferentialgleichung für diesen Balken!
(c) Wie lauten die dazugehörigen Randbedingungen?
(d) Bestimmen Sie die unbekannten Konstanten!
(e) Bestimmen Sie den Verdrehwinkel ϕA im Lager A.
(f) Wie muss die Kraft F gewählt werden, damit die Durchsenkung w(0) = 0 wird?
Geg.: F , E, I, q0, l,
F
EI
x
�
�
�
�
B
M0
���
�
�
��
��
l
��
��
��
��
l
�
�
�
A
q0
q0
B

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102. Der abgebildete schlanke Balken (Länge l, Biegesteifigkeit
EI) ist links fest eingespannt und rechts
über ein Loslager an die Umgebung PSfrag gekoppelt. replacements Der
x
Balken wird bei B durch ein Moment MB belastet.
(a) Ist der Balken statisch bestimmt gelagert?
A
Können die Schnittgrößen
Gleichgewichtsbedingungen
den?
allein aus den
gewonnen wer-
z
(b) Bestimmen Sie die Auflagerreaktionen und
den Verlauf des Biegemomentes mit Hilfe der
Biegeliniendifferentialgleichung.
(c) Nutzen Sie nun nochmal das Superpositionsprinzip,
um den Aufgabenteil (b) zu lösen.
(d) Wie groß ist das maximale Biegemoment im
Balken?
Geg.: MB, l, EI
103. Der abgebildete schlanke Balken (Länge l, Biegesteifigkeit
EI) ist rechts fest eingespannt und links
über ein Loslager an die Umgebung gekoppelt. Der
Balken wird durch eine lineare Streckenlast PSfrag q(x) replacements belastet.
(a) Ist der Balken statisch bestimmt gelagert?
Können die Schnittgrößen allein aus den
Gleichgewichtsbedingungen gewonnen werden?
(b) Bestimmen Sie die Auflagerreaktionen im Lager
A.
(c) Wie groß ist die Durchsenkung w(x) des Balkens?
(d) Bestimmen Sie den Verdrehwinkel ϕA im Lager
A.
Geg.: q0, l, EI
z
x
l
B
A B
MB
q0
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104. Der abgebildete schlanke Balken PSfrag (Länge replacements l, Biegesteifigkeit
EI) ist über drei Lager gestützt. Der Balken
wird über die gesamte Länge durch eine konstante
Streckenlast q0 belastet.
(a) Ist der Balken statisch bestimmt gelagert?
Können die Schnittgrößen allein aus den
Gleichgewichtsbedingungen gewonnen werden?
(b) Bestimmen Sie die Auflagerreaktionen mit Hilfe
der Biegeliniendifferentialgleichung.
(c) Überprüfen Sie die Auflagerkraft im Punkt B,
in dem Sie diese nochmals mit Hilfe des Superpositionsprinzips
berechnen.
(d) Wie groß ist die Neigung im Punkt A?
Geg.: q0, l, EI
z
q0
A x B C
105. Der abgebildete schlanke Balken (Länge l = a + b, Biegesteifigkeit EI) ist beidseitig fest
eingespannt und wird bei B durchPSfrag eine Einzelkraft replacements P belastet.
(a) Bestimmen Sie die Auflagerreaktionen in den
Lagern A und C.
(b) Wie groß ist das maximale Biegemoment?
(c) Wie groß ist die Durchsenkung im Punkt B?
(d) Der Balken ist aus Stahl (E = 210 GPa) und
hat einen quadratischen Querschnitt. Welchen
Wert muß die Querschnittsabmessung h haben,
wenn sich der Balken im Punkt B um wB =
1 mm absenkt? Rechnen Sie mit a = b = 1 m
und P = 1 kN.
Geg.: P , a, b, EI
z
x
2
3 l
P
1
3 l
A B C
a b

PSfrag replacements
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106. Das skizzierte System besteht aus
zwei Balken der Länge l und einem
Dehnstab, der im entlasteten
Zustand die Länge l/2 besitzt.
Balken 1 ist an seinem linken
Ende durch ein Festlager und
eine Drehfeder gelagert. Balken 2
ist an seinem linken Ende durch
eine Schraubenfeder und rechts
mittels einer Schiebehülse gelagert.
Der Dehnstab verbindet die
beiden Balken in den Punkten
B und D. Sämtliche Bauteilparameter
sind bekannt, ohne Belastung
und bei Raumtemperatur
sind alle Teile spannungsfrei. In
dem zu untersuchenden Zustand
ist Balken 2 durch eine konstante
Streckenlast q0 belastet und der
Dehnstab um ∆T erwärmt.
C
D
EA, α
EI 2
Erwärmen um ∆T
A
1
EI
B
(a) Bestimmen Sie die Biegelinien der Balken 1 und 2. Die Aufgabe gilt als gelöst, wenn ein
eindeutig lösbares Gleichungssystem zur Berechnung der Integrationskonstanten aufgestellt
worden ist, d.h. eine Bestimmung der einzelnen Unbekannten ist nicht erforderlich!
(b) Mit den Parametern A = 6I
l2 , C = 12EI
l
Biegelinie
�
q0l
w1(x1) =
4 α∆T l
��
+ −2
96EI 18
x1
l
und k = EI
l 3
� x1
l
� 3
+ 6
E
� x1
l
k
x2
q0
l
F
erhält man für Balken 1 die
�2 � ��
x1
+
l
Bestimmen Sie die Auflagerkräfte in A und das Moment der Drehfeder für den Fall, dass
die Erwärmung des Stabes ∆T = 9q0l3
16EIα beträgt.
Hinweis: Beide Aufgabenteile sind unabhängig voneinander lösbar!
Geg.: l, E, I, A, α, k, C, q0, ∆T
107. Der nebenstehend skizzierte Balken sei längshomogen. Bestimmen Sie alle Auflagerreaktionen
in A und B!
Hinweis: Die Werte der Längssteifigkeit KL und der Biegesteifigkeit KB müssen nicht bekannt
PSfrag replacements
sein. Zu betrachten ist nur die Belastung quer zum Balken, die horizontalen Lagerkräfte sind
Null.
l l
(a) Lassen sich die Auflagerreaktionen alleine aus den Gleichgewichtsbeziehungen
bestimmen? Begründen Sie ihre
A B C
Antwort!
F
(b) Geben Sie stichpunktartig die Arbeitsschritte an, die zur
Lösung dieses Problems erforderlich sind! (Zwei oder drei
Stichpunkte genügen.)
(c) Berechnen Sie die Lösung auf dem in (b) angegebenen
Weg!
Geg.: F , l, KL, KB
¤
¤ ¤ ¥
¤
¥
¢
¦
¢ £
¦ §
¡
¡ £ §
¨ © © ¨
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Mechanik I Prof. Popov WS 2006/07 Seite 38
Aufgabenkatalog zur Stereo- und Elastostatik
18. Oktober 2006
108. Geben Sie alle geometrischen und statischen Rand- und Übergangsbedingungen des skizzierten
Systems an!
PSfrag replacements
cM
z
x
ℓ
M0
q1(x)
ℓ
I II III IV
109. Mit dem skizzierten Radmutternkreuz wird eine
Radmutter mit dem Drehmoment MD angezogen.
Das Radkreuz besteht aus Rundstahl
(Durchmesser d, Materialkennwerte E und G).
PSfrag replacements
(a) Bestimmen Sie die Kraft FD, mit der die
beiden Enden A und B belastet werden, um
das Drehmoment zu erzeugen. (Siehe Skizze)
(b) Wie weit federn die Kraftangriffspunkte
A und B zurück, wenn die Belastung
zurückgenommen wird?
Geg.: E, G, L, d, MD, kleine Verschiebungen
Literatur: [2]: Biegelinie: Abschnitt PSfrag 4.5, Torsion: replacements Abschnitt 5.1
ℓ
MD
110. An einem Torsionsstab (Länge (a + b) ist horizontal ein
Hebel der Länge c angebracht. Beide sind aus dem gleichen
Rundstahl gefertigt (Durchmesser D, E, G). Am
Hebel wirkt senkrecht die Kraft F . Die Durchbiegung des
Tosionsstabes soll vernachlässigt werden, die Verschiebungen
und Drehungen sollen klein sein. Berechnen Sie
die Absenkung des Kraftangriffspunktes PSfrag replacements P!
l
Geg.: a, b, c, D, ε, F , aus Tabellenwerk:
F l3 ˆw =
3EI �
� � � � �
�
�
�
�
�
�
�
�
��
��
EI
��
�
�
F
ˆw
ε
α
F
MD
A
a
FD
b
ℓ
L
2
L
2
c
q2(x)
L
2
B
L
2
z F
y
P
x
FD

Mechanik I Prof. Popov WS 2006/07 Seite 39
Aufgabenkatalog zur Stereo- und Elastostatik
18. Oktober 2006
111. Für
sind
das gegebene
in Bezug auf
dünnwandige,
das gegebene
quadratische Hohlprofil
Koordinatensystem die
δ
Flächenträgheitsmomente zu bestimmen!
Geg.: a, δ ≪ a
PSfrag replacementsy
112.
Literatur: [2]: Flächenträgheitsmomente: Abschnitt 4.2
Sfrag replacements
η
e
y
z
ri
t
η
Berechnen Sie das Flächenträgheitsmoment Iηη des
Rohrquerschnittes.
Geg.: ri = 49 cm, t = 2 cm, e = 20 cm
113. Bestimmen Sie für das dargestellte gleichseitige Dreieck das
Flächenträgheitsmoment Iyy mittels Integration.
Geg.: a S
y
PSfrag replacements
PSfrag replacements
114. Das abgebildete Maschinenteil (Querschnitt wie abgebildet) ist in den Endpunkten A und D
gelenkig gelagert und wird in den Punkten B und C durch Einzelkräfte belastet.
z
x
a
F
A B C D
l
F
a
(a) Bestimmen Sie den Verlauf des Biegemomentes im Balken AD. An welcher Stelle ist das
Biegemoment am größten?
(b) Berechnen Sie den Flächenschwerpunkt der Querschnittsfläche. Anmerkung: Der Ursprung
des eingezeichnete Koordinatensystem liegt im Flächenschwerpunkt der Querschnittsfläche.
y
b
z
t
t
c
z
z
a
a
Mechanik I Prof. Popov WS 2006/07 Seite 40
Aufgabenkatalog zur Stereo- und Elastostatik
18. Oktober 2006
(c) Berechnen Sie das Flächenträgheitsmoment Iyy.
(d) Wie groß sind die maximale Zug- und Druckspannung in dem Maschinenteil?
Geg.: F = 15 kN, a = 250 mm, l = 875 mm, t = 12 mm, b = 100 mm, c = 75 mm
Literatur: Schnittlasten im geraden Balken: [1] Abs. 7.2; Flächenschwerpunkt: [1] Abs. 4.3;
Flächenträgheitsmoment: [2] Abs. 4.2; Normalspannungen: [2] Abs. 4.4
115. Der abgebildete schlanke Balken (Querschnitt wie abgebildet) ist links fest eingespannt und
wird bei B durch ein Moment M belastet. Die maximal zulässige Normalspannung sei σzul =
PSfrag
100
replacements
MPa. Wie groß darf das angelegte Biegemoment maximal sein, damit nirgends die
zulässige Normalspannung überschritten wird?
A
z
x
Geg.: b = 80 mm, h = 120 mm, t = 8 mm, σzul = 100 MPa
B
116. Ein Stahlträger liegt auf zwei Steinwänden mit dem Abstand l auf und wird in der Mitte
durch ein Gewicht mit der Kraft G belastet.
Der Stahlträger ist aus drei gleichen Flachstahlbändern zu einem I-Profil zusammengeschweißt.
Die Flachstahlbänder haben einen rechteckigen Querschnitt mit den Kantenlängen b und h
(h > b).
(a) Bestimmen Sie das Biegemoment an der
Krafteinleitungsstelle in der Mitte des
Stahlträgers.
(b) Berechnen Sie die maximale Normalspannung
in diesem Querschnitt (an der
Krafteinleitungsstelle). Benutzen Sie I =
1
2 bh3 als Näherung für das Flächenträgheitsmoment.
Verwenden Sie nicht das
exakte Flächenträgheitsmoment!
(c) Zeigen Sie, daß das maximale Biegemoment
in der Mitte des Stahlträgers auftritt.
(d) Zeigen Sie, daß das tatsächliche Flächenträgheitsmoment
Iexakt größer ist als die
Näherung I = 1
2 bh3 .
Geg.: l, b, h, G
M
h
y
b
z
t

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Aufgabenkatalog zur Stereo- und Elastostatik
18. Oktober 2006
PSfrag 117. replacements
Das abgebildete Maschinenteil (Querschnitt wie abgebildet) ist in den Endpunkten A und D
gelenkig gelagert und wird in den Punkten B und C durch Einzelkräfte belastet. Wie groß
sind die maximale Zug- und Druckspannung in dem Maschinenteil?
z
x y
a
F
A B C D
l
F
a
Anmerkung: Der Ursprung des eingezeichneten Koordinatensystems liegt im Flächenschwerpunkt
der Querschnittsfläche.
Geg.: F = 10 kN, a = 150 mm, l = 550 mm, t = 10 mm, b = 50 mm
Literatur: Schnittlasten im geraden Balken: [1] Abs. 7.2; Flächenträgheitsmoment: [2] Abs.
4.2; Normalspannungen: [2] Abs. 4.4
118. Für einen belasteten Balken der Länge l hat man folgende Schnittlasten
ermittelt:
N(x) = N0x
, My(x) =
l
q0
2 (lx − x2 PSfrag replacements
) .
t
z
b
Berechnen Sie die maximale Normalspannung σmax im Balken. An
welcher Stelle (x0, z0) tritt sie auf?
Hinweis: Das eingezeichnete Koordinatensystem hat seinen Ursprung
im Flächenschwerpunkt der Querschnittsfläche.
Geg.: q0 = 10 N cm −1 , N0 = 100 kN, l = 8 m, t = 1 cm, h = 10 cm,
s = (4h − t)/10
x
y
b
t
h
z
h
2
s
t
t
h
t
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Aufgabenkatalog zur Stereo- und Elastostatik
18. Oktober 2006
119. Das Modell eines Tragflügelholms besteht aus einem einseitig fest eingespannten Balken der
Länge l. Der Tragflügelholm wird durch eine konstante Streckenlast q0, die aus den Luftkräften
und dem Eigengewicht resultiert, belastet. Der Balken hat eine rechteckige Querschnittsfläche
A = bh. Die Balkenhöhe h ist eine Funktion der Längskoordinate x. Das Material sei isotrop.
PSfrag replacements
b
(a) Bestimmen Sie den Verlauf
der Balkenhöhe h,
so daß der maximale Betrag
der Längsspannung
σmax über die gesamte
Länge des Balkens
konstant und gleich derh
zulässigen Spannung σzul
ist.
(b) Berechnen Sie für diesen
Fall die Biegelinie w(x).
PSfrag replacements
Geg.: q0, l, E, b, σzul
120. Der Holm eines Flugzeugtragflügels
soll dimensioniert werden. Seine Höhe
h(x) verlaufe linear von h1 an der
Flügelwurzel (x = 0) bis h2 an
der Flügelspitze (x = s). Das
Flächenträgheitsmoment seines Querschnitts
soll angenommen werden als
Iy(x) = 1
4 AGh(x) 2 . Durch die Auftriebskräfte
wird der Holm mit einer
viertelellipsenförmigen Linienlast der
Form q(x) = − q0 √
s s2 − x2 belastet.
z
h1
¡
¡
¡
¡
¢
¢ ¢ £
¢
£
£
£
¤
¤ ¥
¥
¦
¦ ¦ §
¦
§
§
§
l
x
s
q0
q(x)
h2
x y
z
Querschnitt:
(a) Bestimmen Sie den Biegemomentenverlauf mit Hilfe der Schnittlastendifferentialgleichungen!
(b) Benutzen Sie im folgenden die Näherung M(x) = q0
3 (s − x)2 und bestimmen Sie die
maximale Zugspannung im Holm bei x1 = 1
3 s!
Geg.: q0, s, h1, h2, AG
Tabelle (aus Bronstein), Abkürzung X = a2 − x2 :
�
√Xdx 1�
√
2 x�
= x X+a arcsin ;
2
a
�
x √ Xdx = − 1
PSfrag replacements
√
X3 ;
3
121.
b
h0
x1
3a
F
x2
a
b
4h0
�
h(x)
arcsin x
x
dx = x arcsin
a a +√X Bestimmen Sie σ(x) und stellen Sie
dieses graphisch dar!
Wie groß ist die maximale Normalspannung?
Geg.: b, h0, a, F
h

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Aufgabenkatalog zur Stereo- und Elastostatik
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2.4 Hauptspannungsberechnung, Mohrscher Spannungskreis
122. Für die gegebenen Spannungszustände S = σijeiej berechne man die Hauptspannungen σI,
σII, σIII.
⎛
11 −9
2 ⎜
(a) σij = σ0 ⎝
√ 3
2 3 √ 3
−9 √ 3 29
2 2 −9
3 √ ⎞
⎛ ⎞
2 5 0
⎟
⎠ (b) σij = σ0 ⎝ 5 2 0 ⎠
3 −9 7
0 0 0
Gegeben: σ0
Literatur: [2] Abs. 2.1 und 2.2: Spannungsvektor, -tensor, Koordinatentransformation,
Mohrscher Spannungskreis
123. Für die gegebenen Spannungszustände S = σije ie j berechne man die Hauptspannungen σI,
σII, σIII.
(a)
⎛
0
σij = ⎝τ0
τ0
0
⎞
0
0⎠
(b)
⎛
σ0
σij = ⎝ 0
0
0
⎞
τ0
0 ⎠
0 0 0
τ0 0 0
(c)
⎛
σ0
σij = ⎝ 0
0
0
⎞
0
0⎠
(d)
⎛
p0
σij = ⎝
0
⎞
0
⎠
0 0 0
Gegeben: σ0, τ0, p0
0 p0 0
0 0 p0
124. Gegeben sei der Spannungstensor S bezüglich einer kartesischen Basis durch
⎛
⎜
S = σ0 ⎝
3 √ ⎞
3
4 0
5 ⎟
4 0 ⎠ eiej 0 0 0
−1
4
3 √ 3
4
(a) Um welche Art eines Spannungszustandes handelt es sich hierbei?
(b) Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren des Tensors S.
(c) Stellen Sie S bezüglich seiner Hauptachsen dar.
(d) Geben Sie den Spannungsvektor σ n(ϕ) an, der sich für eine beliebige Schnittrichtung ϕ
aus diesem Spannungszustand ergibt.
(e) Unter welchem Winkel ˆϕ treten die maximalen Normalspannungen auf und wie groß
sind sie?
(f) Zeichen Sie den Mohrschen Spannungskreis.
Gegeben: σ0
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Aufgabenkatalog zur Stereo- und Elastostatik
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125. Der Spannungszustand an einem Punkt in einer dünnen
Stahlplatte ist nebenstehend abgebildet. Bestimmen Sie
(a) die Hauptrichtungen und Hauptspannungen, PSfrag replacements
(b) die maximale Schubspannung und
(c) die Spannungskomponenten für ein Element, das aus
dem abgebildeten durch Drehung um 30 ◦ entgegen dem
Uhrzeigersinn entsteht.
y
60 MPa
100 MPa
48 MPa
Literatur: [2] Abs. 2.1 und 2.2: Spannungsvektor, -tensor, Koordinatentransformation,
Mohrscher Spannungskreis
126. Der untersuchte ebene Spannungszustand besteht PSfrag aus replacements
einer
Normalspannung σ0 = 100 MPa in Richtung der x-Achse
und einer noch unbekannten Schubspannung τ0.
(a) Bestimmen Sie den Betrag der Schubspannung τ0, so
daß die größte Normalspannung 100 MPa beträgt.
(b) Wie groß ist nun die maximale Schubspannung?
127. Ein dünnwandiges Rohr mit dem Außendurchmesser d, das aus einem wendelförmig gewickelten
und verschweißten Stahlband der Breite b gefertigt ist, dient zum Übertragen eines Torsionsmomentes
und einer axialen Druckkraft. In einem Schnitt senkrecht zur Rohrachse treten
dabei die Druckspannung σD und die Schubspannung τ auf.
(a) Bei welchem Verhältnis σD/τ wird die Schweißnaht nicht auf Schub beansprucht?
(b) Wie groß sind im Fall (a) die Normalspannungen in der Schweißnaht?
Geg.: d = 240 mm, b = 360 mm, σD = −4000 N mm −2
128. Die dargestellte rechteckige Scheibe befindet
sich in einem ebenen (sog. zweiachsigen) Spannungszustand.
Sie ist durch die Normalspannungen
σxx = −5 N/m2 und σyy = 21 N/m2 PSfrag replacements
belastet.
(a) Konstruiere den MOHRschen Kreis für
diesen Spannungszustand! Bestimme
grafisch und rechnerisch die Normalund
Schubspannung für ϕ = 60 ◦ !
(b) Wie groß ist die maximale Schubspannung
τmax und der zugehörige Winkel?
(c) Wie groß sind die Hauptnormalspannungen
σmin und σmax und die zugehörigen
Winkel?
(d) Wiederhole (a) bis (c) für den Fall, dass
die Scheibe zusätzlich durch eine Schubspannung
τxy = 10 N/m 2 belastet wird!
σxx
τxy
ϕ
τxy
σyy
σyy
τxy
τxy
y, e y
σxx
τxy
y
x, e x
τ0
ϕ
τxy
σ0
τ
σyy
x
x
σ

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Aufgabenkatalog zur Stereo- und Elastostatik
18. Oktober 2006
129. Gegeben ist ein dünnwandiger Zylinder (Radius R, Länge L, Wanddicke t). Durch den im
Inneren herrschenden Überdruck p entstehen Umfangs- und Längsspannungen in der Hülle.
(a) Bestimme die Längsspannungen σxx und die Umfangsspannungen σyy durch Freischnitt
und mithilfe der Gleichgewichtsbedingungen für den Spezialfall t = 10 −3 m, p = 0, 2 10 6 Pa
und R = 0, 5 m!
(b) Konstruiere den MOHRschen Kreis!
(c) Bestimme grafisch und rechnerisch die Normal- und Schubspannungen für ϕ = 60◦ !
(d) Wie groß ist die maximale Schubspannung PSfrag replacements
τmax und der zugehörige Winkel?
130. Der dargestellte Scheibenausschnitt steht unter der Wirkung
der eingezeichneten Spannungen. Leite in diesem allgemeinen
Fall die Gleichungen für den MOHRschen Spannungskreis
her!
(a) Fordere das Kräftegleichgewicht in x- und y-Richtung
und bestimme daraus möglichst einfache Gleichungen
für σ und τ! Benutze Additionstheoreme!
(b) Erzeuge durch Quadrieren und Addieren der Gleichungen
eine Kreisgleichung!
(c) Identifiziere den Mittelpunkt, den Radius, die maximale
Schubspannung und die Hauptnormalspannungen!
2.5 Stabilität, Knickung
PSfrag replacements
131. Der dargestellte Balken ist aus zwei
Abschnitten unterschiedlicher Bie-
2EI EI
gesteifigkeiten zusammengesetzt.
Bestimme die kritische Last!
l/2
l/2
Literatur: [2] Abs. 7.2 Der Euler-Stab
σxx
τxy
ϕ
τxy
τ
σyy
σ
y, e y
F
x, e x
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132. Zwei gleiche homogene Stäbe sind über ein Gelenk und eine Torsionsfeder
(Steifigkeit c) verbunden. Sämtliche Lager und Gelenke seien reibungsfrei.
Bei ϕ = 0 ist die Feder spannungsfrei. Bestimmt werden soll
die mindestens erforderliche Federsteifigkeit c, bei der die Ausgangslage
ϕ = 0 stabil ist.
(a) Stelle das Momentengleichgewicht für das System aus beiden
Stäben bezüglich des unteren Gelenkes auf und gewinne daraus die
seitliche Kraft auf die obere Führung. Das System soll sich dabei
in einer ausgelenkten Lage (ϕ �= 0) befinden.
(b) Schneide nun den oberen Stab in derselben Lage frei und stelle das
Momentengleichgewicht bezüglich des mittleren Gelenks auf!
(c) Für kleine Auslenkungen aus der Ausgangslage (ϕ ≪ 1) kann linearisiert
werden. Die entstehende Gleichung hat eine von ϕ unabhängige
Lösung, aus der sich die kritische Federsteifigkeit bestimmen
läßt.
Geg.: m, l, g
Literatur: Mit Hilfe der Gleichgewichtsbeziehungen: [3] Abs. 5.2.1 ” 1) Die Gleichgewichtsmethode“;
mit Hilfe von Arbeits- oder Energieausdrücken: [1] Abs. 8.5 oder [2] Abs. 7.1:
Stabilität einer Gleichgewichtslage, zur Gegenüberstellung siehe auch [3] Abs. 5.2.1 1) und 2)
133. Ein stehendes Pendel mit der Endmasse m wird mit Hilfe von
zwei Federn c und cT gehalten.
(a) Bestimme die Gleichgewichtslagen!
(b) Bestimme l1 = l1,krit so, daß das Gleichgewicht bei ϕ = 0
ein indifferentes ist.
Geg.: l, m, c = mg
l , cT = 1
2 mgl
134. Ein Balken der Biegesteifigkeit EI und der Länge l
werde auf verschiedene Arten gelagert.
(a) Berechne die kritischen Lasten Fkrit für die Varianten
A bis C!
(b) Wie müsste das VerhältnisPSfrag der Balkenlängen replacements
lA/lB gewählt werden, damit für A und B dieselbe
kritische Last berechnet wird?
Literatur: [2] Abs. 7.2 Der Euler-Stab
F
F
A B C
F
c

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135. Für den auf Druck beanspruchten elastischen Stab
sind die Knickbedingung und die kritische PSfrag replacements
Last zu bestimmen.
Die Federn sind in der dargestellten Lage
spannungsfrei.
Geg.: l, EI, c, F
136. Für den auf Druck beanspruchten elastischen PSfrag replacements Stab sind F
die Knickbedingung und die kritische Last zu bestimmen.
Geg.: l, EI, F
137. Ein Stab ist unten fest eingespannt und zusätzlich in der Mitte
durch eine feste Buchse geführt.
(a) Wie lautet die Eulersche Differentialgleichung für den Knickstab?
(b) Berechnen Sie die kritische Knicklast in beiden Bereichen!
(c) In welchem Bereich wird der Stab zuerst ausgelenkt?
Geg.: F ,E, I, l
Hinweis: Die allgemeine Lösung der Eulersche Differentialgleichung
lautet:
w(x) = A cos λx + B sin λx + Cλx + D
¦
¢
¤
¦ §
¢ £
¤ ¥
¡
§
¡
£
¥
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�����
EI
l
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x
PSfrag replacements
���
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� � �
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¨ © © �¨�
� � � � �
� � � ��
� � � � � ���
� � � � �
� � � � � � � ��
c c c
138. Der dargestellte Balken der Länge ℓ ist mit einer Normalkraft F > 0 belastet. Es soll das
Knickproblem untersucht werden. In der gezeichneten Ausgangslage ist die Feder entspannt.
(a) Ermitteln sie alle erforderlichen Randbedin-
PSfrag replacements
gungen.
k
EI
(b) Stellen sie das Gleichungssystem zur Berech-
F
nung der Konstanten auf und bestimmen sie
die Eigenwertgleichung.
x
(c) Wie lautet die kritische Last Fkrit für den
ℓ
Fall, dass die Feder unendlich weich ist?
Geg.: ℓ, EI, F , k
�
��
l
x2
x1
EI
F
F
l l
��
�����
�
Mechanik I Prof. Popov WS 2006/07 Seite 48
Aufgabenkatalog zur Stereo- und Elastostatik
18. Oktober 2006
139. Das durch das Festlager A und
das Loslager B gelagerte Fachwerk
wird durch die Kraft F belastet.
Das Fachwerk besteht dabei aus
Stäben der Biegesteifigkeit EI.
(a) Ermitteln Sie alle Lagerreaktionen.
(b) Benennen Sie die offensichtlichen
Nullstäbe und
bestimmen Sie die Stabkräfte
in den verbleibenden
Stäben.
(c) Welcher Stab würde bei dieser
Anordnung zuerst ausknicken,
und wie groß darf
die Kraft F maximal werden,
damit es nicht zum
Ausknicken dieses Stabes
kommt.
Geg.: F , EI, a
A
I 1 II 2 III 3 IV
4
5
F
6
7 8 9
10 11
V V I V II
140. Der skizzierte Stab wird bei der Temperatur T1 spannungsfrei
eingebaut. Nun wird der Stab gleichförmig auf
die Temperatur T2 erwärmt.
PSfrag replacements
a
a
a
EI, As, αT
(a) Wie lautet die Differentialgleichung für das Knickproblem (Knickgleichung)?
z, w
(b) Berechnen Sie die aus der Temperaturerhöhung resultierende Kraft F .
(c) Bestimmen Sie die kritische Knicklast Fkrit.
(d) Bestimmen Sie die Temperatur T2, bei der der Stab knickt.
Gegeben:E, I, Querschnittsfläche: As, Wärmeausdehnungskoeffizient: αT , T1.
Literatur: [2] Abs. 7.2 Der Euler-Stab, Abs. 1.3 Stoffgesetz mit Temperaturdehnung
141. Gegeben sei das wie skizziert gelagerte und belastete System.
PSfrag replacements
(a) Formulieren Sie die Rand- und
Übergangsbedingungen für das System.
(b) Stellen Sie die charakteristische Gleichung
zur Berechnung der kritischen Last
auf. (Die Determinante muss nicht berechnet
werden.)
Geg.: ℓ, EI, c, F
EI
ℓ
x
z
c
x
l
EI
ℓ
B
F
a

1
5
9
3
2
4
8
7

10
16
12
14
15
17
13
11

23
20
22
18
19
21
24

25
28
29
27
26
31
30