Vermessung eines Sees - Neuer Lehrer-Rechner an der UNI ...

Matthias Heidenreich, Maria von Linden-Gymnasium, D-75365 Calw-Stammheim
ma.heidenreich@freenet.de
Das Protokoll ist eine Kurzfassung des Projektberichts erschienen in:
Berichte über Mathematik und Unterricht
Herausgeber: U. Kirchgraber
Bericht No. 01-02 März 2001
Eidgenössische Technische Hochschule Zürich
Dieses Projekt wurde von der Schweizerischen Mathematischen Gesellschaft (SMG),
dem Programm „ETH für die Schule“ (U. Kirchgraber) und dem Institut für
Verhaltenswissenschaften der ETH-Zürich (K. Frey) gefördert.
1 Thema
Vermessung eines Sees
Ziel des Projekts ist die Vermessung, Kartierung und Darstellung eines geeigneten
Sees in der näheren Umgebung der Schule.
Der Begriff Vermessung wird zunächst nicht näher spezifiziert. Gedacht ist an
• Vermessung von ausgewählten Punkten zwecks Anfertigung einer Karte.
• Bestimmung von Flächeninhalt und Umfang anhand der erstellten Karte
mittels verschiedener Methoden.
• Bestimmung des Tiefenprofils durch Ausloten.
• Längenbestimmung durch Winkelmessung.
Durch Bau und Benutzung einfacher Messinstrumente (siehe Anhang) erfahren die
Schüler, dass mathematische Ideen auch in der Wirklichkeit umsetzbar sind und zu
brauchbaren Ergebnissen führen. Sie erleben jedoch auch die Diskrepanz zwischen
Theorie und Praxis, zwischen Anspruch und Wirklichkeit. Bisherige Probleme aus der
Mathematik waren meist nicht authentisch und rein zur Übung konzipiert. Bei dem
realen Problem der Vermessung tauchen für Schüler und auch Lehrer ganz neue
Problemkreise auf. Wie legt man ein Koordinatensystem in der Natur fest? Wie
lassen sich die Ergebnisse kontrollieren? Wie genau kann das Ergebnis sein? Wo
bekomme ich Messgeräte her?
Das Projekt basiert auf folgenden Leitideen:
• Verwendung zentraler mathematischer Ideen:
Koordinatensystem, Flächenmessung, Längenbestimmung durch
Winkelmessung, Fehleranalyse, Maßeinheiten, Modellbildung.
• Anwendung von Mathematik in der Natur als prägendes Erlebnis.
• Nutzung verschiedener Darstellungstechniken.
• Abschätzung der Güte der Messverfahren.

2 Durchführung
Das Projekt wurde in der Klasse 8c am Maria von Linden-Gymnasium vom
15.06.2000 – 11.07.2000 (11 Schulstunden + ein Vormittag) durchgeführt.
2.1 Projektidee (1. Stunde)
Da die Schüler kaum Erfahrung mit projektartigem Unterricht hatten, wurden zu
Beginn der Stunde skizzenhaft die Grundzüge dieser Unterrichtsform dargelegt.
Hierbei wurde auf die besondere Eigenverantwortung bei der Auswahl und
Zielsetzung sowie Durchführung und Präsentation hingewiesen. Jede Gruppe sollte
zudem nach Beendigung des Projekts einen Projektbericht abgeben.
Im zweiten Teil der Stunde führten die Schüler in Gruppenarbeit den folgenden
Arbeitsauftrag durch
Arbeitsauftrag
Der Gültlinger See soll vermessen werden. Erstelle eine Liste von Vorüberlegungen zu folgenden
Themen:
a) Was soll gemessen werden (z. B. Umfang)?
b) Wie kann dies geschehen (z. B. ...Schnur umlegen ...)? Welche Probleme könnten auftauchen?
Welche Hilfsmittel werden dazu benötigt (z. B. Maßband)? Wie können die gemessenen Größen
ausgewertet werden (z.B. Fläche durch Kästchenzählen)?
c) Wie sollen die Ergebnisse präsentiert werden (z. B. Ausstellung)? Und vor wem?
2.2 Gruppenbildung (2. Stunde)
Die Ergebnisse der letzten Stunde wurden im Klassenverband besprochen. Neben
erwarteten Vorschlägen kamen auch sehr exotische Ideen zum Vorschein. Eine
Gruppe wollte den See mit Schnüren überspannen um ein Gitternetz zu erhalten.
Diese Idee wurde tatsächlich später von der Tiefengruppe wieder aufgegriffen und
eindimensional realisiert. Als Verbesserung wurde vom Lehrer die
Koordinatenmethode (siehe Anhang) vorgestellt. Eine weitere Gruppe wollte durch
Messungen mit einem Echolot die Tiefe bestimmen. Wieder andere wollten durch
Kameras an Luftballons o. ä. Luftbilder knipsen.
Es formierten sich schließlich folgende drei Gruppen:
• Theodolit (Bestimmung ausgewählter Strecken durch Winkelmessung)
• Karte (Kartierung des Sees mit Hilfe der Koordinatenmethode)
• Tiefe (Bestimmung von Tiefen an bestimmten Punkten durch Ausloten, Erstellung
eines Tiefenprofils)
2.3 Zielsetzung und Planung (3.-4. Stunde)
Innerhalb der zuvor gebildeten Gruppen wurden nun in Gruppenarbeit Aufgaben
verteilt, Feinziele erarbeitet, die Art der Präsentation geplant, Materialien besorgt,
usw..
Da einige wenige Schüler den ihnen entgegengebrachten Freiraum bisweilen
ausnutzen, erwies es sich als günstig, die Gruppe zur Verteilung fester
Aufgabenbereiche aufzufordern. Dies geschah über den zweiten Arbeitsauftrag (hier
am Beispiel der Theodolitengruppe):

Arbeitsauftrag Gruppe Theodolit
1. Verteilt in der Gruppe folgende Zusatzaufgaben und tragt diese in den Projektbericht ein:
a) Gruppensprecher: Verantwortlich für Koordinierung von b) bis g), verteilt weitere
anstehende Aufgaben, Sprachrohr der Gruppe, erster Ansprechpartner
des Lehrers, ...
b) Zeitplaner: Erstellt gemeinsam mit allen einen Zeitplan und sorgt für deren
Einhaltung , verteilt die Tagesprotokolle und sammelt sie ein, ...
c) Schriftwart: Legt ein Heft als Projektbericht an und verwaltet es. Legt fest,
wer welchen Teil im Bericht zu schreiben hat, ...
d) Materialwart: Stellt mit allen zusammen eine Materialliste aller benötigten
Materialien auf (auch Taschenrechner, Formelsammlungen, Walkie
Talkies u. ä.), legt fest, wer welches Material mitbringt (vor allem am
Vermessungstag wichtig !) und ist für die Vollständigkeit
verantwortlich, ...
e) Technischer Leiter: Ist für technische Probleme wie Bedienung des Theodoliten
zuständig, Internetrecherche, Computer, ...
f) Pressewart: Legt in Absprache mit der Gruppe und mit den Pressewarten der
anderen Gruppen fest, wie die Präsentation zum Abschluss aussieht
(Internet und/oder Stellwand und/oder Zeitung), macht Photos, Filme,
Tonbandaufnahmen, ...
g) Mädchen für Alles Ist für alle restlichen Aufgaben zuständig, springt ein, wenn ein
Job von a) – g) nicht besetzt ist (z.B. Krankheit), ...
Einige Aufgaben können doppelt besetzt werden.
2. a) Bearbeitet die folgenden Aufgaben zur Vermessungskunde als Hausaufgabe. Die gesuchten
Größen sollen dabei graphisch bestimmt werden. Zur Kontrolle sind die Zahlenwerte angegeben.
b) Überlegt, welche der Verfahren ihr am See einsetzen wollt.
...
Nach der Doppelstunde stand die Planung für die Vermessung in Form von
Feinzielen fest:
• Theodolitengruppe:
Bestimmung der Streckenmaße von ausgewählten Breiten, Längen und
Diagonalen des Sees mit Hilfe des Verfahrens Vorwärtseinschneiden nach zwei
Punkten -> Bestimmung der unbekannten Strecke durch Konstruktion,
approximative Bestimmung des Flächeninhalts mittels der zuvor bestimmten
Maße, Höhenbestimmung von Bäumen.
• Kartengruppe:
Bau von zwei Winkelspiegeln, Einrichten eines Koordinatensystems am See (mit
Tiefengruppe), Kartierung des Sees mit Hilfe des Koordinatenverfahrens,
Bestimmung des Flächeninhaltes mittels Kästchenzählen (Wiegemethode, Monte-
Carlo-Methode), Besorgung von Originalkarten, Bau eines dreidimensionalen
Modells (mit Tiefengruppe).
• Tiefengruppe:
Bau von zwei Winkelspiegeln, Einrichten eines Koordinatensystems am See (mit
Kartengruppe), Erweiterung der Seekarte um eine dritte Dimension durch
Ausloten mit einem Senkblei, Erstellung von Tiefenprofilen, näherungsweise
Bestimmung des Volumens (mit Kartengruppe).

2.4 Generalprobe (5.-7. Stunde)
Erste Gehversuche mit dem
Theodoliten
Im Pausenhof in topologisch einfachem Gelände
übte jede Gruppe ihre Messverfahren ein. Als
Theodolit stand ein einfacher Übungstheodolit der
Firma Betzold zur Verfügung. Die Winkelspiegel
(siehe Anhang) waren zuvor in Heimarbeit von den
entsprechenden Gruppen hergestellt worden.
Maßbänder, Vermessungsstangen u.ä. wurden
aus diversen Sammlungen zusammengetragen.
Die Theodolitengruppe erprobte die
Messverfahren an Strecken, welche sich auch
direkt ausmessen ließen.
Die Schüler erlebten vor
allem, dass das Verhältnis der Standlinie zur messenden
Strecke den prozentualen Fehler erheblich beeinflußt. Als
Faustregel gilt: Je näher das Verhältnis gegen eins strebt,
desto geringer wird der prozentuale Fehler.
Die beiden anderen Gruppen vermaßen einen fiktiven See
(natürlich nur zwei Koordinaten), dargestellt durch eine
Kreidelinie. Die größten Probleme traten hier bei der
Festlegung des Koordinatensystems auf. Besonders
überraschend war für viele Schüler, wie empfindlich sich der
Winkelspiegel gegenüber Abweichungen vom 45°-Winkel
verhält. Ein leicht justierbarer Spiegel samt Eichvorrichtung wurde als notwendig
empfunden. Zum Eichen genügt ein 45°-Prototyp (Geodreieck, Holzmodell) zum
Anlegen.
Die Ergebnisse waren letztendlich ausreichend, jedoch
zeigten die vielen systematischen Fehler, dass ein
Üben der Messtechniken in einfachem Gelände absolut
anzuraten ist.
Bestimmung der Koordinaten
2.5 Vermessung (ein Vormittag)
Festlegung des Koordinatensystems
Frischen Mutes traf sich die Klasse frühmorgens am See. Den Materialwarten sei
Dank, sämtliches Ausrüstungsmaterial wurde mitgebracht.
Theodolitengruppe
Diese Gruppe hatte das Ziel, unzugängliche Strecken mit Hilfe des Theodoliten zu
messen. Das wichtigste Verfahren war hierbei das Vorwärtseinschneiden nach zwei
Punkten:
Um die Länge der Strecke PQ indirekt zu bestimmen
legten die Schüler eine Standlinie AB fest und
bestimmten ihre Länge mit dem Bandmaß. Danach
wurden die Öffnungswinkel α, β, γ und δ mittels des
Theodoliten bestimmt. Rechnerisch ergibt sich die
Länge der Strecke PQ nun durch mehrmalige
Anwendung des Kosinus- und Sinussatzes. Da die
Schüler jedoch noch über keine trigonometrischen
Techniken verfügen, ermittelten sie die gesuchte

Länge konstruktiv (bzw. mit dem dynamischen Geometrieprogramm Euklid).
Auf diesem Wege wurden mehrere Breiten und
Längen mehrfach bestimmt. Die
Höhenbestimmung einiger Bäume der
Umgebung durch Bestimmung zweier
Höhenwinkel von einer vertikalen Standlinie aus
wurde zu meinem Bedauern nur einmal
durchgeführt und nicht durch eine
Kontrollmessung bestätigt.
Festlegung der Standlinie
Kartengruppe
Zunächst wurde zusammen mit der Tiefengruppe ein
Koordinatensystem eingerichtet. Dies erwies sich
als recht knifflig. Die Forderung an das
Koordinatensystem lautet: Beide Achsen müssen
größtenteils begehbar sein und gute Sicht auf die zu
vermessenden Punkte und den Ursprung aufweisen. Um
dieses annähernd zu erfüllen, legten die Schüler
den Koordinatenursprung an die Süd-Ost-Ecke des Sees.
Das hatte jedoch den Nachteil, das ca. 60 m der x-
Achse über den See verliefen. Hier wurde mit Hilfe
des Schlauchboots eine Schnur gespannt. Da dieser
Teil zu Fuß nicht begehbar war, wurde ersatzweise eine
zweite x-Achse (70 m lang) am anderen Flußufer
errichtet.
Die Achsen samt Einteilung wurden mit 100m Maßbändern vermessen und mit
Sägemehl markiert. Alle 10m wurden mit Zetteln
Markierungen abgesteckt. Die Orthogonalität
der Achsen zueinander wurde mit Hilfe des
Winkelspiegels kontrolliert. Basketballständer
sorgten für ausreichende Standfestigkeit der
Peilstangen.
Nach zwei Stunden konnte die eigentliche
Messung beginnen. Die Schüler bestimmten
nun ca. 70 Punkte des Seeufers mit Hilfe des
Koordinatenverfahre
Die y-Achse
Die y-Achse
ns. Um die Tätigkeit
aller Beteiligten
eines Messpunktes
(Schüler auf x-Achse, Schüler auf y-Achse, Schüler an
Messpunkt) zu koordinieren, wurden Walkie-Talkies
eingesetzt.
Koordinaten, deren
Bestimmung mit dem
Winkelspiegel bedingt
durch Hindernisse
impraktikabel war,
wurden durch direktes
Schüler als x-Koordinate
Messen bestimmt. Da
Schüler als wandernde
Messpunkte

der nördliche Rand (ca. 10%) des Sees weder begehbar noch einsehbar war,
wurden seine Maße in Abstimmung mit der Theodolitengruppe zur Vervollständigung
der Karte übernommen.
Tiefengruppe
Nachdem zusammen mit der Kartengruppe das
Koordinatensystem errichtet wurde, erstellte die Gruppe an
drei Stellen des Sees Tiefenprofile (in y-Richtung). Dazu
wurde eine Schnur senkrecht zur x-Achse über den See
gespannt. Diese Schnur war mit Markierungen und Bojen in
Form von Plastikflaschen
versehen. Auch hier
erwies sich der
Winkelspiegel erneut als
wichtiges Hilfsmittel.
Ausgerüstet mit Senkblei,
Walkie-Talkie,
Markierungsstange und
Schüler beim Ausloten
Verpflegung begann diese Gruppe nun, alle zwei
Meter die Tiefe des Sees zu vermessen.
Wiederholt wurde die Prozedur an zwei weiteren
Stellen des Sees.
Da die bisherigen Messungen deutlich mehr Zeit als geplant benötigten und sich am
Badesee immer mehr Gäste einfanden, wurde auf die Vermessung einzelner Punkte
verzichtet.
2.6 Auswertung (8.-9. Stunde)
Flaschen als Bojen
Die am Vermessungstag gemachten Ergebnisse wurden in den folgenden zwei
Stunden ausgewertet. Ein Teil dieser Arbeit und die Projektberichte wurde von den
Schülern zu Hause erledigt bzw. fertig gestellt.
Die Theodolitengruppe ermittelte die gesuchten Strecken konstruktiv mittels des
Programms Euklid. Die Kartengruppe erstellte anhand der gemessenen Koordinaten
einen Grundriss des Sees. Anhand dieser Karte wurde der Umfang durch Umlegen
einer Schnur ermittelt. Der Flächeninhalt wurde durch Auszählen von Kästchen und
durch Auswiegen bestimmt. Dazu wurde der See auf dicken Karton gezeichnet,
ausgeschnitten und gewogen. Als Referenzmaß diente hierbei ein normiertes
Quadrat gleichen Materials. Die Tiefengruppe erstellte Profile und bestimmte eine
mittlere Tiefe. So konnte in Zusammenarbeit mit der Kartengruppe ein
Näherungswert für das Volumen des Sees berechnet werden. Dieses Ergebnis stellte
sicher den Höhepunkt der Berechnungen dar.

Die Ergebnisse zusammenfassend:
Größe Ergebnis Methode
Länge 190 m Ablesen aus Karte
Länge 177 m Theodolit
Kurze Breite 64 m Ablesen aus Karte
Kurze Breite 60 m Theodolit
Lange Breite 93 m Ablesen aus Karte
Lange Breite 88 m Theodolit
Umfang 520 m Umlegen einer Schnur auf
Flächeninhalt 13900 m
der Karte
2
Auslegen von Quadraten
und Rechtecken auf der
Karte
Flächeninhalt 14400 m 2 Auswiegen
Größte Tiefe 6 m Ausloten an den
angegebenen Stellen
Mittlere Tiefe 3,07 m Gemittelt aus 102 Werten
Volumen 43000 m 3
Gemittelte Fläche mal
= 43 Mio. Liter
mittlere Tiefe
Tiefenprofile
Ein Teil der x -Achse liegt im See
Die Seekarte

2.7 Präsentation (10.-11. Stunde)
Als Präsentationsform wurde von den
Schülern eine Ausstellung im
Schulgebäude gewählt. Man war sich
einig, dass das überaus gelungene
Projekt einer breiten Öffentlichkeit
zugänglich gemacht werden sollte. Als
Termin bot sich die letzte Schulwoche
an, welche effektvoll mit einem
Schulfest endete. Mittelpunkt der
Stellwand bot eine überdimensionierte
Seekarte, garniert mit Photos,
Messergebnissen, Messtechniken u. ä.
. Zudem wurden die Messgeräte wie
Winkelspiegel und Theodolit
ausgestellt und vorgeführt.
Eine Stellwand der Ausstellung während des
Schulfestes
Um die Besucher zum Verweilen einzuladen, hatten zwei besonders eifrige Schüler
den gesamten Projektverlauf als selbstablaufende Powerpointpräsentation
festgehalten. Hier konnten die staunenden Besucher multimedial das Projekt am
Computer nacherleben. Allein dieser Aspekt war Grund genug, dass sich in den
meisten Pausen große Trauben von Schülern um den Projektstand scharten. Ein
weiterer Höhepunkt war das von zwei anderen Schülern erstellte dreidimensionale
Modell des Sees aus Gips anhand der gemessenen Werte. Es soll nach Beendigung
des Projekts im Rathaus der Gemeinde Gültlingen dauerhaft ausgestellt werden.
Das dreidimensionale Seemodell aus Gips

3 Resümee
Die Resonanz der Schüler auf das Projekt war nahezu gleich: Positiv betont wurde
die Abwechslung, die Arbeit in der Gruppe und der Vermessungstag als Höhepunkt.
Einzig die Zeit wurde von einigen als zu knapp empfunden. Exemplarisch dazu drei
Schülermeinungen (entnommen aus dem Projektbericht der Kartengruppe):
Mir hat das Projekt sehr gut gefallen! Es hat total viel Spaß gemacht, vor allem da
wir fast alles alleine gemacht haben, mussten wir uns auch gegenseitig
kontrollieren! Einmal eine völlig neue Variation Mathematik zu machen! Ich kann
dieses Projekt nur weiter empfehlen. Stefanie A.
Mir hat das Projekt sehr gut gefallen, nur müssten nächstes Mal die Gruppen
besser verteilt werden und man bräuchte ein bisschen mehr Zeit. Sabrina S.
Ich denke das Projekt hat sehr zum Kennenlernen von Gruppenarbeit in der
Praxis beigetragen. Mir hat es jedenfalls sehr gut gefallen und ich fände es nicht
schlecht, wenn solcher praxisnaher Unterricht verstärkt durchgeführt wü rde.
Martin B.
Während des Verlaufs des Projekts fiel auf, dass die Schüler zu Beginn klassische
Verhaltensmuster aufwiesen. Bei jedem kleineren Problem wurde der Lehrer
kontaktiert; oftmals wurde auf Impulse oder konkrete Arbeitsanweisungen gewartet,
ohne die dann wenig selbständig passierte. Dieses wurde im Verlauf des Projektes
jedoch stetig besser. Am Vermessungstag wurden die Schülern nur bei der
Errichtung des Koordinatensystems unterstützt. Die Präsentation wurde nahezu ohne
den Unterrichtenden gestaltet. Auffallend war auch die Diskrepanz zwischen Planung
und Durchführung. Zwar wurden die gesteckten Ziele fast alle erreicht, jedoch war
der Weg dorthin unstetig. Trotz unübersehbarer Motivation wechselten bei einigen
Schülern Phasen des Nichtstuns mit hektischer Betriebsamkeit ab. Es ist wohl kaum
zu vermeiden, dass die Arbeiten innerhalb der Gruppe verschiedene Zeit in Anspruch
nehmen; erst recht dann nicht, wenn die Schüler sich die Feinziele selbst stecken.
Abgemildert wurde dieser Umstand dadurch, dass alle Gruppen die einzelnen
Tätigkeitsgebiete fest verteilen mussten und in scheinbaren Hohlräumen an ihrem
Projektbericht arbeiten konnten.
Die Messergebnisse der Schüler sind – soweit überprüfbar – als gut anzusehen.
Verschiedene Flächeninhaltsberechnungen führten auf ähnliche Ergebnisse, die
gemachten Maße stimmen mit denen auf der (sehr ungenauen) Karte überein bzw.
übertreffen diese in der Auflösung. Die Tiefenprofile lassen sich verständlicherweise
nicht verifizieren.
Meine Erwartungen an das Projekt wurden deutlich übertroffen. Fasziniert hat mich
vor allem die nicht erwartete Selbständigkeit vieler Schüler. Ein Beispiel: Alle (!)
Schüler hatten am Vermessungstag ihre benötigten Materialien dabei. Ein Umstand
der in einer herkömmlichen Stunde, in der auf weitaus weniger zu achten ist, keine
Normalität ist. Hier wirkten Motivation und Gruppendruck gleichermaßen als
Triebfeder. Einzig die Ergebnisse der Theodolitengruppe waren mir im
mathematischen Sinne zu dürftig, da die Messungen nicht ausreichend kontrolliert
wurden und auf Höhenbestimmungen nahezu verzichtet wurde.
Das Projekt hat die Klassengemeinschaft deutlich gestärkt. Schulleitung und Eltern
unterstützten das Projekt durchgängig. Die regionale Presse berichtete über das
Projekt. Die erwarteten mathematischen Techniken wurden sinnvoll ausgewählt,

gründlich durchgeführt und teilweise reflektiert. Die Ergebnisse und Verfahren
wurden in dem Projektbericht ausreichend dargestellt. Die Präsentation samt Modell
und Computeranimation war ein Höhepunkt zum Schuljahresabschluss.
Anhang
a) Der 90°-Winkelspiegel
Eine kostengünstigere und einfacher
zu realisierende Variante ist der
Optische Winkel (o. a. 90°-
Winkelspiegel) von George Adams jun.
(1750-1795, englischer Optiker). Er
beruht darauf, dass zwei Spiegel
welche im Winkel 45° zueinander
stehen, einen Lichtstrahl im rechten
Winkel reflektieren (siehe Zeichnung).
Zur Herstellung verwendet man kleine
Spiegel mit ca. 5 cm Länge und 2,5 cm
Höhe. Sie werden auf Holzklötzchen geklebt, welche wiederum auf eine dreieckige
Trägerplatte aus Holz geschraubt werden. Da der Strahlengang gegenüber
Abweichungen vom 45°-Winkel sehr empfindlich reagiert, sollte einer der beiden
Spiegel drehbar befestigt werden. Zum Eichen
eignet sich dann beispielsweise der 45°-
Winkel eines Geodreiecks. Um das Anvisieren
zu erleichtern, kann man hinter einem der
Spiegel einen Visierschlitz, Nagel o. ä.
anbringen.
Wie beim 90°-Prisma montiert man zum
Schluß einen Handgriff samt Lot an die
Trägerplatte, um ausreichend exakt den
Bezugspunkt (Scheitelpunkt des Winkels)
festlegen zu können.
Eichen mit einem 45°-Modell
b) Theodoliten
Theodoliten sind optisch-mechanische Instrumente zum Messen von
Horizontalwinkeln und Höhenwinkeln. Modernste Geräte arbeiten mit Lasertechnik
und sind auch zur direkten Distanzmessung einsetzbar (Tachymeter-Theodolit). Man
erreicht mit ihnen Genauigkeiten in Bereich von Bruchteilen eines Grades bei der
Winkelmessung.
Für die Messungen innerhalb der Schule genügen einfachere Modelle. Ein
preisgünstiges Modell für Schulen bietet die Firma Betzold. Die meist aufwendige
optische Anvisiervorrichtung bei professionellen Geräten wurde hier durch
Visierkante ersetzt.
Anstelle eines käuflichen Modells kann man einen einfachen Theodoliten zum
Messen von Horizontalwinkeln auch selbst bauen: Er besteht im wesentlichen aus

einer Winkelscheibe und einem Stativ. Dazu wird eine Pappscheibe mit einer 360°-
Einteilung versehen, durchbohrt und auf ein Stativ montiert. In der Mitte befestigt
man einen Nagel zum Anvisieren. Danach werden auf der Scheibe drehbare Zeiger
mit Visiervorrichtungen angebracht.
Selbstbautheodolit
c) Die Koordinatenmethode
Theodolit der Fa. Betzold
Man benötigt hierzu zwei Winkelspiegel
(Beschreibung siehe a)), eine Messlatte, vier
Personen und ein großes Koordinatensystem.
A(xA,yA)
yA
Im Mathematikunterricht müssen häufig in
Koordinatensysteme Punkte eingezeichnet werden,
bzw. aus Koordinatensystemen die Koordinaten von
eingezeichneten Punkten abgelesen werden. Sind
also von einer Punktmenge die Koordinaten bekannt,
so kann man diese Punktmenge überall mit Hilfe des 0
xA
richtigen Koordinatensystems korrekt rekonstruieren.
Im Prinzip verschlüsselt man die Daten der Punktmenge durch die Koordinaten, und
der Schlüssel zum Entschlüsseln ist das passende Koordinatensystem. Wie kann
man dieses Wissen auf die Seevermessung anwenden? Zunächst muss man um den
zu vermessenden See ein passendes Koordinatensystem legen und die Koordinaten
einiger Seeuferpunkte bezüglich dieses Koordinatensystems bestimmen. Ist dies
gelungen, so kann man die Seeuferpunkte mit Hilfe des Koordinatensystems wieder
am Zeichentisch rekonstruieren.
Wie erhält man die Koordinaten der Seeuferpunkte? Geht man von einem
kartesischen Koordinatensystem aus, so muss man jeweils ein Lot vom Seeuferpunkt
(Messpunkt) auf die jeweiligen Koordinatenachsen fällen. In einer Zeichnung (siehe
oben) ist dies sehr einfach. In der freien Natur ist so etwas schon schwieriger. Man
benötigt ein Gerät mit dem man rechte Winkel im Gelände bestimmen kann. Zwei
solcher Geräte sind in beschrieben. Es handelt sich um das 90°-Prisma und den
optischen Winkel.
Für die Bestimmung der Koordinaten eines Messpunktes geht man wie folgt vor:
Zunächst wird ein rechtwinkliges Koordinatensystem mit entsprechender metrischer
Einteilung um den See gelegt. Die Rechtwinkligkeit wird mit einem 90°-Prisma oder
einem geeichten 90°-Winkelspiegel überprüft. Nun geht der „Messpunkt“ mit seiner
Messlatte an den gewünschten Seeuferpunkt, beispielsweise A2. Die zwei Schüler
welche die Winkelspiegel bedienen, nennen wir sie „X-Koordinatenläufer“ und „Y

Koordinatenläufer“ laufen nun auf ihren Koordinatenachsen bis zum jeweiligen
ungefähren Lotfußpunkt. Nun wird mit dem Winkelspiegel ein rechter Winkel
zwischen Koordinatenachse und der Strecke Seeuferpunkt-Koordinatenläufer
hergestellt. An der Stelle der Koordinatenachse, wo dies der Fall ist, ist der
Lotfußpunkt. Man erhält also ein Koordinatenpaar der Form (x2, y2). Die Skizze
veranschaulicht das Verfahren.
Y
y4
y3
y2
y1
Ursprung
Lichtstrahl
vom Ursprung
Winkelspiegelgrundplatte
Vergrößerung
Spiegel 2
A2
Auge des
Koordinatenläufers
A1
A2
x1 x2 x3 x4
45°
Der Lichtstrahl vom Ursprung muss mit dem von der
Messlatte (A2) kommenden übereinanderlegt werden.
Im Spiegel 2 muss also die Ursprungslatte mit der
Messlatte des Messpunktes A2 zur Deckung gebracht
werden.
Spiegel 1
Messlatte
Punkt A2
vom
Spiegel 2
A3
A4
X
Bild von der
Ursprungslatte