Elektrodynamik

112 2. ElektroMagnetostatik
Dies ist ein sogenanntes elliptisches Integral� es la t sich nicht durch elementare
Funktionen ausdrucken, ndet sich aber in mathematischen Formelsammlungen
tabelliert. Um hier noch weiterzukommen, spezialisieren wir
zur Fernzone r 2 +z 2 R 2 . In diesem Grenzfall durfen wir die Quadratwurzel
im Nenner des Integranden Taylor-entwickeln,
(r 2 + z 2 ; 2Rr cos + R 2 ) ;1=2 =(r 2 + z 2 ) ;1=2 1+
und Ausfuhren des Integrals resultiert in
A = 0
4 IR2 (r 2 + z 2 ) ;3=2 r 2 d' + ::: :
Einmal Di erenzieren gibt die magnetische Feldstarke
Rr cos
r2 + ::: �
+ z2 B =dA = 0
4 IR2 (r 2 + z 2 ) ;5=2 ; (2z 2 ; r 2 )dr ; 3rzdz ^ rd' + ::: :
I
B
Abbildung 2.4. Magnetische Flu linien einer stromfuhrenden
Leiterschleife
In dieses Fernfeld bringen wir jetzt eine zweite kreisformige Leiterschleife mit
Radius R 0 und Strom I 0 .Wirinteressieren uns fur die Kraft, die die beiden
Schleifen aufeinander ausuben, wenn die zweite Schleife wie die erste zur
xy-Ebene parallel liegt und um die z-Achse zentriert ist. Nach Aufg. ?? ist
die z-Komponente der Lorentz-Kraft auf das in nitesimale Stuck der zweiten
Schleife am Ort p (r(p) =R 0 )mitTangentenvektor @'(p) bleich
Kz(p) =I 0 Bp(ez� @'(p)) :
Durch Au ntegrieren der Beitrage erhalten wir fur die Gesamtkraft
Kzdz = ; 3 0
2 IR2I 0 02 dz
R + ::: :
z4 Die anderen Kraftkomponenten mussen in diesem Spezialfall aus Symmetriegrunden
verschwinden. Wir sehen, da die Kraft zwischen den Schleifen fur
den Fall gleicher Stromrichtung (II0 > 0) attraktiv ist und dem Betrag nach
wie die vierte Potenz des inversen Abstands abfallt.
Aufgabe 2.2.1. Wie hangt die Kraft vom Abstand ab, wenn die beiden Schleifen
in der gleichen Ebene liegen?