Elektrodynamik

44 0. Mathematische Grundlagen
0.16 Integration von Di erentialformen
Vorbereitung. In Abschn. 0.14 haben wir das Kurvenintegral einer 1-Form
unter Zuhilfenahme einer Parametrisierung : [0� 1] ! U erklart. Dieses
Vorgehen la t sich verallgemeinern und fuhrt zur De nition des Integrals
von k-Formen uber k-dimensionale Gebiete. Um zum Beispiel eine 2-Form
uber eine Flache S U zu integrieren, wahlen wir eine Parametrisierung
von S durch : [0� 1] [0� 1] ! U, werten ! in den Punkten von S auf
Paaren von Tangentenvektoren aus und berechnen wieder den Grenzwert
einer Riemannschen Summe. Um zu entscheiden, in welcher Reihenfolge die
Tangentenvektoren einzusetzen sind, benotigen wir eine Orientierung, d.h.
eine Vorschrift, die zwischen richtig und falsch orientierten Systemen von
Tangentenvektoren unterscheidet.
k-Zellen. Das Gesagte motiviert die folgende k-dimensionale Verallgemeinerung
einer Kurve. Sei U ein n-dimensionales Gebiet. Wir de nieren eine k-
Zelle in U als ein Tripel ([0� 1] k � � ), bestehend aus dem k-dimensionalen
Einheitskubus [0� 1] k := [0� 1] ::: [0� 1] (k-faches direktes Produkt) in R k ,
einer di erenzierbaren Abbildung :[0� 1] k ! U, und einer Orientierung
von R k . Diese De nition ist fur k = 2 und n = 3 in Abb. 0.21 illustriert.
Au erdem verabreden wir, da unter einer 0-Zelle in U ein Punkt von U zu
verstehen ist.
γ :
1
σ
IR 2
1
Abbildung 0.21. Zur De nition von k-Zellen
φ
Das Integral einer k-Form uber eine k-Zelle. Fur k 1 sei ! eine k-Form auf
U und eine k-Zelle in U. Das Integral R ! ist durch die folgende Berechnungsvorschrift
de niert. (1) Hole ! mittels nach R k zuruck. (2) Drucke
U