Elektrodynamik

0.2 Linearformen 3
Der n-dimensionale Euklidische Raum En. Unter einem Euklidischen Raum
E versteht man einen a nen Raum A, dessen Di erenzvektorraum V die
zusatzliche Struktur eines Euklidischen Vektorraums hat. Der Abstand d(a� b)
zweier Punkte a� b 2 M wird durch d(a� b) = jb ; aj erklart. Der ndimensionale
Euklidische Raum wird mit En bezeichnet. Ein kartesisches
Koordinatensystem von En ist ein a nes Koordinatensystem (o� e1�:::�en)
mit der zusatzlichen Eigenschaft, da die Vektoren e1�:::�en eine Orthonormalbasis
bilden:
hei�eji = ij
(i� j =1� :::� n) :
Hierbei ist ij Kroneckers Delta-Symbol, d.h. ij =1fur i = j, und ij =0
fur i 6= j. Sind x i und y i die Koordinaten von a 2 M und b 2 M bezuglich
eines solchen Systems, dann gilt:
d(a� b) =j(b ; o) ; (a ; o)j =
nX
i=1
(x i ; y i )ei =
vu
u
t nX
i=1
(x i ; y i ) 2 :
Da d(a� b) von der Wahl des Koordinatensystems unabhangig ist, folgt dasselbe
fur P n
i=1 (xi ; y i ) 2 .
Euklidische Bewegungen. Sei E ein Euklidischer Raum und : E ! E eine
a ne Abbildung. Wir nennen eine Euklidische Bewegung, wenn fur jedes
Paar a� b 2 E gilt
j (a) ; (b)j = ja ; bj :
Euklidische Bewegungen lassen also den Abstand zwischen Punkten ungeandert.
Aus der Behauptung von Aufgabe 0.1.2 folgt, da jede Euklidische
Bewegung in der Form
(a) = (o)+R(a ; o)
ausgedruckt werden kann, wobei die lineare Abbildung R : V ! V der Orthogonalitatsbedingung
hRv1�Rv2i = hv1�v2i unterliegt. Der Spezialfall R =id
hei t Translation, fur (o) =o liegt eine Rotation mit Fixpunkt o vor.
0.2 Linearformen
Hier und im folgenden bezeichne V immer einen Vektorraum der Dimension
n uber dem reellen Zahlenkorper R. Eine Linearform auf V ist eine lineare
Abbildung, die jedem Element von V eine reelle Zahl zuweist. In Formeln
schreiben wir
: V ! R �
v 7! (v) �
d.h. wir bezeichnen die v 2 V durch zugewiesene Zahl mit (v). Linearitat
der Abbildung bedeutet, da fur alle u� v 2 V und x� y 2 R gilt: