Elektrodynamik

2 0. Mathematische Grundlagen
Der nach (2) eindeutige Vektor v von (3) hei t der " Di erenzvektor\ von a
und b und wird mit b ; a bezeichnet. Fur V = R n ist A = (M�V�+) der
n-dimensionale a ne Raum An .
Aufgabe 0.1.1. Gegeben sei ein Tripel von Punkten a� b� c 2 M. Deduzieren
Sie aus den Axiomen (1)-(3) die Beziehung c ; a =(c ; b)+(b ; a).
Unter der Geraden durch a in Richtung von v versteht man die Menge
von Punkten der Form a + sv mit beliebigem s 2 R. Der von m Vektoren
v1� :::� vm aufgespannte Spat mit Basispunkt p ist die Punktmenge
faja = p+ P m
i=1 tivig fur 0 t1� :::� tm 1. Fur m = 2 sprechen wir auch von
einem Parallelogramm. Ein a nes Koordinatensystem ist eine Gesamtheit
(o� e1�e2�:::�en), bestehend aus einem ausgewahlten Punkt o 2 M ( " Koordinatenursprung\)
und n linear unabhangigen Elementen e1�:::�en von V .Die
durch a ; o = P n
i=1 xi ei einem Punkt a 2 M zugeordneten Zahlen x 1 �:::�x n
hei en a ne Koordinaten von a bezuglich(o� e1�:::�en). Eine a ne Abbildung
: M ! M bildet Geraden auf Geraden ab.
o
x
2
e 2
x
1
a
e 1
Abbildung 0.1. A nes Koordinatensystem
(o� e1�e2) und a ne Koordinaten x 1 , x 2 eines
Punktes a 2 A2.
Aufgabe 0.1.2. Zeigen Sie, da jede a ne Abbildung sich in der Form
(p) = (o)+L(p ; o)
ausdrucken la t, wobei o ein beliebig gewahlter Referenzpunkt und die Abbildung
L : V ! V linear ist.
Euklidischer Vektorraum. Der Di erenzvektorraum V eines a nen Raumes
hat zu wenig Struktur, als da es moglich ware, Langen von Vektoren oder
von Vektoren eingeschlossene Winkel zu messen. Diese Moglichkeit wird erst
durch die Einfuhrung eines positiv de niten Skalarprodukts h � i ero net. Ein
Vektorraum V mit positiv de nitem Skalarprodukt h � i hei t Euklidischer
Vektorraum. Die Lange jvj eines Vektors v ist in diesem Fall erklart durch
jvj = p hv� vi und der Winkel (u� v) zwischen zwei Vektoren u und v durch
cos (u� v) =hu� vi=jujjvj.