Elektrodynamik

4 0. Mathematische Grundlagen
(xu + yv) =x (u)+y (v) :
Linearformen lassen sich wie Vektoren in naturlicher Weise addieren und
mit reellen Zahlen multiplizieren:
( + )(v) := (v)+ (v) �
(x )(v) :=x (v) :
Sie bilden also ihrerseits einen linearen Raum, den sogenannten " Dualraum\
von V , den wir mit L(V� R) oder kurzer mit V bezeichnen. Man sieht leicht,
da V die gleiche Dimension wie V hat. Damit ist schon alles gesagt, was
es an dieser Stelle uber Linearformen zu wissen gibt, und wir konnten jetzt
im Prinzip sofort zu Abschn. 0.3 ubergehen. Fur manche Zwecke ist es aber
hilfreich, mit dem abstrakten Begri der Linearform eine anschauliche Vorstellung
verbinden zu konnen.
Graphische Veranschaulichung. Nach obiger De nition setzt der Begri der
Linearform einen reellen Vektorraum V voraus und sonst nichts. Um den
Begri der Linearform graphisch zuveranschaulichen, ist es jedoch gunstig,
V als den Di erenzvektorraum eines a nen Raumes A = (M�V�+) zu interpretieren,
was wir hier tun wollen. Ein Vektor v 2 V la t sich dann als
ein Pfeil au assen, der zwei Punkte von M miteinander verbindet. Addition
zweier Vektoren u und v erfolgt in diesem Bild dadurch, da man den Schaft
des Pfeils von v durch Parallelverschiebung an die Spitze des Pfeils von u
setzt. 1 Der Summenvektor u + v ist dann derjenige Pfeil, der vom Schaft
von u zur Spitze von v zeigt. Dieser nutzlichen Veranschaulichung des Vektorbegri
s und der Addition von Vektoren entspricht eine Vorstellung von
Linearformen, die in Abb. 0.2 illustriert ist.
α
+3
a b
f
o
+2
+1
0
-1
-2
Abbildung 0.2. A nes Modell einer Linearform
e
α
o
α(v)= 2,69
Abb. 0.2 entsteht auf die folgende Weise. Wir geben uns einen Punkt o
und einen Vektor e vor und zeichnen die Gerade durch o in Richtung von e.
Diese Gerade nennen wir die " Nullgerade\. Nun nehmen wir einen zweiten,
von e linear unabhangigen Vektor f, bringen den Schaft von f durch Parallelverschiebung
auf irgendeinen Punkt (z.B. o) der Nullgeraden und zeichnen
die Gerade durch die Spitze von f in Richtung von e. Dann schieben wir
1 Parallelverschiebung beruht auf der algebraischen Relation b+v = a+v+(b;a).
v
+3
+2
+1
0
-1
-2