Elektrodynamik
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(p) =; Q<br />
Z<br />
?d<br />
4 "0<br />
1<br />
rp<br />
2.6 ElektroMagnetostatik mit Stromformen 129<br />
= ::: = Q<br />
Z<br />
4 "0<br />
Das Integral uber den Raumwinkel hangt offensichtlich nur vom Rand<br />
der Flache ab.<br />
Magnetisches Skalarpotential einer Stromschleife. Kurz an Rechnung mit<br />
Vektorpotential A erinnern. Es geht aber auch anders (siehe Elektrostatik<br />
oben)...<br />
j = Stromdichte einer Leiterschleife (eine Stromform j 2 2(E3))<br />
per Definition: j[A] =I R A<br />
Abbildung (zeigt eine Flache , deren Rand gleich ist).<br />
Amperesches Gesetz dH = j hat die spezielle Losung H (0) = I .<br />
(Verifikation: dH (0) = @H (0) = I@<br />
allgemeine Losung: H = H<br />
= I = j.)<br />
(0) +d .<br />
Aus dB =0 folgt 0=d?H =d?H (0) +d? d<br />
oder 4 = ;I ?d ? .<br />
= Id ? + ?4<br />
Beachte die starke Analogie zur Elektrostatik: d? entspricht der<br />
Ladungsdichte einer elektrischen Dipolschicht (siehe oben)...<br />
Die Losung dieser Poisson-Gleichung konnen wir sofort angeben:<br />
4 (p)=I =d?<br />
1<br />
rp<br />
= ; ? d 1<br />
rp<br />
p :<br />
= ::: =<br />
springt uber die Flache hinweg� die Kombination H (0) +d ist<br />
stetig.<br />
Korollar 1: perfekte Analogie zwischen dem elektrischen Feld einer<br />
Dipolschicht und dem Magnetfeld einer stromfuhrenden Schleife.<br />
Korollar 2: Schleife schrumpfen lassen ! das Feld von elektrischem<br />
und magnetischem Dipol sind (abgesehen von den Vorfaktoren) identisch.<br />
(Uberprufung fur = Kreisscheibe)<br />
Zusammenfassung: mogliche Strategien.<br />
1. Die homogene Gleichung dB =0 oder dE =0 durch die Einfuhrung<br />
eines Potentials B =dA oder E = ;d losen. Mit Materialgleichung<br />
H oder D ausdrucken und damit in die inhomogene Gleichung dH =<br />
j oder dD = gehen. Es resultiert Poisson-Gleichung fur A bzw.<br />
(im ersten Fall ist die Coulomb-Eichung zu wahlen).<br />
2. Spezielle Losung der inhomogenen Gleichung ansetzen. Durch Hinzufugen<br />
einer exakten Stromform die allgemeine Losung der inhomogenen Gleichung<br />
ausdrucken. Damit (und mit Materialgleichung) in die homogene Gleichung<br />
gehen...<br />
Haben wir zuviel versprochen, als wir sagten, wir konnten Elektrostatik<br />
und Magnetostatik in einheitlicher Weise behandeln. Nein. Der Kalkul<br />
mit Differentialformen oder Stromformen macht's moglich!<br />
Z<br />
p :
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