MI_0819.pdf - Institut für Algebra, Zahlentheorie und Diskrete ...

Mathe, Inge
und Maple
Mathematik für Ingenieure II
unter Verwendung des Computersystems Maple
Universität Hannover
Sommersemester 2005
Marcel Erné
erne@math.uni-hannover.de

4. Grenzwerte
4.1 Topologische Grundbegriffe
Längen und Abstände
Elemente des Raumes R n interpretieren wir alternativ als Vektoren oder als Punkte. Wir benutzen
je nach Bedarf Zeilen- und Spaltenvektoren. Den n-dimensionalen Spaltenraum bezeichnen wir
wie bisher mit R n .
Die Länge eines Vektors a = (a 1 ,..., a n ) ist sein Abstand zum Nullvektor 0=(0,...0). Man berechnet
sie mit Hilfe des Satzes von Pythagoras:
n
a = ∑
j = 1
2
aj .
Der Abstand zweier Punkte a = (a 1 ,..., a n ) und b = (b 1 ,..., b n ) ist die Länge des Differenzvektors,
also a − b . Speziell:
n = 1 : a − b = ( a − b )
2
n = 2 : a − b = ( − ) + ( − )
a 1
b 1
n = 3 : a − b = ( a1 − b1) + ( a2 − b2 ) + ( a3 − b3 )
und allgemein:
n
a − b = ∑
=
j 1
2
2
( − )
Beispiel 1: Quader mit einigen Diagonalen
a j
b j
a 2
2
.
b 2
2
2
Für Abstände gilt die Dreiecks-Ungleichung, die besagt, daß die Länge einer Dreiecksseite immer
höchstens so groß wie die Summe der Längen der beiden anderen Seiten ist:
a − c ≤ a − b + b − c .
2

Beispiel 2: Ebenes Dreieck mit den Ecken a = (0,-1) , b = (-1,1) , c = (1,2) :
a = [ 0, -1 ] , b = [ -1, 1 ] , c = [ 1, 2 ]
d ( a, b) = 5 , d ( a, c ) = 10 , d ( b, c) = 5
Es ergibt sich ein gleichschenklig rechtwinkliges Dreieck!
Beispiel 3: Tetraeder (räumliches Viereck) mit den Ecken
a = (0,0,0) , b = (-1,2,2) , c = (2,-1,2) , d = (2,2,-1) :
a = [ 0, 0, 0 ] , b = [ -1, 2, 2 ] , c = [ 2, -1, 2 ] , d = [ 2, 2, -1 ]
d3 ( a, b) = 3 , d3 ( a, c) = 3 , d3 ( b, c) = 3 2 , d3 ( b, c) = 3 2 , d3 ( b, d) = 3 2,
d3 ( c, d) = 3 2
Umgebungen, Inneres und Abschluß
Für δ > 0 ist die offene δ-Kugel um x aus R n gegeben durch
K( x, δ) = { y : x − y < δ},
die abgeschlossene δ-Kugel hingegen durch
K ( x, δ ) = { y : x − y ≤ δ}.

Das Innere U o einer Teilmenge U des R n besteht aus allen Punkten x, für die noch eine ganze δ
-Kugel um x in U enthalten ist. In diesem Fall nennt man U eine Umgebung von x. Zum Beispiel
ist das Innere der abgeschlossenen Kugel K ( x, δ ) die offene Kugel K( x, δ).
Eine Menge, die mit ihrem Inneren übereinstimmt, heißt offen. Häufig lassen sich offene Mengen
durch eine oder mehrere strikte Ungleichungen beschreiben.
Zum Abschluß U einer Menge U gehören alle Punkte, die nicht zum Innern des Komplements von
U gehören, also in beliebiger Nähe von Punkten aus U liegen. Zum Beispiel ist der Abschluß der
offenen Kugel K( x, δ) die
abgeschlossene Kugel K ( x, δ ) .
Eine Menge, die mit ihrem Abschluß übereinstimmt, heißt abgeschlossen. Die abgeschlossenen
Mengen sind genau die Komplemente der offenen Mengen. Abgeschlossene Mengen lassen sich
ebenfalls häufig durch Ungleichungen beschreiben, aber nicht durch strikte Ungleichungen, (d.h.
man muß "kleiner oder gleich" zulassen).
Die weder im Inneren von U noch im Innern des Komplements von U liegenden Punkte heißen
Randpunkte von U. Der Abschluß einer Menge besteht also stets aus den Punkten dieser Menge
und ihren Randpunkten, und eine Menge ist genau dann abgeschlossen, wenn sie alle ihre
Randpunkte enthält.
Beispiel 4: Eine offener halber Kreisring in der Ebene
Diese Menge ist nicht offen, weil sie "nach oben geöffnet" aussieht, sondern weil sie keinen ihrer
Randpunkte enthält.

1
< x +
4
2
y 2 < 1 und y < 0
Beispiel 5: Das offene Oktaeder
O = { ( x, y, z) : x + y + z < 1}
enthält keinen seiner Randpunkte. Diese bilden die Oberfläche
dO = { ( x, y, z) : x + y + z = 1}.
Das abgeschlossene Oktaeder
O = { ( x, y, z) : x + y + z ≤ 1}
enthält seine gesamte Oberfläche.
Beispiel 6:
In der folgende Skizze ist die grüne Fläche eine Umgebung des inneren Punktes x, aber nicht des
Randpunktes y. Der Punkt z liegt im Innern des Komplements dieser Fläche, also nicht in ihrem
Abschluß.
Gelegentlich muß man auch noch die "unendlich fernen Punkte" ∞ und −∞ hinzunehmen (wir
tun das nur im eindimensionalen Fall). Als Umgebungen von ∞ betrachtet man alle Mengen, die
ein ganzes Intervall [ δ, ∞ ] umfassen, und entsprechend sind Umgebungen von −∞ diejenigen
Mengen, die ein ganzes Intervall [ −∞, −δ ] enthalten.

4.2 Konvergenz
Wir betrachten eine Funktion f von einer Teilmenge A (Definitionsbereich) des R n in eine
Teilmenge C (Wertebereich) des R m . Weiter sei a ein fester Punkt aus A sowie c ein fester Punkt
aus C. Im eindimensionalen Fall lassen wir auch die Werte −∞ und ∞ für a bzw. c zu.
Man sagt, f konvergiert bei Annäherung an a gegen c, oder f hat bei a den Grenzwert (Limes)
c, in Zeichen:
lim
x → a
f( x ) = c ,
falls zu jeden Umgebung V von c eine Umgebung U von a existiert, deren Durchschnitt mit dem
"punktierten Definitionsbereich" A -{a} durch f ganz in V hinein abgebildet wird.
Dieser Konvergenzbegriff ist sprachlich relativ einfach formulierbar, aber numerisch schlecht
nachzuprüfen.
Im Falle endlicher Werte für a und c benutzt man meist die konkretere Bedingung, daß zu beliebig
vorgegebener Fehlerschranke ε > 0 eine Zahl δ > 0 gefunden werden kann, so daß f(x) stets
weniger als ε von c entfernt ist, wenn der Abstand von x (aus A) zu a kleiner als δ ist, kurz:
0 < x − a < δ => f( x ) − c < ε.
Im eindimensionalen Fall bedeutet dies , daß für jedes x aus den offenen Intervallen ] a − δ, a [
und ] a, a + δ [ der Wert f( x ) im Intervall ] c − ε , c + ε [ liegt.
Rechnen mit Grenzwerten
Generell gilt: Grenzwerte darf man mit allen gängigen Rechenoperationen vertauschen.
Bezeichnet y*z wahlweise Summe, Differenz, Produkt oder Quotient der Zahlen y und z, so folgt
aus
stets
lim
x → a
lim
x → a
f( x ) = c und lim g( x ) = d
x → a
f( x ) * g( x ) = c*d .

(Bei vektorwertigen Funktionen darf man sowohl das Skalarprodukt als auch das Vektorprodukt
nehmen).
Ebenso darf man beim Potenzieren eindimensionaler Funktionen verfahren:
lim
x → a
f( x )
g( x )
Inbesondere hat man
lim
x → a
c
g( x )
= c
= c d .
( lim
x → a
g( x)
)
und lim f( x ) =
d
( lim f( x ) ) .
x → a
x → a
Die letzten drei Regeln folgen, wie wir später sehen werden, aus der Tatsache, daß
Exponentialfunktionen differenzierbar sind.
Schließlich haben wir noch die besonders vielseitig anwendbare
Einsetzregel:
lim
x → a
f( x ) = c und lim g( y ) = d impliziert lim f ( g( x ) ) = d .
y → c
x → a
Unbestimmte Ausdrücke der Form 0
0 , 00 etc. behandeln wir später in Abschnitt 4.4.
Beispiel 1: Mehrfache Anwendung dieser "Limesregeln" liefert
lim
x → 0
⎛
⎜
2 − − ⎞
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
x π x 4
x + +
3 π x
2
9
= , =
2
π lim
⎛
⎜
2 − − ⎞
⎟
⎜
⎟
x → 1 ⎝
⎠
x π x 4
x + +
3 1.
π x
Der Schein trügt: Für große Argumente strebt diese Funktion nicht gegen 0, sondern gegen ∞ !
(Denn 2 x wächst viel schneller als jede Potenz von x).
2
d

Einschlußkriterium
Dieses etwas drastisch auch "Quetsch-Lemma" titulierte Konvergenzkriterium besagt:
Sind f,g und h reellwertige Funktionen mit gleichem Definitionsbereich, f( x ) ≤ g( x ) und
g( x ) ≤ h( x ) sowie
f( x ) = c = lim h( x ) ,
so gilt auch
lim
x → a
lim
x → a
g( x ) = c.
x → a
Beispiel 2:
Sinus und Tangens kleiner Winkel
Bogenlänge des blauen Sektors: x (wir beschränken uns auf den Bereich 0 < x < π
2 )
sin( x ) cos( x )
Rote Dreiecksfläche: R =
2
Sektorfläche (rot+blau): S = x
(der Bogen verhält sich zur Fläche wie Kreisumfang zu Kreisfläche,
2
also wie 1:2)
tan( x ) sin( x)
Große Dreiecksfläche: T = =
2 2 cos( x )
.

Aus der offensichtlichen Ungleichung R < S < T ergibt sich für x ≠ 0 nach Divison durch
bzw.
tan( x )
2
:
cos( x ) <
x
sin( x )
<
1
cos( x )
und wegen lim cos( x ) = 1 folgt hieraus auch
x → 0
lim
x → 0
x
sin( x)
=
lim
x → 0
x
tan( x )
bzw. ( ) cos x 2 <
= 1 .
x
tan( x )
< 1 ,
sin( x)
Das bedeutet, daß sich die Sinus- und die Tangenskurve nahe bei Null sehr ähnlich wie die Gerade
y = x verhalten. Genauer gesagt, ist diese ist sogar die Tangente im Nullpunkt, denn die Ableitung
des Sinus bei 0 ist
sin( x)
lim = 1 ,
x → 0 x
und ebenso ist die Ableitung des Tangens bei 0
tan( x)
lim = 1 .
x → 0 x
Das folgende Kurvenbild zeigt, wie die Gerade y = x zwischen Sinus und Tangens eingeschlossen
wird:
Beispiel 3: Eine Abschätzung für den Logarithmus
Die Funktion ln ( 1 + x ) ist streng monoton wachsend, da ihre Ableitung
1
1 + x
für x > 0 stets positiv ist; die zweite Ableitung
1
−
( 1 + x )
2
2

ist hingegen stets negativ, so daß die Ausgangsfunktion konkav, d.h. rechtsgekrümmt ist und daher
stets unter
ihren Tangenten liegt. Insbesondere gilt für x ≠ 0 :
ln ( 1 + x) < x ,
also auch
ln ( 1 + x) = − ⎛ 1 ⎞ ⎛ −x ⎞
ln⎜
⎟ = −ln ⎜1
+ ⎟
⎝ 1 + x ⎠ ⎝ 1 + x ⎠
>
x
1 + x .
x
< ln ( 1 + x ) < x
1 + x
1 ln ( 1 + x )
Aus der Ungleichung < < 1 folgt sofort mit Hilfe des Einschlußkriteriums:
1 + x x
ln ( 1 + x )
lim = 1
x → 0 x
und allgemeiner
ln ( 1 + xy)
lim
= y
x → 0 x
⎛ ln ( 1 + xy)
⎞
⎜ lim
⎟ = y .
⎝ x → 0 x y ⎠
Nach Ersetzen von x durch 1
(wobei n gegen ∞ läuft) wird daraus:
n
⎛ y ⎞
lim n ln ⎜ 1 + ⎟ = y ,
n → ∞ ⎝ n ⎠
und Anwenden der Exponentialfunktion liefert die berühmte Formel für die "stetige Verzinsung":
lim
n → ∞
n
⎛ y ⎞
⎜ 1 + ⎟ = e
⎝ n ⎠
y .

Unendliche Grenzwerte
Was bedeutet genau die "Gleichung"
lim
x → ∞
f( x) = c ?
Sie besagt nach der Umgebungsdefinition (für endliche wie für unendliche Punkte), daß es zu jeder
positiven Schranke ε ein δ geben muß, so daß f( x ) stets um weniger als ε von c abweicht, falls x
größer als δ ist.
Entsprechend bedeutet im Falle c = ∞ (bzw. c = −∞)
f( x ) = c ,
lim
x → a
daß zu jeder Schranke ε ein positives δ existiert, so daß f( x ) stets größer (bzw. kleiner) als ε ist,
falls x um weniger als δ von a abweicht.
Schließlich hat
f( x) = ∞
lim
x → ∞
die Bedeutung, daß zu jedem ε ein δ existiert, so daß für x > δ auch f( x ) > ε gilt. Man sagt hier
kurz, daß f( x ) für genügend große x ebenfalls beliebig groß wird.
Beachten Sie, daß δ und ε hier nicht klein, sondern groß zu wählen sind!
Beispiel 4:
lim
x → ( −∞)
sin( x ) e
=
x
0 , lim
x
x → 0
sin( x ) e
=
x
1 .
x
In kleineren Intervallen sieht die Funktion ganz harmlos aus:
Entgegen erster Anschauung existiert jedoch der folgende Grenzwert nicht!
sin( x ) e
lim =
x → ∞
x
?
x
sin( x) e
Denn es ist =
x
sin( x ) e
0 für alle ganzen Vielfachen x = n π von π , während
x
x
für
x
⎛ 1 ⎞
x = ⎜n
+ ⎟ π beliebig groß wird. Der Grenzwert müßte also einerseits gleich 0, andererseits ∞
⎝ 2 ⎠
sein, was natürlich nicht geht.Hingegen existiert der "uneigentliche" Grenzwert
( x + sin( x ) ) e
lim
=
x → ∞
x
∞ ,
x
da die Exponentialfunktion viel schneller als x wächst und sin( x ) durch -1 nach unten beschränkt
ist:

e
≤
x
( x + sin( x) ) e
x
x
x
Einseitige Grenzwerte
für x > 2.
Man sagt, eine eindimensionale Funktion f konvergiert bei Annäherung von links an a gegen c,
in Zeichen
f( x ) = c ,
lim
x → a-
falls zu ε > 0 ein δ > 0 mit f( x ) − c < ε für alle x aus dem Intervall ] a − δ, a [ existiert.
Entsprechend konvergiert f bei Annäherung von rechts an a gegen c, in Zeichen
f( x) = c ,
lim
x → a+
falls zu ε > 0 ein δ > 0 mit f( x ) − c < ε für alle x aus dem Intervall ] a, a + δ[ existiert.
Definitionsgemäß gilt also
f( x ) = c
lim
x → a
genau dann, wenn sowohl lim f( x) = c als auch lim f( x ) = c erfüllt ist.
x → a-
x → a+
Eine "Annäherung gegen ∞ " ist naturgemäß nur von links, eine gegen −∞ nur von rechts
möglich.
Beispiel 5: Eine seltsame selbstinverse Funktion
Wir betrachten die auf dem abgeschlossenen Intervall [-1,1] stückweise definierte Funktion f
mit
f( x) = −1 für x = −1
f( x ) = − 1 − x für x aus ]-1,0[
f( x ) = 1 − x für x aus [ 0, 1 ] .
Dies Funktion ist bijektiv und zu sich selbst invers (Symmetrieachse!)
Sie widerlegt jedoch die recht plausible Vermutung, daß für solche Funktionen aus

lim
x → a
f( x ) = c
folgt, daß die Umkehrfunktion g mit f( x) = y x = g( y )
g( y ) = a
lim
y → c
erfüllen muß. Allerdings kann das nur in recht "pathologischen" Ausnahmefällen wie diesem
passieren: Hier ist
f( x ) = 0 , aber
lim
x → 1
lim
y → 0
lim
y → 0-
g( y ) existiert nicht, da
g( y ) = −1, lim g( y ) = 1 .
y → 0+
Konvergenz von Folgen
Folgen sind nichts anderes als Funktionen auf der Menge der natürlichen Zahlen (mit oder ohne
Null).
Deshalb erhält man Grenzwerte von Folgen als Spezialfall der allgemeinen Definition für
Funktionen und
a = ∞ . In diesem Fall schreibt man meist fn oder cn anstelle von f( n ) und bekommt somit:
liegt.
lim
n → ∞
c n
= c zu jeder Umgebung V von c gibt es ein m, so daß cn für alle n > m in V
Beispiel 6: Eine Näherungsfolge für die Kreiszahl π
Aus der in Beispiel 2 hergeleiteten Beziehung
sin( x)
lim = 1
x → 0 x
gewinnt man sofort

lim
n → ∞
2 =
n ⎛ ⎞
sin ⎜
⎟
⎝ ⎠
π
2 n
π .
Aus der Skizze liest man ab:
S = sin( α ) , C = cos( α ) = 1 − S 2 , β =
α
2
1 − 1 − S 2
2
und erhält die Formel für den Sinus des halben Winkels:
⎛ ⎞
sin⎜ ⎟ =
⎝ ⎠
α
2
Damit kann man nun sn =
1 − 1 − sin( α) 2
2
⎛ ⎞
sin ⎜
⎟
⎝ ⎠
π
rekursiv bestimmen:
n
2
, s = sin( β ) =
S 2
+
( 1 − C )
2
⎛ ⎞
s1 = sin⎜ ⎟
⎝ ⎠
π
= 1 , =
2 s n + 1
Geometrisch beschreibt
un = 2
1 −
2
1 − sn .
2
n ⎛ ⎞
sin ⎜
⎟
⎝ ⎠
π
2 n
den halben Umfang des regelmäßigen 2 n -Ecks, das dem Einheitskreis einbeschrieben ist.
Damit ist auch anschaulich klar, daß un gegen den halben Kreisumfang π konvergiert.
Die obige Rekursionsformel geht über in
u n + 1 = 2 n
2 − 2
⎛ u
1 − ⎜ n ⎞
⎟
⎜⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠
n
und die ersten Glieder dieser Folge lauten:
2
2
un = 2 ( 4 −
)
n
2 n
4 −
n
u 1
:= 2
2
=

u2 := 2 2
2.828427124
u3 := 4 2 − 2
3.061467460
u4 := 8 2 − 2 + 2
3.121445153
u5 := 16 2 − 2 + 2 + 2
3.136548483
u6 := 32 2 − 2 + 2 + 2 + 2
3.140331213
u7 := 64 2 − 2 + 2 + 2 + 2 + 2
3.141277519
u8 := 128 2 − 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2
3.141514825
Das ist immerhin auf 4 Stellen genau, aber wegen der Wurzeln sehr unbequem zu rechnen.
Außerdem passiert wegen der Rundungsfehler bei weiteren Iterationen etwas gänzlich
Unerwünschtes: die Zahlen bewegen sich langsam wieder von π = 3.14159... weg!
3.141527862, 3.141527863, 3.140860234, 3.140860234, 3.151525324, 3.108645431
Später werden wir viel einfachere und besser konvergierende Folgen zur Berechnung von π
kennenlernen.

4.3 Stetige Funktionen
Eine Funktion f heißt stetig im Punkt a , falls
f( x ) = f( a )
lim
x → a
gilt. Ist dies für alle Punkte des Definitionsbereichs A erfüllt, so nennt man f eine (auf A) stetige
Funktion.
Entsprechend sind linkseitige und rechtsseitige Stetigkeit definiert.
Wie man sofort sieht, bedeutet für eine Funktion in einer Variablen Stetigkeit im Punkt a, daß sie
dort sowohl linksseitig als auch rechtsseitig stetig ist.
Beispiel 1:
Die Gaußklammer [ x ] ordnet jeder reellen Zahl x die größte unter x liegende ganze Zahl zu.
Diese Funktion ist in allen nicht ganzzahligen Punkten stetig; in den ganzzahligen Punkten ist sie
rechtsseitig, aber nicht linksseitig stetig.
Beispiel 2:
Die Diracsche Sprungfunktion hat bei 0 den Wert 1 und sonst überall den Wert 0. Hier ist zwar
sowohl der
links- als auch der rechtsseitige Grentwert bei Annäherung an 0 ebenfalls 0, aber da der
Funktionswert an dieser Stelle 1 ist, kann die Funktion weder linkseitig noch rechtsseitig stetig
sein.

Beispiel 3:
Die Signum-Funktion hat für negative Argumente den Wert -1, für positive den Wert 1, und an
der Stelle 0 ist sie gleich 0.
Hier existiert der links- und der rechtsseitige Grenzwert bei 0, aber diese beiden Grenzwerte
stimmen nicht überein. Diese Funktion ist also bei 0 nicht einmal stetig ergänzbar (indem man
einen anderen Funktionswert als 0 nimmt).
Beispiel 4:
Auch die nur für x ≠ 0 definierte Funktion
⎛ ⎞
sin⎜ ⎟
⎝ ⎠
1
x
ist an der Stelle 0 nicht stetig ergänzbar, da sie in deren Nähe immer stärker zwischen -1 und 1
oszilliert.

Hingegen ist sowohl die Funktion
⎛ ⎞
x sin⎜ ⎟
⎝ ⎠
1
x
als auch die Funktion
sin( x )
x
stetig an der Stelle 0 ergänzbar, und zwar im ersten Fall durch den Funktionswert 0 und im zweiten
Fall durch 1.
>
lim
x → ∞
⎛ ⎞
x sin⎜ ⎟ = ,
⎝ ⎠
1
sin( x )
1 lim = 0
x
x
x → ∞

Klassen stetiger Funktionen
Jede konstante Funktion f( x) = c ist stetig (mit beliebig wählbarem δ).
Jede lineare Funktion f von R n nach R m ist stetig.
Summe, Differenz, Produkt, Quotient und Verknüpfung (Hintereinanderschaltung) stetiger
Funktionen sind (soweit definiert) wieder stetig.
Mit diesen Regeln kann man aus einfachen stetigen Funktionen viele neue zusammensetzen.
Insbesondere ist jedes Polynom und jede rationale Funktion stetig. Beachten Sie, daß z.B. die
Funktion 1
in ihrem gesamten Definitionsbereich stetig ist, obwohl der Grenzwert bei 0 nicht
x
existiert (dort ist die Funktion aber gar nicht definiert).
In ihrem jeweiligen Definitionsbereich stetig sind auch die trigonometrischen Funktionen sin,
cos, tan und cot.
Exponentialfunktionen g( t) = c t sind ebenfalls stetig, daher auch alle aus solchen
zusammengesetzte Funktionen, insbesondere die "hyperbolischen" Funktionen (die trotz des
Namens keine Hyperbeln darstellen!)
sinh( x )
=
e x
−
2
( )
e −x
, cosh( x ) =
e x
+
2
( )
e −x
, tanh( x ) =
sinh( x)
cosh( x )
, coth( x ) =
cosh( x )
sinh( x )
.

Umkehrfunktionen
Sehr nützlich ist die keineswegs selbstverständliche Tatsache, daß die Umkehrfunktion einer
stetigen Funktion (soweit sie existiert) wieder stetig ist. Es läßt sich sogar zeigen, daß für eine
eindimensionale Funktion
f : [a,b] --> [c,d]
mit f( a) = c und f( b) = d (bzw. f( a) = d und f( b ) = c) die folgenden Aussagen gleichwertig sind:
(1) f ist stetig und streng monoton wachsend (bzw. fallend)
(2) f ist bijektiv und monoton wachsend (bzw. fallend)
(3) f ist stetig und injektiv
und falls diese Bedingungen erfüllt sind, hat auch die Umkehrfunktion (nicht zu verwechseln mit
der Funktion 1
) diese Eigenschaften.
f( x )
Beispiel 5:
Die Funktion f : [0,2] --> [0,2] mit
f( x ) = ( x − 1) +
3
1
hat wegen
y = ( x − 1 ) +
3
die Umkehrfunktion
Funktion
⎛ 1 ⎞
⎜ ⎟
⎝ 3 ⎠
1 y − 1 = ( x − 1) 3 ( y − 1 ) =
⎛ 1 ⎞
⎜ ⎟
⎝ 3 ⎠
g( y ) = ( y − 1 ) + 1 .
⎛ 1 ⎞
⎜ ⎟
⎝ 3 ⎠
x − 1 ( y − 1 ) + 1 = x
x a e x a x sin cos tan cot sinh cosh tanh coth
Umkehrfunktion
x
⎛ 1 ⎞
⎜ ⎟
⎝ a ⎠
ln( x ) loga( x ) arcsin arccos arctan arccot Arsinh Arcosh Artanh Arcoth

Beispiel 6:
Arcustangens und Tangens hyperbolicus
Diese beiden Funktionen sehen erstaunlich ähnlich aus:
lim
x → ( −∞ )
lim
x → ( −∞ )
arctan( x ) = − ,
π
2
lim
x → ∞
arctan( x )
tanh( x ) = -1 , lim tanh( x ) = 1
x → ∞
Beispiel 7: Ein Polynom in drei Variablen ist beispielsweise
p ( x, y, z ) = x + − + + +
2
3 x y 2
x z ( x − y )
2 π .
So kompliziert diese Funktion aussieht - sie ist sicher stetig. Die Gleichung p ( x, y, z ) = 0
beschreibt eine Quadrik:
=
π
2

4.3A Eigenschaften stetiger Funktionen
Das Näherungs-Kriterium
zur Überprüfung der Stetigkeit in einem Punkt a besagte, daß man zu jeder positiven Schranke ε
eine postive Schranke δ finden muß, so daß für alle Punkte, die um weniger als δ von a entfernt
sind, die Funktionswerte um weniger als ε vom Funktionswert an der Stelle a abweichen. Dies
bedeutet im mehrdimensionalen Fall, daß bei jeder (nicht nur bei geradliniger) Annäherung an a
die Funktionswerte gegen das Bild von a laufen müssen.
Beispiel 8:
Wir betrachten eine rationale Fläche (also ein Funktionsgebirge):
r ( x, y )
=
x 2
x 2
+
−
y 2
.
2
2 y
Diese Funktion ist in allen Punkten außer (0,0) definiert und stetig, läßt sich aber nicht stetig im
Nullpunkt ergänzen, denn sie konvergiert bei Annäherung an (0,0) nicht, obwohl sie auf jeder
Geraden durch (0,0) konstant ist, insbesondere bei Annäherung gegen (0,0) entlang einer solchen
Geraden einen Grenzwert besitzt:
1 − c
lim r ( x, c x ) =
x → 0
2
.
2
1 + 2 c
Zumindest diese Grenzwerte müßten aber alle gleich sein, damit stetige Ergänzung im Nullpunkt
möglich wäre.
>

Beispiel 9:
Wir betrachten die Funktion f ( x, y ) = 2
t
( − − ) x2 y 2
. Da sie durch Hintereinanderschalten der
( −t ) ⎛ 1 ⎞
Exponentialfunktion 2 = ⎜ ⎟ und des Polynoms p ( x, y ) = x +
⎝ 2 ⎠
2
y 2 entsteht, ist sie überall stetig.
Wir prüfen das noch einmal konkret an der Stelle (0,0) nach:
Es genügt, ein positives ε < 1 zu betrachten.
( − − ) x2 y 2
f ( x, y ) − f ( 0, 0 ) = 2 −
1 < ε 1 − ε < 2
( − − ) x2 y 2
x +
2
y 2 < −
ln ( 1 − ε)
ln( 2)
ln ( 1 − ε)
( x, y ) − ( 0, 0 ) < δ = − ,
ln( 2)
wobei δ wohldefiniert und positiv ist, da ε echt zwischen 0 und 1 liegt. Wir können hier (wie in
vielen Fällen) δ als Funktion von ε auffassen.
f ( x, y ) = 2
δ := ε → −
( − − ) x2 y 2
ln ( 1 − ε)
ln( 2)
Wie man an der Kurve sieht, würde es reichen, δ = ε zu nehmen, aber das ist nicht die

größtmögliche Wahl für δ.
Wir zeichnen das Funktionsgebirge, die Ebenen z = 1 − ε und z = 1 + ε , sowie den Zylinder
( x, y ) − ( 0, 0 ) < δ .
1
Für ε = ergibt sich folgendes Bild:
10
Das Funktionsgebirge liegt also über der Kreisscheibe mit Radius δ tatsächlich innerhalb der
"Tonne" zwischen den Ebenen z = 1 − ε und z = 1 + ε .
Einfacher läßt sich die Stetigkeit nachweisen durch folgenden
Stetigkeitstest
Gibt es für die Funktion f in zwei Variablen nach Einführung von Polarkoordinaten eine
Darstellung
f ( r cos( t ) , r sin( t ) ) = g( r ) h ( r, t ) ,
wobei lim g( r ) = 0 und h beschränkt ist (d.h. h ( r, t) ≤ c für eine Konstante c gilt), so ist
auch
r → 0

lim
[ x, y ] → [ 0, 0 ]
f ( x, y) = 0 .
Im obigen Beispiel 9 gilt für die um 1 nach unten verschobene Funktion f ( x, y ) − 1:
f ( r cos( t ) , r sin( t ) ) − 1 = g( r ) mit lim g( r ) = lim
r → 0
r → 0
2
( ) −r2
also liefert h ( r, t ) = 1 sofort die Stetigkeit im Nullpunkt. Wir betrachten noch ein zweites
Funktionsgebirge.
Beispiel 10:
Für die Funktion
ergibt sich
f ( x, y )
=
x 3
+
y 3
x + y
Batman ist im Nullpunkt stetig
= 0,
r
f ( r cos( t ) , r sin( t ) ) =
2 ( cos( t) + )
3
sin( t )
3
= r
cos( t ) + sin( t )
2
h ( r, t ) mit
c +
h ( r, t ) ≤
3
s 3
= − + ≤
c + s c2 c s s 2
3 ( c = cos( t ) , s = sin( t ) ) .

Kompakte Mengen
Jede in einer Kugel enthaltene Menge nennt man beschränkt. Ist sie außerdem abgeschlossen, so
spricht man von einer kompakten Menge. Beispiele kompakter Mengen sind
die abgeschlossenen Kugeln K ( x, δ )
die abgeschlossenen Intervalle (Quader) [a,b] = [ a1, b1 ] x ...x [ an, bn ]
endliche Vereinigungen kompakter Mengen,
insbesondere alle endlichen Mengen.
Ohne Beweis notieren wir den grundlegenden
Satz. 1. Eine stetige Funktion bildet kompakte Mengen auf kompakte Mengen ab.
2. Eine stetige reellwertige Funktion bildet Intervalle auf Intervalle ab.
Jede dieser beiden Aussagen beinhaltet einen sehr wichtige Eigenschaft stetiger reellwertige
Funktionen (d.h. von Funktionen in eine Menge von reellen Zahlen):
Extremalsatz.
Eine stetige reellwertige Funktion hat auf einer kompakten Menge (mindestens) ein Maximum und
ein Minimum.
Zwischenwertsatz.
Enthält der Definitionsbereich einer stetigen reellwertigen Funktion f eine Strecke ab , so nimmt
die Funktion jeden Wert zwischen f( a ) und f( b ) an.

Das stellt z.B. sicher, daß eine stetige Funktion mindestens eine Nullstelle hat, falls sie sowohl
positive als auch negative Werte annimmt. Insbesondere ist das für jedes Polynom ungeraden
Grades der Fall.
Auch die Existenz beliebiger Wurzeln (aus positiven Zahlen) ist damit gesichert, denn die
Polynome
− c
sind stetig, haben den negativen Wert −c für x = 0, und werden für große x positiv.
x n
Näherungsweise kann man Nullstellen mit dem Halbierungsverfahren bestimmen:
Ist f( a) < 0 und 0 < f( b ) , so stellt man fest, ob der Funktionswert f( m ) in der Mitte
a + b
m =
2
größer oder kleiner als 0 ist (im dritten Fall f( m) = 0 hat man eine Nullstelle gefunden).
Im ersten Fall beschränkt man sich nun auf die Strecke am , im zweiten auf die Strecke mb , und
kann das Verfahren mit dieser halbierten Strecke fortsetzen. (Beachten Sie, daß dieses Verfahren
auch bei mehrdimensionalen Definitionsbereichen funktioniert!)
Wir lassen 10 Iterationen auf die Funktion x −
5
3 los:
f := x → x −
5
3
a := 1
b := 1.3
f( m) = -0.988642812 , a = 1.150000000 , b = 1.3
f( m) = -0.241452646 , a = 1.225000000 , b = 1.3
f( m) = 0.207428131 , a = 1.225000000 , b = 1.262500000
f( m) = -0.023776999 , a = 1.243750000 , b = 1.262500000
f( m) = 0.090095997 , a = 1.243750000 , b = 1.253125000
f( m) = 0.032731950 , a = 1.243750000 , b = 1.248437500
f( m) = 0.004371190 , a = 1.243750000 , b = 1.246093750
f( m) = -0.009729401 , a = 1.244921875 , b = 1.246093750
f( m) = -0.002685745 , a = 1.245507812 , b = 1.246093750
f( m) = 0.000841063 , a = 1.245507812 , b = 1.245800781
3
( ) / 1 5
= 1.245730940

4.4. Die Regel von De l'Hospital
Mit ihrer Hilfe berechnet man Grenzwerte der Form
0 ∞
,
0 ∞ , 0 ∞ , 00 , 1 ∞ etc.
Dafür braucht man die Ableitungen eindimensionaler Funktionen f. Die Ableitung ist bekanntlich
als Grenzwert von Differenzenquotienten definiert:
f ( x + h ) − f( x )
f´ ( x) = lim
.
h → 0 h
(MAPLE bezeichnet sie mit Df oder D(f) statt mit f ' , um auf die Differentiation hinzuweisen).
Im Folgenden steht a für eine reelle Zahl, −∞ oder ∞, und c steht für einen der Werte 0, ∞ oder −∞
.
Die Funktionen f und g seien in einer gewissen Umgebung von a differenzierbar.
Ist dort g( x ) ≠ 0 und g´ ( x ) ≠ 0 sowie
f( x ) = c = lim g( x ) ,
so gilt
lim
x → a
lim
x → a
f( x )
g( x )
= lim
x → a
x → a
f´ ( x)
g´ ( x )
.
Wir werden diese Regel im nächsten Kapitel mit Hilfe des Mittelwertsatzes begründen.
Vor ihrer Anwendung ist es wichtig zu prüfen, ob die Voraussetzungen erfüllt sind!
Beispiel 1:
a = 0, c = 1,
f( x ) = 1 − x , g( x ) = ( 1 − x )
2 .
Hier sind f und g differenzierbar mit
f´ ( x) = −1 und g´ ( x) = −2 ( 1 − x ) ,
f( x ) = c = lim g( x ) ,
lim
x → a
x → a
sowie g( x ) ≠ 0 und g´ ( x) ≠ 0 in einer Umgebung von 0. Dennoch ist
f( x )
f´ ( x)
1
= 1 , aber lim =
g( x)
g´ ( x ) 2 .
lim
x → a
x → a
f( x ) = 1 − x , g( x ) = ( 1 − x ) ,
2
f( x )
g( x )
=
1
1 − x

Beispiel 2:
Die früher mit Hilfe des Einschlußkriteriums gewonnene Beziehung
sin( x)
lim = 1
x → 0 x
kann man auch nach l'Hospital (Fall " 0
") herleiten, indem man Zähler und Nenner ableitet:
0
sin( x)
cos( x)
lim = lim = 1.
x → 0 x x → 0 1
(Allerdings muß man dazu schon wissen, daß der Cosinus die Ableitung des Sinus ist, und zum
Beweis dieser Tatsache benutzt man üblicherweise gerade den obigen Limes.)
Ebenso bekommt man
Wegen
bzw.
lim
x → 0
lim
x → 0+
lim
x → ∞
tan( x)
x
=
lim
x → 0
1 + tan( x) 2
1
= ∞ und =
x lim
1
−∞
x
x → 0-
1
1
= 0 und lim = 0
x
x
x → ( −∞)
1
= 1.
gehen die obigen Gleichungen bei Ersetzung von x durch 1
sowie
lim
x → ∞
lim
x → ∞
⎛ ⎞
x sin⎜ ⎟
⎝ ⎠
1
= lim
x
x → ( −∞)
⎛ ⎞
x tan⎜ ⎟
⎝ ⎠
1
= lim
x
x → ( −∞)
⎛ ⎞
x sin⎜ ⎟
⎝ ⎠
1
= 1
x
⎛ ⎞
x tan⎜ ⎟
⎝ ⎠
1
=1 .
x
x
über in

Beispiel 3:
Wir haben schon erwähnt, daß man bei stetiger Verzinsung und ähnlichen Wachstumsprozessen
folgenden Grenzwert zu betrachten hat:
lim
x → ∞
⎛ y ⎞
⎜ 1 + ⎟
⎝ x ⎠
x
also einen Ausdruck der Form " 1 ∞ ". In der Gleichung
x
,
⎛ ⎛ y ⎞⎞
⎜ lim x ln ⎜1
+ ⎟⎟
⎜ ⎝ ⎠⎟
⎝x
→ ∞
x
⎠
⎛ y ⎞
lim ⎜ 1 + ⎟ = e
x → ∞ ⎝ x ⎠
⎛ y ⎞
ist der Exponent wegen lim ln ⎜ 1 + ⎟ = 0 ein Ausdruck der Form " ∞ 0 ".
x → ∞ ⎝ x ⎠
Wir betrachten
⎛ y ⎞
1
f( x)
= ln ⎜ 1 + ⎟ und g( x)
=
⎝ x ⎠
x
und haben
f( x) = 0 , lim g( x) = 0.
lim
x → ∞
x → ∞
Weiter gilt für die Ableitungen nach x :
y
f´ ( x) = −
, g´ ( x ) = −
2 ⎛ y ⎞
x ⎜1
+ ⎟
⎝ x ⎠
1
.
2
x
Die Voraussetzungen zur Anwendung der Regel von De l'Hospital sind erfüllt, und wir erhalten
⎛ y ⎞ y
lim x ln ⎜ 1 + ⎟ = lim = y .
x → ∞ ⎝ x ⎠ x → ∞ y
1 +
x
Damit landen wir wieder bei der berühmten Grenzformel
lim
x → ∞
⎛ y ⎞
⎜ 1 + ⎟
⎝ x ⎠
x
= e y .
Dieses Bild verrät uns, daß auch
⎛ y ⎞
f := ( x, y ) → ⎜1
+ ⎟
⎝ x ⎠
x

lim
x → ( −∞)
x
⎛ y ⎞
⎜ 1 + ⎟ = e
⎝ x ⎠
y
( )
gilt. Das läßt sich mit Hilfe der Gleichung e =
−y 1
sofort bestätigen.
y
e
Beispiel 4:
Zur Berechnung von
⎛ y ⎞
lim x ln ⎜ 1 + ⎟
x → ∞ ⎝ x ⎠
1
kann man auch ausnutzen, daß x genau dann gegen ∞ strebt, wenn z = (von rechts) gegen 0
x
geht.
Durch Ableiten von Zähler und Nenner nach z bekommen wir
⎛ y ⎞ ln ( 1 + y z ) y
x ln ⎜ 1 + ⎟ =
= y .
⎝ x ⎠
z
1 + y z
lim
x → ∞
lim
z → 0
= lim
z → 0
Einsetzen in die Exponentialfunktion führt auf einen Grenzwert der Form " 1 ∞ " :
lim
z → 0
( 1 + z y )
⎛ 1 ⎞
⎜ ⎟
⎝ z ⎠
= e y .
Lassen wir dagegen z gegen ∞ laufen, so erhalten wir einen Grenzwert der Form " ∞ 0 " :
lim
z → ∞
( 1 + z y)
⎛ 1 ⎞
⎜ ⎟
⎝ z ⎠
= e
⎛
⎜ lim
⎜
⎝z
→ ∞
lim
z → 0
ln ( 1 + z y)
z
⎞
⎟
⎠
⎛ y ⎞
⎜ lim ⎟
⎜ 1 + z y ⎟
⎝ z → ∞ ⎠
h ( y, z ) = ( 1 + y z)
h ( z, y) = e ,
y
= e = e 0 = 1.
lim
z → ∞
⎛ 1 ⎞
⎜ ⎟
⎝ z ⎠
h ( , )
z y = 1

Den Fall " ∞
0
" kann man auf den Fall " " zurückführen und umgekehrt, indem man folgende
∞ 0
Ersetzung vornimmt:
f( x ) F( x)
1
1
= mit F( x ) = und G( x ) =
g( x ) G( x )
g( x )
f( x )
.
Welche der beiden Darstellungen die vorteilhaftere ist, hängt von Fall zu Fall ab. Hätten wir
beispielsweise in der obigen Berechnung von
⎛ y ⎞
lim x ln ⎜ 1 + ⎟
x → ∞ ⎝ x ⎠
die Wahl
1
F( x) = x , G( x ) =
⎛ y ⎞
ln ⎜1
+ ⎟
⎝ x ⎠
getroffen, so wäre nach einer recht mühseligen Ableitung der Funktion G( x ) mit dem Ergebnis
y
G´ ( x ) =
2
⎛ y ⎞ 2 ⎛ y ⎞
ln ⎜1
+ ⎟ x ⎜ 1 + ⎟
⎝ x ⎠ ⎝ x ⎠
und einer weiteren Umformung der Ausdruck
lim
x → ∞
⎛ y ⎞
x ln ⎜ 1 + ⎟
⎝ x ⎠
= lim
x → ∞
F( x )
G( x )
= lim
x → ∞
F´ ( x )
G´ ( x )
= lim
x → ∞
entstanden, wodurch die Sache schlimmer statt besser geworden wäre.
Beispiel 5:
Wir betrachten jetzt noch die zweidimensionale Funktion
f ( x, y ) = x y .
f := ( x, y) → x y
⎛
⎜
x ⎞
⎜ + ⎟
⎝ ⎠
2
⎛ y ⎞
x ln ⎜1
+ ⎟
y ⎝ x ⎠
2

Die Zeichnung suggeriert die Beziehung
lim
x → 0
x x
= 1 ,
und das ist wieder ein Fall für l'Hospital, diesmal mit " 0 0 ".
lim
x → 0
x x
= e
( lim
x → 0
x ln( x)
)
= e
⎛ ln( x ) ⎞
⎜
⎟
⎜
lim
⎜ ( ) ⎟
⎝x
→ 0 x ⎠
−1
Analysieren wir die Funktion x x etwas genauer!
MAPLE kennt die l'Hospitalsche Regel!
lim
x → 0
= e
⎛
⎜ lim
⎜
⎝x
→ 0
x x
= 1
Ein paar Argumente und die zugehörigen Funktionswerte:
Die Ableitung ist einfach:
1
x = , h( x)
4
1
x = , h( x)
2
3
x = , h( x )
4
=
3
=
=
− x2
x
2
2
2
2
( ) / 3 4
4
x = 1 , h( x ) = 1
⎞
⎟
⎠
2
h´ ( x ) = x x ( ln( x ) + 1 )
= e =
0
Die Nullstelle der Ableitung im Inneren des Intervals liefert das Minimum (denn am Rand wird das
Maximum 1 angenommen):
Dh( x ) = 0 ln( x) + 1 = 0 ln( x) = −1 x = e
Senkrechte Steigung im Nullpunkt!
lim
x → 0
h´ ( x ) = −∞
Durch Spiegelung entsteht angenähert eine Flugzeugtragfläche:
1 .
( ) −1
.

Am linken Rand kann wegen der senkrechten Tangente keine Spitze vorliegen!
Wir wollen uns zum Schluß noch die Frage stellen, ob die Funktion f ( x, y) = x y im Punkt (0,0)
stetig durch
f ( 0, 0) = 1
ergänzt werden kann. Dazu nähern wir uns auf einigen Kurven ( x , k( x ) ) dem Nullpunkt, d.h.
k( x ) = 0.
lim
x → 0
k1( x) = x , lim x = 1
k2( x ) = x ,
2
x → 0
lim
x → 0
k ( x)
1
x
k ( x)
2
= 1
k3( x ) = 2 − ,
x
1 lim x = 1
x → 0
k ( x )
3
k4( x ) = ln ( x + 1 ) , lim x = 1
x → 0
k ( x)
4
Es scheint immer zu klappen! Aber jetzt kommt die Überraschung:
k ( x)
1
5 ( )
k5( x ) = − , lim x = e
ln( x)
x → 0
-1
Also ist eine stetige Ergänzung im Nullpunkt unmöglich, da in vielen Fällen der Grenzwert 1,
einmal aber der Grenzwert 1/e herauskommt!
Wir tragen die Raumkurven ( x , kn( x ) ) in unser Flächenbild ein:

4.5. Folgen und Reihen
Unter einer Folge in einer Menge X verstehen wir eine Funktion f von der Menge N 0 = { 0,1,2,3,...}
der natürlichen Zahlen (oder von der Menge N = {1,2,3,...}) nach X. Man schreibt dann meist f n
statt f(n) für das n-te Folgenglied und bezeichnet die Folge auch mit (f n ) statt mit f.
(Falls X eine Teilmenge eines n-dimensionalen Raumes R n ist, sollte man einen anderen
Buchstaben als n , also z.B. m oder k verwenden, da n dann schon festgelegt ist.)
Die zu f = (f n ) gehörige Reihe oder Summenfolge
s = Σ f = ∑ fk k = 0
hat die Glieder
s n
=
Falls der Grenzwert
s∞ =
n
∑ fk = f0 + f1 + ... + fn .
k = 0
lim
n → ∞
s n
existiert, bezeichnet man ihn mit
∞
∑ fk .
k = 0
Der häufig üblichen Konvention, gleichzeitig auch die ganze Reihe mit diesem Symbol zu
bezeichnen, wollen wir zur Vermeidung von Zweideutigkeiten nicht folgen. Wir haben ja bereits
das Symbol
∑
k = 0
f k
für diese Reihe gewählt, bei dem man die "obere Grenze", nämlich ein festes n oder den
"unendlichen Wert" ∞ , noch einsetzen kann.
Reihen sind eigentlich nichts anderes als Folgen - genauer gesagt ist jede Folge (g n ) die zu einer
anderen Folge gehörige Reihe, und zwar zu der sogenannten Differenzenfolge
f = Δ g = (fn ) mit f0 = g0 und fn = gn − g n − 1 für n > 0 .
Es gilt also
f = Δ g Σ f = g und somit f = Δ Σ f , g = Σ Δ g
(ähnlich wie die Integration als Umkehrung der Differentiation angesehen werden kann - doch
davon später).
Beispiel 1: Die geometrische Folge
fn =
beschreibt für jede feste komplexe Zahl z eine "diskrete Spirale", die allerdings in Sonderfällen
"degenerieren" kann, und zwar für reelles oder rein imaginäres z zu einer Punktfolge auf einer
Geraden (oder sogar nur zu einem oder zwei Punkten, falls z eine der Zahlen 1,-1, i oder -i ist),
oder zu einer Punktfolge auf einem Kreis, falls z den Betrag 1 hat; ist dann das Argument rational,
so kommt eine endliche Punktmenge, anderfalls eine unendliche, auf dem Einheitskreis dichte
Punktmenge heraus.
z n

z = -1.1
z = e
( ) / 1 8 π i
z = 1.03 e
z = 1.01 e
( ) / 1 5 i
( ) / 1 10 i

Die zur geometrischen Folge (z n ) gehörige geometrische Reihe (g n ) mit
gn = 1 + z + ... + z n
ist wohl die wichtigste aller Reihen, da sehr viele Berechnungen auf sie zurückgeführt werden
können. Explizit ist für z ≠ 1
( ) + n 1
z − 1 1 z
gn = = +
z − 1 1 − z
n z
z − 1
wie man sofort durch Differenzbildung bestätigt:
g n
−
g n − 1
z
=
( ) + n 1
−
z − 1
z n
= z n .
Die geometrische Reihe konvergiert für alle z mit z < 1 gegen 1
1 − z , denn dann geht zn gegen 0.
(Für z = 1 darf man diese Formeln natürlich nicht anwenden, sondern dann ist gn = n + 1.)
Interessanterweise beschreiben geometrische Reihen im Komplexen wieder Spiralen, und zwar
wird die zur geometrischen Ausgangsfolge (z n z
) gehörige Spirale um den Betrag von
z − 1
z
1
gestreckt, um das Argument von gedreht, und dann noch um
z − 1 1 − z verschoben.
z = 1.01 e
z = 1.03 e
( ) / 1 10 π i
( ) / 1 10 π i

Beispiel 2: Die harmonische Reihe
ist die zur Folge der Stammbrüche 1
gehörige Reihe mit den Gliedern
n
s n
=
n
1
∑ k
k = 1
.
Diese Reihe wächst zwar sehr langsam, aber doch über jede vorgegebene Schranke hinaus:
1 1 1 1 1 1 1 1
s n = 1 + + ( + ) + ( + + + ) +... (
2 2 3 4 5 6 7 8 ( )
2 −
1 n
+ ...+ ) >
n 1 n
2 2 ,
∞
1
= ∞ .
k
also ∑
k = 0
Deshalb kann man (theoretisch) einen stabilen, beliebig breiten Brückenbogen aus gleich großen
Steinen aufbauen:
Unter Ausnutzung der Tatsache, daß 1
die Ableitung des natürlichen Logarithmus ln( x ) ist, folgt
x
mit Hilfe des Mittelwertsatzes leicht die Ungleichung
1
1
< ln ( n + 1 ) − ln( n ) <
n + 1 n
und daraus durch Summation:
sn − 1 < ln( n ) < sn .
Also wächst die harmonische Reihe ungefähr gleich schnell (oder langsam) wie der Logarithmus.
Für die Euler-Konstante
γ = lim − ln( n
)
sn n → ∞

errechnet MAPLE nach 10 000 Summationen:
m = 1 , n = 10 ,
m
s( n ) − ln( n ) = 0.626383161
m = 2 , n = 10 ,
m
s( n ) − ln( n ) = 0.582207332
m = 3 , n = 10 ,
m
s( n ) − ln( n ) = 0.577715582
m = 4 , n = 10 ,
m
s( n ) − ln( n ) = 0.577265664
Der auf 10 Stellen exakte Wert für γ ist
γ = 0.5772156649
Beispiel 3: Die alternierende harmonische Reihe
a n
=
n
∑
k = 0
( −1 )
k
k + 1
= 1 - 1
2
+ 1
3
n
( −1) - ... +
n + 1
konvergiert im Gegensatz zur harmonischen Reihe, und zwar gegen ln( 2 ) . Die Begründung für
diese erstaunliche Tatsache bringen wir weiter unten. Die Konvergenz ist allerdings wieder sehr
langsam.
Beispiel 4: Die Leibnizreihe
l n
=
n
∑
k = 0
( −1 )
k
2 k + 1
1
= 1 -
3 +1
5
n = 10 , = 0.7365440115
a n
n = 20 , = 0.7163904508
a n
n = 30 , = 0.7090162022
a n
n = 40 , = 0.7051936257
a n
n = 50 , = 0.7028550037
a n
ln( 2) = 0.6931471806
n
( −1 )
- ... +
2 n + 1
konvergiert ebenfalls, und zwar gegen π
, wie wir am Schluß dieses Abschnitts sehen werden.
4
Allgemein dient zum Test der Konvergenz von Reihen, deren Summanden alternierendes
Vorzeichen haben, das
Leibnizkriterium:
Ist (f k ) eine monotone, gegen Null konvergente Folge, so hat die Reihe
s n
=
n
∑ ( −1 )
k = 0
k fk einen Grenzwert, der zwischen je zwei aufeinander folgenden Gliedern der Reihe liegt. Also z.B.
1 1 π 1 1
l 2 n − 1 = 1 - + ... - < < 1 - + ... -
2 4 n − 1 4 2 4 n − 1 +
1
4 n + 1 = l2 n .
Auch hier ist die Konvergenz sehr langsam. Für n = 501 erhält man auf 10 Stellen gerundet:
1
l1001 = 0.7851486625 , π = 0.7853981635 , =
4 l1002 0.7856474156

Durch Vergleich mit geeigneten geometrischen Reihen bekommt man Tests für die Konvergenz.
Konvergenzkriterien
Von den nachfolgenden fünf Aussagen über eine reelle oder komplexe Folge (fk ) impliziert jede der
ersten vier die jeweils nächste:
f k + 1
Quotientenkriterium: lim < 1
k → ∞
fk ⎛ 1 ⎞
⎜ ⎟
⎝ k ⎠
fk Wurzelkriterium: lim < 1
k → ∞
Majorantenkriterium: Es gibt eine Folge (bk ) mit fk ≤
Absolute Konvergenz: ∑ =
∞
k 0
∞
Konvergenz: ∑
k = 0
Umgekehrt folgt aus lim
k → ∞
f k + 1
f k
f k existiert
f k existiert .
> 1 bzw. lim
k → ∞
f k
⎛ 1 ⎞
⎜ ⎟
⎝ k ⎠
∞
bk , so daß∑
k = 0
b k existiert
> 1 die Divergenz der Reihe ∑
k = 0
Falls diese Grenzwerte gleich 1 sind, kann im allgemeinen zunächst keine Konvergenzaussage
über die Reihe getroffen werden.
Wie man an der alternierenden Leibnizreihe sieht, folgt aus der Konvergenz nicht die absolute
Konvergenz.
Ist eine Reihe absolut konvergent, so erfüllt sie natürlich das Majorantenkriterium ( mit =
b k
Beispiel 5:
Eine absolut konvergente Reihe, die das Wurzelkriterium und damit auch das Quotientenkriterium
nicht erfüllt, ist
∞
1
1
∑ mit dem Grenzwert
2 ∑ =
k = 1 k k = 1 k 2
π 2
6 .
Der Beweis dieser überraschenden Gleichung erfordert schon sehr viel höhere Mathematik!
Hingegen ist die Konvergenz der Reihe mit Hilfe des Majorantenkriteriums leicht zu sehen: Für
1 1
b1 = 1 und bk = − , falls k > 1
k − 1 k
gilt
1
≤
k 2
1
bk (wegen ≤
k 2
1
k ( k − 1 )
= bk )
sowie
⎛ n
⎜ ⎛ 1 1 ⎞⎞
⎟ 1
⎜ ⎜ − ⎟⎟
= 1 + 1 − , also bk = 2 .
⎝ ⎝ k − 1 k ⎠⎠
n
n
∑ bk = 1 +
k = 1
∑
k = 2
∞
∑
k = 1
f k .
f k ).

f k + 1
Wegen lim =
k → ∞
f k
lim
k → ∞
2
⎛ k ⎞
⎜ ⎟
⎝ k + 1 ⎠
ist das Quotientenkriterium verletzt, obwohl die einzelnen Glieder alle kleiner als 1 sind.
Auch das Wurzelkriterium ist nicht erfüllt, denn es gilt
lim
k → ∞
⎛ 1 ⎞
⎜
⎟
⎝ k ⎠
2
⎛ 1 ⎞
⎜ ⎟
⎝ k ⎠
= lim
x → 0
2
x
( x ) = 1.
s n
=
m = 1 , n = 10 ,
m
m = 2 , n = 10 ,
m
m = 3 , n = 10 ,
m
m = 4 , n = 10 ,
m
= 1
n
∑
k = 1
s n
s n
s n
s n
1
k 2
= 1.549767731
= 1.634983900
= 1.643934568
= 1.644834073
1
=
6 π2 1.644934068
Das Quotientenkriterium ist häufig bequemer als das Wurzelkriterium (da k-te Wurzeln
rechnerisch mühsam zu behandeln sind). Allerdings läßt sich die Konvergenz einiger Reihen mit
Hilfe des Wurzelkriteriums feststellen, während das Quotienkriterium versagt.
Beispiel 6:
Wir betrachten die Folge mit den Gliedern
k
fk = für gerade k und =
k
2 f 1
k
f2 m
Hier geht =
f 2 m − 1
für ungerade k.
k
2
m gegen ∞ , also ist das Quotientenkriterium verletzt.
⎛ 1 ⎞
⎜ ⎟
⎝ k ⎠
fk Das Wurzelkriterium ist jedoch erfüllt: Es gilt =
⎛ 1 ⎞
⎜ ⎟
⎝ k ⎠ 1
und wegen lim k =
k → ∞
x x = 1 konvergiert fk ∑
k = 0
f k
lim
x → 0
k
⎛ 1 ⎞
⎜ ⎟
⎝ k ⎠
2
⎛ 1 ⎞
⎜ ⎟
⎝ k ⎠
f ⎛ 1 ⎞
⎜ ⎟
⎝ k ⎠
k
bzw. =
1
2 ,
gegen 1
. Den Grenzwert der Reihe
2
bestimmt man, indem man die Folgenglieder mit ungeraden bzw. geraden Indizes separat
aufaddiert (das ist erlaubt, weil alle Folgenglieder positiv sind). Mit einiger Rechnerei bekommt
man
2 m
∑
k = 1
( m + 1 )
32 ⎛
fk = − ⎜ + −
9 ⎝
⎞ 1 14 8 ⎛
⎟
⎜
4⎠
9 3 ⎝
⎞ 1
⎟
4⎠
( m + 1 )
∞
∑
k = 1
14
( m + 1 ) , fk =
9

Potenzreihen
sind eines der wichtigsten Werkzeuge der Analysis. Sie sind die zu Potenzfolgen ( f n x n ) gehörigen
Reihen
∑
k = 0
f k x k = f 0 + f 1 x + f 2 x 2 + ....
Hier darf x eine relle oder komplexe Variable sein, und auch die Koeffizienten f k können reell oder
komplex sein.
Durch Vergleich mit geometrischen Reihen erhält man die wichtigen Formeln für den
Konvergenzradius:
Dieser ist das Supremum r aller Zahlen x, für welche die Reihe∑
k = 0
r = 0 oder auch r = ∞ vorkommen).
∑
k = 0
f k x k konvergiert (dabei kann
fk x k ist für alle x mit x < r absolut konvergent , für alle x mit x > r hingegen divergent.
Falls einer der Grenzwerte
lim
k → ∞
f k
⎛ ⎞
⎜ − ⎟
⎝ ⎠
1
k
oder lim
k → ∞
f k
f k + 1
existiert oder gleich ∞ ist, so stimmt er mit dem Konvergenzradius überein.
Beispiel 7: Die Exponentialreihe
∑
k = 0
x k
k !
hat den Konvergenzradius ∞ , konvergiert also überall absolut. Denn es ist
( k + 1 ) !
lim = lim k + 1 = ∞ .
k → ∞ k!
k → ∞
Die Konvergenz dieser Reihe ist für nicht zu große x sehr gut. Die Differenz zwischen der n-ten
Approximation (Partialsumme)
n
∑
k = 0
x k
k !
läßt sich wie folgt abschätzen:
∞ k
x
∑
k = 0
und dem exakten Wert der Exponentialfunktion = e
k!
x

∞
∑
k = n + 1
x k
k!
<
x
( ) + ⎛ ∞
n 1 ⎜
⎜ ∑
⎝ m = 0
( n + 1)
!
x ⎞
⎟
⎟
⎠
m
( n + 1 )
m
x n
=
x
( ) + n 1 ⎛
⎜ 1 −
⎝
( n + 1 ) !
x ⎞
⎟
n + 1 ⎠
Für n > 2 x beträgt dieser Rest weniger als , und dieser Ausdruck wird mit wachsendem n
n !
sehr schnell klein.
Wir zeichnen die e-Funktion und 6 Approximationen. Die sechste ist im Intervall von -2 bis 2
bereits nicht mehr von der Grenzfunktion zu unterscheiden.
Eine sehr nützliche Regel besagt:
Potenzreihen darf man im Inneren des Konvergenzbereichs umordnen, gliedweise addieren,
subtrahieren, differenzieren und integrieren.
Eine Potenzreihe
∞
( −1 )
p( x) = ∑ fk x
k = 0
k
mit dem Konvergenzradius r ist für alle x mit x < r differenzierbar, und es gilt
∞
p'( x ) = ∑ f k + 1 ( k + 1) x
k = 0
k
mit dem gleichen Konvergenzradius r.
Man sieht an dieser Formel sofort, daß die e-Funktion mit ihrer eigenen Ableitung übereinstimmt,
und daß umgekehrt eine Funktion mit dieser Eigenschaft ein Vielfaches der e-Funktion sein muß,
denn aus f k + 1 ( k + 1) = fk folgt induktiv
f k
=
f 0
k !
.
Beispiel 8: Reihenentwicklungen für Logarithmen
Die Potenzreihe
⎛ k
⎜
( −x) ⎞
⎜ − ⎟
⎝ k
⎠
∑
k = 1

k + 1
hat wegen lim = 1 den Konvergenzradius 1 , ist also für x < 1 sicher konvergent.
k → ∞ k
Gliedweises Differenzieren führt auf die geometrische Reihe
∞
∑
k = 1
( −x )
( ) − k 1
=
∞
∑ ( )
k = 0
−x k = 1
1 + x
= ln ( 1 + x ) ',
so daß die Ausgangsreihe für x < 1 die Funktion ln ( 1 + x ) darstellt. (Wegen ln ( 1 + 0) = 0 muß
das konstante Glied gleich 0 sein). Damit erhalten wir die für theoretische Zwecke wichtige
Reihenentwicklung der Logarithmusfunktion
⎛ ∞ k ⎞
ln ( 1 + x ) = −
⎜ ( −x ) ⎟
⎜∑
⎟
für x < 1 .
⎝ k
k = 1 ⎠
Wegen der Stetigkeit des Logarithmus gilt diese Entwicklung auch noch für x = 1, also
∞ ⎛
k
ln( 2) = ∑ ⎜
( −1 ) ⎞
⎜ − ⎟ .
⎝ k ⎠
k = 1
Für die Praxis konvergieren diese Reihen aber für x nahe bei 1 viel zu langsam. Aufgrund des
Leibnizkriteriums gilt zwar die Abschätzung
⎛ n
ln( 2 ) +
⎜ ( −1) ⎞
⎟
⎜∑
⎟
<
⎝ k = 1 ⎠
k
1
k n + 1
aber man bräuchte mehr als 1000 Summanden, um ln(2) auf 3 Stellen genau zu berechnen:
1000
⎛
∑ ⎜
⎝
k = 1
−
k
( -1 ) ⎞
⎟ = 0.6926474306
k ⎠
ln( 2) = 0.6931471806
Erheblich schneller konvergiert die Potenzreihe
⎛ 1 + x ⎞
⎛ ∞ ( 2 k + 1 )
⎜ x ⎞
⎟ 2 x
ln⎜
⎟ = ln ( 1 + x ) − ln ( 1 − x ) = 2 ⎜
=
⎝ 1 − x ⎠
⎜∑
⎟
2 x + +
⎝ 2 k + 1
k = 0 ⎠
3
2 x
3
5
+ ...
5
1
Für x = erhalten wir ln( 2 ) schon nach 10 Summationen auf 10 Stellen genau:
3
⎛ 10
2
⎜
1 ⎞
⎟
=
⎜∑
( ) ⎟
⎝ k = 0 3 ⎠
+
0.6931471806
2 k 1
( 2 k + 1 )
Beispiel 9: Die Reihenentwicklungen für trigonometrische Funktionen
Die Euler-DeMoivre-Laplacesche Formel
e
( i t)
= cos( t) + i sin( t )
bedeutet in Potenzreihen-Darstellung (nach Trennung von Real- und Imaginärteil)
∞ k
( i t )
∑
k = 0
k!
= ∑
m = 0
∞ m ( 2 m)
( −1 ) t
( 2 m ) !
⎛
⎜
+ i ⎜
⎝
∞ m ( 2 m − 1 )
( −1) t ⎞
⎟
,
( 2 m + 1 ) ! ⎠
∑
m = 0

( 2 m)
( ) − 2 m 1
wobei wir benutzt haben, daß i = ( −1 )
m und i =
∞ m ( 2 m)
( −1) t
cos( t) = ∑
m = 0
( 2 m ) !
= 1 − + −
2 4!
6 !
∞
sin( t) = ∑
=
m ( 2 m − 1 )
( −1 ) t t
= t − + −
( 2 m + 1 ) !
3
t
3!
5
t
5!
7
7 !
...
m 0
t 2
t 4
t 6
... ,
i ( −1) m gilt. Also:
Gliedweises Differenzieren führt auf die bekannten Formeln sin( t) ' = cos( t ) , cos( t ) ' = − sin( t )
.
Die Tangensreihe ist erheblich komplizierter. Wir notieren nur ihre ersten Glieder:
t
tan( t ) = t + +
3
2 t
3
5
15
+ 17 t7
315
+ ...
Beispiel 10: Die Reihenentwicklung für den Arcustangens
ist erstaunlicherweise ganz einfach: indem man in der geometrischen Reihe
1
arctan(x)' = =
1 + x 2 ∞
∑ ( −1 )
k = 0
k ( 2 k )
x
( 2 k )
) + 2 k 1
beachtet, daß x
Differentiation
die Ableitung von x(
2 k + 1
ist, erhält man mit der Regel der gliedweisen
∞ k ( 2 k + 1 )
( −1 ) x x
arctan( x) = ∑ = x − + −
2 k + 1
k = 0
3
x
3
5
x
5
7
7 ...
Diese Reihe konvergiert nach dem Leibnizkriterium jedenfalls für all positiven x ≤ 1 . Somit
bestätigt sich:
π
1 1 1
= arctan( 1 ) = 1 − + −
4
3 5 7 ...
Viel schneller konvergierende Reihenentwicklungen für π
bekommt man unter Ausnutzung des
4
Additionstheorems
⎛ x + y ⎞
arctan( x ) + arctan( y)
= arctan⎜
⎟
⎝ 1 − x y ⎠
.
Mit dieser Formel und der obigen Reihenentwicklung des Arcustangens berechnete der Astronom
John Machin schon im 18. Jahrhundert π auf 100 Dezimalstellen genau.
π = 3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230781640\
6286208998628034825342117068

5. Mehrdimensionale Differentialrechnung
5.1. Flächen und Kurven
Flächen
Eine Fläche oder ein Funktionsgebirge F im (3-dimensionalen) Raum wird beschrieben durch
eine Funktion f von einer Teilmenge A der Ebene R 2 nach R .
Die Fläche F ist dann die Menge der Punkte (x,y,z) mit f(x,y) = z.
Die folgenden Schnittkurven liegen in der Fläche F:
Schnitt mit der Fläche x=a (konstant) ergibt eine ebene Schnittkurve parallel zur y-z-Ebene
(Projektion in Richtung der y-Achse)
Schnitt mit der Fläche y=b (konstant) ergibt eine ebene Schnittkurve parallel zur x-z-Ebene
(Projektion in Richtung der x-Achse)
Schnitt mit der Fläche z=c (konstant) ergibt eine ebene Schnittkurve parallel zur x-y-Ebene
(Höhen- oder Niveaulinie).
Beispiel 1:
Schnitte parallel zur y-z-Ebene, x=a:
f ( x, y) = 2
( − − ) x2 4 y 2

Schnitte parallel zur x-z-Achse, y=b:
Niveaulinien in Höhe z=c: Wir wählen die Parameterdarstellung x = r cos( t ) und y =
also x + =
2
4 y 2
r 2 .
( ) −r2
Dann läßt sich die Gleichung f(x,y)=c umformen zu 2 =
c , also r = −
ln( c )
ln( 2 )
.
r sin( t)
(Die Wurzel ist definiert für 0 < ≤
c 1.)
Wir wählen 5 Niveaulinien im Abstand 1/5 (für c=1 ergibt sich nur ein Punkt auf dem "Gipfel"):
2
,

Ebene Kurven und Raumkurven
Eine ebene Kurve wird beschrieben durch Parameterdarstellungen k von einem (Zeit-)Intervall I
nach R 2 , entsprechend eine Raumkurve durch Parameterdarstellungen k von I nach R 3 .
Die Kurve K besteht dann aus allen Bildpunkten der Funktion k . Letztere ist durch K keineswegs
eindeutig bestimmt!
Beschreibt k(t) = ( k1( t ) , k2( t ) ) eine ebene Kurve und f eine Fläche F, so ist die senkrecht darüber
(oder darunter) liegende, in der Fläche F verlaufende Kurve ein Weg durchs Funktionsgebirge, also
eine Raumkurve, die durch die Funktion fk(t) = (k(t), f(k(t))) (mit drei Komponenten!) beschrieben
wird.
Beispiel 2:
Wir betrachten die gleiche Funktion f wie oben und die Spirale k( t)
=
Jetzt eine Kreislinie: k( t ) =
⎛ cos( t)
⎜ ,
⎝ 2
sin( t)
2
⎞
⎟
⎠
⎛ t cos( t )
⎜ ,
⎝ 4
t sin( t)
8
⎞
⎟ .
⎠

Schließlich eine Sinuskurve: k( t ) = ( t , sin( t)
)
Zylinderkoordinaten
Sie sind das dreidimensionale Analogon der Polarkoordinaten: Hier ist der Abstand r(z) von der
Drehachse (häufig die senkrechte z-Achse) abhängig von der z-Koordinate.
Eine Darstellung in Polar- bzw. Zylinderkoordinaten empfiehlt sich bei Rotationsflächen. Sie
entstehen durch Rotation einer ebenen Kurve h(t) um die z-Achse und werden dann durch die
Funktion
f(x,y)= h ( + )
beschrieben. (So entstanden beispielsweise die Schachfiguren zum "Herrn der Ringe" auf dem
Titelblatt).
Der Schnitt mit einer beliebigen Ebene durch die z-Achse ergibt stets die gleiche Schnittkurve,
nämlich die durch h(t) beschriebene. Die Höhenlinien (Schnitte mit waagerechten Ebenen) sind
stets Kreise.
x 2
y 2
Beispiel 3:
Rotationsparaboloid ("Eierbecher") in kartesischen Koordinaten:
h( t) = t 2 , f(x,y) = + y 2 .
Senkrechte Schnitte durch das Zentrum:
x 2
f := ( x, y ) → +
x 2
y 2

In Zylinderkoordinaten hat das Rotationsparaboloid die Darstellung r( z) = z. Der Drehwinkel
läuft von 0 bis 2 π .
Niveaulinien in Höhe c = n/5 , n = 1,...,5:

5.2. Ableitungen und lineare Approximation
Aus der elementaren Differentialrechnung ist bekannt, daß man mit Hilfe der Ableitung einer
Funktion die Steigung der Tangente in einem gegebenen Punkt berechnen kann (vorausgesetzt
natürlich, daß diese Tangente existiert, d.h. daß die Funktion zumindest in diesem Punkt
differenzierbar ist). Das gleiche gilt nun auch für Funktionen zwischen Teilmengen
mehrdimensionaler Räume, wobei man Tangenten im Falle von Funktionsgebirgen durch
Tangentialebenen zu ersetzen hat, usw. Aus der linearen Algebra wissen wir andererseits, daß man
Geraden, Ebenen und allgemeinere Unterräume mit Hilfe linearer Abbildungen und diese
wiederum mit Matrizen beschreiben kann.
Lineare Approximation
Gegeben sei eine Funktion f zwischen einer Teilmenge A des R n und einer Teilmenge B des R m .
( m x n )
Für einen Vektor (!) a aus A heißt eine mit f '(a) oder Df(a) bezeichnete Matrix aus R
Ableitung von f im Punkt a, falls die Gleichung
f(a+h) = f(a) +f '(a)h + o( h )
für alle Vektoren (!) h aus Rn mit a + h aus A gilt, wobei die Restfunktion o( h ) schneller gegen 0
geht als h.
Präzise bedeutet das:
o( h)
lim = 0 ,
h → 0 h
o( h)
oder explizit: Zu jedem ε > 0 gibt es ein δ > 0, so daß aus 0 < h < δ stets < ε folgt.
h
Bezeichnen wir den variablen Punkt a + h mit x, so wird anschaulich f im Punkt a durch die
Tangentialfunktion
Tf ( a, x ) = f (a) + f '(a)( x − a)
beschrieben ("Punkt-Steigungs-Gleichung").
Existiert die Ableitung in jedem Punkt einer Teilmenge D von A, so wird dadurch eine neue
Abbildung f ' von D nach R mxn definiert, die jedem Punkt aus D die Ableitungsmatrix in diesem
Punkt zuordnet.
Spezialfälle: Kurven und Flächen
Für m = 1 und n = 1 ist f '(a) eine Zahl, und zwar die übliche Ableitung (Steigung) im Punkt a .
Für n = 1 beschreibt f eine Kurve im m-dimensionalen Raum, und der Spaltenvektor f '(a) ist ein
Tangentialvektor an die Kurve im Punkt a, physikalisch interpretierbar als
Geschwindigkeitsvektor, falls man die Eingangsvariable als Zeitparameter auffaßt.
Für m = 1 beschreibt f eine Hyperfläche, im Falle n = 2 eine gewöhnliche Fläche. Die
Tangentialebene im Punkt a wird dann beschrieben durch die obige Tangentialfunktion. Man
nennt den Zeilenvektor f '(a) = ( ( a ) ,..., ( a ) ) in diesem Fall den Gradienten im Punkt a.
f x1
f xn
f '(a)( x − a) ist hier als Skalarprodukt der Zeile f '(a) mit der Spalte x − a zu verstehen.

Beispiel 1: Parabel und Tangente
f(x) = x 2
f'(x) = 2 x
f(a+h) = f(a)+f'(a)h +o(h)
( a + h) 2
=
a 2
+ 2 a h + h 2
In diesem speziellen Beispiel ist o( h) = h 2 . Im allgemeinen hängt die Funktion o( h ) aber nicht nur
von h, sondern auch von der Funktion f und häufig auch von der gewählten Stelle a ab.
Beispiel 2: Kubische Parabel
Hier ist also o( h ) = 3 a h +
2
h 3 .
f(x) = x 3
f'(x) = 3 x 2
f(a+h) = f(a)+f'(a)h +o(h)
( a + h) 3
=
a 3
+ 3 a + +
2 h 3 a h 2
h 3

Beispiel 3: Eine ebene Rollkurve ist gegeben durch
k( t ) = ( c cos( t) − a cos( c t ) , c sin( t) − a sin( c t ) ), t = 0 .. 2 π .
Die Ableitung wird für die beide Koordinatenfunktionen separat bestimmt:
k1(t) = c cos( t) − a cos( c t )
k1'(t) = − c sin( t) + a sin( c t) c
k2(t) = c sin( t) − a sin( c t)
k2'(t) = c cos( t ) − a cos( c t) c
Die Tangentenvektoren zum "Zeitpunkt" t haben dann die Komponenten
k1(t) + s k1'(t) und k2(t) + s k2'(t) .
Für den Fall a = 2 und c = 6 zeichnen wir noch einmal die Rollkurve und dazu einige
Tangentialvektoren.
Wie man an der Länge der Tangentialvektoren (Geschwindigkeit!) sieht, wird in den stärker
gekrümmten Kurven abgebremst.
Die skalare Geschwindigkeit ist hier gegeben durch
v := ( a, c, t ) → ( − c sin( t) + a sin( c t) c ) +
2
( c cos( t) − a cos( c t) c )
2
Beispiel 4: Eine Schneckenlinie ( n = 1, m = 3)
⎡
⎢
1.05 ⎤
⎥
f(t) = ⎢ ⎥
⎢ ⎥,
⎢ ⎥
⎣ ⎦
t
cos( t)
1.05 t
sin( t)
3 1.05 t
⎡
⎢
0.04879016417 1.05 − ⎤
⎥
f'(t) = ⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
t
cos( t ) 1.05 t
sin( t)
0.04879016417 1.05 +
t
sin( t ) 1.05 t
cos( t)
0.1463704925 1.05 t

Im Folgenden interessieren uns vor allem Flächen, d.h. der Fall n = 2 , m = 1.
Hier ist alternativ folgende Notation üblich: Man bezeichnet die beiden Komponenten
eines festen Punktes bzw. Ortsvektors mit x0 und y0 ,
eines variablen Punktes bzw. Vektors mit x und y .
Der Differenzvektor hat dann die Komponenten h1 = x − x0 und h2 = y − y0 ,
und die Tangentenfunktion einer im Punkt ( x0, y0 ) differenzierbaren Funktion lautet
Tf( x0, y0 ) ( x, y ) = f ( x0, y0 ) + ( x0, y0 ) ( x − x0 ) + ( x0, y0 ) ( y − y0 ) ,
f x
wobei ( x0, y0 ) und ( x0, y0 ) die Komponenten des Gradienten f '( x0, y0 ) sind.
f x
f y
Beispiel 5: Paraboloid mit Tangentialebene
Hier ist also o( h ) = +
f ( x, y ) = +
2
f ( x0 + h1 , y0 + h1 ) = x0 + y0 + 2 x0 h1 + 2 y0 h2 + h1 +
2
h1 2
h2 2
x 2
f y
y 2
2
2
h2 , und f '( x0, y0 ) hat die Komponenten 2 x0 und 2 y0 .
2
2
Tf ( x0, y0 ) ( x, y ) = x0 + y0 + 2 x0 ( x − x0 ) + 2 y0 ( y − y0 )

Wagen wir uns jetzt noch an beliebige Dimensionen m und n .
Beispiel 6:
Die einfachsten und "glattesten" differenzierbaren Funktionen sind natürlich diejenigen, die sich
selbst linear approximieren, d.h. selbst linear oder wenigstens affin sind, also von der Form
f( x ) = M x + c
mit einer Matrix M aus R mxn und einem konstanten Vektor c aus R m . Eine solche affine Funktion
ist etwa
mit der konstanten Ableitung
f ( x, y)
Df ( x, y )
⎡1
+ 2 x + 3 y⎤
= ⎢ ⎥
⎣3
+ 4 x + 5 y⎦
=
⎡
⎢
⎣
2 3⎤
⎥
4 5⎦
Im allgemeinsten Fall einer beliebigen Funktion f : Rn --> Rm betrachtet man die
Koordinatenfunktionen
fi : Rn --> R mit f( x ) = ( f1( x ) ,..., fm( x ) )
und beachtet, daß in diesem Fall die auch Jacobi-Matrix genannte Ableitung f '(x) als Zeilen die
Gradienten
fi '(x) = (f i, x1,...,
f i, xn)
hat. Es ist also speziell für m = 2 und n = 2 (nach Umbenennung von x1 in x und von x2 in y):
⎡f
Df ( x, y ) = ⎢ 1, x ( x, y ) f 1, y ( x, y ) ⎤
⎢
⎥
⎣f
2, x ( x, y ) f 2, y ( x, y ) ⎦
Dabei ist f 1, x ( x, y ) die Ableitung von f1 ( x, y ) nach x (bei konstant gehaltenem y) usw. Solche
partiellen Ableitungen werden wir im Abschnitt 5.3 genauer untersuchen.
Differentiationsregeln
Die aus der eindimensionalen Differentialrechnung bekannten Regeln für das Ableiten
zusammengesetzter Funktionen gelten bei richtiger Interpretation auch für höhere Dimensionen.
Was wir über stetige Funktionen gesagt haben, gilt entsprechend abgewandelt auch für zwei
differenzierbare Funktionen f und g:
Summenregel:
Sind f und g auf der gleichen Menge differenzierbar, so auch f+g und f-g, und es gilt
D(f+g) =Df +Dg , D(f-g) =Df -Dg .
Produktregel:
Bedeutet f*g das elementweise Skalarprodukt oder Vektorprodukt, so ist auch dieses wieder
differenzierbar,
und es gilt
D(f*g) = f*Dg+g*Df.
Kettenregel:

Ist der Wertebereich von g eine Teilmenge des Definitionsbereichs von f, so ist die durch
(fog)(x) = f(g(x)) definierte Verknüpfung fog wieder differenzierbar mit der Ableitung
D(fog) = (Df og)Dg, genauer
D(fog)(x) = Df(g(x))Dg(x) .
Dabei steht auf der rechten Seite das Matrizenprodukt! Die Abfolge
Äußere Ableitung - Einsetzen - Innere Ableitung - Multiplizieren
behält also auch hier ihre Gültigkeit. Der Beweis der Kettenregel mit Hilfe der linearen
Approximation ist relativ einfach, wir lassen ihn hier aber weg.
Die Kettenregel ist eines der wichtigsten Werkzeuge für die Berechnung verschiedenster
Ableitungen. Komplizierte Funktionen können mit ihrer Hilfe in einfachere "zerlegt" werden.
Inversionsregel:
Ist f invertierbar und differenzierbar, so auch die Umkehrfunktion g mit f( x) = y x = g( y ) ,
und es gilt
( −1 )
Dg(x) = Df ( g( x ) )
Auch diese Gleichung, bei der die rechte Seite die Inverse der Matrix Df ( g( x ) ) bedeutet, folgt
unmittelbar aus der Kettenregel, da fog( x ) = x gilt und deshalb D(fog)(x) die Einheitsmatrix ist.
Beispiele:
Mit der Inversionsregel erhält man viele wichtige Formeln für das Differenzieren (und später auch
das Integrieren) gängiger Funktionen, z.B.
Funktion Ableitung Umkehrfunktion Ableitung
( ) − a 1
⎛ 1 ⎞
⎜ ⎟
⎝ a ⎠
⎛ 1 ⎞
⎜ − 1 ⎟
⎝ a ⎠
x a a x x
x
e x e x ln( x )
1
x
sin( x ) cos( x ) = 1 − sin( x )
2 x
arcsin( x )
1 − x 2
cos( x ) sin( x ) = 1 − cos( x )
2 −x
arccos( x )
1 − x 2
tan( x ) 1 + tan( x )
2 1
arctan( x )
1 + x 2
cot( x ) − 1 − cot( x )
2 1
arccot( x ) −
1 + x 2
sowie analoge Formeln für die "hyperbolischen" Funktionen sinh(x), cosh(x) usw.
Beachten Sie, daß − arcsin( x ) und arccos( x ) zwar die gleiche Ableitung haben, aber nicht die selbe
Funktion darstellen, sondern sich um die additive Konstante π
2 unterscheiden:
π
arccos( x ) = − arcsin( x ) .
2
Analoges gilt für arctan und arccot.
( )
a −1

5.3. Richtungsableitungen und partielle Ableitungen
Generell vorgegeben sei eine Funktion f von einer Teilmenge A der Ebene R 2 (oder des Raumes
R 3 oder sogar des n-dimensionalen Raumes R n ) nach R . Weiter sei a ein fester Punkt im Inneren
von A.
Richtungsableitungen
Die Richtungsableitung von f im Punkt a nach einem Vektor v (aus R n ) ist die Ableitung der
Funktion
g( t ) = f ( a + t v )
nach t im Punkt 0 (sofern sie existiert). Anschaulich beschreibt diese Funktion im Fall n = 2 die
Schnittkurve des zu f gehörigen Funktionsgebirges mit der senkrechten Ebene durch den Punkt a in
Richtung v.
Man bezeichnet die Richtungsableitung mit
∂
f( a ) oder ( )
∂v
fv a
und erhält sie als Grenzwert
∂
f ( a + t v ) − f( a )
f( a ) = lim
.
∂v
t → 0 t
Ist v ein Einheitsvektor, so spricht man auch von der Ableitung in Richtung (von) v.
Wie üblich bezeichnen wir im Falle n = 2 (bzw. n = 3) die Koordinaten eines festen Vektors häufig
mit x0 und y0 (sowie ggf. z0 ) statt mit a1 , a2 usw. Bei den Richtungsvektoren v behalten wir aber die
Koordinatenschreibweise v 1 ,v 2 , v 3 ... bei.
Der Zusammenhang mit der totalen Ableitung f ' ist sehr einfach:
Satz 1. Ist f im Punkt a differenzierbar, so existieren dort alle Richtungsableitungen, und es gilt
∂
f( a ) = f '(a)v (Skalarprodukt der Zeile f '(a) mit der Spalte v !).
∂v
Denn in dem Grenzwert
∂
f ( a + t v ) − f( a )
f( a ) = lim
∂v
t → 0 t
o( t v)
kann man f ( a + t v ) − f( a ) durch f ' (a) t v + o( t v ) ersetzen, und wegen lim = 0 bleibt nach
t → 0 t
Kürzen von t nur noch f '(a)v übrig.
Beispiel 1: Wir betrachten nochmals die im Nullpunkt (stetig) durch f ( 0, 0) = 0 ergänzte
Batman-Funktion
+
f ( x, y)
=
x + y
Die Richtungsableitungen im Nullpunkt sind sämtlich gleich 0:
x 3
y 3

d
f ( 0, 0) = lim
dv
t → 0
3 3
( t v1 ) + ( t v2 )
⎛
= f ( v1, v ) ⎜
t ⎞
2 ⎜ lim ⎟ =
t ( t v1 + t v2 ) ⎝ t → 0 ⎠
2
0.
t
Offenbar hat die Schnittkurve im Punkt ( 1.5, 0) einen Knick. Dort sollte die Richtungsableitung
nach v = ( 1, 2) also nicht existieren.
In der Tat sind linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert des Differenzenquotienten
f ( a + t v ) − f( a )
hier verschieden:
t
lim
t → 0-
( 1.5 + t ) +
−
= ,
3
8 t 3
( 1.5 + t ) +
2.25
−
1.5 + t + 2 t
6. lim
=
t
3
8 t 3
2.25
1.5 + t + 2 t
0.
t
t → 0+
Entlang der x-Achse (Richtungsvektor v = (1,0) ) ist die Schnittkurve hingegen glatt:
Hier stimmen links- und rechtsseitiger Grenzwert des Differenzenquotienten überein:

lim
t → 0-
( 1.5 + t) 3
1.5 + t
t
( 1.5 + t )
− 2.25
−
= 3. , lim
=
3
2.25
1.5 + t
3.
t
t → 0+
Beispiel 2 : Die folgende Funktion ist nur außerhalb der Geraden x = y definiert und auf dieser
Geraden nur im Nullpunkt stetig ergänzbar. Für 0 < x und y < 0 stimmt sie mit der Funktion aus
Beispiel 1 überein.
+
g ( x, y)
=
x − y
Bei stark verzerrtem Maßstab ergibt sich folgender Torso (die "Teppichfransen" entstehen durch
die unzureichende Auflösung).
x 3
y 3

Partielle Ableitungen
Die j-te partielle Ableitung einer Funktion f im Punkt a = (a 1 , ..., a n ) ist die
Richtungsableitung nach dem j-ten Einheitsvektor
e j = (0,...,1,...,0) , wobei die 1 an der j-ten Stelle steht ( j = 1, ..., n).
Man berechnet sie konkret, indem man alle Variablen außer x j als Konstante betrachtet und wie im
eindimensionalen Fall die Ableitung nach xj bildet. Diese partiellen Ableitungen müssen nicht in
allen Punkten des Definitionsbereichs existieren! Für die j-te partielle Ableitung sind mehrere
Schreibweisen üblich:
∂ ∂
f( a ) = f( a ) = fej( a ) = fxj( a )
∂ej
∂xj
oder falls die Variablen x, y, z heißen:
∂
f( a ) = ( )
∂x
f ∂
x a , f( a ) = ( )
∂y
f ∂
y a , f( a ) = ( )
∂z
fz a usw.
(Die unterschiedliche Form der Buchstaben f bzw. f ist eine Eigenheit von MAPLE und hat
keine mathematische Bedeutung).
Nachträglich kann man die zunächst festgehaltene Stelle a wieder variabel machen (und eventuell
in x umbenennen). Man erhält dann neue Funktionen
fxj bzw. fx , fy , fz usw.
welche die partiellen Ableitungen in allen Punkten, wo sie existieren, beschreiben. Aus Satz 1
schließen wir:
Satz 2. Ist f im Punkt a differenzierbar, so existieren dort alle partiellen Ableitungen, und es gilt
f '(a) = ( ( a ) , ... , ( a ) ).
f x1
f xn
Die Komponenten des Gradienten sind also gerade die partiellen Ableitungen.
Beispiel 3: Batman again
+
Wir wissen schon, daß die partiellen Ableitungen der Batman-Funktion f ( x, y)
=
x + y im
Nullpunkt verschwinden. Außerhalb dieses Punktes muß man je nach dem Vorzeichen von x und y
vier Fälle unterscheiden. Für 0 ≤ x und 0 ≤ y errechnet man
∂
∂
f ( x, y ) = − y + 2 x , f ( x, y ) = 2 y − x
∂x
∂y
während für negatives x und y diese Ableitungen das Vorzeichen wechseln:
∂
∂
f ( x, y ) = y − 2 x , f ( x, y) = − 2 y + x
∂x
∂y
Die Funktionsgebirge sind in diesen Fällen Ebenen! Haben wir hingegen x ≤ 0 und 0 ≤ y sowie
x ≠ y, so erhalten wir
∂ − 2 x + +
f ( x, y ) =
,
∂x
3
3 x 2 y y 3
( − x + y )
2
∂
f ( x, y ) =
∂y
und schließlich für 0 ≤ x und y ≤ 0 sowie x ≠ y :
− 3 y + −
2 x 2 y 3
( − x + y )
2
x 3
x 3
y 3

∂
− 2 x3 + 3 x +
f ( x, y ) = − ,
∂x
2 y y 3
( − x + y )
2
∂
− + −
f ( x, y ) = −
∂y
3 y2 x 2 y 3
x 3
( − x + y )
2
Für x = y ≠ 0 existieren die partiellen Ableitungen nicht (dort ist die Fläche geknickt, siehe oben).
Beispiel 4: Batman's Tochter
Für die Funktion
+
f ( x, y ) =
x +
2
y 2
ergeben sich außerhalb des Nullpunktes folgende partielle Ableitungen:
x 3
y 3
∂ 3 x
f ( x, y ) = −
,
∂x
2
x +
2
y 2
2 ( x + )
3
y 3 x
( x + )
2
∂ 3 y
f ( x, y ) = −
2
2 ∂y
y 2
x +
2
y 2
2 ( x + )
3
y 3 y
( x + )
2
2
2
y
Diese Gleichungen sind zunächst nur richtig, falls x ≠ 0 oder y ≠ 0 gilt. Selbst wenn man den
Grenzübergang gegen 0 vollziehen könnte (was hier wegen der Nenner problematisch ist), müßten
dabei nicht die partiellen Ableitungen im Nullpunkt herauskommen, denn diese brauchen ja nicht
unbedingt stetig zu sein (und sind es im vorliegenden Beispiel auch nicht!)
Man muß also im Nullpunkt die Richtungsableitungen direkt über die Limes-Definition bestimmen
- und das ist hier recht einfach, aufgrund der Gleichung f( t v) = t f( v ) .
Funktionen f mit dieser Eigenschaft nennt man homogen. Für jede solche Funktion gilt f( 0) = 0
und daher
d
f( t v ) − f( 0 )
f( 0) = lim
= f( v ) .
dv
t → 0 t
Die durch homogene Funktionen beschriebenen Flächen kann man sich von einer schwankenden
Kompaßnadel erzeugt vorstellen: Jede senkrechte Ebene durch den Nullpunkt schneidet die Fläche
in einer Geraden.
Fassen wir zusammen:
Satz 3: Die Richtungsableitung einer homogenen Funktion im Nullpunkt nach einem beliebigen
Vektor v ist also der Funktionswert an der Stelle v.
Eine Funktion f von R n nach R m ist genau dann linear (wird also durch die konstante Matrix f '
beschrieben), wenn sie homogen und im Nullpunkt (total) differenzierbar ist.

Denn in diesem Fall gilt ja
d
f ' (0)v = f( 0) = lim
dv
t → 0
f( tv )
t
= f( v ) .
Beispiel 5: Eine Schar von Fledermäusen
Wir variieren das vorige Beispiel, indem wir in Zähler und Nenner den Exponenten um die gleich
(gerade) Zahl erhöhen.
All diese Funktionen sind homogen:
( ) + 2 n 1
( ) + 2 n 1
fn ( x, y )
x
=
( ) + 2 n 1
( ) + 2 n 1
x
( 2 n )
( ) + 2 n 1
+ y
+ y
( ) + 2 n 1
t x + t y
fn ( tx, ty ) =
= t f
( 2 n ) ( 2 n ) ( 2 n ) ( 2 n )
n ( x, y ) .
t x + t y
Keine von ihnen ist im Nullpunkt differenzierbar (sonst wären sie ja schon linear). Dennoch
existieren alle Richtungsableitungen in beliebigen Punkten. Deren Berechnung ist etwas
kompliziert, läßt sich aber mit unseren bisherigen Mitteln auf die der partiellen Ableitungen
zurückführen. Für n = 20 ergibt sich das unten skizzierte stückweise fast lineare Funktionsgebirge.
( ) + 2 n 1
( 2 n )
( ) + 2 n 1
( ) + 2 n 1
∂
( ) =
∂x
f x ( 2 n + 1)
2 ( x + y ) x
n x, y −
( 2 n ) ( 2 n )
2
x ( x + y )
( 2 n ) ( 2 n )
( x + y ) x
( ) + 2 n 1
( ) + 2 n 1
( ) + 2 n 1
∂
( ) =
∂y
f y ( 2 n + 1)
2 ( x + y ) y
n x, y −
( 2 n ) ( 2 n )
2
y ( x + y )
( 2 n ) ( 2 n )
( x + y ) y
( 2 n )
( 2 n )
n
n

5.3A. Gradient und Niveau
Wieder sei f eine differenzierbare Funktion von einer Teilmenge A der Ebene R 2 (oder des n
-dimensionalen Raumes R n ) nach R .
Stärkster Anstieg
In einem Punkt a aus A ist der Anstieg von f in Richtung eines Einheitsvektors v gegeben durch das
Skalarprodukt
∂
f( a ) = f '( a) v = f '( a ) cos( α )
∂v
wobei α der Winkel zwischen dem Gradienten f '(a) und dem Richtungsvektor v ist. Dieser Anstieg
ist natürlich am größten für cos( α) = 1, d.h. für α = 0. Mit anderen Worten:
In Richtung des Gradienten wird die Steigung der Funktion am größten und hat dort den Wert
f '( a ) ;
in der entgegengesetzten Richtung ist das Gefälle am größten und hat dort den Wert − f '( a ) .
Um zu einem lokalen Maximum zu gelangen, muß man also immer in Richtung des Gradienten
wandern
(daher der Name: gradiens =steigend) .
Im Falle eines Funktionsgebirges ( n = 2) ist ein Tangentialvektor in Richtung des steilsten Anstiegs
gegeben durch
⎡ f
⎢ x( a ) fy( a ) ⎤
⎥
⎢ , , f ' (a) ⎥ .
⎣ f '(a) f '(a) ⎦
Beispiel 1: Berg und Tal
Partielle Ableitungen und Gradient:
f ( x, y ) = ( x − y ) e
( − − ) x2 y 2
fx ( x, y ) = e −
( − − ) x2 y 2
fy ( x, y ) = − e −
f '(x,y) = e
( − − ) x2 y 2
( − − ) x2 y 2
2 ( x − y) x e
2 ( x − y ) y e
( − − ) x2 y 2
( − − ) x2 y 2
[ 1 − 2 x + 2 y, − 1 − 2 x + 2 y]

Ein Weg über den Gipfel:
Rotationssymmetrische Flächen werden beschrieben durch Funktionen der Form
F ( x, y ) = f ( + y )
2 ,
x 2
wobei f jeweils den Funktionswert im Abstand + y 2 von der zentralen z-Achse angibt.
Der Gradient zeigt immer zum Zentrum hin oder vom Zentrum weg ("zentrifugal"), und seine
Länge ist
f ' ( + y )
2 .
x 2
Denn die Kettenregel liefert F' ( x, y ) = f ' ( x + )
2
y 2 ⎛
⎜
⎝
Beispiel 2: Snoopy's Dogdish
x 2
f( x ) = −
x 2
x 4
x 2
F ( x, y ) = ( + y ) − ( + y )
x 2
2 3
Fx ( x, y ) = 2 ( 2 x + −
) ,
2
2 y 2
4 ( x + )
2
y x Fy ( x, y ) = 2 ( 2 x + −
)
2
2 y 2
4 ( x + )
2
y y
2 2
x 2
x
+
y 2
2 4
,
x 2
y
+
y 2
⎞
⎟
.
⎠
2 3

Niveaukurven und Niveauflächen
Für eine differenzierbare Funktion f von einer Teilmenge A des Raumes R n nach R und jede
Konstante c beschreibt
f( x) = c
eine Hyperfläche im R n , speziell eine Niveaukurve im Falle n = 2 und eine Niveaufläche im
Falle n = 3.
Eine in Parameterdarstellung
x = g( t )
gegebene Kurve liegt genau dann in der Hyperfläche f( x) = c, wenn
f ( g( t ) ) = c
gilt. Mit der Kettenregel folgt aus dieser Gleichung
f ' ( g( t ) ) g'( t ) = 0.
Dabei ist g '( t ) ein Tangentialvektor im Punkt a = g( t ) der Hyperfläche. Geometrisch bedeutet
das:
Im Punkt a steht der Gradient f '( a ) senkrecht auf der Niveaukurve bzw. Niveaufläche f( x ) = c.
Daraus ergibt sich für den Fall n = 2 sofort die
Normalengleichung der Tangente an die Niveaukurve f ( x, y) = c im Kurvenpunkt ( x0, y0 ):
f x
( x0, y0 ) ( x − x0 ) + ( x0, y0 ) ( y − y0 ) = 0
f y
und entsprechend für n = 3 die
Normalengleichung der Tangentialebene an die Niveaufläche f ( x, y, z ) = c im Flächenpunkt
( x0, y0, z0 ):
fx ( x0, y0, z0 ) ( x − x0 ) + fy ( x0, y0, z0 ) ( y − y0 ) + fz ( x0, y0, z0 ) ( z − z0 ) = 0.
Beispiel 3: Paraboloid und Kreistangente
Ein Paraboloid mit dem Fußpunkt (u,v) beschreiben wir durch
f ( x, y ) = ( x − u ) +
2
( y − v) 2
Die Tangente im Punkt ( x0, y0 ) an die kreisförmige Niveaukurve f ( x, y) = r 2 (mit Radius r) hat
wegen
fx ( x, y ) = 2 ( x − u ) und fy ( x, y ) = 2 ( y − v )
die Gleichung
( x0 − u ) ( x − x0 ) + ( y0 − v ) ( y − y0 ) = 0
was zusammen mit der Bedingung, daß ( x0, y0 ) auf der Niveaukurve liegen soll, also
( x0 − )
auf die Formel
u 2
+ ( − )
y 0
v 2
( x0 − u ) ( x − u ) + ( y0 − v ) ( y − v ) = r 2
=
r 2
führt. Hinzu kommt noch die Gleichung z = r 2 für die dritte Koordinate (Höhe).

Beispiel 4: Ein Igel
Auf dem Ellipsoid
x 2
a 2
y 2
+ +
b 2
z 2
c 2
= 1
hat die Tangentialebene im Punkt ( x0, y0, z0 ) die Normalengleichung
x0 ( x − x0 )
a 2
y0 ( y − y0 )
+ +
b 2
z0 ( z − z0 )
c 2
= 0.
Wir betrachten eine Schar von Normalenvektoren auf der obere Hälfte:
n ( x0, y0 )
a = 2 , b = 1 , c = 1
1
z =
2
4 − x −
2
⎡ 1
= ⎢ , ,
⎣ 10 x 2
0
5 y 1
0
5
4 y 2
2
4 − x0 −
2
⎤
4 y0 ⎥
⎦

5.4. Tangentialebenen
Ist A eine (nicht zu kleine) Teilmenge der Ebene, so beschreibt jede Funktion f von A nach R eine
Fläche F , die aus allen Punkten
(x, y, f(x,y)) mit (x,y) aus A besteht.
Im Falle einer in a = (a 1 ,a 2 ) differenzierbaren Funktion f besteht die Tangentialebene T a f an
diese Fläche im Punkt
(a , f(a)) = (a 1 , a 2 , f(a 1 ,a 2 ))
aus allen Punkten ( = Vektoren)
(a,f(a)) + (v, f '(a) v ) = (a + v, f(a) + f '(a) v) (Ortsvektor + Richtungsvektor),
wobei v = (v 1 , v 2 ) die Ebene R 2 durchläuft.
Zwei aufspannende Basisvektoren für die Tangentialebene erhält man, indem man für v = (v1 , v2 )
die kanonischen Einheitsvektoren (1,0) und (0,1) nimmt. Die Basisvektoren für die
Tangentialebene sind dann
∂
(1, 0, ( )
∂x
f a ) und (0, 1, ∂
f( a ) ).
∂y
Jeder Normalenvektor der Tangentialebene steht senkrecht auf dieser. Einen solchen
Normalenvektor erhält man, indem man das Kreuzprodukt (Vektorprodukt) der beiden
Basisvektoren bildet.
Als Normalenvektor ergibt sich (je nach Reihenfolge der Eingabevektoren):
n a = (-f ' (a), 1) oder - n a = ( f ' (a), -1) .
Daher kann man die Tangentialebene im Punkt a als Menge der Lösungen w = (x, y, z) der
Gleichung
n a (w - (a, f(a))) = 0 bzw.
∂
( )
∂x
f a (x - a1 ) + ∂
( )
∂y
f a (y - a2 ) - (z - f(a)) = 0 bzw.
∂
z = f(a) + ( )
∂x
f a (x - a1 ) + ∂
( )
∂y
f a (y - a2 )
beschreiben.
Beispiel 1:
Für eine Halbkugel mit der Darstellung
ergeben sich die partiellen Ableitungen
f ( x, y ) = 1 − x −
2
∂
f ( x, y ) = −
∂x
x
y 2
1 − x −
2
y 2

∂
y
f ( x, y ) = −
∂y
1 − x −
2
y 2
∂
Der Gradient f ' (x,y) = ( f ( , )
∂x
x y , ∂
1
f ( x, y ) ) ist hier gleich - (x,y) , zeigt also stets
∂y
f ( x, y )
zentral zum Ursprung.
Wie wir schon wissen, erfüllt die Tangentialebene im Punkt (a1 ,a2 ) die Gleichung
∂
z = f( a) + ( )
∂x
f a (x - a1 ) + ∂
( )
∂y
f a (y - a2 ),
also hier
2 2 a1 ( x − a1 )
z = 1 − a1 − a2 -
2 2
1 − a1 − a2 -
a2 ( y − a2 )
2 2
1 − a1 − a2 .
Speziell berechnen wir die Tangentialebene im Punkt (a, f( a ) ) = (a1 , a2 , f ( a1, a2 ) ) = (1/2, 0,
3
) :
2
⎛ 1 ⎞
⎜x
− ⎟
3 ⎝ 2 ⎠
z := −
2 3
Ein zugehöriger Normalevektor ist wegen
gegeben durch
>
d ⎛ ⎞
f ⎜ , ⎟ =
dx
⎝ ⎠
1
0 −
2
n a
⎡
= ⎢
⎣
3
3 d ⎛ ⎞
, f ⎜ , ⎟ =
3 dy
⎝ ⎠
1
0 0
2
3 ⎤
, 0, 1 ⎥
3 ⎦

Die Bildmenge der Funktion
∂
f(a) + f '(a) v = f(a1 ,a2 ) + f ( , )
∂x
a1 a2 ( − x a1 ) + ∂
f ( , )
∂y
a1 a2 ( − y a2 )
ist wieder die Tangentialebene an die Halbkugel im Punkt a = (a1 , a2 ).
2
Ta f ( x, y ) =
2 2
1 − a1 − a2 −
a1 ( x − a1 )
−
2 2
1 − a1 − a2 Wir zeichnen sie zusammen mit der Halbkugel in einen Kasten:
a2 ( y − a2 )
2
1 − a1 −
Schließlich fügen wir noch den nach außen zeigenden Normalenvektor n a im Punkt (a, f(a)) hinzu:
Abschließend lassen wir die Tangentialebene um die Halbkugel rotieren, indem wir den
Berührpunkt (a,f(a)) variabel machen. Durchläuft sein "Schatten" a in der Grundebene den Kreis
um (0,0) mit Radius 1/2 , z.B. in 20 Schritten, so bewegen sich die Berührpunkte ebenfalls auf
einer Kreisbahn, allerdings in der Höhe
⎛ 1 ⎞
1 − ⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠
2
=
3
2 .
2
a2

Alle bisher nur für die Dimension 2 eingeführten Definitionen und Konstruktionen lassen sich
leicht auf beliebige (endliche) Dimensionen n erweitern.
Zum Beispiel beschreibt jede Funktion f von einer Teilmenge A des R n nach R eine Hyperfläche F
, die aus allen Punkten (a, f(a)) mit a aus A besteht, und im Falle einer in a differenzierbaren
Funktion f besteht der Tangentialraum T a f an diese Fläche im Punkt (a, f(a)) wieder aus allen
Punkten
(a, f(a)) + (v, f '(a) v ) = (a + v, f(a) + f '(a) v) (Ortsvektor + Richtungsvektor),
wobei v den n-dimensionalen Raum R n durchläuft.
Basisvektoren für den Tangentialraum erhält man, indem man für v die kanonischen
Einheitsvektoren ei ( i = 1...n) nimmt, die an der i-ten Stelle eine 1 und sonst nur Nullen als
Komponenten haben. Eine Basis des Tangentialraums besteht dann aus den Vektoren
∂
(ei , f( a ) ) (i = 1...n).
∂
e i
Ein linearer Teilraum des R
( ) + n 1
ist in jedem Punkt sein eigener Tangentialraum. Denn er läßt
sich (sofern er nicht gerade senkrecht auf dem Unterraum R n steht) in Parameterform als Menge
der Punkte (a,f(a)) einer linearen Funktion f : R n --> R , a --> w a beschreiben, wobei w a
wieder das Skalarprodukt mit einem festen Vektor w bedeutet. Die partiellen Ableitungen sind
dann
∂
f( a ) = wi ,
∂ei
d.h. w ist nichts anderes als der Gradient (und zwar in jedem Punkt!)
Beispiel 2:

Tangentialraum einer Halbsphäre im 4-dimensionalen Raum:
Partielle Ableitungen:
f ( x, y, z ) = 1 − x − −
2
y 2
∂
f = −
∂x
x
,
1 − x − −
,
2
y 2
z 2
∂
f = −
∂y
y
1 − x − −
2
y 2
z 2
∂
f = −
∂z
Allgemein gilt für die (halbe) Sphäre im (n+1)-dimensionalen Raum:
∂
f( a ) = −
∂xi
ai a
, f '(a) = −
f( a )
f( a )
.
Basisvektoren für den Tangentialraum im Punkt a sind die Vektoren
∂
(ei ,
∂
e i
f( a ) ) = ( ei, − ai f( a )
) (i = 1...n).
z 2
z
1 − x − −
2
y 2
Graphisch darstellen lassen sich diese höherdimensionalen Objekte leider nicht mehr!
Beispiel 3:
Statdessen bestimmen wir noch die partiellen Ableitungen und die Tangentialebenen der
Funktion
f ( x, y ) = x y .
f x
x
= ,
y y
x
f y
=
x y
ln( x)
Damit ist die (totale) Ableitung der Funktion f ( x, y ) = x y der Zeilenvektor
⎛
Df ( x, y ) = ⎜
x ⎞
⎜ , ⎟
⎝
⎠
y y
x
x
y
ln( x ) ,
und die Tangentialebene im Punkt ( x0, y0 ) ist gegeben durch
f ( x0, y0 ) + Df ( x0, y0 ) ( x − x0 , y − y0 ) = x0 f ( x, y ) = x y
y 0 ⎛
z 2
y
⎜ 0 ( x − x0 )
⎞
⎟
⎜1
+ + ln( x0 ) ( y − y0 ) ⎟ .
⎝
⎠
x 0

Tangentialebene im Punkt (0.6,0.6):
f y
x
fx =
y y
x
=
x y
ln( x)

5.5. Höhere Ableitungen
Wir betrachten wieder eine Funktion f von einer Teilmenge A der Ebene R 2 (oder eines
höherdimensionalen Raumes R n ) nach R.
Indem man die partiellen Ableitungen
∂
fx = f und =
∂x
f ∂
y
∂y
f
(soweit sie existieren) wieder als Funktionen auffaßt und, sofern möglich, nochmals partiell
differenziert, erhält man die vier zweiten partiellen Ableitungen
∂ ⎛ ∂ ⎞
fxx = ⎜ ⎟
∂x
⎝∂x
⎠
f = f , =
∂x ∂x
f ∂ ⎛ ∂ ⎞
xy ⎜ ⎟
∂y
⎝ ∂x
⎠
f = f ,
∂y ∂x
∂ ⎛ ∂ ⎞
fyx = ⎜ ⎟
∂x
⎝∂y
⎠
f = ∂
∂ ∂
2
f , =
x y f ∂ ⎛ ∂ ⎞
yy ⎜ ⎟
∂y
⎝ ∂y
⎠
f = ∂
∂ ∂
2
f .
y y
Durch Fortsetzung dieses Ableitungsprozesses gelangt man zu höheren Ableitungen: zunächst zu
den acht dritten partiellen Ableitungen
f xxx
∂ 3
=
∂x ∂x ∂x
∂ 3
∂ 2
f , = fxxy ∂ 3
∂y ∂x ∂x
∂ 3
f , = fxyx ∂ 2
∂ 3
∂x ∂y ∂x
f , = fxyy ∂ 3
∂y ∂y ∂x
f
fyxx = f , =
∂x ∂x ∂y
fyyx f , =
∂x ∂y ∂y
fyxy f , =
∂y ∂x ∂y
fyyy f .
∂y ∂y ∂y
Nach k-maligem Ableiten landet man bei den 2 k partiellen Ableitungen k-ter Ordnung. Im
allgemeinen Falle einer n-dimensionalen Funktion gibt es sogar n k solche Ableitungen!
Man sagt, eine Funktion sei (auf A) k-mal partiell differenzierbar, wenn ihre sämtlichen
partiellen Ableitungen k-ter Ordnung auf A existieren. Sind diese sogar noch stetig, spricht man
von einer k-mal stetig differenzierbaren Funktion. Es gelten folgende
Implikationen zwischen Stetigkeits- und Differenzierbarkeitseigenschaften:
k+1-mal partiell differenzierbar
=> k-mal stetig differenzierbar => k-mal partiell differenzierbar => ...
=> (einmal) stetig differenzierbar => total differenzierbar
=> alle Richtungsableitungen existieren => partiell differenzierbar
Wir wollen im folgenden stets voraussetzen, daß f zweimal stetig differenzierbar ist. Dies
bedeutet, daß die ersten und zweiten partiellen Ableitungen in allen Punkten aus A existieren und
stetig sind. Für jeden solchen Punkt bilden die vier zweiten Ableitungen dann eine 2 x 2 - Matrix
H f
⎡
:= ⎢
⎣
die sogenannte Hessematrix, die gelegentlich auch zweite Ableitung von f genannt und mit f "
bezeichnet wird.
f xx
f yx
∂ 3
f xy
f yy
⎤
⎥
⎦
∂ 3

Beispiel 2:
Wir betrachten nochmals die Funktion
f ( x, y ) = x y .
Die ersten partiellen Ableitungen kennen wir schon:
f x
x
= ,
y y
x
f y
=
x y
ln( x)
Nun berechnen und zeichnen wir die zweiten partiellen Ableitungen:
x
fxx = −
y y 2
x y y
x 2
x 2
fyy := x y
ln( x )
2

Also fxy =
x
fxy = +
y y ln( x )
x x
x
fyx = +
y y ln( x )
x x
fyx , d.h. die Matrix der zweiten Ableitungen ist symmetrisch!
Allgemein kann man durch Betrachtung geeigneter Sekantensteigungen und Vertauschung eines
gewissen Grenzprozesses folgende nützliche Tatsache beweisen
(wie so oft ist auch hier der Mittelwertsatz das entscheidende Hilfsmittel):
Existieren die zweiten partiellen Ableitungen und sind sie noch stetig, so gilt die Schwarzsche
x y
x y

Vertauschungsregel:
fxy = fyx ,
welche bedeutet, daß die Hessematrix symmetrisch ist.
Daß diese Regel allerdings ohne die Stetigkeitsvoraussetzung für die zweiten Ableitungen nicht
mehr richtig ist, zeigt folgendes
Beispiel 3:
Die im Nullpunkt durch f ( 0, 0) = 0 ergänzte Funktion
a x +
f ( x, y)
=
3 y b x y 3
x +
2
y 2
ist zweimal differenzierbar, aber nur für a = b sind die zweiten Ableitungen im Nullpunkt noch
stetig. Wir testen das im Einzelnen.
Außerhalb des Nullpunktes findet man durch "mechanisches Ableiten":
3 a x +
fx =
−
2 y b y 3
x +
2
y 2
a x +
fy =
−
3
3 b x y 2
x +
2
y 2
2 ( a x + )
3 y b x y 3 x
( + y )
x 2
2 2
2 ( a x + )
3 y b x y 3 y
( + y )
a x y
fxx = 6 − + −
x +
2
y 2
4 ( 3 a x + )
2 y b y 3 x
( x + )
2
8 ( a x + )
2
2
y 3 y b x y 3 x 2
( x + )
2
3
2
y
3 a x +
fxy =
− − +
2
3 b y 2
x +
2
y 2
2 ( a x + )
3
3 b x y 2 x
( x + )
2
2 ( 3 a x + )
2
2
y 2 y b y 3 y
( x + )
2
2
2
y
3 a x +
fyx =
− − +
2
3 b y 2
x +
2
y 2
2 ( a x + )
3
3 b x y 2 x
( x + )
2
2 ( 3 a x + )
2
2
y 2 y b y 3 y
( x + )
2
2
2
y
x 2
2 2
2 ( a x + )
3 y b x y 3
( + y )
x 2
2 2
8 ( a x + )
3 y b x y 3 y x
( + y )
x 2
2 3
8 ( a x + )
3 y b x y 3 y x
( + y )
b x y
fyy = 6 − + −
x +
2
y 2
4 ( a x + )
3
3 b x y 2 y
( x + )
2
8 ( a x + )
2
2
y 3 y b x y 3 y 2
( x + )
2
2 ( a x + )
3
2
y 3 y b x y 3
( x + )
2
2
2
y
Wieder bewahrheitet sich die Gleichung
fxy = fyx .
Die ersten und zweiten partiellen Ableitungen im Nullpunkt kann man jedoch nur durch
Limesbildung berechnen, weil dort die Funktion durch Fallunterscheidung definiert ist.
⎛ ∂ ⎞
Man erhält für fx ( 0, 0 ) = ⎜ f ⎟(
0, 0 ) bzw. ( ) =
⎝∂x
⎠
f ⎛ ∂ ⎞
y 0, 0 ⎜ f ⎟(
0, 0 ) :
⎝∂y
⎠
f ( t, 0 ) − f ( 0, 0)
= 0
t
lim
t → 0
lim
t → 0
f ( 0, t ) − f ( 0, 0)
= 0
t
⎛
Entsprechend ergibt sich für fxy ( 0, 0 ) = ⎜
∂ ⎞
⎜
⎟
⎟(
)
⎝ ∂ ∂ ⎠
2
f 0, 0 bzw. ( ) =
y x f ⎛
yx 0, 0 ⎜
∂ ⎞
⎜
⎟
⎟(
)
⎝ ∂ ∂ ⎠
2
f 0, 0 :
x y
x 2
2 3

fx ( 0, t ) − fx ( 0, 0)
fy ( t, 0 ) − fy ( 0, 0 )
lim
= b , lim
= a
t → 0 t
t → 0 t
Jetzt betrachten wir drei Spezialfälle.
Zuerst einen der Fälle a = b :
f ( x, y)
a = 1 , b = 1
=
x +
3 y x y 3
x 2
3 x +
fx ( x, y ) = −
2 y y 3
x +
2
y 2
+
y 2
2 ( x + )
3 y x y 3 x
( + y )
x 2
2 2

x +
fy ( x, y ) = −
3
3 x y 2
x +
2
y 2
2 ( x + )
3 y x y 3 y
( + y )
Offenbar zwei Ebenen! Das muß doch einfacher gehen...? Kürzen durch x +
2
f = x y
fx = y , = x
⎡ 0 1⎤
Hf ( 0, 0 ) = ⎢ ⎥
⎣ 1 0⎦
Und nun zwei Fälle, wo fxy ( 0, 0) = a von fyx ( 0, 0) = b verschieden ist.
Einmal gleiches Vorzeichen:
f ( x, y )
f y
a = 1 , b = 2
=
x 2
x +
3 y 2 x y 3
x 2
+
y 2
2 2
y 2 bringt Freude:

3 x +
fx ( x, y ) =
−
2 y 2 y 3
x +
2
y 2
x +
fy ( x, y ) = −
3
6 x y 2
x +
2
y 2
2 ( x + )
3 y 2 x y 3 x
( + y )
x 2
2 2
2 ( x + )
3 y 2 x y 3 y
( + y )
x 2
2 2

3 x +
fxy ( x, y ) = − − +
2
6 y 2
x +
2
y 2
2 ( x + )
3
6 x y 2 x
( x + )
2
2 ( 3 x + )
2
2
y 2 y 2 y 3 y
( x + )
2
2
2
y
Eine gefaltete Papierserviette, die im Nullpunkt offensichtlich unstetig ist.
Und jetzt noch ein Beispiel mit verschiedenem Vorzeichen:
f ( x, y)
a = 1 , b = -1
=
x −
3 y x y 3
x 2
+
y 2
8 ( x + )
3 y 2 x y 3 y x
( + y )
x 2
2 3

3 x −
fx ( x, y ) = −
2 y y 3
x +
2
y 2
x −
fy ( x, y ) = −
3
3 x y 2
x +
2
y 2
2 ( x − )
3 y x y 3 x
( + y )
x 2
2 2
2 ( x − )
3 y x y 3 y
( + y )
3 x −
fxy ( x, y ) = − − +
2
3 y 2
x +
2
y 2
2 ( x − )
3
3 x y 2 x
( x + )
2
2 ( 3 x − )
2
2
y 2 y y 3 y
( x + )
2
2
2
y
Ziemlich steil und wenig stetig!
x 2
2 2
8 ( x − )
3 y x y 3 y x
( + y )
x 2
2 3

5.5A Stetigkeits- und Differenzierbarkeitseigenschaften
In diesem Abschnitt betrachten wir einige spezielle Beispiele, um die Unterschiede zwischen
partieller, totaler und stetiger Differenzierbarkeit besser zu verstehen.
Beispiel 1:
Die zweidimensionale Betragsfunktion
b ( x, y ) = + y 2 = |(x,y)|
beschreibt einen Kreiskegel. Sie ist überall stetig und außerhalb des Nullpunktes auch beliebig oft
differenzierbar. Die erste Ableitung, also der Gradient, lautet:
x 2
⎛ x
f'(x,y) = ⎜
,
⎝ x +
2
y 2
Dies ist ein normierter Einheitsvektor in Richtung (x,y).
Im Nullpunkt existiert keine einzige Richtungsableitung, denn für die links- und rechtsseitigen
Grenzwerte
f ( tx, ty ) − f ( 0, 0)
f ( tx, ty ) − f ( 0, 0)
ergibt sich
hingegen
lim
t → 0-
t
lim
t → 0-
lim
t → 0+
bzw. lim
t → 0+
t +
2 x 2
t 2 y 2
t
t +
2 x 2
t 2 y 2
t
=
=
x 2
t
y
+
y 2
− x +
2
x 2
+
⎞
⎟
⎠
y 2
y 2

Wir haben schon erwähnt, daß jede total differenzierbare, aber nicht jede partiell differenzierbare
Funktion stetig ist. Daß nicht einmal aus der Existenz aller Richtungsableitungen zwangsläufig die
Stetigkeit folgt, zeigt
Beispiel 2:
Eine im Nullpunkt unstetige homogene Funktion ist
>
f ( x, y ) = x e
⎛ y ⎞
⎜ ⎟
⎝ x ⎠
, ergänzt durch f ( 0, y ) = 0 .
Ein steiler Knick im Nullpunkt! Die Unstetigkeit prüft man z.B. durch Einsetzen der im Nullpunkt
stetigen Parameterdarstellung
Es ist
g( y ) = ( y , )
2 y :
lim
y → 0
f ( ( ) )
g y = lim
y → 0
y 2 e
⎛ 1 ⎞
⎜ ⎟
⎝ y ⎠
= ∞ .
Wäre f stetig, so müßte hier ein endlicher Grenzwert herauskommen.
Aber außerhalb des Nullpunktes "geht alles glatt":
⎛ y ⎞
∂
f ( x, y ) = −
∂x
e
⎜ ⎟
⎝ x ⎠ y e
x
⎛ y ⎞
⎜ ⎟
⎝ x ⎠
∂
, f ( x, y ) = e
∂y
⎛ y ⎞
⎜ ⎟
⎝ x
⎠

Beispiel 3:
Die Funktion
f ( x, y ) = x 2 ⎛ ⎞
sin⎜ ⎟
⎝ ⎠
1
x
ist überall differenzierbar. Das folgt aus der Differenzierbarkeit der eindimensionalen Funktion
g( x ) = x 2 ⎛ ⎞
sin⎜ ⎟
⎝ ⎠
1
x

und der allgemeinen Bemerkung, daß für jede differenzierbare Funktion g in einer Variablen auch
die Funktion f mit f(x,y) = g(x) differenzierbar ist.
In unserem Spezialfall ist g tatsächlich in 0 differenzierbar (mit der Ableitung g'(0) = 0),
denn es gilt
g( x ) − g( 0)
⎛ ⎞
lim
= lim x sin⎜ ⎟
x → 0 x
x → 0 ⎝ ⎠
1
= 0
x
(wegen der Beschränktheit des Sinus). In allen anderen Punkten ist die Differenzierbarkeit klar.
Die Ableitung ist im Nullpunkt allerdings nicht mehr stetig:
d ⎛
⎜
dx
⎝
x 2
⎛ ⎞⎞
sin⎜ ⎟⎟
=
⎝ ⎠⎠
1 ⎛ ⎞
2 x sin⎜ ⎟ −
x ⎝ ⎠
1 ⎛ ⎞
cos⎜ ⎟
x ⎝ ⎠
1
x
d ⎛ ⎞
lim ⎜x
⎟ =
x → 0 dx
⎝ ⎠
2 ⎛ ⎞
sin⎜ ⎟
⎝ ⎠
1
-1 .. 1
x
Damit ist gemeint, daß die Ableitung bei Annäherung an 0 zwischen -1 und +1 oszilliert; das liegt
an dem Term
⎛ ⎞
−cos⎜
⎟
⎝ ⎠
1
x .
Wir haben hier also zwei überall (total) differenzierbare Funktionen f und g, die im Nullpunkt
nicht stetig differenzierbar sind.
Beispiel 4:
Man kann aus der Funktion g auch eine rotationssymmetrische Funktion machen, indem man
x 2
F ( x, y ) = g ( + )
setzt. Diese ist dann ebenfalls differenzierbar.
y 2
g( x ) = x ,
2 ⎛ ⎞
sin⎜ ⎟
⎝ ⎠
1
F ( x, y ) = ( x + )
x
2
y 2 ⎛
sin ⎜
⎝
x 2
1
+
y 2
⎞
⎟
⎠

...oder in Polarkoordinaten (Rotationssymmetrie!)
Beispiel 5:
Die Funktion
F ( r cos( t ) , r sin( t ) ) = g( r)
f ( x, y ) = x x y
ist ein flacher Sattel. Sie ist stetig differenzierbar, denn die partielle Ableitung nach x

ist stetig, und die partielle Ableitung nach y
fx ( x, y) = 2 x y
fy ( x, y ) = x x
ist sogar (total) differenzierbar.
Im Gegensatz dazu ist die partielle Ableitung nach x z.B. im Punkt (0,1) nicht noch einmal nach x
differenzierbar:
fx ( t, 1 ) − fx ( 0, 1 )
fx ( t, 1 ) − fx ( 0, 1)
lim
= -2 , lim
= 2
t → 0-
t
t → 0+
t
Daran sehen wir, daß f in diesem Punkt nicht zweimal differenzierbar sein kann. (Knick in der
Ableitung!)
Anders im Nullpunkt: Dort verschwinden alle Richtungsableitungen der partiellen Ableitung fx :
f x
( t x, t y ) − fx ( 0, 0 )
= 2 t x y
t
lim
t → 0
f x
( t x, t y ) − fx ( 0, 0)
= 0
t

Beispiel 6:
Die Funktion
f ( x, y ) = x 4 ⎛ ⎞
sin⎜ ⎟
⎝ ⎠
1
x
sieht ähnlich aus wie die in Beispiel 3, ist aber erheblich flacher (Skalierung beachten!) und im
Gegensatz zu jener zweimal partiell differenzierbar. Die partielle Ableitung nach x ist außerhalb
der y-Achse:
fx ( x, y ) = 4 x −
3 ⎛ ⎞
sin⎜ ⎟
⎝ ⎠
1
x
x 2
⎛ ⎞
cos⎜ ⎟
⎝ ⎠
1
x
Nochmalige partielle Ableitung nach x ergibt einen ziemlich stark gefalteten Stoffballen:
fxx ( x, y ) = 12 x − −
2 ⎛ ⎞
sin⎜ ⎟
⎝ ⎠
1 ⎛ ⎞
6 x cos⎜ ⎟
x ⎝ ⎠
1 ⎛ ⎞
sin⎜ ⎟
x ⎝ ⎠
1
x
Um auch auf der y-Achse die zweimalige partielle Differenzierbarkeit zu verifizieren, genügt es

wieder, die eindimensionale Version zu betrachten.
g( x ) = x 4 ⎛ ⎞
sin⎜ ⎟
⎝ ⎠
1
x
g'( x ) = 4 x −
3 ⎛ ⎞
sin⎜ ⎟
⎝ ⎠
1
x
x 2
⎛ ⎞
cos⎜ ⎟
⎝ ⎠
1
x
g''( x ) = 12 x − −
2 ⎛ ⎞
sin⎜ ⎟
⎝ ⎠
1 ⎛ ⎞
6 x cos⎜ ⎟
x ⎝ ⎠
1 ⎛ ⎞
sin⎜ ⎟
x ⎝ ⎠
1
x
Die Bilder veranschaulichen, daß erste und zweite Ableitung zumindest für alle x außer 0
existieren.
Im Nullpunkt muß man wieder einen Limes bilden:
d 2
d
x 2
⎛ d ⎞ ⎛ d ⎞
⎜ g( x)
⎟ − ⎜ g( 0)
⎟
⎝dx
⎠ ⎝dx
⎠
g( 0 ) = lim
x
x → 0

4 x −
lim
=
x → 0
3 ⎛ ⎞
sin⎜ ⎟
⎝ ⎠
1
x
x
2 ⎛ ⎞
cos⎜ ⎟
⎝ ⎠
1
x
0
x
Aber das Bild der zweiten Ableitung zeigt auch, daß diese im Nullpunkt wohl nicht stetig ist.
∂ 2
lim g = -1 .. 1
2
x → 0 ∂x
Wieder eine Oszillation zwischen -1 und 1! Der "böse Term" in
g''( x ) = 12 x − −
2 ⎛ ⎞
sin⎜ ⎟
⎝ ⎠
1 ⎛ ⎞
6 x cos⎜ ⎟
x ⎝ ⎠
1 ⎛ ⎞
sin⎜ ⎟
x ⎝ ⎠
1 ⎛ ⎞
ist - sin⎜ ⎟
x ⎝ ⎠
1
, die anderen Summanden gehen mit x
x
gegen 0. Insgesamt ist gezeigt, daß die Funktion f ( x, y ) = x 4 ⎛ ⎞
sin⎜ ⎟
⎝ ⎠
1
zweimal partiell
x
differenzierbar, aber die zweite partielle Ableitung nach x im Nullpunkt nicht mehr stetig ist. f ist
also nicht zweimal stetig differenzierbar. Trotzdem gilt hier natürlich die Vertauschungsregel
fxy = fyx = 0 , weil f gar nicht von y abhängt.
Analog zeigt man per Induktion, daß die Funktion
f ( x, y ) = ( x )
2 k ⎛ ⎞
sin⎜ ⎟
⎝ ⎠
1
x
k-mal partiell differenzierbar, aber nicht k-mal stetig differenzierbar ist.
Andererseits läßt sich Beispiel 5 leicht dahingehend abwandeln, daß man k-mal stetig
differenzierbare, aber nicht k+1-mal (partiell) differenzierbare Funktionen erhält, z.B.
g( x ) = x k x oder f ( x, y) = x k x y .
f ( x, y ) = x 3 x y
Durch getrenntes Ableiten für x > 0 und x < 0 findet man sofort die die k-te Ableitung von g :
D =
k g ( k + 1 ) ! x
und somit ist die k-fache partielle Ableitung der Funktion f nach x
( k + 1 ) ! x y
Diese Ableitung ist noch stetig, aber auf der y-Achse, d.h. für x = 0 (außer im Nullpunkt) nicht
mehr differenzierbar.
Höhere partielle Ableitungen von f , in denen mindestens zweimal nach y abgeleitet wurde, sind 0.

5.6 Taylorpolynome
Iterierte Richtungsableitungen
Die Ableitung lieferte uns eine lineare Approximation der gegebenen Funktion. Geometrisch ergab
das eine Tangente, eine Tangentialebene oder einen Tangentialraum in jedem Punkt. Durch
iterierte Ableitungen gewinnt man immer bessere Approximationen der gegebenen Funktion.
Indem wir, bei festem Richtungsvektor v, jedem Punkt x die Richtungsableitung
∂
Dv f( x)
= f( x )
∂v
zuordnen, erhalten wir eine neue Funktion Dv f (die einmal weniger differenzierbar ist als die
Ausgangsfunktion f ).
Oft kann man nun in der gleichen oder in einer neuen Richtung w nochmals die Richtungsableitung
bilden:
fvw = DwDv f usw.
Falls diese mehrfachen Ableitungen noch stetig sind, kann man sie mit Hilfe der totalen
Ableitungen f´ , f´´ usw. (die sich ihrerseits als Vektoren, Matrizen oder "Hypermatrizen") aus den
entsprechenden partiellen Ableitungen zusammensetzen) bequem darstellen:
Dv f( a ) = f´ ( a) v , Dw Dv f( a) = w T
f´´ ( a ) v etc.
Hierbei darf man die Reihenfolge der Differentiation vertauschen:
Dw Dv f( a) = Dv Dw f( a ) usw.
Die k-fach iterierte Anwendung des Differentialoperators Dv bezeichnet man mit Dv :
( 0 )
( 1 )
( 2 )
k
( k )
oder ( Dv) ( Dv) f = f , ( Dv ) f = Dv f , ( Dv) f = Dv Dv f usw.
Die k-fach iterierte Richtungsableitung nach einem Einheitsvektor ej ist die k-fache partielle
Ableitung nach x j , bezeichnet mit f xj
(k)
.
Entsprechend bekommt man die "gemischten" zweifachen bzw. dreifachen partiellen
Ableitungen
fxi x = Dxj( Dxi( f ) ) , = Dxk( Dxj( Dxi( f ) ) ) usw.
j
Beispiel 1: Gran Canyon
f xi x j x k
f ( x, y ) = sin( x y )
( 2 )
Dx f = cos( x y ) y , ( Dx ) f = − sin( x y) y ,
2
( 2 )
( 3 )
( Dx )
( 3 )
( Dy )
f = − cos( x y) y 3
Dy f = cos( x y ) x , ( Dy ) f = − sin( x y) x ,
2
f = − cos( x y) x 3
Wir vermuten und beweisen dann durch Induktion: Die iterierten partiellen Ableitungen von
sin( xy ) nach x bzw y sind
( 2 k)
( Dx )
( 2 k)
( Dy )
sin( xy ) = ( -1 )
k
sin( xy) y
sin( xy ) = ( -1 )
k
sin( xy) x
( 2 k)
,
( 2 k)
,
( Dx )
( Dy )
( 2 k + 1 )
( 2 k + 1 )
sin( xy ) = ( -1 )
k
cos( xy) y
sin( xy ) = ( -1 )
k
cos( xy) x
( ) + 2 k 1
( ) + 2 k 1

Wir zeichnen Bilder der Funktion sin( x y ) und ihrer ersten drei partiellen Ableitungen nach x:

Aufwendiger ist die Berechnung der iterierten Richtungsableitungen in anderen Richtungen als
denen der Koordinatenachsen.
Wir versuchen es mit dem (nicht normierten!) Richtungsvektor v = (1,1):
fv( x ) = f´ ( x) v
Die ersten drei Richtungsableitungen von sin( x y ) in Richtung (1,1):
3
Dv 2
Dv Dv f ( x, y ) = cos( x y ) ( x + y )
f ( x, y ) = 2 cos( x y ) − sin( x y ) ( x + y) 2
f ( x, y ) = − cos( x y ) ( x + y ) −
3
6 sin( x y ) ( x + y
)

Das k-te Taylorpolynom
zu f im Punkt a ist definiert durch
Tk f ( x, a ) = ∑
m = 0
k
m
( Dv ) ( f) ( a)
m!
Konkret lauten die ersten drei Taylorpolynome:
k = 0: Funktionswert
T0 f ( x, a ) = f( a )
, wobei v der Differenzvektor x − a ist .
k = 1: Tangente (eindimensional), Tangentialebene (zweidimensional), Tangentialraum
(höherdimensional)
T1 f ( x, a ) = f( a ) + f´ ( a ) v = f( a ) + f´ ( a ) ( x − a )
k = 2: Schmiegeparabel (eindimensional), Schmiegequadrik (zwei- und mehrdimensional)
v
T2 f ( x, a ) = f( a ) + f´ ( a ) v +
T
f´´ ( a) v
( x − a )
= f( a ) + f´ ( a ) ( x − a)
+
2
T
f´´ ( a ) ( x − a)
2
Dabei ist f´´(a) für eine Funktion von einer Teilmenge des R n nach R die Hessematrix der zweiten
partiellen Ableitungen
∂ 2
f xi, x ( a ) = f( a ) , i,j = 1, ..., n,
j ∂xj ∂xi
also
v T
n ⎛ n
⎞
f´´ ( a) v =
⎜
⎟
∑ ⎜∑
f xi, x ( a ) vi vj ⎟
.
j
i = 1 ⎝ j = 1
⎠
Man schreibt hierfür kurz (aber etwas unpräzise)
f´´(a) v 2
und entsprechend
f´´´(a) v 3
für den ziemlich mühseligen Ausdruck
n ⎛ n ⎛ n
⎞⎞
⎜ ⎜
⎟⎟
∑ ⎜∑
⎜∑
f xi, x , x ( a ) vi vj vk j k ⎟⎟
i = 1 ⎝ j = 1 ⎝ k = 1
⎠⎠
der bereits für n = 2 aus 8 und für n = 3 aus 27 Summanden besteht. Von diesen kann man aber,
falls die dritten Ableitungen noch stetig sind, diejenigen zusammenfassen, die durch Vertauschung
der "Indizes" auseinander hervorgehen. Schließlich ersetzt man noch v1 durch x1 − a1 sowie v2 durch x2 − a2 . Indem man wieder die "indexfreien" Variablen x und y statt x1 und x2 sowie a und b
statt a1 und a2 benutzt, gelangt man zu der einprägsameren Formel
f´´´(a,b) ( x − a , y − b )
3 =
fx x x ( a, b ) ( x − a) 3 + 3 fx x y ( a, b ) ( x − a )
2 ( y − b ) + 3 fx y y ( a, b ) ( x − a ) ( y − b) 2 +
fy y y ( a, b ) ( y − b) 3
Entsprechend verfährt man bei höheren Ableitungen und bekommt das k-te Taylorpolynom:

k
∑
m = 0
f (m) ( a, b ) ( x − a , y − b) m
m!
Dabei lassen sich die einzelnen Summanden nach folgendem Schema berechnen:
Man bestimmt die Binomialkoeffizienten
m!
B ( m, j)
=
(gesprochen: m über j)
j ! ( m − j)
!
mit Hilfe des Pascaldreiecks
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
.
in dem der jeweilige Koeffizient die Summe der beiden darüberliegenden ist, also
B ( m, 0 ) = B ( m, m ) = 1, B ( m, j ) = B ( m − 1 , j − 1 ) + B ( m − 1, j ) für j > 0.
Dann fügt man in der rechten Seite der Binomialformel
m
( ) − m j
( x − a + y − b ) =
m ∑ B ( m, j ) ( x − a )
j = 0
j ( y − b )
beim j-ten Summanden jeweils die j-mal nach x und ( m − j)-mal nach y gebildete partielle
Ableitung der Funktion f an der Stelle ( a, b) ein. Das Ergebnis ist
f (m) (a,b) ( x − a , − )
m
y b m = ∑
j = 0
B ( m, j ) ( Dx )
( j )
( Dy )
( m − j )
Diese komplizierte Formel braucht man sich aber nicht zu merken!
f ( a, b ) ( x − a )
j ( y − b )
Das k-te Taylorpolynom hat höchstens den Grad k. Dabei ist der Grad eines Polynoms in
mehreren Variablen definiert als die größte in einem Summanden vorkommende
Exponentensumme. Zum Beispiel hat das Polynom
( ) − m j
f ( x, y ) = 3 − 2 x y + x +
3
x 2 y 2
den Grad 4 = 2+2.
Durch iteriertes Ableiten sieht man, daß ein Polynom k-ten Grades mit seinem k-ten
Taylorpolynom (und allen nachfolgenden Taylorpolynomen) in jedem Punkt übereinstimmt.
Beispiel 2:
Das obige Polynom f ( x, y ) = 3 − 2 x y + x +
3
x 2 y 2 hat die partiellen Ableitungen
f ( x, y ) = 3 − 2 x y + x +
3
x 2 y 2
.

fx = 3 x − +
2
2 y 2 x y 2
fy = − 2 x + 2 x 2 y
fxx = 6 x + 2 y , ,
2
= − 2 + 4 x y = 2 x 2
f xy
f yy
fxxx = 6 , fxxy = 4 y , fxyy = 4 x , = 0
f xxyy
Alle anderen partiellen Ableitungen sind 0. Damit sieht das 4. Taylorpolynom (und jedes weitere)
an der Stelle (0,0) folgendermaßen aus:
= 4
f yyy

f´´ ( 0, 0 ) ( x, y )
f ( 0, 0 ) + f´ ( 0, 0 ) ( x, y)
+ + +
2
f´´´ ( 0, 0 ) ( x, y )
2!
3
f´´´´ ( 0, 0 ) ( x, y )
3!
4
4!
= 3 + 0 +
( −2 ) 2 x y
+ 6 x3
4 !
+ 4 x2 y 2
2!
3 !
4 ! 2 ! 2 !
und dies ist tatsächlich das Ausgangspolynom.
Aber man kann auch an einer beliebigen anderen Stelle ein Taylorpolynom bestimmen, z.B. an der
Stelle (1,1):
f´´ ( 1, 1 ) ( x − 1 , y − 1 )
f ( 1, 1 ) + f´ ( 1, 1 ) ( x − 1 , y − 1)
+
2
+ ...
2!
8 ( x − 1 ) + +
= 3 + 3 ( x − 1 ) +
2
2 ( 2 ) ( x − 1 ) ( y − 1) 2 ( y − 1) 2
+
2!
...
und nach einer längeren Rechnung kommt auch hier wieder das ursprüngliche Polynom heraus.
3 x 2 ( x − 1 ) ( y − 1 ) 4 ( x − 1 )
2
( y − 1) 2
( x − 1 )
3
+ + + + +
2 ( x − 1) 2 ( y − 1 ) ( x − 1 )
2 ( y − 1) 2
+ +
3 − 2 x y + x +
3
x 2 y 2
2 ( x − 1 ) ( y − 1) 2
Viel wichtiger für die Praxis ist die
Taylorapproximation
Für einen konvexen und offenen Definitionsbereich A, jede ( k + 1)-mal auf A stetig
differenzierbare Funktion f und jeden Punkt a aus A gilt:
f( x ) = Tk f ( x, a)
+
D x − a
( k + 1 )
( k + 1)
!
f( u )
mit einem u zwischen a und x.
Wir nehmen diesen Satz hier ohne Beweis hin und beschränken uns auf eine Begründung für den
Fall k = 0 (mit einer etwas allgemeineren Voraussetzung). Dies ist der besonders wichtige
Mittelwertsatz
Ist eine Funktion f auf der ganzen Strecke zwischen zwei Punkten a und x differenzierbar in
Richtung x − a, so gibt es einen Punkt u = a + t ( x − a ) auf dieser Strecke mit
f( x ) − f( a) = D x − a f( u ) .
f u durch
Ist f sogar in einer Umgebung der Strecke (total) differenzierbar, so kann man D x − a ( )
f´ ( u ) ( x − a ) ersetzen (wobei im mehrdimensionalen Fall wieder das Skalarprodukt gemeint ist).
Der mehrdimensionale Fall läßt sich auf den eindimensionalen zurückführen. Für diesen gilt sogar
der
Verallgemeinerte Mittelwertsatz
Zu zwei auf der Strecke zwischen a und x stetigen und im Inneren der Strecke differenzierbaren
Funktionen f und g gibt es ein u zwischen a und x mit
g´ ( u ) ( f( x ) − f( a ) ) = f´ ( u ) ( g( x ) − g( a ) ) .

Zum Beweis betrachtet man die folgende etwas kompliziert aussehende Funktion h in der
Variablen t :
h( t ) = g ( a + t ( x − a ) ) ( f( x ) − f( a ) ) − f ( a + t ( x − a ) ) ( g( x ) − g( a ) ) .
Es ist h( 0 ) = h( 1 ) = g( a ) f( x ) − f( a ) g( x ) . Als stetige Funktion hat h auf dem kompakten Intervall
[ 0, 1 ] ein Extremum, und wegen h( 0 ) = h( 1 ) liegt ein solches im Inneren des Intervalls, etwa bei t
, wobei 0 < t < 1. Dort muß die Ableitung dann 0 sein (sonst hätte man eine von Null verschiedene
Steigung und daher kein Extremum).
Also ist für u = a + t ( x − a ) nach der Kettenregel
0 = h´ ( t ) = g´ ( u ) ( f( x ) − f( a ) ) ( x − a ) − f´ ( u ) ( g( x ) − g( a ) ) ( x − a ) ,
woraus für von a verschiedenes x die Behauptung folgt.
Die spezielle Wahl g( x) = x liefert sofort den Mittelwertsatz in obiger Form. Andererseits kann
man nach Division durch g( x ) − g( a ) und g´ ( u ) (sofern diese Ausdrücke nicht 0 sind) und
anschließenden Grenzübergang aus dem verallgemeinerten Mittelwertzsatz die Regel von
L'Hospital gewinnen.
Beispiel 3:
f( x ) = sin( x )
1
0, x, x , x − , , , ,
6 x3
1
x −
6 x3
1
x − +
6 x3
1
120 x5
1
x − +
6 x3
1
120 x5
1
x − + −
6 x3
1
120 x5
1
5040 x7
Die "Schmiegeparabel" stimmt hier mit der Tangente überein! Wir zeichnen die Funktion und ihre
Taylorpolynome im Nullpunkt:
Beispiel 4: Die rote Fläche beschreibt f ( x, y ) = sin( x ) sin( y ) :
Tangentialebene = 0
Schmiegequadrik = x y
1
Tf( 4 ) ( x, y ) = x y − −
6 x y3 1
6 x3 y

1
Tf( 6 ) ( x, y ) = x y − − + + +
6 x y3 1
6 x3 1 1
y x y5
120 120 x5 y
1
36 x3 y 3
1
Tf( 8 ) ( x, y) x y
6 x y3 1
6 x3 1 1
y x y5
120 120 x5 1
y
36 x3 y 3 1 1
x y7
5040 5040 x7 = − − + + + − − y
1
− −
720 x3 y 5
1
720 x5 y 3
Zur Vermeidung unnötigen Rechenaufwandes sei schließlich erwähnt, daß man bei
mehrdimensionalen Funktionen, die Summen oder Produkte eindimensionaler Funktionen sind,
nur deren einzelne Taylorpolynome bestimmen und addieren bzw. multiplizieren muß.
Zum Beispiel multipliziert man für f ( x, y ) = sin( x ) sin( y ) einfach die eindimensionalen
Taylorpolynome
k
( ) + 2 m 1
( −1 )
sin( x ) = ∑
m = 0
m x ( −1 )
und sin( y) = ∑ ( 2 m + 1)
!
m = 0
m y
( 2 m + 1 ) !
miteinander und schneidet nach der entsprechenden Gesamtpotenz ab:
⎛
⎜
x
⎜ x − +
⎝
3
3!
x 5
5!
⎞ ⎛
⎟
⎜
y ⎞
⎜ y − + ⎟
⎠ ⎝ ⎠
3
y
3!
5
5 !
=
k
( ) + 2 m 1
1 1
x y − x y3 + − + − + − +
6 120 x y5 1
6 x3 1
y
36 x3 y 3 1
720 x3 y 5 1
120 x5 1
y
720 x5 y 3
Weglassen der Summanden von höherem Grad als 6 ergibt das sechste Taylorpolynom von
sin( x ) sin( y ) .
Aber Vorsicht: Bei sin( x y ) (siehe Beispiel 1) funktioniert das nicht!
1
14400 x5 y 5

5.6.A Schmiegequadriken
Die Schmiegequadrik an eine Funktion f(x,y) in einem festen Punkt ist gegeben durch das zweite
Taylorpolynom.
Falls sie nicht 0 ist, so hat der quadratische Term (2. Ableitung) nach geeigneter Drehung des x-y-
Koordinatensystems eine der folgenden Formen:
Parabolischer Zylinder :
z = a x +
2
b y 2 (ab = 0) parabolischer Punkt
Elliptisches Paraboloid :
z = a x +
2
b y 2 (ab > 0) elliptischer Punkt
Hyperbolisches Paraboloid :
z = a x +
2
b y 2 (ab < 0) hyperbolischer Punkt
Ist die zweite Ableitung gleich 0, so spricht man von einem Flachpunkt.
Wir stellen die drei Typen von Schmiegequadriken im Bild dar:
Parabolischer Zylinder , z = 2 x 2
Elliptisches Paraboloid , z = 2 x +
2
y 2
Hyperbolisches Paraboloid , z = 2 x −
2
y 2

Alle drei Typen von Schmiegequadriken
Beispiel 1:
Ein Rotationsparaboloid (Eierbecher) ist in jedem Punkt seine eigene Schmiegequadrik. Also
sind alle Punkte elliptisch.
f ( x, y ) = +
x 2
y 2
2
T 0, 0
, (a,b) = ( 0, 0 ) , f ( x, y ) = +
x 2
y 2

Beispiel 2:
Den Recaro-Sitz beschreiben wir (näherungsweise) durch eine Funktion der Form
Recaro-Sitz und Schmiegequadriken:
f ( x, y ) = −
x 2
f ( x, y ) = −
y 3
x 2
y 3
f ( x, y ) = −
x 2
y 3
2
T 0, 0
, (a,b) = ( 0, 0 ) , f ( x, y ) = x 2
parabolisch
2
T 0, -1
, (a,b) = ( 0, -1 ) , f ( x, y ) = − 2 − 3 y + x +
2
elliptisch
3 ( y + 1 )
2

f ( x, y ) = −
x 2
y 3
2
T 1, 1
, (a,b) = ( 1, 1 ) , f ( x, y ) = 2 x + 1 − 3 y + ( x − 1 ) −
2
hyperbolisch
3 ( y − 1) 2
Die Niveaulinie in Höhe 0 , d.h. der Schnitt mit der x-y-Ebene, ist die Neillsche Parabel:

Beispiel 3:
Den Colani-Sitz beschreiben wir durch
Colani-Sitz und Schmiegequadriken:
f ( x, y ) = −
f ( x, y ) = −
x 3
y 3
x 3
y 3
f ( x, y ) = −
x 3
y 3
2
T 0, 0
, (a,b) = ( 0, 0 ) , f ( x, y ) = 0
Flachpunkt
2
T -1, 0
, (a,b) = ( -1, 0 ) , f ( x, y ) = 2 + 3 x − 3 ( x + 1 )
2

f ( x, y ) = −
x 3
y 3
f ( x, y ) = −
x 3
2
T 1, -1
parabolisch
, (a,b) = ( 1, -1 ) , f ( x, y) = − 4 + 3 x − 3 y + 3 ( x − 1 ) +
2
y 3
2
T 1, 1
elliptisch
, (a,b) = ( 1, 1 ) , f ( x, y ) = 3 x − 3 y + 3 ( x − 1 ) −
2
hyperbolisch
3 ( y + 1) 2
3 ( y − 1) 2

5.7. Extrema und Sattelpunkte
Maxima und Minima
Die Funktion f : A --> R hat im Punkt a ein globales Maximum, falls f( x ) ≤ f( a ) ,
bzw. ein globales Minimum, falls f( a ) ≤ f( x )
für alle x in A gilt.
Ist die jeweilige Ungleichung zumindest in einer ganzen Umgebung von a richtig, so spricht man
von einem lokalen Maximum bzw. Minimum. Maxima und Minima nennt man auch Extrema.
Falls jeweils die strengen Ungleichungen mit f ( ) < f ( ) statt f ( ) ≤ f ( ) gelten, spricht man von
einem strengen (globalen oder lokalen) Maximum bzw. Minimum.
Beispiel 1:
Das folgende Funktionsgebirge hat zwei Berge und zwei Täler:
Beispiel 2:
Flying Mantas ...
f := ( x, y ) → 2 ( − y )
2 e
x 2
fm ( x, y, a ) = + −
x 3
y 3
a = 10, 20, 30
( − − ) x2 y 2
a ( x y + 5 a)
Hier ist nicht ohne weiteres erkennbar, wo lokale Extrema liegen und ob es solche überhaupt gibt.

Stellensuche
Wie findet man die Stellen, wo lokale Extrema liegen?
Wie im Eindimensionalen muß die totale Ableitung f ´(a), erst recht jede Richtungsableitung und
insbesondere jede der partiellen Ableitungen an solchen Stellen verschwinden, sofern die Extrema
nicht auf dem Rand liegen.
Eine notwendige Bedingung ist also für einen Extremalpunkt a = ( a1, a2 ) :
fx ( a1, a2 ) = 0 und fy ( a1, a2 ) = 0 .
Punkte, in denen diese beiden Gleichungen erfüllt sind, nennt man stationäre Punkte.
Betrachten wir dazu nochmals Beispiel 1:
Partielle Ableitungen:
Zur Lösung der Gleichungen fx =
verschiedenen Faktor
( − − ) x2 y 2
f ( x, y ) = ( − y )
2 e
x 2
( − − ) x2 y 2
( − − ) x2 y 2
fx ( x, y ) = 2 x e − 2 ( − y )
2 x e
( − − ) x2 y 2
fy ( x, y ) = − 2 y e − 2 ( − y )
2 y e
0 und fy =
2 e
und betrachtet die entstehenden Gleichungen
x 2
x 2
( − − ) x2 y 2
( − − ) x2 y 2
0 dividiert man zunächst durch den von 0
x ( 1 − x + ) =
2
y 2
0 und y ( 1 + x − ) =
2
y 2
0 .
Für x = 0 erhält man die Lösungen y = 0 , y = 1 , y = −1, entsprechend für y = 0 die Möglichkeiten
x = 0 , x = 1 , x = −1.
Nimmt man hingegen x ≠ 0 und y ≠ 0 an, so bleiben nach Division von x bzw. y die Gleichungen
1 − x + =
2
y 2
0 und 1 − x + =
2
y 2
0 , die offenbar keine gemeinsame Lösung haben.
Somit hat f die 5 stationären Punkte
(0,0), (0,1), (0,-1), (1,0), (-1,0)
und die zugehörigen Funktionswerte
f ( 0, 0) = 0 , f ( 0, 1 ) = − , , ,
1
f ( 0, −1 ) = −
e
1 1
1
f ( 1, 0)
= f ( −1, 0)
=
e e
e .
Entsprechend erhalten wir bei den Flying Mantas (Beispiel 2)
die partiellen Ableitungen
fm ( x, y, a ) = + −
x 3
y 3
a ( x y + 5 a)
fmx ( x, y, a ) = 3 x −
2
a y
fmy ( x, y, a ) = 3 y −
2
a x
und die stationären Punkte
⎛ a a ⎞
( x, y, a ) = ( 0, 0, a ) und ( x, y, a ) = ⎜ , , ⎟
⎝ 3 3 ⎠
a
mit den Funktionswerten
fm ( 0, 0, a) = −5 a 2 ⎛ a a ⎞
und fm ⎜ , , a⎟ = − − 5 a
⎝ 3 3 ⎠ 27
2 .
a 3

Sattel- und Flachpunkte
In stationären Punkten müssen aber keineswegs (lokale) Extrema vorliegen, es können auch
entweder sogenannte Sattelpunkte oder sogenannte Flachpunkte sein. Woran erkennt man das?
An der zweiten Ableitung, also der Hessematrix
⎡f
Hf = ⎢ xx fxy⎤ ⎢
⎥ .
⎣fyx
fyy⎦ Eine gute Mischung aus etwas Analysis und linearer Algebra führt auf das folgende
Extremalkriterium:
Man betrachtet den linken oberen Koeffizienten
k := fxx und die Determinante
d := fxx fyy − fxy fyx der Hessematrix, beide in den stationären Punkten (a1 , a2 ) .
Es ergibt sich im Falle
0 < k und 0 < d ein lokales Minimum
k < 0 und 0 < d ein lokales Maximum
d < 0 ein Sattelpunkt
d = 0 ein Flachpunkt .
Bei Flachpunkten ist die Sache komplizierter, dort können immer noch sowohl Extrema als auch
Sattelpunkte (höherer Ordnung) vorliegen. Man muß dann mit höheren Ableitungen arbeiten.
Die globalen Extrema sucht man durch explizite Berechnung der Funktionswerte heraus.
Nicht vergessen:
Randpunkte muß man gesondert behandeln!
Extrema auf dem Rand werden durch das obige Verfahren nicht erfaßt!
Zurück zu unseren beiden Beispielen.
Zuerst Berg und Tal:
f ( x, y) = 2 ( − y )
2 e
x 2
( − − ) x2 y 2
m0 = ( 0, 0 ) , f ( 0, 0 ) = 0 , k = 4 , d = -16
( )
m1 = ( 0, 1 ) , f ( 0, 1) = −2 e , ,
-1
( )
k = 8 e -1
( )
d = 64 e -2
( )
m2 = ( 0, -1 ) , f ( 0, -1) = −2 e , ,
-1
( )
k = 8 e -1
( )
d = 64 e -2
( )
m3 = ( 1, 0 ) , f ( 1, 0) = 2 e , ,
-1
( )
k = −8 e -1
( )
d = 64 e -2
( )
m4 = ( -1, 0 ) , f ( -1, 0) = 2 e , ,
-1
( )
k = −8 e -1
( )
d = 64 e -2
Unser Kriterium sagt: Sattelpunkt bei m 0 ,
Minima bei m 1 und m 2 ,
Maxima bei m 3 und m 4 .

Die Schmiegequadriken in den Extremalpunkten sind elliptische Paraboloide und werden wie stets
durch die zweiten Taylorpolynome beschrieben:
Und nun die Mantas:
Sattelpunkt bei (0,0) !
( ) -1
( ) -1
x 2
s1 := − 2 e + 4 e +
( ) -1
( ) -1
x 2
s2 := − 2 e + 4 e +
( ) -1
( ) -1
s3 := 2 e − 4 e ( x − 1 ) −
2
( ) -1
( ) -1
s4 := 2 e − 4 e ( x + 1 ) −
2
fm ( x, y, a ) = + −
x 3
y 3
k := 6 x
d := 36 x y − a 2
4 ( y − 1) 2 ( )
e -1
4 ( y + 1) 2 ( )
e -1
4 y 2 ( )
e -1
4 y 2 ( )
e -1
a ( x y + 5 a)
( x, y ) = ( 0, 0 ) , k = 0 , d = −a ,
2
fm ( 0, 0 ) = −5 a 2

⎛ a a ⎞
( x, y ) = ⎜ , ⎟,
k = 2 a , d = 3 a ,
⎝ 3 3 ⎠
2 ⎛ ⎞
fm ⎜ , ⎟ =
⎝ ⎠
a a 1
− −
3 3 27 a3 5 a 2
Lokales Minimum bei ( ,
a a
), sofern a > 0 , lokales Maximum, falls a < 0 .
3 3
Dies sind jedoch keine globalen Extrema, wenn man den Definitionsbereich der Mantas groß
genug macht!
lim
x → ∞
x 3
+ − a ( x y + 5 a) = ∞ , lim + − a ( x y + 5 a ) = −∞
y 3
Die alte Flunder geht auf Grund....
x
x → ( −∞)
3
a = 15
a = 0
a = -15
y 3

5.7.A Randextrema
Wir haben schon bemerkt, daß die üblichen Tests mit Hilfe (höherer) Ableitungen nur Kriterien für
(lokale) Extrema im Inneren des Definitionsgebietes liefern.
Wir verfährt man, um Extrema zu bestimmen, die auf dem Rand liegen? Diese Aufgabe gliedert
sich in zwei Teile:
1. Auf dem Rand liegende Punkte bestimmen, die dort maximal oder minimal sind
(Extrema unter der Nebenbedingung, auf dem Rand zu liegen).
2. Durch Vergleich mit den Punkten im Inneren prüfen, ob es sich um lokale oder globale
Extrema der gesamten Funktion handelt.
Beispiel:
Betrachten wir die auf den ersten Blick recht simpel erscheinende Funktion
f ( x, y ) = sin( x ) − sin( y )
auf dem quadratischen Definitionsbereich Q = [-2, 2] [-2, 2] aller Punkte (x,y) , deren
Koordinaten beide zwischen -2 und 2 liegen.
Das Bild läßt uns mehrere lokale Maxima und Minima (darunter je ein globales) sowie einige
Sattelpunkte erkennen. Wir wollen die entsprechenden Punkte rechnerisch bestimmen.
1. Die stationären Punkte im Inneren sind die Lösungen des Gleichungssystems
∂
∂
f ( x, y ) = cos( x ) = 0 , f ( x, y ) = − cos( y ) = 0 .
∂x
∂y
Dieses Gleichungssystem hat in jedem Quadranten innerhalb von Q genau eine Lösung:
π π
(1.1) x = , y =
2 2

(1.2) x = − ,
π π
y =
2 2
(1.3) x = − ,
π
y = −
2
π
2
π
(1.4) x = , y = −
2
π
2
Um zu sehen, ob es sich um lokale Extrema oder Sattelpunkte handelt, prüfen wir die zweiten
Ableitungen:
⎡−
sin( x ) 0 ⎤
Hf ( x, y ) = ⎢
⎥ , k(x,y) = -sin(x), d ( x, y) = − sin( x ) sin( y ) ,
⎣ 0 sin( y ) ⎦
⎛ ⎞
d ⎜ , ⎟ =
⎝ ⎠
π π
-1 < 0 ,
2 2
⎛ ⎞
d ⎜ − , ⎟ =
⎝ ⎠
π π
⎛ ⎞
1 > 0 , k ⎜−
, ⎟ =
2 2
⎝ ⎠
π π
1 > 0 ,
2 2
⎛ ⎞
d ⎜ − , ⎟ =
⎝ ⎠
π π
− -1 < 0 ,
2 2
⎛ ⎞
d ⎜ , ⎟ =
⎝ ⎠
π π
⎛ ⎞
− 1 > 0 , k ⎜ , ⎟ =
2 2
⎝ ⎠
π π
− -1 < 0 .
2 2
Ergebnis:
Sattelpunkte : ( π π
π π
, , 0) und (− , − , 0) ,
2 2 2 2
lokales Minimum -2 in (− π π
, ) ,
2 2
lokales Maximum 2 in ( π π
, − ) .
2 2
Da die Sinusfunktion nur Werte zwischen -1 und 1 annimmt, handelt es sich sogar um ein globales
Minimum bzw. Maximum!
Nun die Punkte auf den Rändern...
Rechter Rand : x = 2 , y = -2 ... 2 ,
f ( 2, y ) = sin( 2 ) − sin( y ) ,

∂
π
f ( 2, y ) = − cos( y ) = 0 y = −
∂y
2
oder = y
Kurze Rechnung (2. Ableitung prüfen!) ergibt:
Lokale Maxima: (2, − π
, sin( 2) + 1) und (2, 2, 0) (rechter oberer Eckpunkt)
2
Lokale Minima: (2, π
, sin( 2) − 1) und (2, -2, 2 sin( 2 ) ) (rechter unterer Eckpunkt)
2
Dies gilt aber nur bei Beschränkung auf die rechte Randkurve! Die beiden lokalen Maxima der
Randkurve sind in Wirklichkeit keine lokalen Maxima der Gesamtfunktion f (d.h. der durch sie
beschriebenen Fläche). Das sieht man, wenn man die partielle Ableitung nach x bildet:
⎛ ∂ ⎞
⎜ f ⎟(
2, y ) = cos( 2 ) < 0 .
⎝ ∂x
⎠
Die Funktion ist also bei Annäherung an den rechten Rand stets monoton fallend. Insbesondere
kann kein Punkt auf dem rechten Rand ein lokales Maximum sein!
Aus dem gleichen Grund hat die Funktion in den anderen beiden Punkten tatsächlich lokale
Minima:
sin( 2) − 1 in (2, π
) und 2 sin( 2 ) in (2,-2).
2
Beides sind offensichtlich keine globalen Minima.
Entsprechend behandelt man den linken Rand und erhält die lokalen, aber nicht globalen
Maxima
1 − ( )
sin 2 in (-2, − π
2
) und −2 sin( 2 ) in (-2,2).
Hinzu kommt (nach einer analogen Betrachtung) auf dem oberen (bzw. hinteren) Rand das
lokale
Maximum
1 − sin( 2 ) in ( ,
π
2 2)
und auf dem unteren (bzw. vorderen) Rand das lokale Minimum
sin( 2) − 1 in ( − ,
π
−2) .
2
π
2

Beachten Sie, daß hier die Werte 1 − sin( 2 ) und sin( 2) − 1 sowohl lokale Maxima als auch
lokale Minima sind!

5.7.B Extrema unter Nebenbedingungen
Häufig sind Extrema einer mehrdimensionalen stetig differenzierbaren Funktion in gewissen
eingeschränkten Bereichen gesucht, die durch Nebenbedingungen in Form von Gleichungen (oder
auch Ungleichungen) gegeben sind. Man hat also die Extrema einer Funktion
f ( x, y )
unter einer oder mehreren Nebenbedingungen der Form
g ( x, y ) = 0
zu bestimmen. Entsprechendes gilt für Funktionen in drei und mehr Variablen.
Eine typische Aufgabe dieser Art ist es, höchste und tiefste Punkte eines Weges über ein
(Funktions-)Gebirge zu berechnen.
Beispiel 1:
Betrachten wir wieder das Funktionsgebirge aus Beispiel 5.7.1:
Wir beschreiben einen kreisförmigen Rundwanderweg vom Radius r entweder durch die
Gleichung
+ =
oder durch die Parameterdarstellung
x = r cos( t ) , y = r sin( t ) , t = 0 .. 2 π .
x 2
y 2
r 2
k( t ) = ( r cos( t ) , r sin( t ) , f ( r cos( t ) , r sin( t
) ) )

Offenbar führt dieser Weg über beide Gipfel und durch beide Talsohlen. Die Extrema auf der
Wegkurve sind hier also dieselben wie die auf dem ganzen Gebirge.
Anders sieht es aus, wenn wir einen kleineren Rundweg machen:
Nun beginnt wieder die Stellensuche: Wie findet man die Extremalpunkte auf dem Weg?

Methode 1: Auflösen der Nebenbedingung(en)
1.1. Auffinden einer Parameterdarstellung der Kurve, die durch die Nebenbedingung beschrieben
wird
(z.B. durch Auflösen nach einer Variablen),
1.2. Einsetzen in die zweidimensionale Funktion,
1.3. Bestimmung der Extrema der entstehenden eindimensionalen Funktion.
In unserem Beispiel:
Ableitung nach t :
Lösen der Gleichung
∂
f ( r cos( t ) , r ( ) )
∂t
sin t = −4 r2 e
liefert die 4 Werte
t = 0 , π 3 π
, π ,
2 2
bzw. in kartesischen Koordinaten:
x = r , 0 , -r , 0
y = 0 , r , 0 , -r
und die zugehörigen Funktionswerte
f ( x, y ) = r 2 e
( ) −r2
f ( x, y ) = ( − y )
2 e
x 2
( − − ) x2 y 2
f ( r cos( t ) , r sin( t ) ) = r 2 ( 2 cos( t ) − )
2
1 e
oder f ( x, y) = −r 2 e
df := −4 r 2 ( )
e −r2
( ) −r2
( ) −r2
cos( t ) sin( t)
cos( t ) sin( t ) = 0
.
( ) −r2
Falls eine Auflösung der Nebenbedingung kompliziert oder sogar mit elementaren Mitteln
unmöglich ist, bietet sich an:
Methode 2 : Lagrange-Parameter (oder Lagrange-Multiplikatoren)
Es sei f die unter den (durch stetig differenzierbare Funktionen gj gegebenen)
Nebenbedingungen
g1 = 0 , ... , gk = 0
zu maximierende bzw. minimierende Funktion in n Variablen x1 , ... , xn .
2.1. Bilde die Lagrange-Funktion L = f + λ 1 g 1 + ... + λ k g k mit den Lagrange-Parametern λ 1 ,
... , λ k .
2.2. Berechne alle partiellen Ableitungen von L nach den Variablen xi und λj und setze sie gleich
0.
2.3. Löse das entstehende (im allgemeinen nicht lineare!) System von n + k Gleichungen in n + k
Unbekannten.
Unter den Lösungen befinden sich die Stellen, an denen Extrema unter den gegebenen
Nenbenbedingungen liegen.

In unserem Beispiel machen wir den Ansatz
L ( x, y ) = ( − y )
2 e + λ ( + − r )
2 .
Nullstellensuche für die drei partiellen Ableitungen nach x, y und λ ergibt das Gleichungssystem
x 2
( − − ) x2 y 2
2 x e
( − − ) x2 y 2
( − − ) x2 y 2
x 2
y 2
− 2 ( − y ) + =
2 x e 2 λ x 0
x 2
( − − ) x2 y 2
− 2 y e − 2 ( − y ) + =
2 y e 2 λ y 0
x 2
( − − ) x2 y 2
+ − = 0
Der Fall x = 0 führt auf die Lösungen y = r und y = −r. Umgekehrt führt y = 0 auf die
Lösungen x = r und x = −r .
Nach Division der ersten Gleichung durch x und der zweiten durch y bleibt das Gleichungssystem
e
( − − ) x2 y 2
( − − ) x2 y 2
x 2
y 2
( − − ) x2 y 2
x 2
r 2
( − − ) x2 y 2
− e + e y + =
2 λ 0
( − − ) x2 y 2
x 2
( − − ) x2 y 2
− e − e + e y + =
2 λ 0
+ − = 0
Subtraktion der zweiten von der ersten Gleichung ergibt
( − − ) x2 y 2
x 2
y 2
2 e = 0
was keine weiteren Lösungen besitzt, da die Exponentialfunktion nur positive Werte annimmt.
Wir gelangen also zum gleichen Ergebnis, allerdings auf einem mühsameren Weg.
Manchmal ist die zweite Methode aber die einfachere oder sogar die einzig mögliche!
Beispiel 2:
Auf dem Rotationsparaboloid
f ( x, y ) = +
wird durch die Nebenbedingung (Ellipsengleichung)
nach Hinzunahme der dritten Koordinate f(x,y) eine geschlossene Kurve auf der durch f
beschriebenen Fläche definiert, deren Maxima und Minima gesucht sind.
x 2
a 2
+
y 2
b 2
r 2
x 2
= 1
y 2

Die Bilder legen die Vermutung nahe:

a < b: Minima bei x = 0 , y = b und x = 0 , y = −b ; Maxima bei x = a , y = 0 und x = −a , y = 0
.
b < a: Maxima bei x = 0 , y = b und x = 0 , y = −b ; Minima bei x = a , y = 0 und x = −a , y = 0
.
a = b: Maxima und Minima in allen Punkten (Niveaulinie!)
Methode 1 (Auflösen der Nebenbedingung nach y) ergibt zunächst
⎛
⎜
y = ⎜⎜
⎝
und Einsetzen in die Funktion f :
− x +
,
2
a 2 b
−
a
− x + ⎞
⎟
⎟⎟
⎠
2
a 2 b
a
⎛
F ( x, y ) = ⎜
b ⎞
⎜1
− ⎟ +
⎝ ⎠
2
x2 b
2
a 2
Also:
für a < b eine nach oben geöffnete Parabel, mit Minimum bei x = 0 und Randmaxima bei x = −a
und x = a ,
für b < a eine nach unten geöffnete Parabel, mit Maximum bei x = 0 und Randminima bei x = −a
und x = a ,
für a = b die Konstante b 2 .
Bei den Randextrema ist der zugehörige y-Wert stets 0, und wir erhalten die gleichen Lösungen
wie bei Methode 1.
Erheblich komplizierter wird es, wenn wir die Ellipse drehen:
Auflösen nach y :
( x + y) 2
a 2
+
( x − y) 2
b 2
= 1

Jetzt einsetzen in f ( x, y ) :
y1 := −
y2 := −
b − −
2 x a 2 x a 2 b 2 ( − 4 x + + )
2
a 2
b 2
a 2
+
b 2
b − +
2 x a 2 x a 2 b 2 ( − 4 x + + )
2
a 2
b 2
f ( x, y1 ) = x +
2 ( b − −
)
2 x a 2 x a 2 b 2 ( − 4 x + + )
2
a 2
b 2
( a + )
2
2
2
b
Nicht allzu übersichtlich! MAPLE und Weltmeister im Differenzieren kriegen jetzt noch die
Ableitung heraus:
2 ⎛
⎜
b
1 + + −
⎜
⎝
4
( a + )
2
a
2
2
b 4
( a + )
2
6 a
2
2
b 2 b 2
( a + )
2
b
⎛
+ ⎜
⎜
⎝
8 b 4 x a 2
− 4 b + +
2 x 2 a 2
a 4 b 2
⎞
⎟
⎟
⎠
2 2 x
b 4 a 2 ( + b )
a 2
2 2
−
a 2
+
b 2
8 a 4 b 2 x
− 4 b + +
2 x 2 a 2
a 4 b 2
2
b 4 a 2 ( + b )
2 − 4 b + +
2 x 2 a 2
a 4 b 2
b 4 a 2 b 2
( a + )
2
2
2
2
b
− 4 b + +
2 x 2 a 2
a 4 b 2
b 4 a 2 a 2
( a + )
2
− + = 0
2
2
b
Die Lösungen dieser grausigen Gleichung sind erstaunlich einfach, aber das war kaum abzusehen:
Zugehörige y-Werte:
⎛
⎞
x = ⎜−
, , , ⎟
⎝
⎠
b b a a
−
2 2 2 2
− ,
b
2
a
,
2
b
,
2
b ( )
− − b2 3 a 2
2 ( a + )
2
b 2
b ( b − )
2
3 a 2
2 ( + )
a 2
b 2
a ( − + )
− a2 3 b 2
2 ( a + )
2
b 2
− ,
a a ( − a + )
2
2
3 b 2
2 ( a + )
2
b 2
Eine Probe zeigt, daß der zweite und vierte Wert von y keine Lösung liefert!
Um jetzt zu klären, in welchen Fällen es sich um Maxima, Minima etc. handelt, müßte man noch
die zweite Ableitung bilden ...
Lassen wir das und gehen wir lieber zu Methode 2 über:
L ( x, y, λ ) = x + +
2
y 2 λ ⎛
⎜
( x + y) ⎞
⎟
⎜ + − ⎟
⎝
⎠
2
a 2
( x − y )
2
b 2
1
Nullstellensuche für die partiellen Ableitungen nach x, y und λ führt auf
a 2
2 2
⎞
⎟ x
⎟
⎠

2 x + λ ⎛
⎜
⎝
2 y + λ ⎛
⎜
⎝
( x + y )
2
a 2
2 ( x + y )
a 2
2 ( x + y )
a 2
+
−
2 ( x − y )
b 2
2 ( x − y )
b 2
( x − y )
+ − =
2
1 0
b 2
⎞
⎟ = 0
⎠
⎞
⎟ = 0
⎠
Abziehen der zweiten von der ersten Gleichung ergibt (nach Division durch 2 und Ausklammern
von x − y):
also ist entweder x = y = a
2
λ = − b2
2
⎛ 2 λ ⎞
⎜
⎜1
+ ⎟ =
⎝ b ⎠
2
( x − y) 0
a
oder x = y = − (wegen der dritten Gleichung) , oder es ist
2
, was eingesetzt in die erste und zweite Gleichung auf
2 x −
2 y −
b 2
2
b 2
2
= 0
= 0
führt, und hier sind die Lösungen x = −y = b
b
und x = −y = −
2 2 .
Lassen wir zur Kontrolle MAPLE dieses Gleichungssystem lösen:
a
{ y = , λ = − , }
2
a2 a
x = { y = − , , }
2 2
a
λ = −
2
a2
x = −
2
a
{ λ = − , , }
2
b2 b
y = x = −
2 2
b
, , ,
2
{ λ = − , , }
b2
y = −
2
b b
x =
2 2
Die Extremalpunkte sind also:
a a
x = , y = , f ( x, y)
=
2 2
x = − , ,
a
y = −
2
a
f ( x, y)
2
b
x = , y = − ,
2
b
f ( x, y)
=
2
x = − , ,
b b
y = f ( x, y)
=
2 2 2
Im Falle a < b sind die ersten beiden globale Minima und die letzten beiden globale Maxima.
Im Falle b < a ist es genau umgekehrt.
Für a = b ist die Kurve eine Niveaulinie, d.h. in allen Punkten liegt sowohl ein Maximum als auch
ein Minimum vor.
a 2
=
2
a 2
2
b 2
2
b 2

Und jetzt im Bilde:
a = 1 , b = 1
2
a = 1 , b =
3

5.7. C Exkurs für Fortgeschritte ins Monument Valley
Um die Behandlung von Extrema und Flachpunkten zu demonstrieren, untersuchen wir die
Funktion
h ( x, y ) = ( 1 − x − ) −
2
y ( 1 − x − )
3
y
Zunächst ein Bild des Funktionsgebirges im Colani-Design:
Anscheinend wird die Funktion niemals positiv und hat ein globales Maximum im Nullpunkt.
Weitere Kandidaten für Maxima sind die Punkte (0,1) und (1,0) . Aber auch in der Nähe der
Geraden x = 1 bzw. y = 1 könnten noch weitere Maxima liegen. Für große x und y geht die
Funktion gegen −∞ , da die negativen Terme 6. Grades überwiegen:
h ( x, y ) =
− 3 x − + + + − − − − + + −
2
3 y 2
3 x 4
6 x 2 y 2
3 y 4
2 x 6
3 x 4 y 2
3 x 2 y 4
2 y 6
2 x 3
2 y 3
2 x 3 y 3
Wir plotten nochmals das Funktionsgebirge mit einem sehr kleinen Ausschnitt der z-Achse:
Monument Valley im Taschenformat! Aber der Schein trügt: Die Anzahl der Gitterpunkte (50 50)
2 3
3 2

ist noch zu klein.
Wir verfeinern zu 300 300 Gitterpunkten:
Aha! Das Bild laßt einen Sattelpunkt auf der Geraden x = y vermuten.
Wir zeichnen noch einige (trotz einer hohen Punktezahl von 10000) etwas krakelige Höhenlinien:
Nun die partiellen Ableitungen:
2 2
hx = − 6 ( 1 − x − ) +
2
y x 6 ( 1 − x − )
3
y 3 x 2
2 2
hy = − 6 ( 1 − x − ) +
2
y y 6 ( 1 − x − )
3
y 3 y 2
Offenbar ist x = 0 eine Lösung von hx = 0 , entsprechend y = 0 eine Lösung von hy = 0.
y = 0 eingesetzt in hx = 0 ergibt nach Division durch 6x :
− 1 + 2 x − + =
2
2 x 4
x 0
mit der Lösung x = 1. Entsprechend erhält man bei Einsetzen von x = 0 in = 0 die Lösung
y = 1.
h y

Wir haben also die drei stationären Punkte
x = 1 , y = 0 , z = 0
x = 0 , y = 1 , z = 0
x = 0 , y = 0 , z = 1 .
Damit sind wir bei den drei Einheitsvektoren gelandet. Ob es sich um lokale Maxima handelt,
versuchen wir mit Hilfe der Hessematrix der zweiten Ableitungen festzustellen.
H ( x, y )
⎡
= ⎢
⎣
hxx = 24 ( 1 − x − ) − − +
2
y 2 x 2
6 ( 1 − x − )
2
y 18 x 4
12 ( 1 − x − )
3
y 3 x
hxy = 24 ( 1 − x − ) − ,
2
y 2 y x 18 x 2 y 2
hyx = 24 ( 1 − x − ) −
2
y 2 y x 18 x 2 y 2
hyy = 24 ( 1 − x − ) − − +
2
y 2 y 2
6 ( 1 − x − )
2
y 18 y 4
12 ( 1 − x − )
3
y 3 y
Der erste Koeffizient und die Determinante haben folgende Werte:
h xx
h yx
2 2
2 2
h xy
h yy
⎡-18
0⎤
h ( 1, 0 ) = 0 , H ( 1, 0 ) = ⎢ ⎥,
det ( H ( 1, 0 ) ) = 0
⎣ 0 0⎦
⎡0
0⎤
h ( 0, 1 ) = 0 , H ( 0, 1 ) = ⎢ ⎥,
det ( H ( 0, 1 ) ) = 0
⎣0
-18⎦
⎡-6
0⎤
h ( 0, 0) = 0 , H ( 0, 0)
= ⎢ ⎥,
det ( H ( 0, 0) ) = 36
⎣ 0 -6⎦
Also: Flachpunkte bei (1,0) und (0,1), lokales Maximum bei (0,0). In jedem dieser Punkte ist der
Funktionswert 0.
Wir werden später sehen, daß es sich in allen drei Fällen sogar um globale Maxima handelt, da wir
keine stationären Punkte erhalten werden, in denen die Funktion größere Werte als Null annimmt,
und "weit draußen" nur negative Werte vorkommen.
Wir hatten x = 1 als Nullstelle des Polynoms − 1 + 2 x − +
2
2 x 4
x erkannt und dürfen jetzt durch
x − 1 dividieren.
− 2 x − +
3
2 x 2
⎤
⎥
⎦
1 = 0
Als einzige, kaum zu erratende reelle Lösung erweist sich (mit Methoden der Algebra, die wir hier
nicht diskutieren können)

w 2 1
x = + − , wobei w = ( )
6 3 w 3 + 46 6 57
Ein Näherungswert hierfür ist
Probe:
x 1
⎛ 1 ⎞
⎜ ⎟
⎝ 3 ⎠
= 0.5651977176
3 2
2 x1 − 2 x1 + 1 = -0.1000000000 10 -8
Aber in dem stationären Punkt (x1 , 0) liegt wegen der negativen Determinante von
⎡6.159678055
0. ⎤
H ( x1, 0)
= ⎢
⎥⎥
⎣ 0. -2.778902392⎦
kein lokales Extremum, sondern ein Sattelpunkt vor. Entsprechendes gilt für den Punkt ( 0, x1 ).
h ( x1, 0 ) = -0.3562980608
h ( 0, x1 ) = -0.3562980608
Damit sind die Fälle x = 0 und y = 0 erledigt.
Nach Division von hx durch 6x bzw. von hy durch 6y bleiben zwei Polynome 4. Grades:
Deren Differenz ist
− 1 + 2 x + − − − + − =
2
2 y 2
2 x 4
2 x 2 y 2
y 4
x x y 3
0
− 1 + 2 x + − − − + − =
2
2 y 2
x 4
2 x 2 y 2
2 y 4
y y x 3
0
− x + + − − + =
4
y 4
x x y 3
y y x 3
( x − y ) ( 1 − x − )
3
y 3
und dieses Produkt wird genau dann Null, wenn entweder
x = y oder + = 1
gilt. Im ersten Fall ergibt sich nach Ersetzen von y durch x in jeder der beiden Gleichungen:
x 3
y 3
mit den beiden Näherungslösungen
− 1 + 4 x − +
2
6 x 4
x 2
x 3
.
x = 0
= 0.4442577473
= 0.7782262864
und wieder sehen wir, daß in der Nähe der Punkte ( x2, x2 ) und ( x3, x3 ) wegen
h ( x2, x2 ) = -0.4582862838
h ( x3, x3 ) = -0.01272006459

keine globalen Maxima liegen. Vielmehr ergibt die Untersuchung der zweiten Ableitung
H ( x2, x2 )
⎡4.363977278
2.165865859⎤
= ⎢
⎥
⎣2.165865859
4.363977278⎦
det ( H ( x2, x2 ) ) = 14.35332276
ein lokales Minimum −.4582862838 im Punkt ( x2, x2 ) , während wegen
H ( x3, x3 )
bei ( x3, x3 ) ein weiterer Sattelpunkt vorliegt.
Bleibt der Fall
1 − x − =
3
y 3
0 .
Sollen die partiellen Ableitungen
2 2
⎡-9.405396284
-9.673212207⎤
= ⎢
⎥
⎣-9.673212207
-9.405396284⎦
det ( H ( x3, x3 ) ) = -5.10955514
hx = − 6 ( 1 − x − ) +
2
y x 6 ( 1 − x − )
3
y 3 x 2 und hy = − 6 ( 1 − x − ) +
2
y y 6 ( 1 − x − )
3
y 3 y 2
beide verschwinden, so muß wegen x ≠ 0 und y ≠ 0 gleichzeitig auch
1 − x −
2
y 2 = 0
sein. Quadrieren wir 1 − x =
3
( 1 − x )
bzw. ausquadriert und auf eine Seite gebracht:
y 3 und ersetzen y 2 durch 1 − x 2 , so ergibt sich die Gleichung
3 2
2 3
= ( 1 − x )
− 2 x + + − =
3
2 x 6
3 x 2
3 x 4
0
Offensichtlich sind 0 und 1 Lösungen dieser Gleichung. Faktorisieren liefert
x =
2 ( 2 x + + )
2
4 x 3 ( x − 1) 2
0
wobei der quadratische Term keine reelle Nullstelle hat:
⎛ 1
⎞
Lösungen = ⎜ − 1 + I 2 , − − ⎟
⎝ 2 ⎠
1
1
I 2
2
Deshalb bleiben wieder nur die Lösungen x = 0 , y = 1 und x = 1 , y = 0.
Insgesamt haben wir für die Funktion
h ( x, y ) = ( 1 − x − ) −
2
y ( 1 − x − )
3
y
folgende stationäre Punkte gefunden:
Globale Maxima 0 in den Punkten (0,0) , (1,0) und (0,1) .
Lokales Minimum (näherungsweise): −.4544 im Punkt ( x2, x2 ) mit x2 = .4196 ,
Sattelpunkte (näherungsweise) in der Höhe −.3563 bei ( x1, 0) und (0, x1 ) mit x1 = .5652 ,
in der Höhe -.0127 bei ( x3, x3 ) mit x3 = .7782 .
2 3
3 2
2 2

Ein ganz schön anstrengender Trip durchs Monument Valley!

6. Integration
A Hanover 14
de Juillet 1691
24
Nous avons reduit le probleme à la quadrature de l'Hyperbole,
nous avons donné non seulement les tangentes et l´extension
de la courbe, mais aussi le centre de la gravité ...
et moy j'ay reduit le tout aux logarithmes... tellement que
la courbe catenaire semble estre faite pour donner les logarithmes.
Leibniz, der Entdecker der Differential- und Integralrechnung,
in einem Brief an Huygens über die Kettenlinie (catenaire)
Die Exponentialfunktion als Summe der Kettenlinie und ihrer Ableitung
Das Integral der Kettenlinie ist zugleich deren Ableitung!
Der Cosinus als Ableitung und negative Stammfunktion des Sinus

6.1. Das unbestimmte Integral
So wie die Bildung von Reihen, also Summenfolgen, ein zur Bildung der Differenzenfolgen
inverser Prozess ist, kann man die Integration als Umkehrung der Differentiation ansehen.
6.1.A Stammfunktionen
Im Sinne der Umkehrung der Differentiation sucht man zu einer gegebenen Funktion f eine
sogenannte Stammfunktion F, deren Ableitung die gegebene Funktion f ist. Eine solche
Stammfunktion gibt es zu den meisten "vernünftigen" Funktionen (z.B. zu allen stetigen
Funktionen), aber nicht immer:
Beispiel 1: Die Signum-Funktion
x
sign( x)
= für x ≠ 0 und sign(0)=0
x
besitzt keine Stammfunktion. Denn eine solche müßte für alle x ≠ 0 den Wert x haben, aber diese
Funktion ist nur durch den Wert 0 stetig an der Stelle 0 ergänzbar und nach dieser Ergänzung im
Nullpunkt nicht differenzierbar.
Existiert eine Stammfunktion zu f, so ist sie zwar nicht eindeutig bestimmt, denn mit F( x ) ist
natürlich auch jede um eine Konstante C vertikal verschobene Funktion F( x ) + C eine
Stammfunktion; aber aus dem Mittelwertsatz folgt, daß es keine weiteren Stammfunktionen geben
kann. Denn
F´= G´ bedeutet G´-F´= (G-F)´= 0 ,
und daher
G( x ) − F( x ) − G( b ) + F( b ) = ( x − b ) ( G´ ( z ) − F´ ( z ) ) = 0
für beliebige x, b aus dem Definitionsbereich und geeignete Werte z zwischen x und b.
Also gilt für festgehaltenes C = G( b ) − F( b ) :
G( x ) = F( x ) + C.
Je zwei Stammfunktionen derselben Funktion unterscheiden sich also um eine additive Konstante
.

Diese Regel gilt aber nur auf Intervallen !
Beispiel 2: Stammfunktionen für 1
x
Die für alle x außer 0 definierte Funktion
1
f( x)
=
x
hat unter anderen die Stammfunktionen
ln( x )
und
ln( x ) + signum( x ) ( x ≠ 0),
die sich nicht auf dem gesamten Definitionsbereich nur um ein und dieselbe additive Konstante
unterscheiden (auf negativen bzw. positiven Teilintervallen allerdings schon!)
Beispiel 3: Arcussinus und Arcuscosinus
Eine Stammfunktion zu
1
f( x)
=
1 − x 2
ist der Arcussinus, denn mit Hilfe der Differentiationsregel für Umkehrfunktionen und der Formel
sin´ ( y ) = cos( y ) = 1 − sin( y )
2
hatten wir herausbekommen:
1
arcsin´ ( x)
= .
2
1 − x
Analog ergab sich für den Arcuscosinus:
1
arccos´ ( x) = − .
2
1 − x
Ist also
arcsin( x) = − arccos( x ) ??
Nein, sondern
π
arcsin( x ) = − arccos( x ) ,
2

allerdings nur im Bereich zwischen − π
f( x )
Unbestimmte Integrale
=
2
und π
2 .
1
, ,
1 − x 2
1
F( x ) = arcsin( x ) F( x ) − π = − arccos( x )
2
Die Gesamtheit aller Stammfunktionen zu einer Funktion f nennt man das unbestimmte Integral
von f und bezeichnet sie mit
⌠
⎮ f( x ) dx
⌡
(wobei statt x natürlich auch eine beliebige andere Variable gewählt werden kann).
⌠
Häufig läßt man die additive Konstante weg und meint mit ⎮ f( x ) dx
eine spezielle
⌡
Stammfunktion.
Aus der Linearität der Differentiation folgt die der Integration:
⌠
⌠ ⌠
⎮ c f( x ) + d g( x ) dx
= c ⎮ f( x) dx
+ d ⎮ g( x ) dx
.
⌡
⌡ ⌡
In vielen Fällen ist eine Integration mit Hilfe "elementarer" Funktionen leider nicht möglich.
Beispiel 4: Das Fresnel-Integral
Obwohl die Funktion
f( x ) = sin( x )
2
auf den ersten Blick recht harmlos aussieht, findet sich unter den uns bekannten Funktionen keine,
deren Ableitung sin( x )
2 ergibt. Trotzdem besitzt f als stetige Funktion Stammfunktionen. Die
durch den Nullpunkt verlaufende Stammfunktion F( x ) zu sin( x )
2 wird nach dem französischen
Mathematiker und Physiker Jean Augustin Fresnel (1788-1827) Fresnel-Integral genannt.

Beispiel 5: Eine Anwendung der Kettenregel
Im Gegensatz zum vorigen Beispiel sieht man mit der Kettenregel sofort: Die Funktion
f( x) = x sin( x )
2
hat die durch (0,0) verlaufende Stammfunktion
F( x)
=
1 − cos( x )
2
.
2
Stammfunktionen von Polynomen
Besonders häufig muß man Polynome
p( x) = p0 + p1 x + ... + pn x n = ∑
=
integrieren. Wegen
( ) + k 1
n
k 0
p k x k
⌠
⎮x d =
⌡
k x
x + C
k + 1
(Probe durch Ableiten!) und der Linearität des unbestimmten Integrals erhalten wir
⌠
⎮ p( x ) dx
=
⌡ ∑
=
n
( )
pk x + k 1
k 0
Beispiel 6: Monome
k + 1 = ∑
k = 1
n + 1
p k − 1 x k
x
k
.
( ) + n 1
n + 1
,
n = 0 .. 4

Rationale Funktionen und Partialbruchzerlegung
Um eine rationale Funktion, also einen Quotienten
p( x )
r( x)
=
q( x )
zweier Polynome p( x ) und q( x ) zu integrieren, muß man die vollständige Zerlegung des Nenners
in Faktoren ersten oder zweiten Grades kennen (dazu sollten mindestens die Nullstellen des
Nenners bekannt sein). Sind
( x − a) k bzw. ( x + + )
2
b x c m
die höchsten Potenzen solcher Faktoren, die als Teiler des Nenners vorkommen, so kann die
gesamte rationale Funktion r( x ) als Summe von einem Polynom und sogenannten Partialbrüchen,
d.h. Funktionen der Form
a j
( j = 1, ..., k) bzw.
j
( x − a )
bj x + cj ( x + + )
2
( j = 1, ..., m )
j
b x c
dargestellt werden. Die Zahlen aj, bj, cj ermittelt man im allgemeinsten Fall, indem man den
Hauptnenner q( x ) aller Summanden bildet und dann die Koeffizienten im Zählerpolynom mit
denen des gegebenen Polynoms p( x ) vergleicht. Das führt auf ein lineares Gleichungssystem für
die Koeffizienten aj, bj, cj .
Es gibt spezielle Ansätze und Tricks, um hier schneller zum Ziel zu kommen. Wir übergehen diese
Methoden, weil die meisten Computeralgebra-Programme die Partialbruchzerlegung direkt
liefern.
Haben wir die Partialbruchzerlegung erreicht, so müssen wir zur Integration einer rationalen
Funktion außer den Integralen von Polynomen nur die folgenden Integrale kennen:
⌠
⎮ 1
(1) ⎮ dx
= ln ( x − a
)
⎮ x − a
⌡

⌠
⎮ 1
1
(2) ⎮ dx
= −
k ( )
⎮ ( x − a )
⌡
( k − 1 ) ( x − a )
− k 1
⌠
⎮ b1 x + c1 (3) ⎮
d =
⎮ x + +
⌡
2
b1 ln ( x + + )
x +
b x c 2
⎛ 2 x + b ⎞
( 2 c − )
b x c
1 b1 b arctan⎜
⎟
⎝ d ⎠
2
d
falls 0 < 4 c − b 2 und d = 4 c − b 2 .
Ist 4 c − b <
2
0 , so kann man den Nenner x + +
2
b x c in Linearfaktoren zerlegen und den
Integranden als Summe von Partialbrüchen der Form (1) und (2) darstellen.
Verifizieren Sie die Gleichungen (1) - (3) durch Differentiation beider Seiten!
⎛
⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
∂ ⎜1
⎟
⎜
=
∂x
⎜
+
⎟
⎝2
⎠
b1 ln ( x + + )
2
⎛ 2 x + b ⎞
( 2 c1 − b1 b)
arctan⎜
⎟
⎜ ⎟
⎝ 4 c − b ⎠
b x c
2
4 c − b 2
b1 x + c1 x + +
2
b x c
Beispiel 7: Arcustangens und Areatangens hyperbolicus
Wir bilden die Partialbruchzerlegung
1
1
1 1 1
=
= + + .
4 2
1 − x ( 1 − x ) ( 1 + x ) ( 1 + x ) 4 ( 1 + x ) 4 ( 1 − x )
2
2 ( 1 + x )
Damit ist
⌠
⎮ 1 ln ( x + 1 ) ln ( x − 1 ) arctan( x)
⎮ dx
=
− + .
4
⎮ 1 − x 4
4 2
⌡
MAPLE liefert
⌠
⎮ 1 1
1
⎮
dx
= arctanh( x)
+ arctan( x)
4
⎮ 1 − x 2
2
⌡
Auch nicht schlecht - aber ist dies das gleiche Ergebnis? Nicht ganz: Der hier mit arctanh( x )
bezeichnete Areatangens hyperbolicus (der eigentlich Artanh( x ) geschrieben werden sollte) ist
die Umkehrfunktion des Tangens hyperbolicus
( )
e −y
e −
tanh( y ) =
y
e +
y
,
( −y )
e
und dieser nimmt nur Werte zwischen -1 und 1 an. Deshalb ist seine Umkehrfunktion nur auf dem
offenen Intervall ]-1,1[ definiert, während
⎛ 1 + x ⎞
ln⎜
⎟
ln ( 1 + x ) ln ( 1 − x ) ⎝ 1 − x ⎠
−
=
4
4
4
für alle von -1 und 1 verschiedenen x erklärt ist. Im Intervall ]-1,1[ gilt allerdings:
⎛ 1 + x ⎞ 1 + x ( 4 y)
( 4 y)
4 y = ln⎜
⎟ = e 1 + x = e ( 1 − x
)
⎝ 1 − x ⎠ 1 − x

( 2 y)
( −2 y)
( 4 y )
( 4 y )
e − e
x ( e + 1 ) = e − 1 x =
2 y = arctanh( x ) ,
( 2 y)
( −2 y )
e + e
ln ( 1 + x ) ln ( 1 − x ) arctanh( x)
also tatsächlich −
=
.
4
4
2
Beachten Sie, daß der linke und der rechte Ast der Stammfunktion verlorenginge, wenn man statt
⎛ 1 + x ⎞ ⎛ 1 + x ⎞
ln⎜
⎟ nur ln⎜
⎟ = ln ( 1 + x ) − ln ( 1 − x )
⎝ 1 − x ⎠ ⎝ 1 − x ⎠
nähme; denn der rechte Ausdruck ist nur für -1 < x < 1 definiert.
Umgekehrt hätten wir den mittleren Ast verloren, wenn wir statt
⎛ 1 + x ⎞ ⎛ x + 1 ⎞
ln⎜
⎟ = ln⎜
⎟
⎝ 1 − x ⎠ ⎝ x − 1 ⎠
nur
⎛ x + 1 ⎞
ln⎜
⎟
⎝ x − 1 ⎠
genommen hätten, denn dieser Ausdruck ist nur für x > 1 oder x < −1 definiert, der Ausdruck
ln ( x + 1 ) − ln ( x − 1 ) sogar nur für x > 1. Außerdem sei noch einmal betont, daß man jeden der drei
Äste unabhängig voneinander vertikal verschieben kann und stets wieder eine Stammfunktion
bekommt, z.B.
1
1 1
1
F( x ) = ln( − x − 1 ) − ln ( 1 − x ) + arctan( x ) + π , x < -1
4
4 2
4
1 1 1
G( x ) = ln ( 1 + x ) − ln ( 1 − x ) + arctan( x ) , -1 < x , x < 1
4 4 2
1 1 1
1
H( x ) = ln ( 1 + x)
− ln ( x − 1)
+ arctan( x ) − π , 1 < x
4 4 2
4
Bei Integralen, in denen x + +
2
b x c mit höheren Potenzen im Nenner auftritt, kann man mit den

nachfolgenden Rekursionsformeln Schritt für Schritt den Exponenten m des Nenners um 1
erniedrigen:
⌠
⎮
(4)
⎮ 1
⎮
d
⎮
⌡ ( x + + )
2
x
m
b x c
1
=
( 4 c − b )
2
2 x + b
( +
( m − 1 )
( x + + )
2
( )
b x c −
⌠
⎮
( 4 m − 6 )
⎮ 1
d
m 1
⎮
⎮
⌡(
x + + )
2
( )
b x c −
x )
m 1
,
⌠
⎮
(5)
⎮ x
⎮
d
⎮
⌡ ( x + + )
2
1
x = − −
m
b x c 2 ( m − 1 ) ( x + + )
2
( )
b x c −
⌠
⎮ b
d
m 1 ⎮
⎮
⌡2
( x + + )
2
x
m
b x c
.
Wieder lassen sich diese Formeln durch Differentiation beider Seiten bestätigen. Aber das ist ein
langweiliges Geschäft, und die Formeln muß sich niemand merken.
MAPLE nimmt uns hier die meiste Arbeit ab: Auf die Anweisung convert(f,parfrac,x)
hin wird die Partialbruchzerlegung der rationalen Funktion r erstellt, und mit int(r(x),x)
erhält man das unbestimmte Integral.
Beispiel 8: Höhere Nennerpotenzen
Versuchen wir für beliebige natürliche Zahlen n die Stammfunktionen
⌠
⎮
In( x ) =
⎮ 1
⎮ dx
mit ( ) =
n
⎮ 4
⌡ ( 1 − x )
In 0 0
zu finden! Die zuvor genannten Formeln nützen uns hier herzlich wenig.
Schon die Partialbruchzerlegung erweist sich als ziemlich aufwendig, obwohl die Faktorisierung
des Nenners klar ist:
4 n
( 1 − x )
Partialbruchzerlegung für n = 2 :
=
2 n
( 1 − x )
n ( 1 + x) n ( 1 + x )
1 1 1
=
− + + + +
2
4 16
( 1 − x ) ( x − 1) 2
3 1 16
16 x − 1 ( 1 + x )
2
16 4
1 + x x +
2
4
1 ( x + )
2
1 2
Die Formel für allgemeines n schafft auch MAPLE nicht mehr. Wir müssen uns also etwas anderes
einfallen lassen und betrachten
fn( x ) = ( 1 − x )
( )
4 −n
Differentiation von gn( x ) führt auf
und ( ) =
.
1
gn x x ( 1 − x )
d
( )
4
gn( x ) = ( 1 − x ) −
dx
−n
x ( −n ) ( 1 − x )
( )
4 −n
( )
4 −n
( − n − 1 )
4
.
4 x 3
= ( 1 − x ) − 4 n ( 1 − x − )
4
1 ( 1 − x )
3
( − n − 1
)
4
1
1

also
f +
n 1( x ) =
und nach Integration
I +
Setzen wir noch
n 1( x ) =
q 1
=
( )
4 −n
( )
4 −n
= ( 1 − x ) − 4 n ( 1 − x ) + 4 n ( 1 − x )
= 4 n ( ) − 4 n − 1 fn( x ) ,
4 n − 1
4 n
4 n − 1
4 n
1 sowie q n + 1 =
f n + 1 x ( )
( ) f 1
n x +
( ) In x +
so erhalten wir die Rekursionsformel
4 q +
n 1 I + ( )
4 n
n 1 x = 4 qn In( x ) +
d
gn( x )
4 n dx
gn( x )
4 n .
4 n − 1 qn = ... = ∏
j = 1
n
q n + 1 gn( x)
n
.
4 j
4 j − 1 ,
( − n − 1 )
4
Nun holen wir uns aus Beispiel 7 die Startfunktion
⎛
4 q1 I1( x ) = 2 arctan( x ) + ln⎜
⎝
x + 1
x − 1
⎞
⎟
⎠
und gewinnen daraus schließlich die explizite Formel
⎛
4 qn In( x ) = 2 arctan( x ) + ln⎜
⎝
x + 1
x − 1
⎞ ⎛ n − 1
q ⎞
⎟ +
⎜ k + 1 gk( x)
⎟
⎠ ⎜∑
⎟
.
⎝ k
k = 1 ⎠
Die ersten drei Stammfunktionen lauten also
⌠
⎮ 1
⎛
4 ⎮
dx
= 2 arctan( x ) + ln
4 ⎜
⎮ 1 − x ⎝
⌡
1 + x
1 − x
⎞
⎟
⎠
16
3
d
⌠
⎮
⎮⎛
1 ⎞
⎮ ⎜
⎟
⎮⎝
1 − x ⎠
⌡
4
2
x = 2 arctan( x ) + ⎛
ln⎜
⎝
1 + x
1 − x
⎞
⎟ +
⎠
4 x
3 1 − x 4
128
21
d
⌠
⎮
⎮⎛
1 ⎞
⎮ ⎜
⎟
⎮⎝
1 − x ⎠
⌡
4
3
x = 2 arctan( x ) + ⎛
ln⎜
⎝
1 + x
1 − x
⎞
⎟ +
⎠
4
Die folgenden Grenzwerte kennen wir schon:
x 16 x
+
3 4
1 − x 21
( 1 − x )
2 arctan( x) = π und lim
⎛
ln⎜
⎝
x + 1
x − 1
⎞
⎟ = 0 .
⎠
lim
x → ∞
x → ∞
Interessanterweise konvergieren die Funktionen
⎛
4 qn In( x ) = 2 arctan( x ) + ln⎜
⎝
x + 1
x − 1
⎞ ⎛
⎟ +
⎜
⎠ ⎜
⎝
n − 1
q k + 1 gk( x)
∑ k
k = 1
aber viel rasanter gegen π als 2 arctan( x ) , und zwar mit einem Restglied der Größenordnung x
. Die Korrekturglieder verbessern also die Konvergenz erheblich.
⎞
⎟
⎟
⎠
4 2 .
( −4 n )

Zum Beispiel liefert In( 10 ) die Zahl π auf mindestens 4 n − 1 Stellen genau, während 2 arctan( 10 )
noch nicht einmal die erste Stelle richtig angibt!
2 arctan( 10) = 2.942
n = 1 , Stellenzahl = 4
In( 10) = 3.142
Nä( π) = 3.142
n = 2 , Stellenzahl = 8
In( 10) = 3.1415926
Nä( π) = 3.1415927
n = 3 , Stellenzahl = 12
In( 10) = 3.14159265359
Nä( π) = 3.14159265359
n = 4 , Stellenzahl = 16
In( 10) = 3.141592653589793
Nä( π) = 3.141592653589793
n = 5 , Stellenzahl = 20
In( 10) = 3.1415926535897932385
Nä( π) = 3.1415926535897932385
Die Funktionen 4 qn fn( x ) und ihre Stammfunktionen 4 qn In( x ) im Bilde:
4 qn fn( x) , 4 qn I ( x ) , n = ungerade
n
4 qn fn( x) , 4 qn I ( x ) , n = gerade
n

Im Bereich zwischen -1 und 1 unterscheiden sich die Funktionen für gerade n kaum von denen für
ungerade n, während in den für die Approximation von π interessanten Außenbereichen der
Unterschied eklatant ist.
Eine andere Frage, auf die wir an dieser Stelle nicht eingehen, ist, wie man für die Integrale gute
numerische Näherungen findet. Auf Näherungsmethoden in der Integrationstheorie kommen wir
bald zurück.

6.1.B Integrationsregeln
Jeder Differentiationsregel entspricht wegen der Beziehung
⌠
F´ ( x ) = f( x ) F( x ) + C = ⎮ f( x ) dx
⌡
eine Integrationsregel.
Additionsregel:
Wie schon erwähnt, ist die Integration ist ebenso wie die Differentiation in folgendem Sinne linear:
⌠
⌠ ⌠
⎮ c f( x ) + d g( x ) dx
= c ⎮ f( x) dx
+ d ⎮ g( x ) dx
.
⌡
⌡ ⌡
Beispiel 1: Additionstheoreme für Sinus und Cosinus
Aufgrund des Additionstheorems für den Sinus
sin ( x + y ) = sin( x ) cos( y ) + cos( x ) sin( y )
und der Gleichung
∂
cos ( x + y ) = − sin ( x + y )
∂x
gilt
⌠
⌠
⌠
cos ( x + y ) + C = - ⎮ sin ( x + y) dx
= − sin( y) ⎮ cos( x ) dx
− cos( y ) ⎮ sin( x ) dx
⌡
⌡
⌡
= − sin( y ) sin( x ) + cos( y ) cos( x) + C,
und das ist gerade das Additionstheorem für den Cosinus:
cos ( x + y ) = cos( x ) cos( y ) − sin( x ) sin( y ) .
(Durch Vergleich des ersten und letzen Ausdrucks für x = 0 sieht man, daß die Konstanten gleich
sein müssen.)
sin ( x + y)
sin( x ) cos( y )
cos( x ) sin( y
)

Bei der Suche nach Stammfunktionen lohnt es sich, erst einmal zu schauen, ob ein Ausdruck der
Form
d
F´ ( g( x ) ) g´ ( x)
= F ( g( x ) )
dx
vorliegt, denn dann ist die Menge der Stammfunktionen gegeben durch die der Kettenregel
entsprechende
1. Substitutionsregel
⌠
⎮ F´ ( g( x ) ) g´ ( x ) dx
= F ( g( x) ) + C .
⌡
Insbesondere hat man die nützliche Formel
⌠
⎮ g´ ( x )
⎮ dx
= ln ( g( x ) ) + C .
⎮ g( x )
⌡
Beispiel 2: Tangens und Cotangens
Das Integral der Tangens-Funktion ist im Bereich von − π π
bis
2 2 :
⌠
⌠
⌠ ⎮ sin( x ) ⎮ cos´ ( x )
⎮ tan( x ) dx
= ⎮ dx
= −⎮ dx
= − ln ( cos( x ) ) + C.
⌡ ⎮cos(
x)
⎮ cos( x)
⌡
⌡
Entsprechend findet man als Integral der Cotangens-Funktion
⌠
⌠
⌠ ⎮cos(
x)
⎮ sin´ ( x )
⎮ cot( x ) dx
= ⎮ dx
= ⎮ dx
= ln ( sin( x ) ) + C
⌡ ⎮ sin( x ) ⎮ sin( x )
⌡
⌡
im Bereich von 0 bis π .

Leider ist die Anwendbarkeit der 1. Substitutionsregel recht begrenzt. Erheblich variabler (aber
auch nicht immer erfolgreich) ist die
2. Substitutionsregel
Ist h eine invertierbare und differenzierbare (also streng monotone) Funktion mit Umkehrfunktion
g , d.h.
h( x) = y x = g( y ) ,
so gilt für beliebige integrierbare Funktionen f :
⌠
⌠
⎮ f( x ) dx
= S ( h( x ) ) S( y) = ⎮ f ( g( y ) ) g´ ( y) dy
.
⌡
⌡
In der Praxis ersetzt man im linken Integral x durch g( y ) sowie dx durch g´ ( y ) dy , versucht das
unbestimmte Integral S( y ) zu finden, und setzt am Schluß wieder y = h( x ) ein (Rücksubstitution
).
Beispiel 3: Kreissegmente
Bei der Berechnung von Flächenstücken eines Kreises braucht man das Integral
⌠
⎮ 1 − x d
⌡
2 x .
Im offenen Intervall zwischen − π π
und ist die Sinusfunktion streng monoton und
2 2
differenzierbar. Die Substitution
x = sin( y ) , dx = cos( y ) dy
führt auf
⌠
⎮ 1 − sin( y) d
⌡
2
⌠
cos( y) y = ⎮ cos( y) d
⌡
2 y

⌠
⎮ 1 + cos( 2 y ) y sin( 2 y ) y + sin( y ) cos( y )
= ⎮
dy
= + = + C,
⎮ 2 2 4
2
⌡
und Rücksubstitution y = arcsin( x ) ergibt
⌠
⎮ 1 − x d =
⌡
2 x 1 − x +
x +
2
arcsin( x )
C .
2
Die Integration einer Wurzel kann also auf die Umkehrfunktion einer trigonometrischen Funktion
führen.
f( x ) = 1 − x ,
2 1
F( x ) = x − +
2 1 x2 1
arcsin( x )
2
Der Produktregel
d
( f( x ) g( x ) ) = f´ ( x ) g( x ) + f( x ) g´ ( x )
dx
für die Differentiation entspricht die Regel für die
partielle Integration:
⌠
⌠
⎮ f´ ( x ) g( x ) dx
= f( x ) g( x ) − ⎮ f( x ) g´ ( x ) dx
.
⌡
⌡
Man merkt sich die Regel mit dem
Fahrstuhlprinzip zur Integration eines Produktes:
1.Schritt: Eine der beiden Funktionen integrieren ("Aufleiten"):

2.Schritt: Zur "Kompensation" die andere Funktion ableiten:
3. Schritt: Das so entstehende Produkt (falls möglich) integrieren und das Ergebnis abziehen.
Beispiel 4: Potenzfunktionen
wie z. B. x n a x (mit natürlichen Exponenten n) integriert man partiell und erniedrigt dadurch die x
-Potenz schrittweise um 1:
⌠
⎮x d =
⌡
n a x x
x −
n a x
⌠ ( )
n ⎮x d
⌡
ln( a)
− n 1
a x x
.
ln( a)
⌠
n = 0 , ⎮x d =
⌡
n a x x
a x
ln( a)
⌠
n = 1 , ⎮x d =
⌡
n a x a
x
x ( ln( a ) x − 1)
ln( a )
2
⌠
n = 2 , ⎮x d =
⌡
n a x a
x
x ( ln( a) − + )
2 x 2
2 ln( a ) x 2
ln( a )
3
In vielen Fällen kann man F´ ( x ) = 1 , also F( x) = x wählen.
Beispiel 5: Stammfunktionen der Logarithmus-Potenzen
bekommt man ebenfalls durch iterierte partielle Integration:

⌠
⌠ ( )
⎮ ln( x ) dx
= x ln( x ) − d =
⌡
⎮x x
⌡
−1
x x ( ln( x) − 1 ) ,
und rekursiv
⌠
⎮ ln( x ) d
⌡
n x = x ln( x) −
=
n ⌠
( )
⎮
⎮x n ln( x ) d
⌡
− n 1 ( )
x −1
x x ln( x) −
n ⌠ ( )
n ⎮ ln( x ) d
⌡
− n 1
x ,
woraus sich induktiv die folgende explizite Formel ergibt:
⌠
⎮ ln( x ) d =
⌡
n x ( −1) n
⎛ n
j ⎞
n! x
⎜ ( − ln( x ) ) ⎟
⎜∑
⎟
.
⎝ j!
j = 0 ⎠
(Die Konstanten haben wir weggelassen).
⌠
n = 1 , ⎮ ln( x) d =
⌡
n x −x ( 1 − ln( x ) )
⌠
n = 2 , ⎮ ln( x ) d =
⌡
n x 2 x ⎛ 1 ⎞
⎜1
− ln( x ) + ln( x ) ⎟
⎝ 2 ⎠
2
⌠
n = 3 , ⎮ ln( x) d =
⌡
n x −6 x ⎛ 1
⎞
⎜ 1 − ln( x ) + ln( x ) − ⎟
⎝ 2
⎠
2 1
ln( x )
6
3
⌠
n = 4 , ⎮ ln( x) d =
⌡
n x 24 x ⎛ 1
⎞
⎜1
− ln( x)
+ ln( x) − + ⎟
⎝ 2
⎠
2 1
ln( x )
6
3 1
ln( x) 24
4
Näherungsweise ist
n
∑
j = 0
( − ln( x)
)
j!
j
= e
( − ln( x ) )
= 1
x .
Die Folge der durch den Nullpunkt verlaufenden Stammfunktionen von
konvergiert daher für gerades n gegen 1 und für ungerades n gegen -1.
Beispiel 6: Stammfunktionen der Sinus-Potenzen
Mittels partieller Integration ergibt sich zunächst
⌠
⎮ sin( x ) d =
⌡
n ⌠
( )
x ⎮⎮ sin( x ) sin( x ) d
⌡
− n 1
x =
( )
− cos( x ) sin( x ) +
− n 1 ⌠
( n − 1 ) ⎮ cos( x )
d
⌡
2 ( )
sin( x )
− n 2
x =
ln( x )
n
n!

( )
− cos( x ) sin( x ) + −
− n 1 ⌠ ( )
( n − 1 ) ⎮ sin( x ) d
⌡
− n 2
⌠
x ( n − 1) ⎮ sin( x ) d
⌡
n x.
Das sieht so aus, als hätte man nichts gewonnen - aber der Schein trügt. Der Trick besteht darin,
das gesuchte Integral auf die linke Seite zu bringen und dann die ganze Gleichung durch n zu
teilen:
⌠
⎮ sin( x ) d =
⌡
n ( )
− cos( x ) sin( x ) +
x
− n 1 ⌠ ( )
( n − 1) ⎮ sin( x ) d
⌡
− n 2
x
n
Mit dieser Rekursionsformel gelingt nun die Berechnung der gesuchten Integrale, indem man den
Exponenten schrittweise um 2 erniedrigt: Beginnend mit
⌠
⎮ sin( x ) d =
⌡
0 ⌠
x ⎮1 dx
= x und
⌡
⌠
⎮ sin( x ) dx
= − cos( x )
⌡
erhalten wir
⌠
⎮ sin( x ) d =
⌡
2 x − cos( x ) sin( x )
x
2
⌠
⎮ sin( x ) d =
⌡
3 cos( x ) ( sin( x) + )
x −
2
2
3
⌠
⎮ sin( x ) d =
⌡
4 3 x − 3 cos( x ) sin( x ) − 2 sin( x) x
3
cos( x )
. . .
8
Eine entsprechende Rekursionsformel gilt für den Cosinus. Verifizieren Sie diese selbst!
⌠
⎮ cos( x ) d =
⌡
n ( )
sin( x ) cos( x ) +
x
− n 1 ⌠ ( )
( n − 1) ⎮ cos( x ) d
⌡
− n 2
x
.
n
f( x ) = sin( x ) ,
2 ⌠
F( x ) = ⎮ sin( x ) d
⌡
2 x

f( x ) = sin( x ) ,
3 ⌠
F( x ) = ⎮ sin( x ) d
⌡
3 x
f( x ) = sin( x ) ,
4 ⌠
F( x ) = ⎮ sin( x ) d
⌡
4 x
Durch Kombination von Substitution und partieller Integration bekommen wir eine Formel zur
Integration von Umkehrfunktionen:

Ist g die Umkehrfunktion der differenzierbaren Funktion f, also f( x) = y x = g( y ) ,
⌠
und hat f das unbestimmte Integral F( y ) = ⎮ f( x ) dx
, so gilt
⌡
⌠
⎮ g( y ) dy
= y g( y ) − F ( g( y ) ) .
⌡
Denn es ist ja
⌠
⌠
⎮ g( y ) dy
= y g( y ) − ⎮y g´ ( y) dy
und
⌡
⌡
⌠
⌠
⌠
⎮y g´ ( y ) dy
= ⎮ f ( g( y ) ) g´ ( y ) dy
= ⎮ F´ ( g( y ) ) g´ ( y ) dy
= F ( g( y ) ) .
⌡
⌡
⌡
Beispiel 7: Eine Stammfunktion des Arcussinus
Wegen
⌠
⎮ sin( x ) dx
= − cos( x ) = 1 − sin( x) ⌡
2
erhält man als Stammfunktion des Arcussinus
⌠
F( x ) = ⎮ arcsin( x) dx
= x arcsin( x ) + 1 − x
⌡
2 .
Vergleichen sie dies mit den Funktionen
sinh( x )
=
e −
x
2
( )
e −x
( )
e −x
e +
und cosh( x ) =
x
⌠
= ⎮ sinh( x ) dx
!
2 ⌡
⌠
f( x ) = sinh( x ) , F( x ) = ⎮ sinh( x ) dx
⌡

6.1.C Potenzreihen
Viele in Mathematik, Naturwissenschaften und Technik wichtige Funktionen kann man nur mit
Hilfe von Potenzreihen darstellen. Und selbst wenn wir scheinbar "explizite" Darstellungen wie
1 + x , sin( x ) oder e x benutzen, müssen wir bei numerischen Auswertungen doch fast immer auf
Reihenentwicklungen zurückgreifen. (Welchen Zahlenwert hat z.B. sin(1) ??)
Erfreulicherweise kann man beliebige Potenzreihen im Inneren ihres Konvergenzbereiches wie
Polynome behandeln: Man darf sie gliedweise differenzieren und integrieren. Genauer ist damit
folgendes gemeint:
Konvergiert eine Potenzreihe
∑ n
a n x n
im Inneren des Intervalls I gegen die Funktion f( x ) , so konvergiert die Reihe
∑ n
a n n x
( ) − n 1
dort gegen die Ableitung f´ ( x ) , und die Reihe
∑ n
a n x
( ) + n 1
n + 1
konvergiert gegen die Stammfunktion F( x ) mit F( 0) = 0. Alle drei Reihen haben den gleichen
Konvergenzradius.
Es wird stets betont, daß sich beim Differenzieren und Integrieren das Konvergenzverhalten in den
Randpunkten verändern kann. Aber gerade die Randpunkte sind häufig diejenigen, für die man sich
bei Reihenentwicklungen (z.B. von Logarithmen oder rationalen Vielfachen der Kreiszahl π)
interessiert. Also sollten wir über die Situation am Rand mehr Information sammeln.
Der nach dem norwegischen Mathematiker Nils Henrik Abel (1802-1829) benannte Abelschen
Grenzwertsatz (den wir hier in seiner allgemeinen Form übergehen) hat die folgende nützliche
Konsequenz:
Jede Potenzreihe läßt sich in ihrem gesamten Konvergenzbereich (einschließlich eventueller
Randpunkte) gliedweise integrieren: gilt
∞
f( x) = ∑ an x
n = 0
n für alle x aus I ,
so konvergiert auch
∞
( )
an x + n 1
F( x) = ∑ n + 1
n = 0
für alle x aus I, und die Grenzfunktion ist die durch (0,0) verlaufende Stammfunktion von f( x ) .
Hierbei ist in Randpunkten des Konvergenzintervalls natürlich nur die jeweilige einseitige
Ableitung zu bilden.
Daß sich beim Integrieren der Konvergenzbereich allerdings um einzelne Punkte vergrößern kann,

zeigen die nächsten zwei Beispiele.
Beispiel 1: Die geometrische Reihe und der Logarithmus
Aus der nur im offenen Intervall ]-1,1[ konvergenten geometrischen Reihe
∞
1
=
1 + x ∑ ( −x )
n = 0
n = 1 − x + x −
2
x 3 ...
gewinnt man durch gliedweise Integration die Potenzreihe für den (um 1 verschobenen)
natürlichen Logarithmus
∞ ⎛ ( )
⎜ ( −x ) ⎞
⎟
ln ( 1 + x) = ∑ ⎜ − ⎟
⎝
⎠
n = 0
+ n 1
⎛ ∞ n
= −
⎜ ( −x ) ⎞
⎟ x
n + 1 ⎜∑
⎟
= x − + −
⎝ n
n = 1 ⎠
2
x
2
3
x
3
4
4 ...
die im Gegensatz zur geometrischen Reihe aufgrund des Leibniz-Kriteriums auch noch im rechten
Randpunkt 1 konvergiert:
⎛ ∞ n ⎞
ln( 2) = −
⎜ ( −1) ⎟ 1 1 1
⎜∑
⎟
= 1 − + −
⎝ n
n = 1 ⎠ 2 3 4 ...
Im linken Randpunkt -1 entsteht dagegen die negative harmonische Reihe
⎛ ∞ n ⎞
−
⎜ ( −1) ⎟ 1 1 1
⎜∑
⎟
= − 1 − − −
⎝ n
n = 1 ⎠ 2 3 4
welche bekanntermaßen gegen −∞ divergiert.
Wir zeichnen im Folgenden die jeweilige Funktion und eine Schar approximierender
Taylorpolynome, sowie das zugehörige Bild für eine Stammfunktion.
f( x )
=
1
1 + x
⌠
⎮ f( x ) dx
= ln ( 1 + x
)
⌡

Beispiel 2: Eine Stammfunktion des Logarithmus
ist
⌠
⎮ ln ( 1 + x ) dx
= ( 1 + x ) ( ln ( 1 + x ) − 1 ) ,
⌡
wie man durch Ableiten der rechten Seite sofort bestätigt. Die zugehörige
Potenzreihenentwicklung bekommen wir durch nochmalige gliedweise Integration der Potenzreihe
für den Logarithmus:
⎛ ∞ ( n + 1 )
⌠
⎜ ( −x ) ⎞
⎟ x
⎮ ln ( 1 + x ) dx
= − 1 + ⎜
⌡
⎜∑
⎟
= − 1 + − +
⎝ n ( n + 1)
n = 1 ⎠
2
x
2
3
x
6
4
12 ...
Die Integrationskonstante -1 haben wir durch Einsetzen von x = 0 in
( 1 + x ) ( ln ( 1 + x ) − 1 )
gefunden. Die neue Potenzreihe konvergiert nun sogar in beiden Randpunkten:
Daß die Potenzreihe für x = 1 gegen 2 ( ln( 2) − 1 ) konvergiert, ist ihr sicher nicht anzusehen, folgt
aber sofort durch Einsetzen von x = 1 ( 1 + x ) ( ln ( 1 + x ) − 1 ) . Andererseits kann man sehr wohl
direkt aus der Reihe ablesen, daß für x = −1 der Grenzwert 0 herauskommen muß:
⎛ ∞ ( )
⎜ 1 ⎞
⎟
− 1 + ⎜
⎜∑
⎟
⎝ n = 1 ⎠
+ n 1
⎛ m
= − 1 +
⎜ ⎛ 1 1 ⎞ ⎞
⎟
n ( n + 1)
⎜
lim ∑ ⎜ − ⎟ ⎟
=
⎝ m → ∞ ⎝ n n + 1 ⎠
n = 1
⎠
⎛
1 ⎞
− 1 + ⎜ lim 1 − ⎟ = 0.
⎝ m → ∞ m + 1 ⎠
Hingegen muß man die Regel von l'Hospital bemühen, will man diesen Wert durch "Einsetzen"
von x = −1 in( 1 + x ) ( ln ( 1 + x ) − 1 ) ermitteln:
ln ( 1 + x ) − 1
lim ( 1 + x ) ( ln ( 1 + x ) − 1) = lim
( )
x → ( −1 ) +
x → ( −1 ) + ( 1 + x )
−1
=
lim
x → ( −1 ) +
( ) −1
( 1 + x )
= lim
( −2 )
−( 1 + x )
−1
x → ( ) +
1 + x = 0 .
Die Stammfunktion und ihre ersten Taylorpolynome sehen folgendermaßen aus:
⌠
⎮ f( x) dx
= ln ( 1 + x ) ( 1 + x ) − x − 1
⌡

In den bisherigen Beispielen war die Integration im Prinzip noch ohne Zuhilfenahme von
Potenzreihen möglich. Häufig ist aber die Reihenentwicklung die letzte Rettung, wenn man
anderweitig bei der Suche nach Stammfunktionen nicht zum Ziel kommt.
Wir betrachten vier der wichtigsten Spezialfälle. Beim ersten Durcharbeiten können Sie diese
überspringen.
Beispiel 3: Der Integralsinus
ist die durch 0 verlaufende Stammfunktion der in 0 stetig ergänzten Funktion
sin( x )
.
x
Mit den Reihenentwicklungen
n ( 2 n + 1 )
−1 x
n ( 2 n )
−1 x
∞
( )
sin( x )
sin( x ) = ∑ und =
( 2 n + 1 ) !
x
n = 0
∑ ∞
( )
( 2 n + 1 ) !
n = 0
erhalten wird durch gliedweise Integration die Reihenentwicklung des Integralsinus:
⌠
∞
⎮ sin( x)
( −1 )
⎮ dx
= ∑ ⎮ x
⌡
n = 0
n ( )
x + 2 n 1
= − +
( 2 n + 1 ) ! ( 2 n + 1 )
x
x 3
x
18
5
600 ...
Diese Reihe konvergiert nahe bei 0 noch erheblich schneller als die für den Sinus!
⌠
⎮ sin( x)
⎮
⎮ x
⌡
d
,
m
x ∑
n = 0
( -1) n x
( ) + 2 n 1
( 2 n + 1 ) ! ( 2 n + 1)

Beispiel 4: Das Gaußsche Fehlerintegral
( )
entsteht durch Integration der Glockenkurve e −x2
und ist in der Wahrscheinlichkeitslehre und
Statistik von zentraler Bedeutung.
Wegen
ergibt sich
( )
e −x2
⌠
⎮
⌡
=
)
e( −x2
∞
( )
∑
n = 0
n ( 2 n )
−1 x
n!
n ( 2 n + 1 )
−1 x
∞
( )
dx
= ∑ n ! ( 2 n + 1 )
n = 0
x 3
x 5
= − + x - + ...
3 10
MAPLE kennt diese Funktion unter der Bezeichnung erf (error function).
⌠ ) ⎮e(
⎮ d ,
⌡
−x2
m n ( 2 n + 1 )
( -1 ) x
n ! ( 2 n + 1 )
x ∑
n = 0
Wie man sieht, ist die Approximation durch die Partialsummen der Potenzreihe innerhalb des

Einheitsintervalls ziemlich gut, außerhalb davon aber sehr schlecht.
Beispiel 5: Das Exponential-Integral
⌠
⎮e
Ei( x ) = ⎮ d
⎮
⌡
x
x
x
gehört ebenfalls nicht zu den elementaren Funktionen. Jedoch besitzt es für alle von 0
verschiedenen x die "partielle Reihenentwicklung"
⎛ ∞
Ei( x ) = C + ln( x ) +
⎜ x ⎞
⎟
⎜∑
⎟
⎝ n = 1 ⎠
n
n! n ,
wie man durch gliedweise Differentiation bestätigt:
1 ⎛ ∞ ( n − 1 )
⎜ x ⎞ ⎛ ∞ n
⎟ ( −1 )
Ei´ ( x ) = + ⎜
x ⎜∑
⎟
= x
⎜ x ⎞
⎟ e
=
⎝ n!
⎜∑
⎟
n = 1 ⎠ ⎝ n!
n = 0 ⎠
x
x .
Die Integrationskonstante C wählt man meist so, daß
lim Ei( x) = 0
x → ( −∞)
herauskommt. Ohne Beweis sei erwähnt, daß sich bei dieser Wahl die berühmte, nach Leonhard
Euler (1707-1783) und Lorenzo Mascheroni (sprich: Maskeroni) (1750-1800) benannte Konstante
ergibt, welche den Inhalt der Fläche zwischen den Funktionen 1/x und 1/[x] im Intervall von 1 bis
∞ beschreibt:
⎛ n
C = lim
⎜ 1 ⎞
⎟
⎜ ⎟
− ln( n ) = .5772156649...
n → ∞ ⎝ k ⎠
∑
k = 1
Das Exponential-Integral ist mit MAPLE ebenfalls als spezielle Funktion abrufbar.
Ei( x
)

Will man aus der obigen Darstellung für Ei( x ) eine echte Reihenentwicklung machen, so muß man
den Logarithmus an einer Stelle rechts von 0 entwickeln, denn bei 0 hat ln( x ) bekanntlich einen
Pol. Am bequemsten ist eine Verschiebung um 1: Aus der geometrischen Reihe
∞
1
=
1 + x ∑ ( −x )
n = 0
n = 1 − x + x 2 - + ...
entsteht durch gliedweise Integration
( n + 1 )
−x
∞
( ) ⎛ ∞ n
ln ( 1 + x) = ∑ = −
⎜ ( −x ) ⎞
⎟ x
=
n + 1 ⎜∑
⎟
x − +
n = 0
⎝ n
n = 1 ⎠
2
x
2
3
- + ...
3
Die Taylorentwicklung für Ei( x ) im Punkt 1 lautet daher
⎛ ∞ n
Ei ( 1 + x ) = C −
⎜ ( −x ) ⎞ ⎛ ∞ n
⎟
⎜∑
⎟
+
⎜ ( 1 + x) ⎞
⎟
⎝ n ⎜∑
⎟
=
n = 1 ⎠ ⎝ n! n
n = 1 ⎠
⎛
⎜
1 e x ⎞
series ⎜ Ei( 1 ) + e x + + + + + + , , ⎟
⎝
⎠
3
⎛ 1 e ⎞
⎜ − ⎟
6 ⎝ 12 ⎠
x4 3 e x 5
⎛ 11 e ⎞
⎜−
⎟
40 ⎝ 180 ⎠
x6 53 e x 7
O( x )
1008
8
x 8
mit
⎛ ∞
Ei( 1 ) = C +
⎜ 1 ⎞
⎟
⎜ ⎟
⎝ n! n ⎠
.
∑
n = 1
∞
∑
n = 1
1
C = 0.5772156649 , = 1.317902151
n! n
Ei( 1 ) = 1.895117816

Beachten Sie, daß die Taylorpolynome die Funktion Ei ( 1 + x ) tatsächlich nur zwischen -1 und 1
gut approximieren!
Beispiel 6: Der Integrallogarithmus
Während wir den Logarithmus ln( x ) und seine Ableitung 1
wir bei der Funktion
1
x
mühelos integrieren konnten, stoßen
ln( x )
mit unseren elementaren Integrationskünsten an Grenzen. Die naheliegende Substitution
t = ln( x ) , x = e t , dx = e t dt
führt auf
⌠ ⎡⌠
⎤
⎮ 1 ⎢⎮
e ⎥
⎮ dx
= ⎢⎮
⎥
⎮ ln( x ) ⎢
⎮
d
⎮
⎥
⌡ ⎣⌡
⎦
t
t
t
t = ln( x)
= Ei ( ln( x ) )
und hilft nicht wirklich weiter. Eine ziemlich gute Näherung an diese Funktion (für nicht zu große
x) ist
x
+ ln ( x − 1 ) .
2

Wir können 1
weder um 0 noch um 1 in eine Potenzreihe entwickeln, weil dort Pole liegen.
ln( x )
Deshalb betrachten wir die "verschobene" Potenzreihe um den Entwicklungspunkt e. Dazu bilden
wir zunächst den Kehrwert der für −1 < y < 1 konvergente Potenzreihe
⎛ ∞ n ⎞
1 + ln ( 1 + y ) = 1 −
⎜ ( −y) ⎟ y
⎜∑
⎟
= 1 + y − +
⎝ n
n = 1 ⎠
2
y
2
3
- +...
3
und errechnen
1
=
1 + ln ( 1 + y ) ∑ ∞
( − ln ( 1 + y ) )
n = 0
n ⎛ ∞ ( n + 1 ) ⎞
⎜ ( −y ) ⎛ ∞ ( n + 1 )
⎟ ⎜ ( −y ) ⎞
⎟
= 1 − ⎜
⎜∑
⎟
+ ⎜
⎝ n + 1 ⎜∑
⎟
- + ... =
n = 0 ⎠ ⎝ n + 1
n = 0 ⎠
3 y
1 − y + − + −
2
7 y
2
3
11 y
3
4
347 y
3
5
+ - ...
60
Die explizite Berechnung der Koeffizienten ist ziemlich mühsam! Außerdem gilt diese
Reihenentwicklung höchstens für
1
y < 1 −
e ,
1
da simultan y < 1 und ln ( 1 + y ) < 1 , d.h. − 1 < y < 1 erfüllt sein muß.
e
2

1
Wie man sieht, liegt Konvergenz tatsächlich nur für y < 1 − vor, rechts von dieser Grenze
e
divergieren die Näherungspolynome sehr stark gegen ∞ bzw. gegen −∞ .
x
Einsetzen von − 1 für y, d.h. x = e ( 1 + y ) und ln( x ) = 1 + ln ( 1 + y ) ergibt:
e
1
ln( x )
2
3
⎛ x ⎞
= 1 − ⎜ − 1⎟
+ − + −
⎝ e ⎠
⎛ x ⎞
⎜ − 1 ⎟ 7
⎝ e ⎠
2
⎛ x ⎞
⎜ − 1⎟
11
⎝ e ⎠
3
⎛ x ⎞
⎜ − 1⎟
347
⎝ e ⎠
3
⎛ x ⎞
⎜ − 1 ⎟
⎝ e ⎠
+ - ...
60
für x im Bereich zwischen 1 und 2 e − 1.
Schließlich liefert uns gliedweise Integration die Reihenentwicklung an der Stelle e:
⌠
⎮ 1
x
⎮ dx
= C1 + 2 x − + − + −
⎮ ln( x )
⌡
2
( x − e )
2 e
3
2 e 2
7 ( x − e )
4
12 e 3
11 ( x − e) 5
15 e 4
347 ( x − e) 6
360 e 5
+ - ...
Probe mit MAPLE:
⌠
⎮
⌡
3
( )
x − e 2
e 5( x ) = 1 − + − + −
e
−
2
x e
( e) 2
7 ( x − e) 3
3
( e )
3
11
( )
3 −
4
x e
( e )
4
347
60
T ,
3
4
( x − e )
5
1
−
2
e 5( x) dx
= x − + − + −
x2
1
e x ( )
2
e
−
3
x e
( e) 2
7 ( x − e )
12
4
( e) 3
11
( )
15 −
5
x e
( e )
4
347
360
T ,
Hier hat MAPLE C1 =
1001
− + − + − + −
360 e
917
60 x
655 x
24
2
265
9
e
x3
( e )
2
449 x
24
4
( e) 3
391
60 x5
( e )
4
347
360
( e )
5
x 6
( e )
5
5
( x − e )
6
( e )
5
0 genommen. Wir wählen die Konstante C 1 so, daß als Stammfunktion

Ei ( ln( x ) ) herauskommt.
Schiebt man den Entwicklungspunkt weiter nach rechts, so werden die Approximationen auf
einem entsprechend größeren Intervall konvergieren, aber die Rechnungen werden auch
komplizierter.
a := 6
Zum Schluß wollen wir noch einen Typ von Potenzreihen behandeln, der besonders häufig in der
Praxis auftritt. Die Grenzfunktionen sind zwar elementar integrierbar, aber bei numerischen

Berechnungen ist meistens die Potenzreihendarstellung sehr viel bequemer als die explizite Form
der Grenzfunktionen.
Beispiel 7: Binomialreihen und Wurzelfunktionen
Wir definieren die verallgemeinerten Binomialkoeffizienten
n
c − j + 1
B ( c, n) = ∏ = c (c-1) ... (c-n+1)/n! , speziell B ( c, 0) = 1
j
j = 1
und folgern aus der Rekursionsformel
B ( c, n ) ( c − n )
B ( c , n + 1)
=
,
n + 1
daß die Potenzreihe
∞
g( x ) = ∑ B ( c, n ) x
n = 0
n
den Konvergenzradius 1 hat:
B ( c , n + 1 ) c − n
lim
= lim = +
n → ∞ B ( c, n)
n → ∞ n + 1 1
⎛ c + 1 ⎞
⎜ lim ⎟ = 1.
⎝ n → ∞ n + 1 ⎠
Wir dürfen sie also für x < 1 gliedweise differenzieren und bekommen
∞
g´ ( x ) = ∑
n = 1
n B ( c, n) x
= c g( x ) − x g´ ( x ) .
( ) − n 1
∞
= ∑
n = 0
( n + 1 ) B ( c , + )
Jetzt bilden wir die Ableitung von h( x ) = g( x ) ( 1 + x )
( ) −c
h´ ( x ) = g´ ( x ) ( 1 + x ) − g( x ) c ( 1 + x )
( − c − 1 )
∞
n 1 x n =∑
n = 0
( ) −c
:
( c − n ) B ( c, n ) x n
= ( g´ ( x) + x g´ ( x) − c g( x ) ) ( 1 + x )
( − c − 1 )
= 0.
Folglich ist h( x ) konstant gleich 1 (wegen h( 0 ) = g( 0 ) = B ( c, 0) = 1). Damit sind wir am Ziel und
haben
( 1 + x) c
=
∞
g( x ) = ∑
n = 0
Speziell erhalten wir für c =
∞
1 + x = ∑
=
n 0
∞
1 − x = ∑
=
Setzen wir noch
w n
=
n
∏
j = 1
n 0
B ( c, n ) x n .
1 1
und c = − die Darstellungen
2 2
⎛ ⎞
B ⎜ , ⎟
⎝ ⎠
1
2 n xn 1
, =
1 + x ∑ =
∞
n 0
∞
⎛ ⎞
B ⎜ , ⎟
⎝ ⎠
1
n ( )
2 −x n 1
, =
1 − x ∑ =
2 j − 1
2 j
,
so ergeben einfache Umformungen die Gleichungen
n 0
⎛
B ⎜ − ,
⎝
1
2
⎞
⎟
⎠
n xn
⎛ ⎞
B ⎜ − , ⎟
⎝ ⎠
1
n ( )
2 −x n .

B ( 2 n, n) = 4 n ⎛ ⎞
wn , B ⎜ , ⎟ =
⎝ ⎠
1 ( −1 )
n −
2 n wn ⎛ ⎞
, B ⎜−
, ⎟ =
2 n − 1 ⎝ ⎠
1
n ( )
2 −1 n wn und damit
⎛ ∞
wn
⎜
x ⎞
⎟
1 − x = 1 −
⎜∑
⎟
⎝ n = 1 ⎠
n
1 ⎛ ∞ ⎞
und = 1 +
⎜ ⎟
2 n − 1 1 − x
⎜∑
wn x
⎟
⎝ n = 0 ⎠
n .
Die erste dieser beiden Formeln kann man aus der zweiten auch durch gliedweise Integration
gewinnen:
⌠
⎛ ∞
( ) ⎞
⎮ 1
⎜ wn x ⎟
1 − x = 1 − ⎮ dx
= 1 − ⎜
⎟
⎮2
1 − x
⎜∑
⎟
⌡
⎝ n = 0 ⎠
+ n 1
⎛ ∞
⎜
w ⎞
n − 1 x
⎟
= 1 −
2 ( n + 1)
⎜∑
⎟
⎝ n = 1 ⎠
n
=
2 n
⎛ ∞
wn
⎜
x ⎞
⎟
1 −
⎜∑
⎟
⎝ n = 1 ⎠
n
2 n − 1 .
Explizit lauten die ersten Glieder der vier Reihen:
1
1 − x
1
1 + x
1
= 1 + + + + + +
2 x
3
8 x2 5
16 x3 35
128 x4 63
256 x5 O( x )
6
1
= 1 − + − + − +
2 x
3
8 x2 5
16 x3 35
128 x4 63
256 x5 O( x )
6
1
1 − x = 1 − − − − − +
2 x
1
8 x2 1
16 x3
5
128 x4
7
256 x5 O( x )
6
1
1 + x = 1 + − + − + +
2 x
1
8 x2 1
16 x3
5
128 x4
7
256 x5 O( x )
6
f( x)
=
1
1 − x
f( x ) = 1 − x

Gliedweise Integration der Reihe für 1 + x liefert beispielsweise
2
( ) =
3 +
( )
1 x / 3 2 2 1
+ x + − + − + +
3 4 x2 1
24 x3 1
64 x4
1
128 x5
7
1536 x6 O( x )
7
aber das kann man natürlich auch direkt mit der Binomialreihe herausbekommen.

6.2. Maß und Integral
Von zentraler Bedeutung für die Ingenieurmathematik (und nicht nur dort) ist die Berechnung von
Längen, Flächeninhalten und Volumina. Die Grundidee ist dabei, die gesuchte Größe durch
Summen von leicht bestimmbaren Längen-, Flächen- oder Volumenstücken oder von anderen
"Grundelementen" gut anzunähern. Wir wählen hier einen zugleich einfachen, anschaulichen und
praxisorientierten Zugang. Dabei wagen wir uns gleich auch an den mehrdimensionalen Fall.
6.2.A Intervalle und Inhalt
Ausgangspunkt bei Berechnungen in kartesischen Koordinaten sind die Inhalte von beschränkten
Intervallen (meist abgeschlossen, gelegentlich aber auch offen oder halboffen). Sinnvollerweise
definiert man als Länge oder Inhalt eines solchen Intervalls I die Zahl
μ( I ) = b − a ,
wobei a für das Infimum und b für das Supremum von I steht, d.h. I ist eines der Intervalle [a,b] , ]
a,b] , [a,b[ , ]a,b[ .
Unter einem m-dimensionalen Intervall verstehen wir ein kartesisches Produkt
m
A = ∏
k = 1
I k
von eindimensionalen Intervallen I k . Ist A beschränkt, so spricht man auch von einem (m
-dimensionalen) Quader. Sein Inhalt ist dann gegeben durch das Produkt
m
μ( A) = ∏ μ( Ik ) .
k = 1
Im Falle m = 2 ist dies der Flächeninhalt oder das Areal des Rechtecks A = I1 x I2 ,
und im Fall m = 3 ist es der Rauminhalt oder das Volumen des Quaders A = I1 x I2 x I3 .
Offenbar spielt es für die Berechnung des Inhalts keine Rolle, ob man den Rand (oder einen Teil
desselben) hinzunimmt oder nicht.

Gebäude
Eine disjunkte Vereinigung A von endlich vielen Intervallen A j im R m wollen wir ein Gebäude
nennen.
Wie man sieht, ist die Vereinigung zweier Gebäude A und B wieder ein solches, aber auch deren
Durchschnitt und die Differenz A − B (die alle Punkte aus A enthält, die nicht zu B gehören). In
diesem Sinne bilden die Gebäude eine Mengenalgebra.
Es ist anschaulich klar (und nicht allzu schwer zu beweisen), daß für ein Gebäude A die
Definition
k
μ( A) = ∑ μ( Aj )
j = 1
nicht von der speziell gewählten Zerlegung von A in die Intervalle Aj abhängt. Man nennt μ( A ) den
Inhalt von A. Für m = 2 ist das wieder der "anschauliche" Flächeninhalt von A, für m = 3 ist μ( A )
das Volumen von A.
Die wichtigste Eigenschaft des so definierten Inhalts ist seine Additivität:
Sind A und B zwei disjunkte Gebäude und A + B ihre Vereinigung, so gilt
μ ( A + B ) = μ( A ) + μ( B ) .
Ist ein Gebäude C in A enthalten, so gilt

μ ( A − C ) = μ( A ) − μ( C ) ,
denn A ist ja die disjunkte Vereinigung von C und A − C.
Beispiel 1: Manhattan zweidimensional
Gesamtfläche der Skyline = Summe der einzelnen Rechtecke
Beispiel 2: Manhattan dreidimensional
Gesamtvolumen aller Gebäude = Summe der einzelnen Säulen
Allgemeiner kann man eine Dichtefunktion auf einer disjunkten Vereinigung von Quadern
betrachten, die auf jedem Quader Aj den konstanten Wert ρ( Aj ) hat. Die Masse eines Quaders ist
dann μ( Aj ) ρ( Aj ) , und die Gesamtmasse aller Quader ergibt sich als "gewichtete Summe".
Beispiel 3: Ein quadratischer Mosaikboden
aus Würfeln der Seitenlänge 1 und der variablen Dichte 1 bis n (von außen nach innen) wird
diagonal verlegt.
Zum innersten Würfel der Dichte n kommen 4 Würfel der Dichte n − 1, dann 8 Würfel der Dichte

n − 2 usw, bis zur äußersten umlaufenden Reihe, die aus 4 ( n − 1 ) Würfeln der Dichte 1 besteht.
Die Gesamtmasse beträgt daher
⎛ n ⎞ ⎛ n ⎞ ⎛ n ⎞
M = n +
⎜
⎟
⎜∑
4 j ( n − j )
⎟
= n + 4 n
⎜ ⎟
⎜∑
j
⎟
− 4
⎜ ⎟
⎜∑
j
⎟
⎝ j = 1 ⎠ ⎝ j = 1 ⎠ ⎝ j = 1 ⎠
2 .
Die Summenformeln
n
∑ j
j = 1
=
n ( n + 1 )
2
n
∑
j = 1
und j =
2 n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )
6
zeigt man am einfachsten induktiv (Übungsaufgabe). Ergebnis:
4 n ( n + 1 ) n
M = n + −
2
Meßbare Mengen und ihr Inhalt
4 n ( n + 1 ) ( 2 n + 1)
6
2 n +
=
3
n
.
3
Für welche allgemeineren Teilmengen des R m ist es nun möglich, einen sinnvollen Inhalt (Länge,
Areal, Volumen) zu definieren? Naheliegend und für die Praxis vorteilhaft ist es zu versuchen, die
gegebene Menge A "von innen und von außen" durch Gebäude zu approximieren und den Inhalt
dann als den Grenzwert der Näherungsinhalte zu definieren, sofern dieser existiert. Man nennt
deshalb
das Infimum der Inhalte aller A umfassenden Gebäude den äußeren Inhalt von A und
das Supremum der Inhalte aller in A enthaltenen Gebäude den inneren Inhalt von A.
Stimmen beiden Größen überein, so ist es sinnvoll, sie als Inhalt oder Maß von A anzusehen und
mit μ( A ) zu bezeichnen. In diesem Fall nennt man die Menge A (Riemann-)meßbar, nach dem
deutschen Mathematiker Bernhard Riemann (1826-1866). Nicht meßbare Menge sind reichlich
pathologisch und interessieren den Ingenieur nicht. Wir setzen daher im Folgenden voraus, daß alle
auftretenden Mengen meßbar seien.
Aufgrund der obigen Definition sind meßbare Mengen stets beschränkt. Will man auch für
unbeschränkte Mengen ein Maß definieren, so muß man mit unendlichen Summen von Quadern
arbeiten. Auf diesen erweiterten, nach dem französischen Mathematiker Henri Lebesgue (sprich:
Le Beg) (1875-1941) benannten Maßbegriff können wir hier nicht näher eingehen. Wir werden
aber im Abschnitt über "uneigentliche" Integrale auch solche Fälle behandeln.
Wir veranschaulichen den äußeren und inneren Inhalt im Fall m = 2 (Ebene) graphisch (ohne den
Flächeninhalt wirklich auszurechnen; dazu kommen wir später).
Beispiel 4: Raute, Kreis und Astroide
Die Gleichung
+ y p = 1
beschreibt für
p = 1 eine quadratische Raute
p = 2 einen Kreis
2
p = eine Astroide.
3
x p
a) Kästchenmethode

Wir zeichnen die entsprechenden Flächen und deren Approximation durch quadratische Kästchen
von innen und außen. Die Anzahl der Kästchen, multipliziert mit dem Quadrat ihrer Seitenlänge,
ergibt jeweils eine untere bzw. obere Schranke für den gesuchten Flächeninhalt. Das arithmetische
Mittel aus der oberen und der unteren Schranke ist eine brauchbare Näherung.
Raute , x + y = 1
Mittel
n = 1 , Kästchenzahl = 4 , aussen = 4 , innen = 0 , Mittel = 2 , = 2
Mittel
n = 4 , Kästchenzahl = 64 , aussen = 40 , innen = 24 , Mittel = 32 , = 2
Mittel
n = 16 , Kästchenzahl = 1024 , aussen = 544 , innen = 480 , Mittel = 512 , = 2
Der Flächeninhalt der Raute ist 2 und ergibt sich hier genau als Mittelwert.
Kreis , + = 1
x 2
Mittel
n = 1 , Kästchenzahl = 4 , aussen = 4 , innen = 0 , Mittel = 2 , = 2
Mittel 13
n = 4 , Kästchenzahl = 64 , aussen = 60 , innen = 44 , Mittel = 52 , =
4
y 2
n 2
n 2
n 2
n 2
n 2

Mittel 103
n = 16 , Kästchenzahl = 1024 , aussen = 856 , innen = 792 , Mittel = 824 , =
32
13
Diese Näherungen für die Kreisfläche π sind noch nicht besonders gut: =
4
.
( ) / 2 3
( ) / 2 3
Astroide , x + y = 1
Mittel
n = 1 , Kästchenzahl = 4 , aussen = 4 , innen = 0 , Mittel = 2 , = 2
Mittel 3
n = 4 , Kästchenzahl = 64 , aussen = 32 , innen = 16 , Mittel = 24 , =
2
n 2
103
3.25 , = 3.21875
32
Mittel 21
n = 16 , Kästchenzahl = 1024 , aussen = 368 , innen = 304 , Mittel = 336 , =
16
21
Auch = 1.3125 ist noch keine gute Näherung! Mit Hilfe der Integralrechnung ergibt sich für
16
3 π
die Astroide der exakte Flächeninhalt , also etwa 1.1781 .
8
b) Streifenmethode
Eine Zerlegung in senkrechte Streifen gleicher Breite, die von Schritt zu Schritt kleiner wird, führt
auf das Riemann-Integral, das wir im nächsten Abschnitt behandeln werden. Eine waagrechte
Streifenzerlegung führt bei geeigneter Interpretation zum sogenannten Lebesgue-Integral.
Kreis , + = 1
x 2
y 2
n 2
n 2
n 2

n = 16 , Obersumme = 3.248253038 , Untersumme = 2.998253038 , Mittelwert = 3.123253038
Auch diese Approximationen sind nicht berauschend. Zudem haben sie den Nachteil, daß viele
Wurzeln berechnet werden müssen, und das erfordert weitere Näherungslösungen; z.B. ist der
exakte Mittelwert für n = 8
1 5
+ + + + +
16 64 7
3 1
1
3 5 5 11
64 64 16 3
1
3 13
64
Hier wie bei der Astroide fällt auf, daß die Näherungen um so schlechter sind, je steiler die
Randkurve wird. Dort sollte man für gute Approximationen also schmalere Streifen wählen.
( ) / 2 3
( ) / 2 3
Astroide , x + y = 1
n = 16 , Obersumme = 1.312115965 , Untersumme = 1.062115965 , Mittelwert = 1.187115965
Beispiel 5: Die Fläche eines parabolischen Brückenbogens
Wir spiegeln an der x-y-Ebene (Oberfläche des Flusses) und nähern die rechte Hälfte der Fläche
durch eine Summe senkrechter Rechteckstreifen an.
Bei einer Streifenbreite von 1
n
1 1
f( x ) = +
2 2 x2
beträgt der Flächeninhalt des k-ten Streifens

2
⎛ k ⎞
1 + ⎜ ⎟
⎝ n ⎠ n +
=
2 n
2
k 2
2 n 3
und der Flächeninhalt der gesamten Näherungsfläche (verdoppelt):
n ⎛
2
⎜ ⎛ k ⎞
⎞
⎟
∑ ⎜1
+ ⎜ ⎟ ⎟
⎝ ⎝ n ⎠ ⎠ ⎛ n ⎞
k = 1
( −3 )
= 1 + n
⎜ ⎟
n
⎜∑
k
⎟
⎝ k = 1 ⎠
2 n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )
= 1 +
6 n 3
6 n + + +
=
2
2 n 2
3 n 1
6 n 2
4 1 1
= + + .
3 2 n 2
6 n
Indem wir n gegen ∞ laufen lassen, erhalten wir als Flächeninhalt des Brückenbogens den Wert 4
3 .
Nun noch ein noch konkretes Beispiel der Kästchenmethode im 3-dimensionalen Raum.
Beispiel 6: Ausfüllen eines Oktaeders mit Würfeln
Die Anzahl der Würfel in der oberen Pyramide haben wir schon in Beispiel 3 berechnet: Ein
Würfel der Dichte n hat ja die gleiche Masse wie eine Säule aus n Würfeln der Dichte 1. Deshalb

ist die Anzahl der Würfel oberhalb (und einschließlich) der "Mittelebene" gleich
2 n +
3
n
,
3
und die der restlichen Würfel (in der unteren Pyramide, die eine Schicht weniger hat)
2 ( n − 1 ) + −
3
n 1
3
zusammen also
,
2 n +
sn = +
3
n 2 ( n − 1 ) + −
3
3
n 1 4 n
= − + −
3
3
2 n
3
2 8 n ( )
1 =
3
− 2 n 1 ( 2 n2 − 2 n + 3)
.
3
Die ersten Werte s1 = 1 , s2 = 7 , s3 = 25 , s4 = 63 , = 129 legen die Vermutung
lim
n → ∞
s n
n 3
= 1
nahe, aber wie die explizite Formel zeigt, gilt in Wirklichkeit
lim
n → ∞
s n
n 3
=
4
3 .
Hat jeder einzelne Würfel Wj die Seitenlänge 1
und damit das Volumen ( ) =
n μ W 1
j , so ergibt
3
n
sich für das Gesamtvolumen
s n
s 5
=
n 3
4 2 8
− + −
3 n 3 n 2
1
.
3
n
Das kleinste um dieses Würfelgebäude passende Oktaeder hat die Seitenlänge 2 und die Höhe 1 .
Sein Volumen ist nach früheren Erkenntnissen aus der linearen Algebra
2 2
=
2
4
3 3 .
Vergrößern wir n um 1, so erhalten wir ein Würfelgebäude, welches das Oktaeder umfaßt. Es hat
(bei gleichbleibendem Würfelvolumen 1
) das Gesamtvolumen
3
n
s n + 1
4 2 8
= + + +
3
n 3 n 3 n 2
1
.
3
n
Das arithmetische Mittel aus äußerem und inneren Würfelgebäude ist eine gute Näherung für das

Oktaedervolumen:
sn + s n + 1
=
2 n 3
4 8
+ .
3 2
3 n
Beispiel 7: Ein Denkmal für Mathe und Inge
Wir türmen Würfel der Seitenlänge 1,2, ..., n zu einem Monument übereinander und stellen
dahinter eine gleichhohe quadratische Gedenktafel der Dicke 1.
Mathe und Inge finden heraus, daß man genau gleich viel Material für das Monument wie für die
Tafel braucht. Können Sie das bestätigen?

⎛
⎜
⎜
⎝
n
∑
k = 1
2
⎞
k
⎟
⎟
⎠
=
n
∑ k
k = 1
3

6.2.B Das bestimmte Integral
Es dient der Berechnung von Bogenlängen, Flächeninhalten, Volumina, Massen, Potentialen,
Schwerpunkten, Momenten und vielen anderen physikalisch oder technisch bedeutungsvollen
Größen. Aus der im vorigen Abschnitt entwickelten Methode der Approximation durch leicht
bestimmbare Längen-, Flächen- oder Volumenelemente resultieren verschiedene Integralbegriffe
(nach Riemann, Darboux, Lebesgue und anderen Mathematikern benannt); sie unterscheiden sich
aber im Endeffekt nur in der Klasse der Funktionen, auf die sie anwendbar sind - und die stetigen
Funktionen gehören, wie wir bald sehen werden, auf jeden Fall stets zu den integrierbaren. Wir
wählen hier den eleganten Zugang über
Charakteristische Funktionen und Treppenfunktionen
Für eine (meßbare) Teilmenge A des R m heißt die Funktion
χA mit χA( x) = 1 für x aus A und χA( x ) = 0 für alle anderen x
die charakteristische Funktion von A. In der Integrationstheorie spielt es dabei keine wesentliche
Rolle, ob χ A auf ganz R m oder nur auf einer A umfassenden Teilmenge definiert ist. Im Falle eines
beschränkten Intervalls A sprechen wir von einer Quaderfunktion (im zweidimensionalen Fall:
Rechteckfunktion).
Bezeichnet für zwei Teilmengen A, B des R m
A B den Durchschnitt,
A + B die Vereinigung, falls A und B disjunkt sind,
A − B die Differenz, falls B in A enthalten ist,
so gelten die einprägsamen Gleichungen
χAB = χA χB , = χA χB , = χB .
χ A + B +
χ A − B χA −
Unter einer gestuften Funktion verstehen wir eine Linearkombination von charakteristischen
Funktionen χ A (mit meßbarem Träger A), und unter einer Treppenfunktion eine
Linearkombination von Quaderfunktionen. Bis auf die Meßbarkeitseinschränkung sind gestufte
Funktionen einfach solche, die nur endliche viele Werte annehmen.
Beispiel 1: Charakteristische Funktion eines Kreises und gestufte Funktion
Beispiel 2: Quaderfunktion und Treppenfunktion

Die gestuften Funktionen bilden einen Unterraum des Vektorraums aller Funktionen von
(Teilmengen des) R m nach R, und die Treppenfunktionen bilden wieder einen Unterraum des
Raumes der gestuften Funktionen. Wichtig für die Praxis ist, daß jede Stufenfunktion eine
Darstellung der Form
k
f = ∑
j = 1
c j χ Aj
mit paarweise disjunkten Mengen A j besitzt, und daß man für diese Mengen A j im Falle einer
Treppenfunktion sogar Intervalle wählen kann. Auch diese anschaulich einleuchtende Tatsache
läßt sich mathematisch exakt beweisen, was wir hier aber nicht tun wollen. Eine graphische
Veranschaulichung möge genügen.
Beispiel 3: Eine Summe von drei Quaderfunktionen
+ + , A1 = [ 0, 3 ] x [ 0, 3 ] , A2 = [ 2, 5 ] x [ 1, 4 ] , A3 = [ 1, 4 ] x [ 2, 5]
χ A1
χ A2
χ A3
Integrale als gewichtete Inhalte
Das (bestimmte) Integral einer Treppenfunktion
k
f = ∑
j = 1
c j χ Aj
(mit disjunkten Mengen A j ) ist nun definiert durch

k
⌠
⎮f dμ
=
⌡ ∑ cj μ( Aj ) .
j = 1
Die anschauliche Bedeutung des so definierten Integrals ist klar: Für positive cj ist das Integral
nichts anderes als der Inhalt des Gebäudes, das aus den Quadern Aj x [ 0, cj ] zusammengesetzt ist.
Interpretiert man c j dagegen als Dichte des Quaders A j , so beschreibt das Integral die
Gesamtmasse der Vereinigung dieser Quader.
Um sicherzustellen, daß die Definition des bestimmten Integrals einer Treppenfunktion f überhaupt
sinnvoll ist, müssen wir uns davon überzeugen, daß sie nicht von der gewählten
Summendarstellung für f abhängt (eine solche ist ja keineswegs eindeutig). Dazu nehmen wir eine
zweite Darstellung
l
f = ∑
i = 1
d i χ Bi
mit disjunkten Mengen B i an und bemerken, daß auf den disjunkten Intervallen A j B i , die sich als
Durchschnitt von Aj und Bi ergeben, der Funktionswert cj mit di übereinstimmt. Unter mehrfacher
Ausnutzung der Additivität des Inhalts von Gebäuden erhalten wir die Gleichungen
k ⎛ l ⎞ l ⎛ k ⎞ l
c
⎜
⎟
j ⎜∑
μ( Aj Bi )
⎟
= ∑ d
⎜
⎟
i ⎜∑
μ( Aj Bi )
⎟
= ∑ di μ( Bi ) .
⎝ = ⎠ = ⎝ = ⎠ =
k
∑ cj μ( Aj ) = ∑
j = 1
j = 1
i 1
i 1
Im Falle einer nichtnegativen Treppenfunktion auf einem reellen Intervall (oder einer Vereinigung
von solchen) ist das bestimmte Integral also der Inhalt der Fläche zwischen der Funktion und der x
-Achse, und in der entsprechenden Situation einer Treppenfunktion in zwei Variablen (x und y)
ergibt das bestimmte Integral das Volumen zwischen der Funktion und und der x-y-Ebene (siehe
Beispiel 3).
In völlig analoger Weise kann man auch das bestimmte Integral für gestufte Funktionen einführen.
Das hat den Vorteil, Funktionen mit "krummen" Definitionsbereichen besser approximieren zu
können (siehe Beispiel 1).
Das Riemann-Integral
In Analogie zur Einführung des allgemeinen Inhalts betrachtet man nun Funktionen f , zu denen
zwei Folgen (g n ) und (h n ) von Treppenfunktionen (oder allgemeiner von gestuften Funktionen)
existieren, so daß gilt:
gn ≤ f und f ≤ hn für alle n sowie
⌠
⌠
I = lim ⎮gn dμ
= lim ⎮hn dμ
n → ∞ ⌡ n → ∞ ⌡
In diesem Fall sagt man, f sei (Riemann-)integrierbar, nennt I das (Riemann-)Integral von f
und bezeichnet es mit
j 1
i 1

⌠
⎮f dμ
.
⌡
Man muß wieder sicherstellen, daß die Definition nicht von der Wahl der approximierenden
Treppenfunktionen gn und hn abhängt; wir lassen diese etwas technische Verifikation hier weg.
Gleichmäßige Grenzwerte
Erfreulicherweise lassen sich die meisten "vernünftigen" Funktionen f gleichmäßig durch eine
Folge von Treppenfunktionen f n approximieren, in folgendem Sinn:
Zu jedem ε > 0 gibt ein n0 , so daß f( x ) − fn( x ) < ε für alle n > n0 und alle x
aus dem jeweiligen Definitionsbereich gilt, kurz:
f − fn = 0 ,
lim
n → ∞
wobei für beliebige Funktionen g mit g = sup( g ) das Supremum der Funktionswerte g( x )
gemeint ist, genannt Supremumsnorm von g.
Jeder solche "gleichmäßigen Limes" von Treppenfunktionen ist integrierbar : Die
Treppenfunktionen
gn = fn − εn und hn = fn + εn mit εn = f − fn haben die erforderlichen Eigenschaften, und es folgt
⌠ ⌠
⎮f dμ
= lim ⎮f d
⌡
n μ .
⌡
n → ∞
Beispiel 4: Approximation der Glockenkurven
f( x) = e
( −p x2 )
auf [-1,1[
durch die Treppenfunktionen-Folgen
f n
=
2 n
∑
j = 1
⎛
f⎜ − 1 +
⎝
2 j − 1 ⎞
⎟
2 n ⎠
χA j, n
gn = fn − εn und hn = + εn .
f n
mit χA j, n
e
e
( −2 x2 )
( −4 x2 )
= [− 1 +
,
,
n = 6
n = 10
j − 1
n
, − + 1
j
n
[ ,

Unter einer Regelfunktion versteht man eine Funktion f von einem eindimensionalen Intervall A
nach R mit der Eigenschaft, daß für jedes z aus A der linksseitige Grenzwert
f ( z − 0) = lim f( x )
x → z-
und der rechtsseitige Grenzwert
f ( z + 0) = lim f( x )
x → z+
existiert (ohne daß diese beiden Grenzwerte miteinander oder mit dem Funktionswert an der Stelle
z übereinzustimmen brauchen); in den Randpunkten ist natürlich jeweils nur ein einseitiger
Grenzwert zu fordern. Regelfunktionen sind zum Beispiel
alle stückweise stetigen Funktionen
alle stückweise monotonen Funktionen
und insbesondere alle Treppenfunktionen.
Den Zusammenhang mit gleichmäßigen Grenzwerten liefert der
Approximationssatz
Eine auf einem eindimensionalen kompakten Intervall [ a, b ] definierte Funktion ist genau dann
eine Regelfunktion, wenn sie gleichmäßiger Limes von Treppenfunktionen ist.
Damit sind die Regelfunktionen für die numerische Praxis bestens geeignet, und nur sie spielen im
ingenieurtechnischen Anwendungsbereich eine Rolle. Aus der Beschränktheit der
Treppenfunktionen folgt die Beschränktheit ihrer gleichmäßigen Limites. Insbesondere sind alle
Regelfunktionen auf kompakten Intervallen beschränkt. Beachten Sie aber, daß es auch
unbeschränkte stetige Funktionen mit beschränktem Definitionsbereich gibt. Solche Funktionen
sind nicht im ganzen Definitionsbereich gleichmäßig durch Treppenfunktionen approximierbar!
Beispiel 5: Die Tangens-Funktion
ist auf dem offenen Intervall ] − ,
π π
[ stetig, aber nicht gleichmäßig durch Treppenfunktionen
2 2
approximierbar, weil sie an den Rändern immer steiler wird.
Linearität und Monotonie

Im Folgenden seien f und g integrierbare Funktionen. Man kann sich überlegen, daß dann auch f
und f g integrierbar sind, aber das ist nur von theoretischer Bedeutung.
Aus der Definition des bestimmten Integrals und den Rechenregeln für Grenzwerte ergeben sich
die folgenden Gleichungen und Ungleichungen (wobei c und d reelle Konstanten bedeuten):
⌠
⌠ ⌠
(1) ⎮ c f + d g dμ
= c ⎮f dμ
+ d ⎮g dμ
(Linearität)
⌡
⌡ ⌡
⌠ ⌠
(2) f ≤ g ==> ⎮f dμ
≤ ⎮g dμ
(Monotonie).
⌡ ⌡
Insbesondere gilt wegen − f ≤ f und f ≤ f :
⌠ ⌠
(3) ⎮f dμ
≤ ⎮ f dμ
(Betragsungleichung)
⌡ ⌡
sowie im Falle einer nichtnegativen "Gewichtsfunktion" g :
⌠ ⌠
⌠
(4) inf( f ) ⎮g dμ
≤ ⎮f g dμ
≤ sup( f ) ⎮g dμ
,
⌡ ⌡
⌡
wobei inf( f ) das Infimum und sup( f ) das Supremum der Funktionswerte von f bedeutet.
Beispiel 6: Eierbecher und Sattel
f ( x, y ) = −
x 2
y 2
, g ( x, y ) = +
max( f ) g ( x, y ) = +
x 2
f ( x, y ) g ( x, y ) = −
x 4
min( f ) g ( x, y) = − −
Gleichmäßige Stetigkeit und Mittelwerte
Für viele zentrale Ergebnisse der Analysis ist die folgende Tatsache nützlich:
Jede auf einer kompakten Menge A stetige Funktion f ist dort sogar gleichmäßig stetig, d.h.
zu jedem ε > 0 gibt es ein δ > 0, so daß für alle Elemente x, z aus A mit x − z < δ auch
f( x ) − f( z ) < ε gilt.
Mit anderen Worten: liegen zwei Argumente genügend nahe beisammen, so überschreitet der
Abstand ihrer Funktionswerte eine beliebig vorgegebene (kleine) Schranke ε nicht. Das Wort
x 2
x 2
y 2
y 4
y 2
y 2

"gleichmäßig" deutet darauf hin, daß die Argumentschranke δ nur von ε und f, nicht aber von den
zu betrachtenden Stellen x und z abhängt.
Noch besser als die gleichmäßige Stetigkeit ist die Lipschitz-Stetigkeit, welche eine nur von f
abhängige positive Zahl L garantiert, so daß
f( x ) − f( z ) ≤ L x − z
ε
für alle x und z aus A gilt. (Man kann dann δ =
L nehmen).
Aus dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung folgt:
Eine eindimensionale differenzierbare Funktion ist genau dann Lipschitz-stetig, wenn ihre
Ableitung beschränkt ist. Insbesondere sind auf einer kompakten Menge stetig differenzierbare
Funktionen dort Lipschitz-stetig.
Andererseits liefert der verallgemeinerte Zwischenwertsatz (der besagt, daß das Bild einer
zusammenhängenden Menge unter einer stetigen Funktion ein Intervall ist) zusammen mit der
Ungleichung (4) sofort den
Mittelwertsatz der Integralrechnung
Ist f auf der kompakten und zusammenhängenden Menge A stetig und ist g dort nicht negativ, so
existiert ein z g aus A mit
⌠
⌠
⎮f g dμ
= f( z )
⌡
g ⎮g dμ
.
⌡
Insbesondere gibt es ein z mit
⌠
⎮f dμ
= f( z ) μ( A ) .
⌡
⌠
⎮f dμ
⌡
Der Mittelwert wird also von der Funktion f angenommen.
μ( A )
⌠
Begründung: Die Funktion f ⎮g dμ
hat auf A sowohl ein Minimum
⌡
⌠ ⌠
⌠ ⌠
min f [ A] ⎮g dμ
= ⎮min f [ A ] g dμ
als auch ein Maximum max f [ A] ⎮g dμ
= ⎮max f [ A ] g dμ
⌡ ⌡
⌡ ⌡
⌠
und nimmt jeden Wert dazwischen an, insbesondere den Wert ⎮f g dμ
. Für g = χ
⌡
A ist
⌠
⌠
⎮g dμ
= μ( A ) . In Beispiel 1 ist aus Symmetriegründen ⎮f g dμ
= 0, und der einzige Punkt z
⌡
⌡
g , für
⌠
den der Mittelwertsatz zutrifft, ist der Nullpunkt zg = ( 0, 0 ) , da das Integral ⎮g dμ
sicher größer als
⌡
0 ist.
Integrale über Intervallen
Ist A ein eindimensionales beschränktes Intervall [ a, b ] , so schreibt man
⌠
⌠
⎮ f( x ) dx
statt ⎮f dμ
.
⌡
⌡
a
b
Entsprechend schreibt man im Falle eines zweidimensionalen Intervalls A = [a,b] x [c,d]

⌠ ⌠
⌠
⎮ ⎮ f ( x, y ) dy
dx
für ⎮f dμ
usw.
⌡ ⌡
⌡
a
b
c
d
Anstelle von x und y kann man natürlich beliebige andere Variable nehmen. Für die
Integrationsgrenzen sollte man allerdings nicht die gleichen Buchstaben wie für die
Integrationsvariablen verwenden.
Im Falle eines kompakten eindimensionalen Intervalls A = [ a, b ] beschreibt das bestimmte
Integral
⌠ ⌠
⎮ f( x ) dx
= ⎮f dμ
⌡ ⌡
a
b
die Fläche zwischen der Funktion f und der x-Achse, wobei unterhalb dieser Achse liegende
Flächenteile negativ zu rechnen sind. Will man alle Flächenstücke positiv summieren, muß man
stattdessen das Integral
⌠
⎮
⌡
a
b
f( x ) dx
bilden. Für jede ungerade Funktion f( x ) = − f( −x ) gilt aus Symmetriegründen
b
⌠
⌠
⌠
⎮ f( x ) dx
= 0, aber ⎮ f( x ) dx
= 2 ⎮ f( x) dx
.
⌡
⌡
⌡
−b
Beispiel 7: Sinuskurven
b
−b
0
b
sin( x ) = − sin( −x )
sin( x
)

Um beliebige Integralgrenzen einsetzen zu können, definiert man für a ≤ b
⌠ ⌠
⎮ f( x ) dx
= −⎮ f( x ) dx
.
⌡ ⌡
b
a
a
b
Aus (1) ergibt sich für beliebige reelle Zahlen a,b,c,d die Gleichung
⌠
⌠
⌠
(1a) ⎮ c f( x) + d g( x) dx
= c ⎮ f( x) dx
+ d ⎮ g( x ) dx
,
⌡
⌡
⌡
a
b
insbesondere
⌠
⌠ ⌠
(1b) ⎮ f( x ) − g( x ) dx
= ⎮ f( x ) dx
− ⎮ g( x ) dx
.
⌡
⌡ ⌡
a
b
a
b
a
b
a
Weiter folgt aus (1) und der Gleichung f = f χA + f χB für A = [ a, z ] und B = ]z,b] :
⌠ ⌠ ⌠
(1c) ⎮ f( x ) dx
= ⎮ f( x ) dx
+ ⎮ f( x) dx
⌡ ⌡ ⌡
a
b
Beispiel 8: Querschnitt eines Wals
a
z
z
b
b
a
b
f( x ) = 1.1 − 0.3 x + 0.8 sin ( x − 0.7 )
g( x) = − 1.2 + 0.2 x − sin( x)

Aus (2), (3) und (4) wird
b
⌠ ⌠
(2a) ⎮ f( x ) dx
≤ ⎮ g( x) dx
, falls f( x ) ≤ g( x ) für alle x aus [ a, b ] gilt,
⌡ ⌡
a
b
⌠ ⌠
(3a) ⎮ f( x ) dx
≤ ⎮ f( x) dx
,
⌡ ⌡
a
a
b
b
a
b
⌠ ⌠
⌠
⌠
(4a) min f ( [ a, b ] ) ⎮ g( x) dx
≤ ⎮ f( x ) g( x) dx
und ⎮ f( x ) g( x) dx
≤ max f ( [ a, b ] ) ⎮ g( x) dx
,
⌡ ⌡
⌡
⌡
speziell für g = 1:
a
⌠
⌠
(4b) ( b − a) m ≤ ⎮ f( x ) dx
und ⎮ f( x ) dx
≤ ( b − a ) M ,
⌡
⌡
a
b
a
b
a
b
wobei m den kleinsten und M den größten Wert von f auf [ a, b ] bezeichnet.
Die nachfolgende Skizze veranschaulicht die Ungleichung (4b): Das untere, flache Rechteck hat
einen kleineren Flächeninhalt als die von der unteren Kante und der Kurve berandete Fläche, und
diese wiederum hat einen kleineren Flächeninhalt als das gesamte Rechteck.
Nach dem Mittelwertsatz gibt es im eindimensionalen Fall A = [ a, b ] ein z zwischen a und b mit
⌠
⎮ f( x ) dx
= f( z ) ( b − a ) .
⌡
a
b
Beispiel 9: Wurzelfunktionen
Die Funktionen f( x ) = x c mit 0 < c < 1 sind auf jedem kompakten Intervall [ a, b ] gleichmäßig
stetig, aber für a < 0 < b nicht Lipschitz-stetig, da dann ihre Ableitungen auf [a,0[ und ]0,b]
unbeschränkt sind. Im Nullpunkt sind sie nicht differenzierbar. Es gilt
a
b
a
b

⌠
⎮
⌡
b
−b
( ) + c 1
x d =
c 2 b
x
c + 1 .
Im Falle a = −b ist für z = b ( c + 1)
⌠
⎮
⌡
b
−b
( ) + c 1
⎛ ⎞
⎜−
⎟
⎝ ⎠
1
c
x
⎛ 1 ⎞
⎜ ⎟
⎝ n ⎠
x d =
c 2 b
x
c + 1 = z c ( b − ( −b ) ) .
,
n = 2 .. 10
die Aussage des Mittelwertsatzes erfüllt:
a = -1 , b = 1 , c = 0.7 , z = 0.4685837839
Daß wir den gleichen Namen und die (fast) gleiche Bezeichnung für das bestimmte und das
unbestimmte Integral gewählt haben, rechtfertigt nachträglich der
Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Jede auf einem Intervall I = [ a, b ] stetige Funktion f besitzt dort sowohl ein bestimmtes als auch
ein unbestimmtes Integral, und zwar ist
⌠
Fa( x) = ⎮ f( t ) dt
⌡
a
x
die Stammfunktion von f mit Fa( a) = 0. Für eine beliebige Stammfunktion F von f gilt
⌠
F( b ) − F( a) = ⎮ f( x ) dx
.
⌡
a
b

Es ist häufig bequem, [ F( x ) ]
⌠ ⌠
⎮ f( x ) dx
= [ ⎮ f( x ) dx
]
⌡ ⌡
a
b
a
b
a
b
für F( b ) − F( a ) zu schreiben. In dieser Notation gilt dann
.
Dieser klassische Satz der Analysis ermöglicht einerseits die Berechnung von Längen-, Flächenund
Rauminhalten mit Hilfe von Stammfunktionen (falls diese bekannt sind), und andererseits
eröffnet er die Möglichkeit der numerischen Näherungsbestimmung von Stammfunktionen, falls
diese sehr kompliziert oder überhaupt nicht elementar berechenbar sind.
In Anbetracht seiner Wichtigkeit wollen wir den Hauptsatz hier beweisen. Zunächst gibt es wegen
der gleichmäßigen Stetigkeit von f auf [ a, b ] zu vorgegebenem ε eine natürliche Zahl n, so daß
b − a
stets f( x ) − f( z ) < ε gilt, sofern x − z < erfüllt ist. Also ist die Differenz zwischen der
n
Obersumme
n
∑
j = 1
n
∑
j = 1
⎛
kleiner als ε
⎜
⎜
⎝
max f ( [ , ] )
x n , j − 1 x n, j ( x n, j − x n , j − 1 ) und der Untersumme
min f ( [ , ] )
n
∑
j = 1
x n , j − 1 x n, j ( x n, j − x n , j − 1 )
⎞
( x
⎟
n, j − x n , − )
⎟
⎠
j 1 = ε ( − )
b a .
⌠
Folglich konvergieren diese Summen gegen das dazwischen liegende Integral ⎮ f( x) dx
.
⌡
⌠
Ebenso begründet man die Existenz aller Integrale Fa( x ) = ⎮ f( t ) dt
.
⌡
Nun wenden wir den Mittelwertsatz der Integralrechnung an und erhalten mit (1c)
x + h
Fa ( x + h ) − Fa( x ) ⌠
= ⎮ f( t ) dt
= f( z )
h ⌡
h für ein zh zwischen x und x + h,
x
d
Fa( x ) = lim
dx
h → 0
Fa ( x + h ) − Fa( x)
= lim
h
h → 0
f( zh ) = f( x ) .
Nach Definition ist Fa( a) = 0, und für eine beliebige Stammfunktion F( x ) = Fa( x ) + C folgt
⌠
F( b ) − F( a ) = Fa( b ) − Fa( a ) = ⎮ f( t) dt
.
⌡
a
b
a
x
a
b

6.2.C Berechnung bestimmter Integrale
Wir kombinieren nun den Hauptsatz mit unseren Erkenntnissen über die Gewinnung von
Stammfunktionen.
Integration von Umkehrfunktionen
Für bestimmte Integrale liefert der Hauptsatz folgende Variante:
Hat die streng monoton wachsende Funktion f: [ a, b ] --> [ c, d ] die Umkehrfunktion g:[ c, d ] -->
[ a, b ] , so gilt
⌠ ⌠
⎮ f( x ) dx
+ ⎮ g( y) dy
= b d − a c .
⌡ ⌡
a
b
c
d
Anschaulich geometrisch bedeutet dies:
Der Flächeninhalt des Rechtecks [ 0, b ] x [ 0, d ] ist Summe der folgenden drei Flächeninhalte:
Fläche zwischen f(x) und der x-Achse im Bereich zwischen a und b
Fläche zwischen g( y ) und der y-Achse im Bereich zwischen c und d
Fläche des Rechtecks [ 0, a ] x [ 0, c ] .
Bei monoton fallenden Bijektionen f: [ a, b ] --> [ c, d ] muß man statt der Summe eine Differenz
bilden, weil dann f( a) = d und f( b ) = c ist:
⌠ ⌠
⎮ f( x ) dx
− ⎮ g( y) dy
= b d − a c .
⌡ ⌡
a
b
c
d
Durch diese Formeln kann man das kompliziertere der beiden Integrale sofort mit Hilfe des
anderen ausrechnen.
Beispiel 1: Cosinus und Arcuscosinus
1
f( x ) = 2 − cos( x ) , g( y ) = arccos ( 2 − y ) , a = π , b = π , c = − ,
4 2
1
2 d = 3
2
1
f( x ) = 2 + cos( x ) , g( y ) = arccos( − 2 + y ) , a = π , b = π , c = 1 , d = +
4 2
1
2 2

Partielle Integration
erfolgt für bestimmte Integrale stetiger Funktionen mit Hilfe des Hauptsatzes entsprechend der
Regel für unbestimmte Integrale:
⌠
⎮ f´ ( x ) g( x) dx
= [ f( x ) g( x ) ]
⌡
a
b
Beispiel 2: Sinus- und Cosinus-Potenzen
a
b
⌠
- ⎮ f( x ) g´ ( x ) dx
.
⌡
a
b
sin( x) , , ,
n
cos( x )
n 1
x = 0 .. π n = 0 .. 5
2
Wir kennen schon die Stammfunktionen
⌠
⌠
⎮ sin( x ) dx
= − cos( x ) , ⎮ cos( x ) dx
= sin( x )
⌡
⌡
und die Rekursionsformeln für die Potenzen dieser Funktionen:
⌠
⎮ sin( x ) d
⌡
n ( )
sin( x )
x = − +
−
⌠ ( )
n 1 ( n − 1) ⎮ sin( x ) d
cos( x)
⌡
n
− n 2
x
n
⌠
⎮ cos( x ) d
⌡
n ( )
cos( x )
x = +
−
⌠ ( )
n 1 ( n − 1 ) ⎮ cos( x ) d
sin( x ) ⌡
n
− n 2
x
.
n
Daraus folgt sofort für die bestimmten Integrale
0
π
2
⌠
sn = ⎮ sin( x) d
⌡
n x = ⎛ 1 ⎞ ⌠
⎜1
− ⎟ ⎮
⎝ n ⎠ ⌡
0
π
2
sin( x )
( ) − n 2
dx
= ⎛ 1 ⎞
⎜1
− ⎟
⎝ n ⎠
s −
n 2

0
π
2
⌠
cn = ⎮ cos( x) d
⌡
n x = ⎛ 1 ⎞ ⌠
⎜1
− ⎟ ⎮
⎝ n ⎠ ⌡
Mit den Startwerten
0
π
2
cos( x )
( ) − n 2
⌠ π
⎮ 1 dx
= , =
⌡ 2 d
⌠
⌠
⎮ sin( x ) x 1 , ⎮ cos( x ) dx
= 1
⌡
⌡
und der Abkürzung
0
π
2
p m
=
m
∏
j = 1
2 j
0
π
2
2 j − 1
ergeben sich induktiv die expliziten Formeln
0
π
2
pm 2 m = c 2 m − 1 .
dx
= ⎛ 1 ⎞
⎜1
− ⎟
⎝ n ⎠
c −
n 2 .
π
s2 m = = c2 m und s 2 m − 1 =
2 pm Daraus kann man eine interessante Produktdarstellung für π gewinnen, die auf John Wallis
(1616-1703) zurückgeht. Zunächst ist
2 pm c2 m pm π = 2 pm c2 m =
c 2 m − 1 2 m = c2 m
c −
2 m 1
p 2
m
m (*).
π
n
( )
Für 0 < x < gilt stets 0 < cos( x ) 1 sogar
1 cn cn cn 1 − = < < 1 , insbesondere lim = 1.
n
c n − 2
c n − 1
n → ∞
Setzen wir n = 2 m , so erhalten wir die Abschätzung
m
≤
m + 1
und mit (*) :
2
pm m + 1
2 m − 1
< π <
2 m
2
pm m
= − 1
π
, =
2
1
2 m <
lim
m → ∞
c 2 m
c 2 m − 1
2
pm 2 m
< 1
= lim
m → ∞
Damit haben wir das berühmte Wallissche Produkt
π
2
= lim
m → ∞
2
pm ∞
2 m + 1 = ∏
j = 1
( 2 j) 2
( 2 j − 1 ) ( 2 j + 1 )
2
2
pm c n − 1
m, , ,
pm m + 1 2
2 m + 1
2
pm 2 m + 2 .
= 2
1 2
3 4
3 4
5 6
5 6
7 ...
2
pm m = 10, 2.928262725, 3.067703807, 3.221088997
m = 100, 3.118273691, 3.133787491, 3.149456428
m = 1000, 3.139238911, 3.140807746, 3.142378150
m

π = 3.141592654
Wie man sieht, ist die Konvergenz leider sehr langsam und die Formel daher für praktische
Zwecke kaum geeignet.
Substitution
Die Substutionsregel vereinfacht sich im Falle bestimmter Integrale zu
⎛ d ⎞
y = h( x ) x = g( y ) , dx = ⎜ g( y ) ⎟ dy ,
⎝ dy
⎠
h( b )
b ⌠
⌠ ⎮ ⎛ d ⎞
⎮ f( x ) dx
= ⎮ f ( g( y)
) ⎜ g( y ) ⎟ dy
= S ( h( b ) ) − S ( h( a ) ) ,
⌡ ⎮ ⎝dy
⎠
a ⌡
h( a )
wobei S eine beliebige Stammfunktion von (f o g) g´ ist.
Beispiel 3: Integration von Stammbrüchen
Bei der häufig auftretenden Berechnung der bestimmten Integrale
I n
⌠
= ⎮ ( 1 + x )
⌡
beginnen wir mit
I 0
0
1
( )
2 −n
dx
( n = 0, 1, 2, ...)
1
⌠
⌠
⎮ 1
= ⎮ 1 dx
= 1 und I = ⎮
⌡
1 ⎮
dx
= =
2
0
⎮ 1 + x
⌡
− arctan( 1 ) arctan( 0)
Für größere n führt die Substitution
1
y = arctan( x ) x = tan( y ) , =
1 + x 2
cos( y )
2 1 dy
, dx =
cos( y )
2
relativ schnell zum Ziel:
I n
⌠
= ⎮
⌡
=
0
π
4
cos( y )
( )
2 −n
( ) − 2 n 2
dy
=
+
⎛ 3 ⎞
⎜ n − ⎟
⎝ 2 ⎠
I −
n − 1
n 1
0
1
⎡ ( )
⎢ cos( x )
⎢
⎣
− 2 n 3
sin( x)
2 n − 2
,
⎤
⎥
⎦
0
⎛ π ⎞
⎜ ⎟
⎝ 4 ⎠
π
4 .
+ ⎛ 1 ⎞
⎜1
− ⎟
⎝ 2 n − 2 ⎠
I −
n 1

I 1
1 1
I2 = + = +
4 2 4
1 3 I2 +
8 2 1
I3 = = +
2 4
π
8 ,
3 π
32 usw.
1
Das Integral In kann als Mittelwert der Funktion
( 1 + x )
werden.
1
1 3
, Mittelwert = +
3
2 4 32
( 1 + x )
π
,
I n
n = 0 .. 8
2 n auf dem Intervall [0,1] angesehen
1, , , , , , , ,
1 1 1 3 1 5 11 35
π π + π + π + +
4 8 4 32 4 64 48 512 π
5 63
+
24 1024 π
61 231 169 429
π +
+
320 4096 960 8192 π
4409
26880
Die Folge (I n ) konvergiert langsam gegen 0. Zum Beispiel ist
I 100
525067731592220120845645702360334725183951569258534272099
=
11805009225194752458851348591170941467453976368142524350464
1421930192463933435386372127473055337225260516259631545875
100433627766186892221372630771322662657637687111424552206336 π
+
und das ist näherungsweise
( 1 + x )
0.08895676769
( )
2 −n
,
n = 0 .. 100

Beispiel 4: Ein Zufallsexperiment
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß bei 2 m Münzwürfen gleich oft Kopf und Wappen
auftritt?
( 2 m )
Unter allen 2 = 4 m ( 2 m ) !
möglichen Wurffolgen der Länge 2 m gibt es genau Fälle, bei denen
2
( m! )
je m mal Kopf und m mal Wappen auftritt. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist also
( 2 m)
!
wm = .
m
( m! )
2 4
So weit, so gut - aber was hat das mit den vorangehenden beiden Beispielen zu tun?
Erstaunlicherweise gilt
w m
=
1
p m
=
2 I m
π
⌠
( 2 m)
⌠
( 2 m)
⎮
= ⎮
⎛ π t ⎞ ⎮
⎮ cos⎜ ⎟ dt
= ⎮
⎛ π ⎞
d
⎮ ⎝ 2 ⎠
⎮ cos ⎜π
u − ⎟ u .
⎮ ⎝ 2 ⎠
⌡
⌡
0
1
π t
π
Die letzten beiden Gleichungen erhält man leicht durch die Substitution x = bzw. x = π u −
2 2
.
Wir müssen also nur noch die erste Gleichung nachprüfen, und auch das geht schnell:
⎛ m ⎞ ⎛ m ⎞ m
⎜ ⎟
⎜∏
2 j
⎜
⎟
⎟ ⎜∏
( 2 j − 1)
⎟ ∏ ( 2 j − 1)
⎝ j = 1 ⎠ ⎝ j = 1 ⎠ j = 1
wm =
=
=
⎛ m ⎞ ⎛ m ⎞
m
m
2
⎜ ⎟ m
⎜∏
j
⎟
2
⎜ ⎟
⎜∏
j
⎟ ∏ 2 j
⎝ j = 1 ⎠ ⎝ j = 1 ⎠
j = 1
1
.
pm Wir zeichnen für m = 5 die durch 4 m ( 2 m ) !
dividierten Binomialkoeffizienten
als
k ! ( 2 m − k ) !
Treppenfunktion auf [0,1] und dazu die Kurve
( 2 m + 1 )
π ⎞
cos ⎜π
u − ⎟
⎝ 2 ⎠
( −1 ) ⎛
( 2 m )
.
m = 5
0
1

Die Fläche des mittleren Rechtecks ist stets ebenso groß wie die unter der Cosinus-Kurve!
1
Man wird erwarten, daß die Wahrscheinlichkeit wm = mit wachsendem m gegen 0 geht - aber
wie schnell? Aus der in Beispiel 2 gewonnenen Formel
lim
m → ∞
2
pm m
p m
= π folgt lim =
m → ∞ m
Diese Gleichung besagt, daß w m sich asymptotisch wie
1
gegen 0 geht.
m
p m
π und daraus lim wm m π = 1 .
1
m π
m → ∞
verhält, also deutlich langsamer als

6.2.D Fourierreihen
Dieses interessante und für die Ingenieurwissenschaften (insbesondere in der Elektrotechnik)
wichtige Thema können wir hier nur kurz streifen. Beim ersten Durcharbeiten können Sie diesen
Abschnitt überspringen.
Die Grundidee besteht in der einleuchtenden Tatsache, daß sich periodische Funktionen besser
durch trigonometrische Funktionen als durch Polynome approximieren lassen. Anstelle von
Potenzreihen betrachtet man deshalb die nach dem Mathematiker und Physiker Fourier
(1768-1830) benannten Fourierreihen
a ⎛ ∞
⎞ ⎛ ∞
⎞
0
+
⎜
⎟
+
2 ⎜∑
ak sin( k x)
⎜
⎟
⎟ ⎜∑
bk cos( k x )
⎟
.
⎝ k = 1 ⎠ ⎝ k = 1 ⎠
Die Zahlen ak und bk heißen Fourierkoeffizienten.
Ein weiteres nützliches Hilfsmittel sind die nach dem Mathematiker P.G.L. Dirichlet (1805-1859)
benannten und aus der Theorie der Schwingungen bekannten
Dirichlet-Kerne
⎛ ⎞
sin⎜ ⎟
⎝ ⎠
dn( x ) =
⎛ 1 ⎞
⎜n
+ ⎟
⎝ 2 ⎠
x
⎛ ⎞
sin⎜ ⎟
⎝ ⎠
x
⎛ n ⎞
= 1 + 2
⎜
⎟
⎜∑
cos( k x )
⎟
(n = 0,1,2, ...).
⎝ k = 1 ⎠
2
(siehe Abschnitt 2.9.B). Wir zeichnen die ersten sechs in ein gemeinsames Bild:
Wir integrieren d n über ein Intervall der Länge π. Für alle ganzzahligen Vielfachen b von π gilt
⌠
⎮
⌡
⌠
⎮
⌡
b
b − π
b
b − π
und folglich
b
π
⌠
cos( 0 x ) dx
= ⎮ 1 dx
= π sowie
⌡
b − π
sin( k b)
sin( k ( b − π)
)
cos( k x ) dx
= −
= 0 für k > 0
k
k
⌠
⌠
⌠
(1) ⎮ dn( x ) dx
= π , insbesondere ⎮ dn( x ) dx
= π und ⎮ dn( x ) dx
= π .
⌡
⌡
⌡
b − π
0
−π
Darüber hinaus haben die Dirichlet-Kerne die bemerkenswerte Eigenschaft, daß sich für jede in 0
differenzierbare Regelfunktion f der Funktionswert an der Stelle 0 als Grenzwert einer Folge von
Integralen darstellen läßt:
0
π

0
⌠
⌠
(2) lim ⎮ f( x ) dn( x ) dx
= f( 0 ) π = lim ⎮ f( x ) dn( x ) dx
.
n → ∞ ⌡
n → ∞ ⌡
−π
0
Damit erklärt sich das häufig beobachtete Phänomen, daß so viele Grenzwerte von Integralfolgen
die Zahl π beinhalten.
Zum Beweis der zweiten Gleichung (-die erste behandelt man analog -) betrachtet man die
Differenz
π
π
π
⌠
⌠
⌠
⎮ ⎛ ⎞
⎮ f( x ) dn( x ) dx
− f( 0) π = ⎮ ( f( x ) − f( 0 ) ) dn( x ) dx
= ⎮ g( x ) sin⎜ ⎟ d
⌡
⌡
⎮ ⎝ ⎠
0
0
⌡
⎛ 1 ⎞
⎜ n + ⎟ x x ,
⎝ 2 ⎠
wobei
f( x ) − f( 0 )
g( x ) =
⎛ ⎞
sin⎜ ⎟
⎝ ⎠
x
f( x ) − f( 0)
x
=
x ⎛ ⎞
sin⎜ ⎟
2
⎝ ⎠
x
2
eine durch g( 0) = 2 f´ ( 0 ) stetig ergänzte Regelfunktion ist. Es bleibt also die Gleichung
⌠
(3) lim ⎮ g( x ) sin( p x) dx
= 0
⌡
p → ∞
0
π
zu zeigen, und die gilt erstaunlicherweise für jede Regelfunktion g (Riemannsches Lemma).
Es genügt, die Aussage (3) für Treppenfunktionen
k
g = ∑
j = 1
c j χ Aj
mit disjunkten Intervallen A j zwischen Stützstellen x −
π
⌠
⎮ g( x ) sin( p x ) dx
=
⌡
∑
0
=
k
j 1
k
cj ( cos( p xj ) − cos( p x j − 1)
)
∑ p
j = 1
c j
⌠
⎮
⌡
x j
π
sin( p x) dx
=
x
j − 1
k
2 cj
≤ ∑ p
j = 1
0
j 1 und x j zu beweisen. In diesem Fall ist
und diese Summe strebt (bei festem k) mit wachsendem p gegen 0 . Eine leichte Modifikation des
Beweises zeigt, daß es reicht, die Existenz der linksseitigen und der rechtsseitigen Ableitung von f
im Nullpunkt vorauszusetzen, wenn man f( 0 ) durch den "Mittelwert"
f ( x − 0 ) + f ( x + 0 )
f( x ) =
=
2
1
2 +
( ) lim f( z ) ( lim f( z ) )
z → x-
z → x+
ersetzt (in Stetigkeitspunkten ist natürlich f( x ) = f( x ) ). Damit erfasst man dann sogar Funktionen
mit Knicken und Sprungstellen.
⌠
f( x ) = 1 − x , ⎮ f( x ) d7( x ) dx
⌡
π
−π

Eine besonders elegante Anwendung der Dirichletschen Formeln ist
Beispiel 1: Nochmals der Integralsinus
Die durch f( 0) = 1 ergänzte Funktion
sin( x )
f( x)
=
x
ist überall differenzierbar, und eine einfache Substitution liefert
⌠
⎮
⎮
⌡
∞
−∞
sin( x)
x
dx
= lim
n → ∞
= 1
2 lim
n → ∞
⌠
⎮
⎮
⌡
( n + 1/2 ) π
−( n + 1/2 ) π
π
−π
sin( x )
In dem nachfolgenden Schaubild beschreibt f( x ) =
flache Kurve knapp unterhalb von 1!
x
dx
= lim
n → ∞
⌠
⎮
⎮
⌡
π
−π
π
sin ( ( n + 1/2 ) t)
dt
t
⌠
⌠
⎮ ⎛ t ⎞
⎮ ⎛ t ⎞
⎮ f⎜
⎟ dn( t ) dt
= lim ⎮ f⎜
⎟ dn( t) dt
= f( 0 ) π = π .
⎮ ⎝ 2 ⎠
n → ∞ ⎮ ⎝ 2 ⎠
⌡
⌡
f( x)
=
π
⌠
sin( x ) ⎮
, ⎮
x ⎮
⌡
−π
sin( x )
x
0
⎛ ⎞
f⎜ ⎟ d
⎝ ⎠
1
x ( )
2 d7 x x
nicht die stark oszillierende, sondern die
Nun formulieren wir den für technische Anwendungen außerordentlich nützlichen
Darstellungssatz für Fourierreihen
Hat eine auf dem Intervall [ −π, π ] definierte Regelfunktion f( x ) die Fourierkoeffizienten

π
⌠
⌠
ak := ⎮ f( x ) cos( k x ) dx
und b :=
⌡
k ⎮ f( x ) sin( k x ) dx
⌡
−π
und konvergiert die Reihe
a ⎛ ∞
⎞ ⎛ ∞
⎞
0
Sf( x ) = +
⎜
⎟
+
2 ⎜∑
ak cos( k x)
⎜
⎟
⎟ ⎜∑
bk sin( k x )
⎟
⎝ k = 1 ⎠ ⎝ k = 1 ⎠
im Punkt x, so gilt dort Sf( x ) = f( x ) ; insbesondere ist Sf( x ) = f( x ) , falls f in x stetig ist.
π
−π
Eine Regelfunktion f wird in in allen Stetigkeitspunkten, in denen die linksseitige und die
rechtsseitige Ableitung existiert, durch ihre Fourierreihe dargestellt. Insbesondere gilt dies für alle
Punkte, in denen f differenzierbar ist.
Die letzte und wesentlichste Aussage des Satzes erhält man nach den Umformungen
a ⎛ 0
Sn f( x ) = +
⎜
2 ⎜
⎝
n
⎞ ⎛
a
⎟
k cos( k x )
⎟
+
⎜
⎜
⎠ ⎝
n
⎞
b
⎟
k sin( k x )
⎟
=
⎠
⌠
⎮
⎮
⌡
π
−π
n
∑
k = 0
π
∑
k = 1
∑
k = 1
⌠
⎮ n
=
⎮ ∑ f( t ) ( cos( k t ) cos( k x ) + sin( k t ) sin( k x ) ) dt
=
⎮ k = 0
⌡
−π
f( t ) cos( k ( x − t ) ) dt
π
⌠
⎮ n
=
⎮ ∑ f ( x − t ) cos( k t) dt
=
⎮ k = 0
⌡
−π
1
2 π
d
π
⌠
⎮ f ( x − t ) dn( t) t ,
⌡
−π
aus der Formel (2): Sf( x ) = lim Sn f( x ) = f( x ) .
n → ∞
Es ist leicht zu sehen, daß für gerade Funktionen (mit f( −x ) = f( x ) ) alle Sinus-Koeffizienten bk verschwinden, für ungerade Funktionen (mit f( −x) = − f( x ) ) dagegen alle Cosinus-Koeffizienten
ak .
Wir geben für einige Funktionen die Fourierreihe an und zeichnen die ersten Approximationen.
Beispiel 2: Die Betragsfunktion
läßt sich wie jede gerade stetige Funktion von [ −π, π ] periodisch und stetig auf ganz R fortsetzen,
und die Fourierkoeffizienten bk sind alle 0. Weiter gilt
⌠
a0 = 2 ⎮ x dx
= π ,
⌡
0
π
und für k > 0 berechnet man die Koeffizienten a k z.B. mit partieller Integration:
( )
ak = 2 π −1
⌠
2 ( )
⎮ x cos( k x ) dx
=
⌡
−
k
( −1) 1
π k 2
.
0
π

Die Fourierreihe für x lautet daher
π 4 cos( x ) 4 cos( 3 x )
x = − − −
2 π 3 2 π
4 cos( 5 x )
5 2 π
Eine einfache Umformung der Fourierreihe ergibt
π x cos( x)
cos( 3 x)
− = + +
8 4 1 3 2
Setzen wir hier x = 0, so erhalten wir
π 2
π 2
∞
=
8 ∑ 1
= + +
2
k = 0 ( 2 k + 1) 1
1
3 2
1
...
2
5
Jetzt ist es ein Leichtes, die Reihe
cos( 5 x )
∞
1
ζ( 2) = ∑ = + + + + +
2
k = 1 k 1
1
2 2
1
3 2
1
4 2
1
5 2
1
...
2
6
auszuwerten: Wir wissen schon
5 2
1 π
... = +
2
1
ζ( 2 ) = 1 + +
3 2
1 1
... + + +
2
5 2 2
1
2 2 2 2
1
2 2 π
... = +
3
3 2
8
und Auflösen nach ζ( 2 ) liefert schließlich
π 2
ζ( 2)
=
6 .
Ein Vergleich mit der Leibnizreihe
π
=
∞
4 ∑ k = 0
( −1) k
2 k + 1
= − + 1
1
3
1
5 ...
führt übrigens auf die verblüffende Gleichung
⎛
2
⎜
⎜
⎝
∞
∑
k = 0
2
( −1 ) ⎞
⎟
⎟
⎠
k
2 k + 1
=
∞ ⎛
∑
k = 0
2
⎜
( −1 ) ⎞
⎜
⎟
⎝ ⎠
k
2 k + 1
.
⎛
⎜
⎜
⎝
∞ k
2 ( ( −1) − 1 ) cos( k x ) ⎞
⎟
k
⎟
⎠
2 π
∑
k = 1
... für x zwischen −π und π.
ζ( 2 )
4 ,
Beispiel 3: Die Sägezahnfunktion
ist die periodische Fortsetzung der auf [ −π, π ] definierten Funktion f( x ) = x . Sie ist an den
"Anschlußstellen" ( 2 k + 1 ) π unstetig und wird deshalb erheblich schlechter durch ihre
Fourierreihe approximiert als die Funktion in Beispiel 1.

∞ ⎛
∑
k~ = 1
⎜ −2
⎝
Beispiel 4: Periodische Fortsetzung der Parabel
k~
( -1) sin( k~ x)
Die von [ −π, π ] auf ganz R periodisch fortgesetzte Parabel f( x ) =
folgende Fourierentwicklung:
1
+
12 π2
⎛
⎜
⎜
⎝
∞
∑
k~ = 1
k~
⎞
⎟
⎠
( -1) k~
cos( k~ x )
Der Spezialfall x = 0 führt auf eine weitere interessante Reihenentwicklung für π 2 :
also
π 2
4
π 2
=
12 ∑ k = 1
⎛
= 3
⎜
⎜
⎝
( k + 1 )
−1
∞ ( )
∞
∑
k = 0
k 2
( −1) ⎞
⎟
⎟
⎠
k ⎛
= 4
⎜
2
( 2 k + 1 )
⎜
⎝
1
= 1 − +
3 2
1
...
2
5
∞
∑
k = 0
2
( −1 ) ⎞
⎟
⎟
⎠
k
2 k + 1
.
k~ 2
⎞
⎟
⎟
⎠
x 2
4
ist wieder stetig und hat die
Beispiel 5: Eine "unendliche Rechteckfunktion"
Wir ergänzen die auf dem offenen Intervall ] −π, π [ definierte Signum-Funktion durch
f( −π ) = f( π ) = 0und setzen sie periodisch fort.
∞ ⎛
∑
k~ = 1
f( x ) = signum( x )
⎜
( ) ⎞
⎜−2
⎟
⎝
⎠
−
k~
( -1 ) 1 sin( k~ x)
k~ π
Nach Definition hat die Signum-Funktion für alle x aus dem offenen Intervall von 0 bis π den
konstanten Wert 1. Daraus erhält man erstaunlicherweise für jedes solche x eine weitere

Reihenentwicklung für π
4 :
π
=
∞
4 ∑ m = 1
sin ( ( 2 m + 1) x ) sin( x ) sin( 3 x )
= + +
2 m + 1 1 3
sin( 5 x )
π
⎛ ( ) ⎞
Für x = kommt mit sin ⎜
⎟ =
2 ⎝
⎠
+ 2 m 1 π
( −1 )
2
m die bekannte Leibnizreihe heraus.
Beachten Sie aber, daß sowohl für x = 0 als auch für x = π die rechte Seite 0 wird, und das ist
natürlich nicht π
4 !
Hingegen darf man z.B. x =
auf
bzw.
⎛ ( ) ⎞
sin ⎜
⎟ =
⎝
⎠
+ 2 m 1 π ( −1 )
4
2
π
=
4
π
2 2
π
einsetzen und kommt wegen
4
⎡ m ⎤
⎢ ⎥
⎣ 2 ⎦
1 1 1 1 1 1
+ − − + +
2 3 2 5 2 7 2 9 2 11 2 ...
=
1 1 1 1 1
+ − − + +
1 3 5 7 9
1
∞
11 ... = ∑
k = 0
( −1) Auch hier ist die Konvergenz nicht gerade begeisternd:
100
∑
k = 0
( -1 )
1
⎜
⎝ 4 k + 1
k ⎛
+
k ⎛
5
1
⎜
⎝ 4 k + 1
...
1 ⎞
+ ⎟
4 k + 3 ⎠
.
1 ⎞
1
⎟ = 1.113195937 , π 2 = 1.110720734
4 k + 3 ⎠
4
π
Eine andere Möglichkeit ist x = mit den Funktionswerten
6
⎛ ( ) ⎞
sin ⎜
⎟
⎝
⎠
+ 2 m 1 π 1 1 1 1 1 1 1 1
= , 1, , − , −1, − , , 1, , − , −1, −
6 2 2 2 2 2 2 2 2 ...
und der folgenden Reihe für π
4 :
π 1 2 1 1 2 1 1 2 1
= + + − − − + + +
2 1 3 5 7 9 11 13 15 17 ...

die man auch auf folgende Weise aus der Leibnizreihe hätte gewinnen können:
π 1 1 1 1 1 1 1 1 1
= − + − + − + − +
4 1 3 5 7 9 11 13 15 17 ...
π
1
1
= + 1 − +
4 3 5 ...
Aber Vorsicht - bei nicht absolut konvergierenden Reihen können solche Umordnungen Mist
produzieren:
1 1 1 1 1 1 1 1 1
ln( 2 ) = − + − + − + − +
1 2 3 4 5 6 7 8 9 ...
ln( 2 ) 1 1 1 1
= + − + −
2 2 4 6 8 ...
3 ln( 2 )
=
2
1 1 1 1 1 1
+ − + + − ... = ln( 2 ) ???
1 3 2 5 7 4

6.3. Bereichsintegrale
Wir hatten das bestimmte Integral allgemein für Funktionen definiert, die auf ganz R m definiert
waren, aber meist einen beschränkten Träger besaßen (das ist die Menge aller Argumente mit von
0 verschiedenem Funktionswert).
Rein formal kann man nun Integrale über einem Teilbereich B definieren, indem man die auf
einem möglicherweise größeren Bereich definierte Funktion f mit der charakteristischen Funktion
von B multipliziert und
fB = f χB setzt (wobei f gegebenenfalls außerhalb des Definitionsbereichs durch f( x ) = 0 zu ergänzen ist).
Mit f ist auch fB integrierbar (sofern B meßbar ist, was wir ja immer voraussetzen wollten). Man
nennt
⌠
⎮fB dμ
⌡
das Integral von f über dem Bereich B. Häufig hängt man den Buchstaben, der den Bereich
symbolisiert, an das Integral statt an die Funktion (MAPLE kann das nicht).
Mit der folgenden Additionsformel kann man Integrale aus Teilen zusammensetzen (was z.B.
dann wichtig ist, wenn man die zu integrierenden Funktionen stückweise definiert):
⌠ ⌠ ⌠
⎮f A + B dμ
= ⎮fA dμ
+ ⎮fB dμ
⌡ ⌡ ⌡
Für eindimensionale Integrale ergibt sich der bekannte Spezialfall
⌠ ⌠ ⌠
⎮ f dx
= ⎮ f dx
+ ⎮ f dx
.
⌡ ⌡ ⌡
a
b
a
z
6.3.A Ebene Flächeninhalte
z
b
Wie man durch Annäherung mittels Treppenfunktionen sofort sieht, hat eine durch zwei
Regelfunktionen c( x ) von unten und d( x ) von oben begrenzte Fläche in der x-y-Ebene den
Flächeninhalt
⌠
F = ⎮ d( x ) − c( x) dx
.
⌡
a
b
Dabei ist darauf zu achten, daß c( x ) stets unterhalb von d( x ) verläuft. Manchmal muß man das

Gesamtgebiet in Teile zerlegen, um eine solche Darstellung zu ermöglichen.
Formal ist der (stets positiv gerechnete) Flächeninhalt zwischen zwei Kurven, für die nicht
durchwegs c( x ) ≤ d( x ) vorausgesetzt wird, gegeben durch
⌠
F = ⎮ d( x ) − c( x ) dx
.
⌡
a
b
Für diese Berechnung hat man die Schnittpunkte der beiden begrenzenden Kurven zu bestimmen.
Beispiel 1: Zwischen Sinus und Cosinus
Wir betrachten die Fläche zwischen den Kurven
c( x ) = sin( x ) und d( x ) = cos( x ) + 1.
Die Kurven schneiden sich offenbar an den Stellen
⎛ 1 ⎞
x = ( 2 n + 1) π und x = ⎜ 2 n + ⎟ π ,
⎝ 2 ⎠
wobei n alle ganzen Zahlen durchläuft. Wir greifen das Intervall von −π bis π
2 heraus.
Für die Fläche zwischen den beiden Kurven in diesem Bereich ergibt sich:
⌠
⎮ cos( x ) + 1 − sin( x ) dx
= sin( x) + x + cos( x)
⌡
⌠
⎮
⌡
0.5 π
−π
3
cos( x) + 1 − sin( x ) dx
= 2 +
2 π

Wie man im Falle stückweise definierter Funktionen vorgeht, zeigen wir an
Beispiel 2: Eine Herzfläche
Obere Randkurve
− x − x 2 für x zwischen -1 und 0 , x − x 2 für x zwischen 0 und
1 ,
untere Randkurve
1 .
− 1 −
2
⎛ x + 1 ⎞
⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠
für x zwischen -1 und 0 , − 1 −
2
⎛ x − 1 ⎞
⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠
für x zwischen 0 und
Kästchen- und Streifenmethode zur Berechnung des Flächeninhalts sind hier fehl am Platz: sie sind
nicht nur sehr aufwendig, sondern liefern auch nach beliebig vielen Schritten nie den exakten
Wert.
Viele eleganter (und exakt) ist die Integration mit Hilfe von Stammfunktionen:
1 − t
Die Achsensymmetrie und Substitution t = 1 − 2 x bzw. x = liefert für den oberen Teil:
2
⌠
2 ⎮ x − x d
⌡
2 x = 1⌠
⎮
2⌡
0
1
1
−1
1 − t 2
1
⌠
dt
= ⎮ 1 − t d
⌡
2
t = 1
[ ]
2 +
π
t 1 − t2 arcsin( t)
=
0 4 .
0 ( 1 )
Auch geometrisch ist klar, daß dieser Wert herauskommen muß: Die oberen beiden Halbkreise
vom Radius 1
π
ergeben zusammen einen Kreis vom Flächeninhalt
2 4 .
Für den unteren Teil berechnen wir unter Ausnutzung der Symmetrie und der Substitution

t =
x + 1
2
⌠
⎮
2 ⎮
( x + 1 )
⎮ 1 − d
⎮
⌡
2
1
⌠
x = 4⎮ 1 − t d
4 ⌡
1/2 1
2
t = 2 [ t 1 − t + ]
2
arcsin( t)
0
1
Damit beträgt die gesamte Herzfläche
Kegelschnittflächen
1
⌠
2 ⎮ x − x d +
=
⌡
0
2 ⌠
⎮ 1
x 2 ⎮ 1 − ( ) d
⎮ 4
⌡
+ x 1 2 11 1
x π −
12 2 3
0
1
1/2
2 π
= −
3
Erinnern wir uns, daß die allgemeine Kegelschnittgleichung die Nullstellenmenge eines Polynoms
zweiten Grades in zwei Variablen beschreibt:
A x + + + + + =
2 B x C E y 2 F y G x y 0 .
Will man den Inhalt der von Kegelschnitten begrenzten Flächen ermitteln, muß man u.a. Integrale
der Form
⌠
⎮ A x + + d
⌡
2 B x C x
auswerten, was im allgemeinen Fall auf ziemliche Monsterformeln führt. Fragen wir MAPLE!
⌠
⎮
⌡
A x + + d
2 1 ( 2 A x + B )
B x C x
4
A x + +
2 =
B x C
A
⎛ 1
⎜
1 ⎜
B + A x
⎜ 2
ln
2
⎜ +
⎝ A
⎞
⎟
A x + +
⎟
⎠
2 ⎛ 1
⎞
⎜
B + A x
⎟
B x C C
⎜ 2 ⎟
ln
⎟
⎜ + A x + + ⎟
1 ⎝ A
⎠
A
8
2 B x C B 2
( )
A /
+ −
3 2
Mit ein paar Abkürzungen kann man hier etwas Ordnung schaffen, etwa für den Fall A > 0 :
U =
1
2
1
A
V( x ) = 2 A x + B
W( x ) = A x + +
2 B x C
⌠
⎮ W( x ) dx
= U +
⌡
2
V( x ) W( x ) U 3 ( 4 A C − B )
2
ln ( U V( x ) + W( x ) )
∂
( ) =
∂x
+
U2 V( x ) W( x) U 3 ( 4 A C − B )
2
ln ( U V( x ) + W( x ) ) A x + +
2 B x C
Solche Formeln mag sich natürlich niemand merken. Wie wir jedoch aus der Linearen Algebra
wissen, kann man die Gleichungen durch Transformation auf Normalformen soweit reduzieren,
daß (neben Polynomen ersten Grades) nur noch die folgenden Spezialfälle eine Rolle spielen, die
wir zum Teil schon kennengelernt haben:
3
2 .

Geometrisch ist
x 2
y 2
+
−
y 2
x 2
=
=
r 2
r 2
⌠
⎮
⌡
a
⌠
⎮
⌡
a
⌠
⎮
⌡
a
b
b
b
⌠
⎮ r~ − d =
⌡
2
x 2 1
x x − +
2 r~2 x 2 1
2 r~2
⎛ ⎞
arcsin⎜ ⎟
⎝ ⎠
x
r~
⌠
⎮ r~ + d =
⌡
2
x 2 1
x x + +
2 r~2 x 2 1
2 r~2
⎛ ⎞
arcsinh⎜ ⎟
⎝ ⎠
x
r~
⌠
⎮ − r~ + d =
⌡
2
x 2 1
x x − + −
2 r~2 x 2 1
2 r~2 ln ( x + − r~ + )
2
x 2
r 2
r 2
x 2
− x d
2 x die Fläche zwischen der x-Achse und einem Kreisbogen
+ x d
2 x die Fläche zwischen der x-Achse und einem Hyperbelast
− r d
2 x die Fläche zwischen der x-Achse und der Hyperbel − =
genauer der jeweilige Flächeninhalt, begrenzt von den beiden senkrechten Geraden x = a und
x = b . Insbesondere ist
und
während
r
⌠
⎮
⌡
−r
⌠
⎮
⌡
r
2
− r
r
⌠
⎮
⌡
−r
2
r 2
r 2
− x d
2 x = r2 ( arctan( ∞ ) − arctan( −∞)
)
2
r 2
r 2
− x d −
2 x
2 =
r
⎛
⎜ arctan ⎜
⎝ ⎝
2 ⎛
+ x d
2 x = r 2 ( 2 + ln ( 1 + 2 ) )
= r2 π
2
1 ⎞ ⎛ ⎞⎞
⎟ − arctan ⎜
⎜−
⎟
⎟
2 ⎠ ⎝ ⎠⎠
1
2
den Flächeninhalt unter einem Hyperbelast von -r bis r beschreibt.
2
ein Halbkreis
= r2 π
4
x 2
y 2
r 2
ein Viertelkreis,

Selbstinverse Funktionen
Während gerade Funktionen symmetrisch zur y-Achse und ungerade Funktionen symmetrisch zum
Ursprung sind, ist jede Funktion f mit
f( x) = y x = f( y )
symmetrisch zur Winkelhalbierenden des ersten Quadranten ( x = y). Solche Funktionen heißen
selbstinvers.
Beispiele sind:
f( x ) = r − x (Gerade)
r
f( x)
=
x (Hyperbel)
f( x ) = − x 2 (Kreis).
r 2
Für selbstinverse Funktionen kann man Sektorflächen, die ebenfalls symmetrisch zur
Winkelhalbierenden liegen, sehr einfach auf ein gewöhnliches Integral zurückführen:
Aus der Zeichnung liest man ab, daß die folgenden drei Flächen gleich groß sind:
x = f( a ) ,
y = f( a ) .
die rot umrandete Sektorfläche mit den Ecken (0,0), ( a , f( a ) ) und ( f( a ) , a) ,
die Fläche zwischen der Kurve, der x-Achse und den beiden Geraden x = a und
die Fläche zwischen der Kurve, der y-Achse und den beiden Geraden y = a und

Alle drei Flächeninhalte werden somit durch das Integral
⌠
⎮
⌡
beschrieben.
f( a )
a
f( x ) dx
Beispiel 3: Kreissektoren
Für den Sektor des Einheitskreises zwischen dem Winkeln α < π π
und − α ergibt sich fast ohne
4 2
jede Rechnung die Fläche
α −
π
4 ,
da sich diese zur vollen Kreisfläche π wie der zugehörige Kreisbogen der Länge 2 ⎛ ⎞
⎜ α − ⎟
⎝ ⎠
π
4 zum
vollen Kreisumfang 2 π verhält.
Dieser Flächeninhalt ist andererseits gleich dem Integral
⌠
⎮
⌡
a
1 − a 2
1 − x d
2 ⎛ π ⎞
x mit a = sin( α ) = cos ⎜ − α ⎟ .
⎝ 2 ⎠
Dieses Integral direkt auszurechnen, ist ziemlich mühsam!
Beispiel 4: Das Malteserkreuz und die Windmühlenflügel
oder woher der Area cosinus hyperbolicus seinen Namen hat

Die Fläche eines Windmühlenflügels (Hyperbelsektor) ist jeweils ebenso groß wie die Frontfläche
des Windmühlendachs, nämlich gleich
ln ( x + y ) = arccosh( x ) ,
wenn x die Länge und y die halbe Breite des Flügels beschreibt.

6.3.B Mehrfachintegrale und Volumina
Volumina
lassen sich häufig durch Integration der Differenz f ( x, y ) − g ( x, y ) zweier Funktionen (obere und
untere Begrenzungsfläche) über ein von zwei Kurven berandetes Gebiet
c( x ) < y < d( x ) (a < x < b)
gewinnen (ob man den Rand hinzunimmt oder nicht, spielt für Volumina ebenso wie für
Flächeninhalte keine Rolle). Das Doppelintegral zur Volumenberechnung sieht allgemein so
aus:
⌠ ⌠
V = ⎮ ⎮ f ( x, y ) − g ( x, y ) dy
dx
⌡ ⌡
a
b
d( x)
c( x)
Vielfach ist g die Nullfunktion, kann also weggelassen werden. Ist außerdem f die konstante
Funktion 1, so reduziert sich das Integral auf die obige Formel für Flächeninhalte. Man erhält so
als Spezialfall das Volumen des von den Ebenen z = 0 und z = 1 sowie den Funktionen y = c( x )
und y = d( x ) begrenzten Körpers.
Beispiel 1: Der "Zylinder" über der Fläche zwischen Sinus und Cosinus
Beispiel 2: Fisheye
Wir betrachten das nach oben gewölbte Funktionsgebirge
− −
f ( x, y ) =
2
über der in Beispiel 1 festgelegten Fläche, sowie das nach unten gewölbte Funktionsgebirge
π 2
g ( x, y ) = −
π 2
x 2
y 2
− −
x 2
4
y 2
= −
f ( x, y )
unter dieser Fläche. Man muß nachprüfen, daß für x zwischen −π und π
2
2
und für y zwischen sin( x
)

und cos( x) + 1 die Funktion f ( x, y ) tatsächlich positiv, folglich g ( x, y ) negativ ist. Sonst würden
bestimmte Volumenanteile negativ gerechnet.
In unserem Spezialfall lautet das Doppelintegral:
3 ⌠
⎮
4 ⌡
1 / 2 π
−π
⌠
⎮
⌡
cos( x ) + 1
sin( x)
π 2
− x − d d =
2
y 2 27
y x + + +
32 π3 9
16 π2 21 23
π
16 12
Komplizierter wird die Sache, wenn man die obere Kuppel nach unten und die untere nach oben
verschiebt, etwa
f ( x, y ) =
4 − x −
2
2
y 2
, g ( x, y ) = −
4 − x2 −
4
Will man hier das Volumen des "Eikörpers" (ohne den "Fischschwanz") herausbekommen, so darf
man nicht über die volle Fläche integrieren. Man muß dann erst einmal die Schnittkurve mit der xy-Ebene
finden (das ist ein Kreissegment mit Radius 2) und diese als neue Randkurve nehmen.
Schon die Bestimmung der Schnittpunkte der Kurve
+ = 4
mit y = cos( x ) + 1 bzw. y = sin( x ) ist nicht mehr elementar möglich, man muß sich mit
Näherungslösungen zufrieden geben. MAPLE gibt für die x-Koordinaten dieser Schnittpunkte
folgende Näherungswerte:
x 2
y 2
s 1
s 2
y 2
:= -1.872392579
:= -1.740240690
.

Auch die Integration wird rechnerisch erheblich aufwendiger, denn nun muß man das Gebiet in
mehrere Teilstücke zerlegen!
Zu berechnen wäre also die Integralsumme
π
2
⌠ ⌠
⎮ ⎮
⎮ ⎮
⎮
⎮
⌡ ⌡
s 2
cos( x ) + 1
sin( x)
⌠
⎮
⌡
s 1
−2
⌠
⎮
⌡
4 − x 2
− 4 − x 2
3 ( 4 − x − )
d d
2
y 2
y x
4
s 2
3 ( 4 − x − )
d d
2
y 2 ⌠ ⌠
⎮ ⎮ 3 ( 4 − x − )
y x + ⎮ ⎮
d
4
⎮
d
⎮
⎮
⌡ ⌡
2
y 2
y x +
4
s 1
cos( x ) + 1
− 4 − x 2
Für die einzelnen drei Integrale errechnet MAPLE (näherungsweise!)
V1 := 0.01798173112
V2 := 0.08367806092
V3 := 9.220695730
und für die Summe, also das gesuchte Volumen
V := 9.322355522
Der Satz von Fubini
Manchmal ist es günstiger, die Rollen von x und y zu vertauschen und in der anderen Richtung zu
integrieren. Das Gebiet wird dann beschrieben in der Form
a( y ) < x < b( y ) , c < y < d
und das Integral lautet
⌠ ⌠
V = ⎮ ⎮ f ( x, y ) − g ( x, y ) dx
dy
.
⌡ ⌡
c
d
b( y)
a( y)
Im Spezialfall konstanter Berandungsfunktionen führt das auf den Satz von Fubini, welcher besagt,
daß man bei stetigen Integranden die Integrationsreihenfolge vertauschen darf :

⌠ ⌠
⌠ ⌠
⎮ ⎮ f ( x, y ) − g ( x, y) dx
dy
= ⎮ ⎮ f ( x, y ) − g ( x, y ) dy
dx
.
⌡ ⌡
⌡ ⌡
c
d
Beispiel 3: Ein Sattel
a
b
f ( x, y ) = + −
über dem quadratischen Sockel
[ −r, r ] x [ −r, r ] .
r 2
x 2
y 2
Integration zuerst über x (innen!) und dann über y (außen!) ergibt:
r
r
−r
2
⌠
⎮
⌡
a
b
c
d
+ x − d = ,
2
y 2 8
x −
3 r3 2 y 2 ⌠
⎮ 8
r ⎮ − d =
⎮ 3
⌡
r3 2 y 2 r y 4 r 4
r
⌠ ⌠
⎮ ⎮
⌡ ⌡
−r
r
r
−r
2
r
−r
+ x − d d =
2
y 2 x y 4 r 4
Umgekehrt: Integration zuerst über y (innen) und dann über x (außen!) führt auf das gleiche
Ergebnis, aber über andere Stammfunktionen:
r
r
−r
2
⌠
⎮
⌡
+ x − d = ,
2
y 2 4
y +
3 r3 2 x 2 ⌠
⎮ 4
r ⎮ + d =
⎮ 3
⌡
r3 2 x 2 r x 4 r 4
r
⌠ ⌠
⎮ ⎮
⌡ ⌡
−r
r
r
−r
2
r
−r
+ x − d d =
2
y 2 y x 4 r 4
Besonders einfach wird die Integration, wenn die zu integrierende Funktion nur von einer
Variablen abhängt.
Beispiel 4: Volumen eines parabolischen Zylinders
f ( x, y ) = 1 − x 2
Tunnel

Das Volumenintegral ist hier
also
1
g ( x, y ) = − 1 + x 2
Wanne
Zylinder
⌠ ⌠
⌠ ⌠
⎮ ⎮ f ( x, y ) − g ( x, y ) dx
dy
= ⎮ ⎮ f ( x, y ) − g ( x, y ) dy
dx
⌡ ⌡
⌡ ⌡
-1
1
-1
1
1
-1
1
-1
⌠
4 ⎮ 1 − x d =
⌡
2 16
x
3
Beispiel 5: Zwei sich senkrecht durchdringende Tonnen
gleichen Durchmessers werden beschrieben durch die impliziten Darstellungen
x 2
+
y 2
= 1 und + = 1 .
x 2
z 2
-1

Wie sieht das von beiden Tonnen umschlossene "Kissen" aus?
Wir wollen das Volumen des Kissens bestimmen. Aus Symmetriegründen genügt es, über den
Oktanten zu integrieren, wo alle drei Koordinaten nichtnegativ sind, und das Ergebnis mal 8 zu
nehmen.
Hier geht das sehr einfach:
0
1
⌠ ⌠
V = ⎮ ⎮ 1 − x d d
⌡ ⌡
2 y x
0
1
0
1 − x 2
⌠
2
V = ⎮ 2 ⌠
⎮ 1 − x dx
, ⎮ 1 − x d = ,
⌡
⌡
2 1
x x −
3 x3 V =
2
3
Also ist das Gesamtvolumen wieder gleich 16
. Erstaunlich, daß die Kreiszahl π auch hier nicht
3
auftritt, obwohl alle Berandungsflächen Ausschnitte von Kreiszylindern sind! Zum Vergleich noch
einmal beide Figuren nebeneinander:

Beispiel 6: Ein Partyzelt
Drehen und Halbieren des "Kissens" aus Beispiel 5 ergibt folgende Figur:
Hier genügt es zur Volumenbestimmung, die Funktion
f ( x, y ) = 1 − x 2
über der Dreiecksfläche
0 ≤ x , x ≤ 1 und −x ≤ y , y ≤ 0
zu integrieren und das Ergebnis wieder zu verachtfachen.
⌠ ⌠
⎮ ⎮
⌡ ⌡
0
1
0
−x
1 − x d d =
2 ⌠
y x ⎮ x 1 − x d
⌡
2 x
⌠
⎮x 1 − x d =
⌡
2 x − 1
( )
3 −
⌠ ⌠
⎮ ⎮
⌡ ⌡
Damit ist das Volumen des Zeltes gleich
8
3 ,
0
1
0
−x
0
1
( )
1 x2 / 3 2
1 − x d d =
2 1
y x
3

also tatsächlich die Hälfte des Kissenvolumens. Dieses Ergebnis haben wir hier aber auf einem
ganz anderen Weg hergeleitet. (Geänderte Berandungskurven!)
Schließlich wollen wir noch einen Fall behandeln, wo der Integrationsbereich sehr einfach,
nämlich ein Quadrat ist, und auch die zu integrierende Funktion harmlos erscheint
(Kugeloberfläche). Dennoch wird die Integration hier unvermutet mühsam.
Beispiel 7: Ein Kopfstein
Wir betrachten das kuppelförmige Dach
f ( x, y ) = 4 r − −
2
x 2
y 2
über dem quadratischen Sockel [ −r, r ] x [ −r, r ] .
Für das Volumen-Integral
⌠ ⌠
4 ⎮ ⎮ 4 − x − d d
⌡ ⌡
2
y 2 y x
0
1
0
1
bietet MAPLE die folgende wenig hilfreiche Lösung an (Logarithmen von negativen Zahlen?):
1
⌠
⎮
1
⎮ 2
⌡
-1
4 − x 2
⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞
4 ln⎜
⎟ ln⎜
⎟ x
⎝ ( x − 2 ) ( x + 2)
⎠ ⎝ ( x − 2 ) ( x + 2 ) ⎠
2
⎛
⎜−
+ +
⎝
2 − 3 + x 2
8 ln ( 1 + − 3 + x )
2
2 ln ( 1 + − 3 + x )
2 x 2
− +
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
1
2
− 4 + x
⎞
( − 4 + x2 ) ⎟
⎠
x d
Wir müssen uns also schon selbst etwas einfallen lassen. Wir schreiben erst einmal
1 1
⌠ ⌠
4 ⎮ ⎮
⌡ ⌡
0 0
4 − x − d d =
2
y 2 1 1
⌠ ⌠
⎮ ⎮
y x 2 ⎮ ⎮
⎮ ⎮ 2
⎮ ⎮
⌡ ⌡
4 − x d d
2 y
1 −
2
4 − x 2
y x
und substituieren w( x)
=
über in
2 ( 4 − x )
2
⌠
⎮
⌡
w( x)
0
0
0
1
, u = y w( x ) , also dy = −
2
4 − x 4 x2 du . Damit geht der Integrand
2 1 − u d
2 u .
⌠
Das innere Integral ergibt wegen ⎮2 1 − u d =
⌡
2 u u 1 − u + +
2
arcsin( u ) C :
3 − x 2
4 − x 2
+
arcsin ( w( x ) ) ,

und damit wird das gesamte Integral zu
⌠
2 ⎮ 3 − x +
d
⌡
2
( 4 − x )
2
arcsin ( w( x ) ) x .
0
1
Dieses immer noch ziemlich teuflische Integral kann MAPLE nun knacken! Das Ergebnis ist
44 ⎛ ⎞
arcsin⎜ ⎟ + − − +
3 ⎝ ⎠
1 4
3
3 3 2
32 ⎛ ⎞
arctan⎜ ⎟
3 ⎝ ⎠
5
2 2
16
16
arctan( 2 2 )
3
3 π
mit dem Näherungswert 7.28772678. Das ist weniger als das halbe Volumen der Hemisphäre mit
Radius 2:
16 π
= 16.75516082 .
3

6.4. Integration in Zylinderkoordinaten
6.4.A Rotationsvolumina
Rotationskörper entstehen, wenn man eine (in einer Koordinatenebene liegende) Kurve um eine
der Koordinatenachsen kreisen läßt. Beispiele aus dem praktischen Leben sind Töpferscheibe und
Drechselbank.
Die Scheibenmethode
Bei Rotation um eine Achse (z.B. die z-Achse) kann man sich das entstehende Gebilde aus
Kreisscheiben, d.h. sehr flachen Kreiszylindern aufgebaut vorstellen. Das Volumen eines solchen
Zylinders ist das Produkt von Grundfläche und Höhe, also
r( z) 2 π dz ,
wenn r( z ) den Radius, d.h. der Abstand von der Drehachse in der Höhe z, und dz die Dicke der
Scheibe beschreibt. Durch "Aufsummieren" dieser Scheiben erhält man eine Näherung für das
Volumen des Rotationskörpers, und läßt man dz gegen 0 konvergieren, so erreicht man im
Grenzwert das exakte Volumen. Verläuft die Achse zwischen den Höhen a und b, so ist das
Volumen gegeben durch die
Erste Integralformel für Rotationsvolumina
b
⌠
V ( a, b) = π ⎮ r( z ) d
⌡
a
2 z .
Wir sehen, daß man keineswegs immer Quader als Volumenelemente nehmen muß. Bei
Rotationskörpern wäre dies geradezu widersinnig. Hier sind Kreisscheiben offensichtlich adäquate
"Bauelemente".
Beispiel 1:
Volumen einer Vase
Wir lassen die Sinus-Kurve um die z-Achse rotieren.
g( t)
⎡2
+ sin( z ) ⎤
⎢ ⎥
= ⎢ 0 ⎥
⎢ ⎥
⎣ z
⎦

Das Volumen errechnet sich nun nach der Formel
also
V ⌠
= ⎮
π ⌡
0
2 π
2 ⌠
( 2 + sin( z ) ) dz
= ⎮ 4 + 4 sin( z ) + sin( z ) d
⌡
2 z
0
2 π
= 8 π + 4 ( cos( 2 π ) − cos( 0)
) +
2 π − cos( 2 π ) sin( 2 π)
2
= 9 π ,
V = 9 π 2
Stückweise definierte Kurven
Gelegentlich wird man eine Profilkurve eines Rotationskörpers (oder andere Kurven) aus einzelnen
Stücken zusammensetzen. Bei der Volumenberechnung muß man dann stückweise integrieren.
Beispiel 2:
Volumen eines Schach-Bauern,
dessen Profilkurve aus den folgenden vier Stücken zusammengesetzt ist:
g( z ) = 1.9 − ( z − .2 )
2 , 0 ≤ z und z < .4
g( z ) = 2.6 − 1.2 z , .4 ≤ z und z < 2.6
g( z ) = 1 − 4 ( z − 2.9 )
2 , 2.6 ≤ z und z < 3.2
g( z ) = 1 − ( z − 4) 2 , 3.2 ≤ z und z ≤ 5 .
Die Höhe ist also 5 [cm], der Radius am Fuß etwa 2 [cm].
>
Wir drehen die Profilkurve wieder um die Zentralachse.
Um das Volumen des Bauern zu bestimmen, integrieren wir die vier Teilstücke nach der Formel

⌠
⎮
⌡
⌠
V = π ⎮ f( z ) d
⌡
2 z
f 1
⌠
⎮
⌡
( )
f 3
z 2
( )
a
b
f1( z ) = 1.9 − ( z − 0.2 )
2
dz
= 0.20000 z − − + +
5
0.20000 z 4
1.1867 z 3
0.74400 z 2
3.4596 z
z 2
⌠
⎮
⌡
⌠
2
V1 = π ⎮
2
⎮ ( 1.9 − ( z − 0.2 ) ) dz
, V1 = 4.4732
⌡
f 2
( )
z 2
0
0.4
f2( z ) = 2.6 − 1.2 z
( ) / 3 2
dz
= 0.72000 z − +
2
4.1600 z 6.7600 z
2.6
⌠
V2 = π ⎮ ( 2.6 − 1.2 z ) d ,
⌡
2
z V2 = 10.167
0.4
f3( z ) = 1 − 4 ( z − 2.9 )
2
dz
= 3.2000 z − + − +
5
46.400 z 4
266.45 z 3
757.25 z 2
1065.4 z
3.2
⌠
2
V3 = π ⎮
2
⎮ ( 1 − 4 ( z − 2.9 ) ) dz
, V3 = 1.4814
⌡
2.6
⌠
⎮
⌡
f 4
f4( z ) = − 15 − z +
2
8 z
( )
z 2
5
1
dz
= − 15 z − +
3 z3 4 z 2
⌠
V4 = π ⎮ 1 − ( z − 4) d ,
⌡
2 z V4 = 4.0715
Schließlich ist das Gesamtvolumen in Kubikzentimetern:
3.2
V = V1 + V2 + V3 + V4 V = 20.192
Zum Vergleich: Ein (mathematischer) Kegel gleicher Höhe und mit gleichem
Maximaldurchmesser hat das Volumen
Kaum ein Unterschied!
1
=
3 r2 π h 20.944

Die Hülsenmethode
In vielen Fällen ist die Profilkurve so parametrisiert, daß die z-Koordinate als Funktion der x
-Koordinate gegeben ist, und nicht umgekehrt. Wenn diese Funktion nicht explizit invertierbar,
also z = z( x ) nicht nach x auflösbar ist, hat man mit der 1. Integralformel für Rotationsvolumina
schlechte Karten. In diesem Fall hilft eine zweite Methode, bei der man sich Rotationskörper nicht
aus Kreisscheiben,
sondern aus zylindrischen Hülsen aufgebaut vorstellt.
Statt des oberhalb der rotierenden Profilkurve liegenden Drehkörpers kann man natürlich auch den
darunterliegenden betrachten:

Wir greifen eine einzelne Hülse der Dicke dx heraus, die den mittleren Radius x und die Höhe z( x )
hat.
Das Volumen errechnen wir als Differenz der Volumina des äußeren und inneren Zylinders:
2
π −
=
⎛ dx ⎞
⎜ x + ⎟ z( x ) π
⎝ 2 ⎠
⎛ dx ⎞
⎜x
− ⎟ z( x ) 2 π x z( x ) dx .
⎝ 2 ⎠
Damit haben wir für den Rotationskörpers unter der Profilkurve die
Zweite Integralformel für Rotationsvolumina
⌠
V ( r, R) = 2 π ⎮ x z( x ) dx
⌡
zischen den Radien r und R.
r
R
2
Das Volumen oberhalb der rotierenden Profilkurve bekommt man schließlich, indem man das
Volumen des unteren Rotationskörpers von dem Zylindervolumen abzieht:
⎛
⎞
VRest = 2 π ⎜
⎜
R − −
⎟
⎟
⎝
⎠
2
z( R ) r 2
R
⌠
z( r) ⎮ x z( x ) dx
.
⌡
r

Beispiel 3:
Kelch oder Profile?
Flächeninhalt eines Profils:
⌠
⎮ ⎛ ⎞
⎮ 1 − cos⎜ ⎟ d = ,
⎮ ⎝ ⎠
⌡
1
π x x 2 =
2 d
⌠
⎮ 1
⎮ x + sin( 2 π x ) x 2
⎮ 6
⌡
0
2
Damit ist der Flächenhalt der Projektion des Kelches
0
2
⌠
⌠
⎮ ⎛ π x ⎞ ⎮ sin( 2 π x)
FProfil = ⎮ 1 − cos⎜ ⎟ dx
+ ⎮ x + dx
= 4 .
⎮ ⎝ 2 ⎠ ⎮ 6
⌡
⌡
FKelch = − 8 = 8 ,
also ebenso groß wie die Restfläche.
Nun lassen wir die Profilkurve um die senkrechte Achse rotieren.
0
2
4 2
0
2

Um das Kelchvolumen nach der Formel
2
⌠
VKelch = π ⎮ g( y ) d
⌡
−2
2 y
zu berechnen, müßte man erst die beiden Teilfunktionen invertieren, also
⎛ 1 π x ⎞
y = 1 − cos⎜ ⎟ bzw.
⎝ 2 ⎠
1 sin( 2 π x)
y = x +
6
nach x auflösen, was im oberen Fall auf
2 arccos ( 1 − y)
x =
π
führt, im unteren Fall aber gar nicht elementar möglich ist.
Und selbst das Integral für die obere Hälfte
2
⌠
2
⌠
4 ⎮ [ arccos ( 1 − y ) ] dy
2
⎮
π ⎮
⎛ 2 arccos ( 1 − y)
⎞
⌡
0
⎮ ⎜
⎟ dy
=
⎮ ⎝ π ⎠
π
⌡
0
sieht ziemlich mühsam aus.
Hier ist es eindeutig besser, die zweite Formel für Rotationsvolumina zu benutzen:
2
⌠
V = 2 π ⎮ f( x ) x dx
⌡
−2
Das Restvolumen des oberen Kelches ergibt sich mittels partieller Integration:
2
⌠
⎮ ⎛ ⎛ ⎞ ⎞
2 π ⎮ ⎜1
− cos⎜ ⎟ ⎟ d =
⎮ ⎝ ⎝ ⎠ ⎠
⌡
1
16
π x x x 4 π +
2 π
0
Das obere Kelchvolumen beträgt somit
16 16
8 π − 4 π − = 4 π −
π π
also deutlich weniger als die Hälfte des oberen Zylindervolumens 8 π.
2

Für das Restvolumen zum unteren Teil (Glocke) bekommen wir entsprechend
⌠
⎮ ⎛ 1 ⎞ 16 1
2 π ⎮ ⎜x
+ sin( 2 π x ) ⎟ x dx
= π −
⎮ ⎝ 6 ⎠ 3 3
⌡
0
2
also für das Glockenvolumen selbst
16 π 1
8 π − +
3 3 ,
und insgesamt
20 π 16 1
VKelch = − +
3 π 3 .
Das ist ungefähr 16.18432618 , also weniger als ein Drittel des gesamten Zylindervolumens
16 π = 50.26548246 .
Beispiel 4: Archimedes und das Kugelvolumen
Wie schon Archimedes (im 3. Jahrhundert vor Chr.) wußte, ist bei gleicher Höhe und Breite das
Verhälnis der Volumina
Kegel : Kugel : Zylinder = 1 : 2 : 3 .
Da ein Zylinder mit Radius R und Höhe 2R das Volumen
2 R π R =
2
2 R 3 π
besitzt, ist das Volumen des Kegels gleich
2 R3 π
3
und das der Kugel gleich
4 R3 π
.
3

Da der junge Archimedes seinen "Beweis" dadurch erbrachte, daß er den Zylinder in die eine
Waagschale sowie Kegel und Kugel zusammen in die in andere Waagschale einer Balkenwaage
legte, wurde er ob solch "niedriger" Beweismethoden von der Akademie verbannt! Später fand er
aber einen mathematischen Beweis, den die Ordnungshüter der Akademie nicht mehr anfechten
konnten.
Leicht abgewandelt in moderne Sprache ergeben sich die Formeln für die drei Körper als einfache
Rotationsintegrale nach dem Scheibchenprinzip:
R
⌠
VZylind = π ⎮ R d
⌡
2 z = 2 R 3 π
−R
R
⌠
VKegel = π ⎮ z d
⌡
2 z = 2 R3 π
3
−R
R
R
−R
2
⌠
VKugel = π ⎮ − z d
⌡
2 z = 4 R3 π
3
Für die Gleichung
VZylind = +
V Kegel
V Kugel
braucht man die Integrale übrigens gar nicht auszuwerten. Ein Blick auf die Integranden genügt!
Beispiel 5: Volumina von Perlen
Durchbohren wir eine kugelförmige Perle zentrisch, so entsteht ein Bohrloch der Länge 2 L.
Wir stellen die durchbohrte Perle graphisch mittels Zylinderkoordinaten dar:
R = Radius, φ = Drehwinkel, z = Höhe

R −
2
z 2 = Abstand von der z-Achse (in der Höhe z)
Vollkugel: L = R (Radius)
Enge Bohrung: L =
Weite Bohrung: L =
9 R
10
3 R
4
Serviettenring: L =
R
2
Wir wollen jetzt das Volumen der durchbohrten Perle bestimmen, ohne viel zu rechnen (und ohne
den Radius R zu kennen!)
Der waagerechte Schnitt durch die gebohrte Kugel in der Höhe H liefert einen Kreisring.

Nach dem Satz von Pythagoras beträgt sein Innenradius
R −
2 L 2
und sein Außenradius
R −
2 H 2 .
Sein Flächeninhalt ist daher
π ( R − ) −
=
2 H 2
π ( R − )
2 L 2
π ( L − )
2 H 2
und somit gleich der Fläche eines kreisförmigen Schnittes durch eine Kugel vom Radius L in der
gleichen Höhe H.
Wir bauen die durchbohrte Kugel aus flachen Kreisringscheiben auf.

Das Restvolumen der durchbohrten Kugel ergibt sich als Summation über solche Kreisscheiben, ist
also gleich dem Volumen einer Vollkugel der gleichen Höhe, d.h.
Wir zeichnen vier Perlen gleicher Höhe übereinander.
Alle vier Perlen haben das gleiche Volumen!

6.4.B Viviani-Fenster
Vincenzo Viviani (1622-1703), ein Schüler Galileis, war bereits zu seiner Zeit ein berühmter
Mathematiker, Physiker und Ingenieur. Neben der Erstausgabe von Galileis Werken und
bedeutenden Fortschritten in der Ingenieurmathematik verdanken wir ihm die folgende hübsche
geometrische Figur mit erstaunlichen Eigenschaften:
In eine Kugel werden zwei maximale gleichgroße zylindrische Löcher gebohrt, die sich gegenseitig
berühren.
Das sieht bei Blickrichung durch die Löcher so aus:
Die beiden Bohrfüllungen:
...und der Restkörper mit zwei Bohrungen:

Wir wollen das Restvolumen der zweifach durchbohrten Kugel bestimmen, deren Radius wir der
Einfachheit halber gleich 1 setzen. Es bieten sich Polar- bzw. Zylinderkoordinaten an - aber
Vorsicht, die Zentralachse der Bohrkörper fällt hier nicht mit der z-Achse (einer Achse der Kugel)
zusammen!
Aus Symmetriegründen reicht es außerdem, das Volumen eines Viertel-Bohrkörpers zu
bestimmen.
Wir haben die Funktion
f ( r, φ ) = 1 − r 2
über dem Gebiet
π
r = 0 .. cos( φ ) und φ = 0 ..
2
zu integrieren. Also geht es um die Bestimmung von
⌠ ⌠
V = ⎮ ⎮ 1 − r d d
⌡ ⌡
2 r r φ .
0
π
2
cos( φ)
0
Das innere Integral berechnen wir mittels Substitution und bekommen
⎛ 3 ⎞
⎜ ⎟
⌠
⎮
⌡
1 − r d =
2 ⎛ ⎞
r r ⎜−
⎟
⎝ ⎠
1
( )
3 −
⎝ 2 ⎠
1 r2
cos( φ)
⌠
⎮
⌡
1 − r d =
2 ⎛ ⎞
r r ⎜ − ⎟
⎝ ⎠
1
⎛
⎜
⎝(
1 − 0 )
3
2
0
⎛ 3 ⎞
⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠
− ( 1 − cos( φ) )
2
⎛ 3 ⎞
⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠
Eine frühere Berechnung der Stammfunktionen von Sinuspotenzen ergab
⌠
⎮ sin( x ) d =
⌡
3 cos( x ) ( sin( x) + )
x −
2
2
.
3
Damit wird unser Ausgangsintegral zu
⌠
⎮ 1 − sin( φ) V = ⎮
d
⎮
⌡
3
π cos( 0 ) ( sin( 0) + )
φ = −
=
3 6
2
2 π
−
9
6
0
π
2
2
9 .
⎞
⎟
⎠ =
1 − sin( φ) 3
3
.

Das Volumen des zweifach durchbohrten Restkörpers erhalten wir schließlich, indem wir 8 V vom
Kugelvolumen abziehen:
4 π
VRest = − 8
3
⎛ π 2 ⎞ 16
⎜ − ⎟ =
⎝ 6 9 ⎠ 9 ,
bzw. bei beliebigem Radius R (aus Ähnlichkeitsgründen)
16 R
VR =
3
9 .
Die Zahl π kommt hier nicht mehr vor!
Auf ein ähnliches Phänomen stoßen wir, wenn wir die Oberfläche des sogenannten
Viviani-Fensters berechnen.
Wir zeichnen es zusammen mit den herausgeschnittenen Flächenteilen:
Die Parameterdarstellung der oberen Halbkugel-Oberfläche in Polarkoordinaten sowie ihre
partiellen Ableitungen lauten
>
⎡r
cos( φ)
⎤
⎢ ⎥
g ( r, φ)
= ⎢r
sin( φ)
⎥
⎢
, ,
⎢
⎥
⎣ 1 − r ⎦
2
⎡ cos( φ)
⎤
⎢ ⎥
⎢ sin( φ)
⎥
gr ( r, φ)
= ⎢ ⎥
⎢ r ⎥
⎢ ⎥
⎢
−
⎥
⎣ 1 − r ⎦
2
⎡−r
sin( φ)
⎤
⎢ ⎥
gφ ( r, φ)
= ⎢ r cos( φ)
⎥
⎢ ⎥
⎣ 0 ⎦
Damit ist das vektorielle Flächenelement gr ( r, φ ) x gφ ( r, φ ) gleich

⎡ r ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ 1 − r ⎦
2
g ( r, φ ) ,
also wie erwartet ein Vielfaches des auf der Kugelfläche senkrecht stehenden Ortsvektors der
Länge 1.
Das skalare Flächenelement hat daher die Größe
r
| gr ( r, φ ) x gφ ( r, φ ) | = ,
2
1 − r
und somit ist das Oberflächenintegral für ein Viertel des Viviani-Fensters:
⌠
⎮
⎮⎮
⌡
0
1 π
2
⌠
⎮
⌡
1
cos( φ)
r
1 − r 2
0
π
2
⌠
dr
dφ
= ⎮ 1 − cos( φ) d
⌡
2 ⎛ ⎞
φ = − cos⎜ ⎟ +
⎝ ⎠
π
cos( 0 ) = 1.
2
Die Gesamtfläche des Viviani-Fensters mit Radius hat also genau den Flächeninhalt 4, und darin
kommt wieder die Kreiszahl π nicht vor - eine überraschende Entdeckung, die schon Viviani selbst
im 17. Jahrhundert gemacht hat!
Später haben Mineralogen einen Eisenerzkristall, der in Form von sich durchstoßenden Kugeln
und Zylindern wächst, Vivianit genannt.
Das an den Viviani-Fenstern beobachtete Phänomen ist in gewissem Sinne ein dreidimensionales
Analogon der berühmten
Monde des Hippokrates (5. Jh. v. Chr.)

Die Gesamtfläche der vier Monde ist ebensogroß wie die Fläche des Quadrates!
Das ist beinahe (aber nicht wirklich) die Quadratur des Kreises.

6.5. Näherungsmethoden
Ober-, Unter- und Zwischensummen
Eine explizite Näherungsberechnung für eindimensionale Integrale erhält man durch Zerlegung des
Gesamtintervalls [ a, b ] in Teilintervalle [ , ]
μ ( [ x n, j, x n , + ] ) = x n , +
Stützstellen. Das Integral
j 1 j 1 − x ,
⌠
⎮ f( x ) dx
⌡
a
b
ist Grenzwert der Zwischensummen
n
∑
j = 1
x n, j x n , j + 1 , deren Länge
n j gegen 0 geht, wenn n gegen ∞ strebt. Die Zahlen x ,
n
n j nennt man
( x n, j − x n , j − 1 ) f( x n, j ) bzw. ∑ ( x n, j − x n , j − 1 ) f( x n , j − 1 ) ,
j = 1
sofern die Treppenfunktionen gn mit gn( x ) = f( x n, j ) für x im Intervall [x n, j , x n , j + 1 [ gegen f
konvergieren, was zumindest für (gleichmäßig!) stetige Funktionen f zutrifft. Bei äquidistanter
Einteilung des Intervalls [ a, b ] mit der Schrittweite
b − a
hn = (n = 1,2,3, . . .)
n
und den Stützstellen
x n, j = a + hn j ( j = 0, ... , n)
gilt also
b
b
⌠
⌠
⎛ n ⎞
⎮ f( x ) dx
= lim ⎮ g ( ) d
⌡
n x x = lim h
⎜
n
n → ∞ ⌡
⎜
f( x
⎟
n, j )
⎟
.
n → ∞ ⎝ ⎠
a
a
∑
j = 1
In der numerischen Praxis wählt man meist n = 2 m , weil dann der jeweils nächste Schritt (von m
auf m + 1) durch Intervallhalbierungen entsteht und die zuvor berechneten Funktionswerte wieder
verwendet werden können.
Beispiel 1: Die Normalparabel
f( x) = x 2
bildet mit der x-Achse und der Senkrechten durch einen Kurvenpunkt ( b , f( b ) ) eine Fläche, deren
Inhalt durch das Integral
b
⌠
⎮ x d
⌡
0
2 3
⎛ b ⎞ ⎛ n ⎞
x = lim
⎜ ⎟
⎜ ⎟
n → ∞ ⎝ n ⎠ ⎜∑
j
⎟
⎝ j = 1 ⎠
2 ⎛ b ⎞
⎜ ⎟ n ( n + 1 ) ( 2 n + 1)
⎝ n ⎠
= lim
=
n → ∞
6
b3
3
beschrieben wird. Für b = 1 ist die Fläche unter der Parabel so groß wie die Fläche des Quadrats
mit der Seitenlänge 3.
3

Aufgrund der Montonie liegt ganz allgemein das Integral (die Fläche)
⌠
⎮ f( x ) dx
⌡
a
b
zwischen jeder Untersumme
n
∑
j = 1
min f ( [ , ] )
und jeder Obersumme
n
∑
j = 1
x n , j − 1 x n, j ( x n, j − x n , j − 1 )
max f ( [ , ] )
x n , j − 1 x n, j ( x n, j − x n , j − 1 ) .
Eine erheblich bessere Approximation erhält man offensichtlich durch die
Trapezregel:
Man verbindet die Punkte ( x n, j , f( x , )
Fläche zwischen diesem und der x-Achse durch Summation der einzelnen Trapezflächen
( b − a ) ( f( x n , j − 1 ) + f( x n, j ) )
.
2 n
(Flächenstücke unterhalb der x-Achse werden wieder negativ gerechnet).
Das Integral wird dann angenähert durch
hn f( x n, 0 )
+ hn f( x n, 1 ) + ... + hn f( x n , n − 1 ) +
2
hn ( ) f x n, n
=
2
b − a ⎛ n ⎞
(
⎜ ⎟ f( b ) − f( a )
−
n ⎜∑
f( x n, j)
⎟
).
⎝ j = 1 ⎠ 2
Für eine monoton wachsende Funktion ist das gerade der Mittelwert aus Untersumme und
Obersumme.
n j ) durch einen Polygonzug und bestimmt den Inhalt der

Beispiel 2: Trapezregel bei der Parabel
Im Falle der Normalparabel liefert eine äquidistante Zerlegung des Intervalls [ 0, 1 ] in acht
Teilintervalle
die Untersumme
⎛ 7 ⎞
( −9 )
2
⎜ ⎟
⎜∑
j
⎟
=
⎝ j = 0 ⎠
2 35
128 ,
die Obersumme
⎛ 8 ⎞
( −9 )
2
⎜ ⎟
⎜∑
j
⎟
=
⎝ j = 1 ⎠
2 51
128 ,
und die Trapezsumme
⎛ 7 ⎞
( −9 )
2
⎜ ⎟
⎜∑
j
⎟
+ =
⎝ j = 0 ⎠
2 1 43
16 128 .
Der exakte Wert
0
1
⌠
⎮ x d =
⌡
2 1
x
3
weicht von der Trapezsumme nur um 1
384 ab.
Verbesserte Näherungsverfahren
Indem man statt mit Geradenstücken (wie bei der Trapezregel) mit Parabelbögen interpoliert,
kann man die Annäherung an die gegebenen Kurven noch erheblich verbessern, sofern diese
einigermaßen glatt sind.
Die nach dem englischen Mathematiker Simpson benannte
Simpson-Regel
ermöglicht die exakte Berechnung des bestimmten Integrals über ein beliebiges Polynom p dritten
Grades (also eine kubische Parabel) mit drei äquidistanten Stützstellen:
⎛
⎞
b ⎜p(
a) + 4 + ⎟
⌠ ⎝
⎠
⎮ p( x) dx
=
⌡
⎛ a + b ⎞
p⎜
⎟ p( b ) ( b − a)
⎝ 2 ⎠
6
a
Wir gehen noch einen Schritt weiter und zeigen, daß für jedes Polynom vierten Grades p( x ) mit
Leitkoeffizient
p´´´´ ( 0 )
p 4
=
4!
die folgende "Quadraturformel" exakt ist:
⎛
⎞
b ⎜p(
a) + 4 + ⎟
⌠ ⎝
⎠
⎮ p( x) dx
=
−
⌡
⎛ a + b ⎞
p⎜
⎟ p( b ) ( b − a)
⎝ 2 ⎠
6
Wir setzen
a
p4 ( b − a) 5
120
.

⎛ a + b ⎞
q( x)
= p ⎜ + x ⎟ = q0 + q1 x + q2 x + +
⎝ 2 ⎠
2
q3 x 3
q4 x 4 und
b − a
h =
2 .
Nach dem Hauptsatz und der Substitutionsregel ist
b
h
⌠ ⌠
2 q2 h
⎮ p( x) dx
= ⎮ q( x ) dx
= 2 q + +
⌡ ⌡
0 h
3
2 q4 h
3
5
.
5
a
Die rechte Seite der Quadraturformel ergibt
−h
( q( −h) + 4 q( 0 ) + q( h ) ) h 4 q4 h
−
3
5
= + + −
15 2 q0 h
2 q2 h 3
2 q4 h
3
5
4 q4 h
3
5
15 ,
also den gleichen Wert.
p0 ( b − a )
p := x → p0 + p1 x + p2 x + + +
2
p3 x 3
p4 x 4
p 5 x 5
1
+ + + + +
2 p1 ( ) − b2 a 2 1
3 p2 ( ) − b3 a 3 1
4 p3 ( ) − b4 a 4 1
5 p4 ( ) − b5 a 5 1
6 p5 ( ) − b6 a 6
0
Spline-Interpolation
Die Simpson-Regel hat den eklatanten Vorteil, daß man bei Vorgabe dreier äquidistanter
Stützstellen und der zugehörigen Funktionswerte sofort das Integral über jede interpolierende
kubische Parabel ausrechnen kann, ohne diese explizit zu kennen! Dies macht man sich bei der
modernen Methode der sogenannten Interpolations-Splines zunutze. Beispielsweise ist für jede
durch die Punkte (-1,0), (0,1) und (1,0) verlaufende kubische Parabel das Integral
1
⌠ 0 + 4 + 0
⎮ p( x ) dx
=
⌡
3
−1
= 4
3 .
Die allgemeine kubische Parabel durch diese Punkte lautet
p( x ) = ( p3 x − 1 ) ( x − 1 ) ( x + 1 ) = p3 x − − +
3
x 2
p3 x 1.
Beispiel 3: Drei flächengleiche kubische Parabeln
p 3
p 3
= 0
1
=
2

p3 = 1
Durch Ausnutzung der Taylorformel beweist man sogar für eine beliebige, genügend oft
differenzierbare Funktion f die Näherungsformel
⎛
⎞
b ⎜f(
a ) + 4 + ⎟
⌠ ⎝
⎠
⎮ f( x ) dx
=
−
⌡
⎛ a + b ⎞
⎛ a + b ⎞
f⎜
⎟ f( b ) ( b − a ) f´´´´ ⎜ ⎟ ( b − a) ⎝ 2 ⎠
⎝ 2 ⎠
6
5
4 ! 5!
a
mit einem Fehler der Größenordnung ( b − a) 7 ! Liegt b nahe bei a, so ist das Restglied sehr klein.
Dies erkannte im Wesentlichen bereits Johannes Kepler zu Beginn des 17. Jahrhunderts, indem er
folgende
gute Näherungsformel zu Berechnung des Volumens eines Weinfasses fand:
Kepler's Faßregel
Ein Fass der Höhe h mit kleinstem Radius r (am Boden) und größtem Radius m (in der Mitte) hat
ungefähr das Volumen
π h ( ) + r2 2 m 2
.
3
Dies ist ein Spezialfall der Simpson-Regel und der Integrationsformel für Rotationsvolumina
h
⌠
V = π ⎮ r( x ) d
⌡
0
2 x,
die wir im nächsten Abschnitt herleiten werden. Dabei beschreibt r( x ) die "Profilkurve", d.h. den
jeweiligen Abstand der Außenfläche von der Zentralachse des Fasses. Nimmt man die Profilkurve
als Parabel an (was der Praxis sehr nahe kommt), so ist r( x) 2 ein Polynom vierten Grades, und als
exakte Formel für das Volumen ergibt sich nach unserer obigen Überlegung
V = π h ⎛
⎜
r +
⎞
⎜ − ⎟
⎝
⎠
2
2 m 2
2 ( m − r )
3
2
.
15
Die Keplersche Fassregel ist also bei parabolischem Profil umso exakter, je näher die
Extremalradien beieinander liegen.
Andere Fassprofile werden durch Parabeln sehr gut angenähert.
Beispiel 4: Die Visiermethode

Kepler wunderte sich, daß der Weinverkäufer mit seinem Visierstab den Inhalt maß, indem er den
Abstand s vom Spundloch (in der Mitte einer Fassbohle) zum gegenüberliegenden Randpunkt
bestimmte und daraus das Volumen mit der Formel
berechnete.
V = .6 s 3 3 s3
=
5
Wir wundern uns auch und fragen uns, wie genau diese alte Meßmethode ist. Dazu wählen wir die
Profilkurve des Fasses als Parabel (eine praxisnahe Annahme).
Hat das Faß die Höhe 2 h, den Minimalradius r (am Rand) und den Maximalradius m (in der
Mitte), so wird die Parabel als Abstandsfunktion von der Mittelachse beschrieben durch
( )
p( z ) = m −
− m r z2
,
h 2
denn die zu dieser Funktion gehörige Kurve verläuft durch die Punkte (-h,r), (0,m) und (h,r).
Die Länge des Visierstabes ist nach Pythagoras
s = ( m + r) +
2
h 2 ,
und folglich der Näherungsausdruck für das Fassvolumen
V = .6 ( m + r ) +
2
3
2
h .
Nun bestimmen wir das exakte Rotationsvolumen:
h
⌠
V = π ⎮ p( z ) d
⌡
2 ⌠
z = π
⎮
⎮
( m − ( m − r) z ) d
⌡
2 ( )
h −2
2
z
−h
h
h
−h
( )
= π h −4 ⌠
⎮ m − + d
⌡
−h
2 h 4
2 m ( m − r ) h 2 z 2
( m − r )
2 z 4 z =
= 2 π h ⎛
⎞
⎜ m − + ⎟
⎝
⎠
2 2 m ( m − r ) ( m − r )
3
2
=
5
2 π h ( )
8 m2 + 3 r +
2
4 m r
15

= 2 π h ⎛
⎜
2 m +
⎞
⎜ − ⎟
⎝
⎠
2
r 2
2 ( m − r )
3
2
.
15
Dieses Ergebnis hätten wir auch direkt mit der verfeinerten Simpson-Regel bekommen können.
Keplers Fassregel besagt nun, daß das Volumen ungefähr
2 π h ( ) + 2 m2
3
beträgt. In der Tat ist der Korrekturterm
r 2
4 π h ( )
− −
2
m r
15
recht klein, wenn der Innenradius m nicht allzu stark vom Außenradius r abweicht.
Dies ist ein Spezialfall der Simpson-Regel und der Integrationsformel für Rotationsvolumina
⌠
V = π ⎮ r( x ) d
⌡
2 x
0
h
Nimmt man die Profilkurve r( x ) als Parabel an (was der Praxis sehr nahe kommt), so ist r( x) 2 ein
Polynom vierten Grades, und als exakte Formel für das Volumen ergibt sich nach unserer obigen
Überlegung
V = π h ⎛
⎜
r +
⎞
⎜ − ⎟
⎝
⎠
2
2 m 2
2 ( m − r )
3
2
.
15
Die Keplersche Fassregel ist also bei parabolischem Profil umso exakter, je näher die
Extremalradien beieinander liegen.
Wir "normieren" das Problem durch die Festlegung h = 1 und untersuchen den
"Proportionalitätsfaktor"
im Bereich .8 ≤ r , m ≤ 1.2 .
V
=
s 3
2 π ( 8 m + + )
15
2
4 m r 3 r 2
( m + r) +
2
3
1

Wir sehen, daß in einer kleinen Umgebung von r = .9 der empirische Mittelwert .6 gar nicht
schlecht ist, während er umso schlechter wird, je weiter r sich von .9 entfernt.
Für h = 1 und m = 1 errechnet MAPLE folgende Tabelle:
⎡Radius
r 1. 0.9 0.8 0.7 ⎤
⎢
⎥
⎢ 2
⎥
⎢
Exakt π ( 8 + 4 r + 3 r2 ) 6.2832 5.8770 5.4956 5.1397 ⎥
⎢ 15 ⎥
⎢
⎥
⎢
2
⎥
⎢Kepler
π ( )
⎥
⎢
3 ⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
+ 2 r2 6.2832 5.8852 5.5292 5.2151
4
Fehler π ( )
15 −
2
1 r 0. 0.0083777 0.033511 0.075398
3
( )
Visier ( 2 + 2 r + r2 )
5 / 3 2
6.7083 5.9389 5.2386 4.6033
Fehler variabel 0.4251 0.0619 -0.2570 -0.5364
h = 1 , m = 1 , r = 1
Bei einem Zylinder ist Keplers Regel exakt, die Visiermethode macht einen relativen Fehler von
ca. 6 %.
h = 1 , m = 1 , r = 0.9

Für r = .9 beträgt der Fehler der Kepler-Regel weniger als .2 %, bei der Visiermethode etwa 1%.
Während die Keplersche Formel um weniger als 1% von den exakten Zahlen abweicht, solange r
um höchstens ein Viertel von m differiert, wird die Formel V = .6 s 3 in diesem Bereich ziemlich
ungenau: ihr Fehler übersteigt am Rand 10%. Also hat Kepler es deutlich genauer genommen als
die Weinhändler.
r = 0.6 , m = 0.8 , h = 1
Wir zeichnen noch die Volumenwerte in Abhängigkeit von r und m (bei festgehaltenem h = 1).
Das dunkle "Segel" stellt die Visier-Formel, das mittlere die Kepler-Formel dar. Man sieht, daß
deren Abweichung von der exakten Formel sehr kein ist.
Noch flexibler als Parabeln sind Polynome dritten Grades, sogenannte kubische Parabeln.
Durch die Punkte (-h,r), (0,m) und (h,r) gehen genau alle Polynome dritten Grades der Form
⎛ 2
⎜⎛
x ⎞
⎛ 3 ⎞
⎜⎛
x ⎞ x
⎞
⎟⎟
q( x ) = m − ( m − r ) ⎜⎜
⎟ + c ⎜⎜
⎟ − ⎟⎟
,
⎝⎝
h ⎠ ⎝⎝
h ⎠ h ⎠⎠
denn der hinzugekommene Term verschwindet an den Stellen -h, 0 und h.
Wir ersetzen die Konstante c durch
1 − δ
.
2
Das hat den Vorteil, daß für δ = 1 die ursprüngliche quadratische Parabel ensteht, für δ = 0 aber

eine kubische Parabel, für welche Keplers Fassregel immer noch exakt ist!
Integration am Reißbrett
Man kann den Hauptsatz nutzen, um eine Funktion mit unbekannter oder komplizierter
Stammfunktion
graphisch zu intergrieren (das geht natürlich immer nur im Rahmen der Meß- und
Zeichengenauigkeit).
1
f( x ) = cos( 2 x ) + sin( x )
2
⌠ 1 1 1
⎮ f( t ) dt
= sin( 2 x ) − cos( x ) +
⌡ 2 2 2
0
x
In der oberen Hälfte des Reißbretts wird die zu integrierende Funktion f aufgezeichnet. Eine
senkrechte Reißschiene der Breite 1 gleitet von links nach rechts. Auf dieser bewegt sich ein durch
zwei weitere Schienen realisiertes Parallelogramm, von dem zwei Ecken auf dem linken Rand der
Reißschiene liegen, die eine in der Höhe der x-Achse der oberen Zeichnung, die andere auf dem
zugehörigen Kurvenpunkt. Wird das von den beiden übrigen Eckpunkten erzeugte rechtwinklige
Dreieck auf der Schiene jeweils so verschoben, daß seine Hypotenuse tangential zur bisher schon
gezeichneten unteren Kurve verläuft, so beschreibt diese die Stammfunktion von f durch den
Nullpunkt.
Im 20. Jahrhundert haben Ingenieure noch viel raffiniertere Apparate zur graphischen Integration
konstruiert, sogenannte Integratoren. Leider sind sie im Zeitalter des Computers ziemlich in
Vergessenheit geraten.

6.6. Uneigentliche Integrale
Bestimmte und unbestimmte Integrale hängen zwar eng zusammen, aber die Existenz des einen
garantiert nicht immer die des anderen: Eine Regelfunktion muß keine Stammfunktion besitzen,
und eine Ableitung muß nicht integrierbar sein.
Ein Beispiel zur ersten Aussage haben wir schon kennengelernt, nämlich die Signum-Funktion, die
zwar keine Stammfunktion besitzt, aber stückweise stetig und damit sicher eine Regelfunktion ist.
Eine Regelfunktion kann aber auch unendlich viele Unstetigkeitsstellen haben.
Beispiel 1: Eine "unechte Treppenfunktion"
Die auf dem halboffenen Intervall ]0,1] definierte Funktion
( −1 )
⎡ 1 ⎤
f( x)
= ⎢ ⎥ = 1/[1/x]
⎣ x ⎦
(wobei [1/x] die größte ganze Zahl unterhalb 1/x bedeutet) ist gleichmäßiger Limes der "echten"
Treppenfunktionen
n
gn( x ) = ∑
=
k 1
( )
k −1
χIk mit Ik = ] 1
1 + k
, 1
k ].
Die Gesamtfläche zwischen der x-Achse und der Funktion f , also das bestimmte Integral
⌠
⎮
⎡ 1 ⎤
⎮ ⎢ ⎥
⎮ ⎣ x ⎦
⌡
0
1
( −1 )
dx
vermag MAPLE durch einen direkten Integrationsbefehl nicht zu berechnen. Es ist jedoch klar, daß
der gesuchte Flächeninhalt
1
1 1
⌠ ( −1 ) ∞ −
⎮
F = ⎮
⎡ 1 ⎤
k k + 1 ⎛ ∞
⎮ ⎢ ⎥ dx
= ∑ =
⎜ 1 ⎞
⎟
−
⎮ ⎣ x ⎦
k ⎜∑
⎟
k = 1
⎝ k = 1 k ⎠
⌡
2
⎛ ∞
⎜ 1 ⎞
⎟
⎜∑
⎟
⎝ k ( k + 1)
k = 1 ⎠
0
beträgt, also
⎛ ∞
F =
⎜ 1 ⎞
⎟
⎜∑
⎟
−
⎝ k = 1 k ⎠
2
⎛ ∞
⎜ ⎛ 1 1 ⎞ ⎞ ⎛ ∞
⎟
⎜∑
⎜ − ⎟ ⎟
=
⎜ 1 ⎞
⎟
−
⎝ ⎝ k k + 1 ⎠ ⎜∑
⎟
k = 1
⎠ ⎝ k = 1 k ⎠
2
1 .
Für die Reihe errechnet MAPLE den überraschenden Wert
∞
1
∑
k = 1 k 2
=
1
6 π2

aber das ist keineswegs einfach zu sehen! Wir kommen noch darauf zurück.
Während Stetigkeit für die Integrierbarkeit hinreichend, aber nicht notwendig ist, muß jede
Regelfunktion auf einem kompakten Intervall beschränkt sein - denn sie ist ja ein gleichmäßiger
Limes einer Folge von (beschränkten!) Treppenfunktionen.
Beispiel 2: Eine unbeschränkte Ableitung
Die Funktion
⎛ 3 ⎞
⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠ ⎛
⎞
F( x) = x sin⎜ ⎟
⎝ ⎠
1
x ,
stetig ergänzt durch F( 0) = 0, ist in allen Punkten differenzierbar, und die Ableitung f( x ) = F´ ( x )
ist
⎛ 1 ⎞
⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠ ⎛ ⎞
3 x sin⎜ ⎟
⎝ ⎠
f( x ) =
−
1
x
x
2
⎛ ⎞
⎜−
⎟
⎝ ⎠
1
2
⎛ ⎞
cos⎜ ⎟
⎝ ⎠
1
für x ≠ 0 , f( 0) = lim
x
⎛ 1 ⎞
x → 0
x
⎛ 3 ⎞
⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠
⎛ ⎞
sin⎜ ⎟ −
⎝ ⎠
1
0
x
⎛ ⎞
da sin⎜ ⎟
⎝ ⎠
1
durch 1 beschränkt ist und lim
x
x → 0
⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠
x = 0 gilt.
Die Funktion f( x ) ist jedoch in jedem Intervall [0,a] unbeschränkt und somit nicht integrierbar:
⎛ 1 ⎞
f⎜
⎟ = −
⎝ 2 n π ⎠
⎛ 1 ⎞
2 n π , f⎜
⎟ =
⎝ ( 2 n + 1 ) π ⎠
( 2 n + 1) π .
Entsprechendes gilt für die Funktion f( x ) .
Die Fläche zwischen dieser Kurve und der x-Achse ist sicher kleiner als die Fläche zwischen der
durch
⎛ 1 ⎞
⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠
⎛ ⎞
⎜−
⎟
⎝ ⎠
1
2
g( x ) = x + x
beschriebenen Kurve und der x-Achse. Diese hat den endlichen Inhalt
lim
a → 0
1
⎛ 1 ⎞ ⎛ ⎞
⌠ ⎜ ⎟ ⎜−
⎟
⎮ ⎝ 2 ⎠ ⎝ ⎠
⎮ x + x d
⎮
⌡
1
⎛
⎜
2 2 ⎜
x = + 2 − ⎜ lim
3 ⎝ a → 0
⎛ 3 ⎞
⎜ ⎟ ⎞
⎝ 2 ⎠ ⎛ 1 ⎞⎟
⎜ ⎟
2 a
⎝ 2 ⎠⎟
+ 2 a ⎟ =
3 ⎠
a
8
3 ,
x
= 0 ,

und es ist sinnvoll, diesen Grenzwert als das Integral von g über dem Intervall [0,1] zu definieren,
obwohl g in 0 gar nicht definiert ist..
Damit stößt man auf den Begriff des uneigentlichen Integrals, das man allgemein
folgendermaßen definiert: Existieren für ein d aus R u {∞} alle Integrale
⌠
⎮ f( x ) dx
mit a < b < d
⌡
a
b
sowie deren Grenzwert bei Annäherung von b an d, so setzt man
⌠
⎮ f( x ) dx
= lim
⌡
a
d
b → d-
⌠
⎮ f( x) dx
.
⌡
Wegen der Stetigkeit der Funktion
⌠
F( b ) = ⎮ f( x ) dx
⌡
a
b
a
b
kommt für das Integral F( d ) (sofern es im eigentlichen Sinne existiert) das Gleiche heraus wie bei
der Grenzwertbildung - die neue Definition ist also im Einklang mit der alten.
Entsprechend definiert sind die uneigentlichen Integrale
und
⌠
⎮ f( x ) dx
= lim
⌡
c
b
a → c+
⌠
⎮ f( x ) dx
⌡
d
⌠
⎛ z
⎮ f( x ) dx
=
⎜ ⌠
⎞ ⎛
⎟
+
⌡ ⎜
lim ⎮ f( x ) dx
⎜
⎟
⎝ a → c+
⌡ ⎜
⎠ ⎝
c
a
b
a
lim
b → d-
b
⌠
⎞
⎮ f( x) dx
⎟
⌡ ⎟
⎠
für beliebiges, fest gewähltes z zwischen a und b. Wegen der Additionsregel (1a) ist diese
Definition unabhängig von der Wahl der Zwischenstelle z.
Beispiel 3: Flächen unter Potenzfunktionen
Für welche positiven a und c existieren die uneigentlichen Integrale
⌠
⌠
⎮ 1
⎮ 1
⎮ dx
bzw. ⎮ d
c
⎮
⎮ x ?
c
x ⎮ x
⌡
⌡
0
a
a
∞
z
c = 2

1
c =
2
Der optische Eindruck legt nahe, daß für c > 1 das linke Integral unendlich, das rechte dagegen
endlich ist, während es sich für c < 1 gerade umgekehrt verhält. Das wollen wir jetzt rechnerisch
überprüfen. Für c > 1 ergibt sich
a
⌠
⎮ 1
⎮
dx
= lim
c
⎮ x b 0
⌡
⌠
⎮
⌡
0
∞
für c < 1 hingegen
a
→ +
1
dx
= lim
c
x →
b ∞
⌠
⎮ x
⌡
b
a
⌠
⎮⎮ x
⌡
a
b
( ) −c
( ) −c
( )
a
dx
= −
− 1 c ⎛
⎜
1 − c ⎝
lim
b → 0+
b
( ) − 1 c
1 − c
⎛ ( )
⎜ b
⎞
⎟
dx
= ⎜ lim ⎟ −
⎝
⎠
− 1 c ( )
a
1 − c
− 1 c
1 − c =
b → ∞
⎞
⎟ = ∞ ,
⎠
a
( ) − c 1
1
( c − 1 )
,

a
⌠
( )
⎮ 1 a
⎮ dx
= −
c
⎮ x
⌡
− 1 c ⎛
⎜
1 − c ⎝
0
∞
⌠
⎮
⌡
a
lim
b → 0+
b
( ) − 1 c
1 − c
1 ⎛ ( )
⎜ b ⎞
⎟
dx
= −
c ⎜ lim ⎟
x ⎝ b → ∞ ⎠
− 1 c ( )
a
1 − c
− 1 c
1 − c
⎞
⎟
⎠
)
a(
= − 1 c
= ∞ .
Für den Wert c = 1 kommt in beiden Fällen ∞ heraus:
1 − c ,
⌠
⌠
⎮ 1
⎮ 1
⎮ dx
= ln( a ) − ( lim ln( b ) ) = ∞ , ⎮ dx
= ( lim ln( b ) ) − ln( a ) = ∞ .
⎮ x
b → 0+
⎮ x
b → ∞
⌡
⌡
0
a
Beispiel 4: Der Arcustangens
⌠
⎮ 1
⎮ dx
= arctan( b ) − arctan( a ) .
2
⎮ 1 + x
⌡
Wegen arctan( −∞) = − π
2
a
⌠
⎮
⌡
b
b
−∞
und arctan( ∞ ) =
π
2 folgt
a
⌠
⌠
1 π
⎮ 1 π
⎮ 1
dx
= + arctan( b ) , ⎮ d
2
1 + x 2
⎮ x = − arctan( a ) , ⎮ d =
2
⎮ 1 + x 2
⎮ x π .
2
⎮ 1 + x
⌡
⌡
Beispiel 5: Der Turmbau zu Babel (oder Paris)
Die Bibel überliefert, die Babylonier hätten versucht, einen unendlich hoch in dem Himmel
ragenden Turm zu bauen. Der Ingenieur weiß, daß dies schon an den beschränkten
Materialressourcen scheitern muß - oder doch nicht?
Stellen wir uns vor, der Eiffelturm würde immer weiter nach oben fortgesetzt, wobei seine
Profilkurve ganz gut durch
a 2
z = − x
4 x
a
∞
∞
∞
−∞

eschrieben wird, falls a die Breite in der Höhe z = 0 ist.
Der Eiffelturm dreidimensional:
a 2
F ( a, x, y ) =
− max ( x , y )
4 max ( x , y )
Die Oberfläche des Turmes ist sicher größer als die weiter oben skizzierte Fläche zwischen den
beiden (in die x-z-Ebene projezierten) Randkurven und der x-Achse. Von dieser ebene Fläche
behauptet MAPLE, der Inhalt sei
und das ist ja wohl Unsinn.
a
⌠
⎮ 1
⎮ 4
⌡
−a
a 2
x
−
x dx
= 0

Warnung: Nicht über Pole hinweg integrieren!
Bilden wir nämlich blindlings die Stammfunktion
⌠
⎮ a
⎮ − d =
⎮
⌡
2 ⎛
x x ⎜
a ⎞
⎜ − ⎟
4 x ⎝
⎠
2
ln( x ) x
4
2
signum( x ) für x ≠ 0
2
und setzen die Grenzen −a und a ein, so beträgt die Differenz
ln( a)
ln( a)
2 ⎛ ln( a ) ⎞
− + − = a ⎜ − 1⎟
4 2 4 2 ⎝ 2 ⎠
und das ist leider auch nicht der Flächeninhalt.
In Wirklichkeit ergibt sich wegen der Symmetrie zur y-Achse
⎛ a
⎜ ⌠
⎞
⎜ ⎮ a
⎟
2 ⎜ lim ⎮ ⎟ =
⎜ ⎮
− d
ε → 0
⎟
⎜
⎮
⎟
⎝
⌡
ε ⎠
2
a
x x − −
4 x
2
ln( a ) a
4
2 ⎛
⎜
a ⎞
⎜ lim − ⎟
2 ⎝ ε → 0
⎠
2
ln( ε)
ε
4
2
= ∞
2
also ein unendlicher Flächeninhalt! Erst recht ist die Oberfläche des (ins Unendliche verlängerten)
Eiffelturms unendlich, und alle Farbe der Welt reicht nicht aus, um ihn komplett anzustreichen.
a 2
a 2
a 2
a 2
Weiß MAPLE das nicht? Doch - wenn man die Zusatzinformation gibt, daß a größer als 0,
insbesondere reell sein soll. In der komplexen Ebene kann man nämlich wie die Katze um den
heißen Brei auf einem Weg um den Pol "herumintegrieren" und bekommt dann tatsächlich 0
heraus (was wir an dieser Stelle nicht näher erläutern).
Nach dem Hinweis assume(a>0) präsentiert MAPLE tatsächlich das richtige Ergebnis:
a
⌠
⎮ 1
⎮ 4
⌡
−a
a 2
x
−
x dx
= ∞
Daß ein unendlich hoher Turm eine unendliche Oberfläche hat, wundert uns eigentlich weniger.
Doch die Überraschung kommt, wenn wir das Volumen berechnen. Denken wir uns dazu den
Turm aus dünnen quadratischen Platten der Seitenlänge 2 x in der Höhe
a 2
z = − x
4 x
aufgebaut, so ist
4 x + − =
2
4 x z a 2
0 , also
x =
+
2
− z
und für den Flächeninhalt der quadratischen Platte ergibt sich
a 2
z 2
F( z) = 4 x 2 = a + −
2
2 z 2
2 a +
2
z 2 .
Aufsummieren der Volumina der Platten mit (infinitesimal kleiner) Höhe dz ergibt im Limes das
Integral

⌠
⎮
⌡
0
a
2
a 2
+ 2 z −
2
2 a +
2
Beispiel 6: Das Fehlerintegral
z 2
dz
1750
− 25 5 + − 100 ln( 2) + 100 ln( − 1 + 5 )
3
( ) −x2
Wie groß ist die Fläche unter der Funktion e , wenn x die gesamte reelle Achse durchläuft? Ein
Ausblick ins Mehrdimensionale bringt die Lösung:
Das Integral über die Funktion
( − − ) x2 y 2
e ,
erstreckt über die ganze Ebene, ist einerseits
∞
∞ ∞
⌠ ⌠ ( − − )
⎮ ⎮
⎮ ⎮ e d d
⌡ ⌡
−∞ −∞
x2 y 2
⌠
⎮ ( )
y x = ⎮
e d
⎮
⌡
−∞
−x2
∞
⌠ ( ) ⎮ e d
⌡
−∞
−y2
⎛ ∞
⎜⌠
⎞
( ) ⎟
y x = ⎜⎮
d ⎟
⎜
⎮ e
⎟
⎝
⌡
−∞ ⎠
−x2
2
x ,
andererseits (indem man über Kreisscheiben integriert, deren Radius gegen ∞ strebt)
⌠
⎮
⌡
∞
( )
e −r2
−∞
⎡
⎢
r π dr
= ⎢
⎢−
⎣
)
e( −r2
2
⎤
π ⎥
⎦
−∞
∞
= π .
Beides zusammen führt auf das überraschende Ergebnis
⌠
⎮
⌡
∞
( )
e −x2
−∞
dx
= π .
Beispiel 7: Und noch einmal π
Mit unseren bisherigen Kenntnissen bestimmen wir mühelos das uneigentliche Integral
⌠
⎮ 1
I1( ∞ ) = ⎮ dx
= lim
2
⎮ 1 + x →
⌡
0
∞
b ∞
( )
arctan b = π
2 .

Für die höheren Potenzen des Nenners benutzen wir die Formel
0
∞
⌠
⎮ ( 1 + x )
⌡
p n
=
=
( )
2 −n
π
2 p −
n
∏
j = 1
n 1
2 j
π
2
⌠ ( )
dx
= ⎮ cos( y ) d
⌡
− 2 n 2
y
=
2 j − 1
Aus Symmetriegründen folgt
⌠
⎮
⌡
∞
−∞
( 1 + x )
( )
2 −n
0
w n − 1 π
2
, = wn π
2
n
∏
j = 1
mit
2 j − 1
2 j
⌠
( )
dx
= ⎮ cos( y ) d
⌡
− 2 n 2
y = w −
− π
2
(vgl. Beispiele 2 und 4 in 6.2.C).
n 1 π (n = 1,2, ...)
Es ergeben sich sehr ähnliche Kurven mit jeweils exakt gleichem Flächeninhalt - allerdings mit
dem gravierenden Unterschied, daß die eine Kurve von −∞ bis ∞ läuft, die andere dagegen nur von
− π
2
bis π
2 .
cos( x ) ,
2 1
( 1 − x )
2 2
cos( x ) ,
4 1
( 1 − x )
2 3

cos( x ) ,
8
1
2 5
( 1 − x )
Beispiel 8: Ein Integral, das nicht existiert
Da die Funktion
2 x
f( x ) =
1 + x 2
ungerade ist (d.h. − f( x ) = f( −x ) ), ergibt sich ohne jede Rechnung
lim
b → ∞
b
⌠
⎮ f( x ) dx
= 0 .
⌡
−b
Aber das uneigentliche Integral
⌠
⎮
⌡
∞
−∞
f( x ) dx
= lim
lim
b → ∞ a → ( −∞ )
existiert trotzdem nicht, weil z.B.
gilt.
lim
b → ∞
⌠
⎮ f( x) dx
= lim
⌡
0
b
b → ∞
⌠
⎮ f( x ) dx
⌡
a
b
ln ( 1 + b )
2 = ∞

Beispiel 8: Der Integralsinus
Die Funktion
sin( x )
,
x
im Nullpunkt durch den Funktionswert 1 ergänzt, ist überall differenzierbar, und es gilt
sin( x ) sin( x )
lim = lim = 0.
x → ( −∞)
x x → ∞ x
Das unbestimmte Integral
⌠
⎮ sin( x)
⎮ dx
⎮ x
⌡
läßt sich nicht elementar auswerten. Dennoch kann man mit raffinierteren Methoden zeigen:
⌠
⎮
⎮
⌡
∞
−∞
sin( x)
x
dx
= π .