Bessel equation

Corollary 2.9.2
1
z ∂z (z m Jm(z)) = z m−1
Jm−1(z), czyli ∂z + m
Jm(z) = Jm−1(z),
z
− 1
z ∂z
−m
z Jm(z) = z −m−1
Jm+1(z), czyli −∂z + m
Jm(z) = Jm+1(z).
z
Besides, n 1
− 1
z ∂z
Analogous identities hold for H ± m(z), and Ym(z).
2.10 Half-integral parameters
z ∂z z m Jm(z) = z m−n Jm−n(z),
n z −m Jm(z) = z −m−n Jm+n(z).
2
J 1(z)
= =
2
J 1 − (z) =
2
H ± 1 (z) =
2
H ±
− 1
2
(z) =
πz
1
2
sin z,
1
2 2
cos z,
πz
1
2 2
π ±i(z−
e 2
πz
) ,
1
2 2
e
πz
±iz