V - DWC

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schreiben, wo die Funktionen f in den 1l a analytisch sind und die Matrix der
z def .' dd 0
Ba = àa rz; (Ja = a r;a; x = 1, ... , n; a = 1, ... , m, . (2. 2)
gen au den Rang m hat. Die tangierende m-Richtung in einem Punktee der X rn hat
die GRASSMANN'schen Koordinaten
V/ I 'l" '/(,m.-- BLul B,uni]
- I ... m • (2.3)
Gehört die se m-Richtung in jedem Punkte i;" der X m der lokalen ®~'
eines ®~l_Feldes
an, 80 nennt man die X m eine Integral-Xm dieses Feld~s, oder anch eine Integral-X m der
dem Felde adjnngiertE'n veraIIgemeinerten PPAPF'schen Systeme. Analytisch bedeutet dies, dass
für jeden Punkt i;" einer solchen X m das Wertsystem i;", B[!"'". BUm I ei ne NuIIsteIIe von
I m
einem (und also auch von jedem) der adjungierten veraIIgemeinerten PPApp'schen Systcme
des Feldes ist. Jede in einer Integral-Xm eines ®Jl-Feldes liegende X r ist Integral-Xr des
von diesem Felde induzierten ®J -Feldes.
r
Gibt es zu jeder NuIlsteIIe e, v/'I""um eines GJ1-Feldes 4 ) mindestens eine Integral-Xm,
die den Punkt i;" enthält, und dort die m-Richtung v l '[" "Um tangiert. so heissen das Feld
und die dem Felde adjungierten veraIlgemeinerten PFAFF'schen Systeme vollständig integrabel.
Die induzierten Felder eines solchen Feldes sind ebenfaIIs voIIständig integrabel. Man kann
nun folgenden Satz beweisen:
Notwendig filr die vollsttindige Integrabilität eines ®:? -Fe/des mit einem adjungierten
System (1.4) ist, dass {Ül' jede Nullstelle i;K, vl'I" .1'1/1 des Feldes die Gleichungen
(f"e,.. 'Cm 5 à F i _L m F i v l • p., .. . V 111 Z,U I == o· t
~ 6) r- !),!{,'/," • • ,u. (jJ).
m
j ,
i == cl + 1, ... , m (n-m), ( .
(]2' .•• , (/111 = 1, ... , n )
mit den Ir n 2 (n +.1) Ul1bekalll1ten Z:~À; Z~I. = Z~,,,; ", {J., J. = 1, ...• 11. wo
i
- i def àF
à6J F= ()~;;,
(v,uI'''!'m nicht ditferenzierel1) •
(2.4)
(2.5)
bedeutet, mÎlldestel1s eine Lösung haf.
i
Die Lösbarkeit des Systems (2. 4) ändert sich nicht. wenn man die F durch die
i'
Funktionen F eincs anderen adjungierten Systems des Feldes ersetzt. Die Lösbarkeit von
(2.4) für eine NuIIsteIIe i;". vi"" ·'