V - DWC

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IJ suit de (16b) que l'existence d'une fonction [(dl :t- - en dépend exclusivement de
l'allure de ft~o
à l'infinL En effet, si la masse de cette distribution qui se trouve extérieure
à un cercle de rayon R et de centre 0, tend vers zéro suffisamment vi te quand R -+ en,
de sorte que les intégrales (16b) restent bornées et ne peuvent donc tendre vers - en,
on arrive à une contradiction avec (15). Inversement, si cette masse ne tendait pas vers
zéro, ou au moins pas suffisamment vite, il n'y aurait pas de contradiction avec (15).
IJ existerait alors des domaines dont g(Po) diffère arbitrairement peu de -- en et on
aurait [(dl =- en.
Or, il résulte immédiatement de (10) que pour les domaines de D d - pour ces
domaines (10) est valable - la masse extérieure à un cercle de rayon R et de centre 0
tend vers zéro. Prenons R, constant et posons R2 = R; soit :ER la partie de :E extérieur
au cercle.
Alors
pPo (eR, [2R) = 1 - pPo(..E-- 1,'R' [2R):=- 1 -lI,Po(1,'- ..ER' [2) = pP" (..ER' [2)
P ('\' n):=- (Rl):
P " kJ R' ~~ = 7~.
Donc
et la masse tend vers zéro comme R--t pour R -+ en. En vertu de (16b) j] s'agit alors
évidemment de voir que I'intégrale
OO. 1
10g--- d R-l
. J R
a
est convergente 1). Or ceci est vraie comme on Ie voit par une intégration par parties.
On est donc arrivé à une contradiction avec (15) et il existe donc une fonction
f (d) :t- - en.
Pour arriver à (14) appliquons une homothétie de eentre Po
r=pr. (17)
oû p> 0, r et z' distances à Po' g(P, Po) est transformé dans une fonction harmonique
qui a les valeurs de g(P, Po) aux points homothétiques; en particulier eUe a les valeursfrontière
log PO~Q aux points (j, si Q et -0 se correspondent.
Puisque log ~ = log _L + log .-! .. elle diffère done de g(P, Po) par la constante log.~ .
Done
t' P r P
?i (Po) = g (Po) + log -~-.
p
1) IJ faut remarquer ici que du fait que ftPo < (~y il ne résulte pas encore que
sur tout ensemble flPO
. R2
vaut au plus la masse qui se trouve SUl' cet ensemble à cause
de la distl'ibution corl'espondant à (~y. En effet (10) n'exprime qu'une relation entre
les masses totales extérieures à un cercle et non une relation entre les masses SUl' un
ensemble quelconque. On peut éliminer cette diffieulté par un déplacement eonvenabIe
des masses de la distribution ftPo en direction de R croissant - qui fait donc diminuer
Ie potentiel - tel qu'apl'ès ce déplaeement {lPo a la pl'opriété mentionnée. Alors j] s'en
suit la majoration utilisée, qui est donc vl'aie à fortiori avant Ie déplacement.
IJ s'en suit
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1
{(pd) = {(dl + log p
donc en prenant d = 1 et en remplaçant alo l'S p par cl,
1
{(dl = {(I) + log'd
k
{(dl = 109d
Ic = elI!) ; k > O.
On peut aisément donner une borne inférieure pour Ic. ,Prenons d == 1 et dans (10),
Rl = 1. Alors on a:1)
j
'f 1 ,
{(I) > -- 10g-- d R-'.
•
R+l
On trouve par un caleul élémentaire
Donc
!
{(I) = log -~ -~.
2
.on sait que la borne exade pour Ic estl et que cettc borne est accessible. Notre
méthode ne conduit pas à cette borne. Il faudrait pour cela des Iimitations plus exactes
que celle exprimée par (10); il semble problématique s'j] existent de teUes limitations.
2. Terminons ce paragraphe par quelques remarques concernant les formules (2) et
__ ses conséquences relativement aux courbes G =.c: C (C > 0). La plus courte di stance cl
n'est maintenant plus une constante.
Considérons d'abord les domaines simplemcnt connexe dont Po est intérieUf et pour
lesquels g(Po} = O. Démontrons que dans ce cas j] existent des fonetions positives
,ql (C) et -lP (C) teUes que les courbes G(P, Po) = C se trouvent intérieures à J'anneau
formé par les cercles de rayon (f' (C) et Vi (C) et de centre Po.
Supposons, par impossible, que 'f! (C)- O. Alors i! existait une suite de domaines
I QIl! teUe que la plus courte distance de Po à la courbe Gil = C tendait vers zéro si
n-+ en. Autremel1t dit: dans chaque environ de Po il Y aul'ait pour n > N des points P
des domaines Dil tels que
GIl(P,Po)=log-·-
rp,p o
IJ existait donc une suite de points Pil -+ Po telle que
I) Voir notel). p. 48.
-gll(P,Po)