V - DWC

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Si l'on pose al = 1, donc g(Po) = 0, on obtient d;:; ;); c'est Ie théoreme de KOEBE.
Les inégalités (2) et Ie théoreme de KOEBE sont donc transformées en une propriété
qui n'a aucun rapport direct avec la théorie des fonctions de variabIe complexe: on a
obtenu un théoreme de la théorie du potentie!. La question se pose alors immédiatement
si te théorème peut être généralisé pour un espace à trois dimensions. Par exemple, on
peut s'attendre à ce qu'on a dans ce cas
ou C désigne une constante > 0.
Remarquons que dans Ie cas trois~dimensionnel il peut arriver que les fonctions
G(P, Po) et g(P, Po) n'existent pas au sens classique. IJ faut alors substituer la solution
généralisée du problème de DIRICHLET, qui par exemp.Je peut être construite par Ie procédé
de WIENER.
Les considérations suivantes se rapportent pour la plus grande partie à I'inégalité (4)
et la possibilité d'tme inégalité (5). On verra q~e (5) n'est possible ,que si l'on prend
C = 0, sauf dans quelques cas particuliers, d'ailleurs intéressants par la relation avec une
autre inégalité de la théorie des fonctions.
D'abord no us dérivons quelques inéga1.ités auxiliaires.
§ 2. 1 négalités auxiliait·es.
1. Les inégalités que nous dérivons ici se rapportent à la mesure harmonique. Nous no us
plaçons dans Ie cas d'un espace euclidien à trois dimensions, augmenté d'un point à
l'infini PrO'
A. Soient Q un domaine "schlicht" et ,simplement connexe qui ne contient P 00 pas
comme point intérieur et V un plan. Mettons l'axe des X perpendiculaire à V et soit x
!'absCÎsse du point d'intersection de V avec cette axe. Soit /I(x) la mesure de la partie /Ix
de V qui se trouve dans Q +:2. IJ s' agit de trouver une borne supérieure de la mes ure
harmonique f'Po (Ox' [Jx) de I'ensemble /Ix relativement,à la partie Qx de [J à gauche de
V et mesuré au point Po de [Jx' Soit d la distance de Po à V.
Remplaçons d'abord [J x par la partie de l'espace à gauche de V; ftPo augmente par cela.
La mes ure harmonique vaut alors l'angle solide sous lequel on voit /Ix de Po, divisé par 2 Jr.
Cet angle est maximum quand /I x est la base d'un c6ne circulaire droite de sommet Po (Ia
surface de la base va ut O(x)). On trouve alors par un calcul élémentaàre
B. Soit V' un second plan correspondant à l'abscïsse x' < x et soit Po dans Qx "
Al,ors
on a, comme on voit en appliquant (6) et Ie principe de maximum des fonctions
harmoniques,
Donc
(6)
(5)
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fonetion décroissante de x, de sorte que sa dérivé existe
presque
[J ) est d onc un e
I
I'Po (Ox' X I et en faisant alors x -'>- x, on trouve
to
ut. En divisant par x-x
par
--'-
-----,----'---'- = 8 (x) . ,"
'" d[lPo (8 x, [Jx) --=: _ V~-" IJP" (8 x , [Jx)'
dx
_" _ ' "te pas on prend la plus grande dérivé à gauche" En intégrant
Aux points ot! la denve n eX1S
on trouve si Xl < X2
Dans Ie cas deux~dimensionnel
p'?" (8 x " [JX2) -= [lPo (8 X" Qx,) e x,
(PO dans [Jx,)
X2
-v;/ ï7;~)
ces formules deviennent respectivement
2 8 (x)
fkPo (8 x • Ü x ) -=:: -;;- arc tg 2(1
et x,
-n/'rfï%i
[lP" (8 x " [Jx,) == [lPo (8 x). [Jx) e x)
f I (6') et (7') sont dûs à M. CARLEMAN 1).
Les "ormu es "
I f Ie (7') on peut déduire une propriété importante delamesureharmo11lque.
2. De a ormu, " I ra que dans Ie cas deux~dimensionne!, de sorte
"'té n' eot vrme comme on ever , "
C ette pl'opl'le ., 'd d" " el sont indispensables pour la démonstl'atlOn.
que des méthodes purement ' eux~ lmenSlOnn
Appliquons la transformaJtion
(8)
z=log w.
f) t ' ' nté SUl' Ie domaine
, e [J se trouve dans Ie plan - z, Le domaine ;6 es represe "
suppose qu. ° int intérieur Les droites ffiz = X sont transformes
[2' ui ne contlent tv = pas comme po, h "
q I I I I - R - eX Si Po est transformé en P'O on trouve, la mesure arm011l~
dans es cerc es tv - - .
que étant invariante.
R'd
-n rR~~)
I n') R,
fj,Po' (8R •
2
[2R,) -=:: fj,Po' (8 Rp ~&R, e
I R " '"
(7)
(6')
(7')
'SJ' Q' la partie du domaine
ou désignent: OR la partie du cercle I tv = 1l1te~leu:e a "' 'l! d o'
I tv I < R intérieur à [J', R 0 (R) la mes ure de /IR' Le pomt Pose trouve
En remarquant que O(R) ;;; 2 Jr, on trouve alors
,uPO' (8R
2
ans"" R,'
• ÜR 2
) -=:: [lP'o (8R" QRJ (~y (9)
Cette inégalité est vraie pour chaque domaine simp!ement conne~e, ne co;:tenant. ~ = 0
pas comme point intérieur, et d'ailleurs que1que soit la position de Po dans I mtersectlOn de
[J' et I tv I ;;; Rl. Nou~ omettons dans ce qui suit les accents.
En particulier on a encore puisque fiPo ~ 1.
(10)
-------- E d t" analytische Funktionen (Springer, Berlin,
1) Voir p, ex, R. NEVANLINNA. in eu 'lge
1936), p, 67 e.s,