Constructing soluble quantum spin models - Department of Physics ...

H.Y. Shik et al. / Nuclear Physics B 666 [FS] (2003) 337–360 359
K,M
∑
Hψ D =−2J 1
k,m=1
S k,m · S k,m ψ D
K−1,M
∑
+ 2(2J 2 − J 3 − J 4 ) S k,m · S k+1,m ψ D
k,m=1
K,M−1
∑
+ 2(J 6 + J 7 − J 5 − J 8 ) S k,m · S k,m+1 ψ D .
k,m=1
(B.5)
It is clear that the complete dimerized state ψ D is an eigenstate with eigenenergy
E D =−2J 1 KMS(S + 1) when the conditions in Eq. (41) hold.
For the three-dimensional model,
K,L,M
∑
H 3D = 2J 1
k,l,m=1
S k,l,m · S k,l,m
K−1,L−1,M
∑
+ 2(2J 2 − J 3 − J 4 ) (S k,l,m · S k+1,l,m + S k,l,m · S k,l+l,m )
k,l,m=1
K,L,M−1
∑
+ 2(2J 6 − J˜
1 ) S k,l,m · S k,l,m+1
+ 4 ( J ‖ 6 − J 7
k,l,m=1
) K−2,L−2,M ∑
k,l,m=1
(S k,l,m · S k+2,l,m + S k,l,m · S k,l+2,m )
K−1,L−1,M−1
∑
+ 2(2J 8 − J˜
3 )
(S k,l,m+1 · S k+1,l,m + S k,l,m+1 · S k,l+1,m )
k,l,m=1
K−1,L−1,M−1
∑
+ 2(2J 8 − J˜
4 )
(S k,l,m · S k+1,l,m+1 + S k,l,m · S k,l+1,m+1 )
k,l,m=1
K−2,L−2,M−1
∑
+ 2(2J 11 − J˜
7 )
(S k,l,m · S k+2,l,m+1 + S k,l,m · S k,l+2,m+1
k,l,m=1
+ S k,l,m+1 · S k+2,l,m + S k,l,m+1 · S k,l+2,m )
K−1,L−1,M−1
∑
+ 2(2J 9 − J˜
5 )
(S k,l,m · S k+1,l+1,m+1 + S k+1,l,m · S k,l+1,m+1
+ 4J ‖ 7
K−2,L−1,M
∑
k,l,m=1
k,l,m=1
+ S k,l+1,m · S k+1,l,m+1 + S k+1,l+1,m · S k,l,m+1 )
(S k,l,m · S k+2,l+1,m + S k+2,l,m · S k,l+1,m )