Diploma thesis

Kurzzusammenfassung
Seit der theoretischen Vorhersage 1924 war die erste Realisierung eines Bose-Einstein-Kondensats
(BEC) 1995 der Beginn vieler und umfassender Experimente mit derartigen Systemen. Ein Bereich
solcher Forschungen an BECs sind zum Beispiel dissipative Effekte, die beispielsweise durch die
Wechselwirkung eines solchen Kondensats mit einem Elektronenstrahl verursacht werden. In dieser
Diplomarbeit untersuchen wir ein theoretisches Modell, das Vorhersagen über die Dynamik und
das Verhalten im Allgemeinen eines BECs in einer harmonischen Falle treffen soll, das mit einem
Elektronenstrahl wechselwirkt. Für diesen setzen wir eine Gaußsche Form an und modellieren
ihn durch ein imaginäres Potenzial, wohingegen die Falle durch ein reelles Potenzial beschrieben
wird. Dieser Ansatz führt für ein nichtwechselwirkendes Bose-Gas zu einem nicht-Hermiteschen
Hamilton-Operator, dessen Bedeutung in einem kleinen Einschub über nicht-Hermitesche Dynamik
beschrieben wird. Beispielsweise sind die Energieeigenwerte komplex, wodurch die Eigenzustände
nicht stationär sind. Dieser nichtverschwindende Imaginärteil der Energie führt dazu,
dass die Kondensatdichte mit der Zeit gedämpft oder erhöht wird.
Um diese Eigenzustände und Eigenwerte zu berechnen, nehmen wir zunächst starke Vereinfachungen
vor. Wir betrachten lediglich ein eindimensionales Potenzial, vernachlässigen jegliche Wechselwirkung
der Bosonen des BECs untereinander und nähern das komplexe Potenzial durch zwei
ineinander geschachtelte Kastenpotenziale an. Für dieses System lösen wir die Schrödinger-
Gleichung für verschiedene Stärken der Dissipation, sowie Strahlbreiten und geben Ausdrücke
für die Wellenfunktionen und Bestimmungsgleichungen für die Energien an, die wir anschließend
numerisch lösen. Die dadurch erhaltenen Energien weisen einen nicht positiven Imaginärteil auf, so
dass der imginäre Potenzialtopf tatsächlich einen Dämpfungseffekt zur Folge hat. Bei den Eigenzuständen
werden wir auf zwei verschiede Arten von Zuständen geführt, wobei eine von beiden
die Dissipation minimiert, während die andere diese maximiert. Da der Imaginärteil der Energie
die Stärke der Dämpfung beschreibt, stellt dieser auch den Indikator dar, welcher Zustand gerade
vorliegt. In den Dichten äußert sich dies ebenfalls und zwar dadurch, dass die Dichte solcher
Zustände, die die Dissipation minimieren, nach außen strebt und im Inneren, wo das imaginäre
Potenzial wirkt, für starke Dissipation auf Null abfällt. Im Gegensatz dazu streben Dissipation
maximierende Zustände nach innen und ihre Dichte fällt außen auf Null ab für starke Dissipation.
Da nur in der Mitte Dämpfung stattfindet, werden mit der Zeit nur solche Zustände übrig bleiben,
die nach außen streben, so dass im Endeffekt ein Loch im BEC entsteht, was auch der Anschauung
entspricht.
Weiterhin werden Grenzfälle für starke und verschwindende Dissipation, sowie große und kleine
Strahlradien durchgeführt. Anschließend diskutieren wir alle Ergebnisse und vergleichen sie mit
denen von ähnlichen reellwertigen Systemen. Im folgenden Kapitel verbessern wir unser Modell, indem
wir statt eines ineinander geschachtelten Potenzialtopfes zwei harmonische Potenzialtöpfe für
den Real- und Imaginärteil des Potenzials ansetzen. Obwohl hier eine derart ausführliche Auswertung
wie für das einfachere Modell nicht ohne weiteres möglich ist, können wir doch bestätigen,
dass die Ergebnisse qualitativ unverändert bleiben.
Am Ende führen wir noch einige Möglichkeiten an, um dieses Modell zu verbessern und auszubauen.
Allem voran wird die mögliche Implementierung von Wechselwirkung der Bosonen untereinander
diskutiert, sowie die Probleme erörtert, die ein System mit komplexem Potenzial dafür mit sich
bringt.
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