A Calculus of Number Based on Spatial Forms - University of ...

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TABLE OF CONTENTS List <strong>of</strong> Figures List <strong>of</strong> Tables v vi Chapter 1: Introduction 1 1.1 Minimalism : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 1.2 The <strong>Calculus</strong> : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4 1.3 Conclusions : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7 Chapter 2: Prior Work 9 2.1 Spencer-Brown <strong>Number</strong>s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 9 2.2 Kauman <strong>Number</strong>s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 12 2.3 Bricken <strong>Number</strong>s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 14 2.4 Conclusions : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 15 Chapter 3: Boundary Mathematics 16 3.1 Introduction : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 16 3.2 Forms : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 16 3.2.1 Void : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 16 3.2.2 Distinction : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 17 3.2.3 Multiple Boundaries : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 18 3.3 Transformation : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 18 3.3.1 Match and Substitute : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 19 3.3.2 Properties : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 19 3.4 Conclusions : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 19 Chapter 4: Instance and Abstract 21 4.1 Introduction : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 21
4.2 The Two-Boundary <strong>Calculus</strong> : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 22 4.2.1 Elements <strong>of</strong> the <strong>Calculus</strong> : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 22 4.2.2 Equivalence Axioms : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 23 4.3 Natural <strong>Number</strong>s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 25 4.3.1 Addition : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 25 4.3.2 Multiplication : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 26 4.4 Cardinality : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 27 4.4.1 Dominion : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 28 4.4.2 Generalized Cardinality : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 28 4.5 Conclusions : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 28 Chapter 5: Inverse 30 5.1 Introduction : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 30 5.2 The Three-Boundary <strong>Calculus</strong> : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 30 5.2.1 Elements <strong>of</strong> the <strong>Calculus</strong> : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 31 5.2.2 Equivalence Axioms : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 32 5.3 The Additive Inverse : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 32 5.3.1 Properties <strong>of</strong> the Additive Inverse : : : : : : : : : : : : : : : : 33 5.3.2 Integers : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 34 5.3.3 Calculation : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 36 5.4 Multiplicative Inverse : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 37 5.4.1 Properties <strong>of</strong> the Multiplicative Inverse : : : : : : : : : : : : : 37 5.4.2 Rationals : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 38 5.4.3 Division by Zero : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 39 5.4.4 Calculation : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 39 5.5 Inverse and Cardinality : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 40 5.5.1 Negative Cardinality : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 40 5.5.2 Fractional Cardinality : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 40 5.6 Conclusions : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 41 Chapter 6: Phase 43 6.1 Introduction : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 43 ii
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73 Radians 1+e i =0 ([]) = Euler's
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75 B.2 Square Root The following sq
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77 The a coecient can now be remove
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