Podstawowe człony dynamiczne

Podstawowe człony dynamiczne
•modele matematyczne
•charakterystyki czasowe
•charakterystyki częstotliwościowe
•przykłady realizacji
1

Podstawowe człony dynamiczne
Człony:
proporcjonalny
inercyjny pierwszego rzędu
całkujący idealny
całkujący rzeczywisty
różniczkujący idealny
różniczkujący rzeczywisty
oscylacyjny
opóźniający
2

Człon proporcjonalny
u(t)
y(t)
y(t) = k u(t)
Q(ω)
k współczynnik wzmocnienia
K(s) = k
K(jω) = k
(k0
P(ω)
h(t) = k 1(t)
k(t) = k δ(t)
charakterystyka skokowa
charakterystyka impulsowa
3

Przykłady realizacji
dzielnik napięcia
dźwignia
układ pneumatyczny
4

Człon inercyjny I rzędu
u(t)
y(t)
dy(
t)
T + y(
t)
=
dt
K(
s)
k
= Ts +
1
ku(
t)
k współczynnik wzmocnienia
T stała czasowa
5

6
)
(
)
(
)
(
t
u
t
y
dt
t
dy
T =
+
{ }
{} { }
{} { }
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
s
ku
s
y
s
Tsy
t
u
kL
y
L
dt
dy
TL
t
u
kL
y
L
dt
dy
T
L
t
ku
L
y
dt
dy
T
L
=
+
=
+
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
+
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+
1
)
(
+
= Ts k
s
K
czyli
L

Człon inercyjny I rzędu – charakterystyka skokowa
Step Response
From: U(1)
1
0.9
Amplitude
To: Y(1)
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
dy(
t)
T + y(
t)
=
dt
ku(
t)
0.3
0.2
0.1
k=1 T=1
1
Step Response
From: U(1)
0
0 1 2 3 4 5 6
K
Time (sec.)
k
( s)
= Ts + 1
0.9
0.8
0.7
−
h( t)
= k(1
− e T
t
)
Amplitude
To: Y(1)
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
k=1 T=5
0
0 5 10 15 20 25 30
Time (sec.)
7

Człon inercyjny I rzędu
Impulse Response
From: U(1)
1
0.9
0.8
0.7
charakterystyka impulsowa
k(
t)
=
k
T
e
−
t
T
Amplitude
To: Y(1)
0.6
0.5
0.4
k=1
T=1
0.3
0.2
0.1
0.2
Impulse Response
From: U(1)
0
0 1 2 3 4 5 6
Time (sec.)
0.18
0.16
0.14
Amplitude
To: Y(1)
0.12
0.1
0.08
k=1
T=5
0.06
0.04
0.02
0
0 5 10 15 20 25 30
Time (sec.)
8

9
Człon inercyjny I rzędu
Transmitancja widmowa K(jω)
2
2
2
2
1
)
(
1
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
1
)
(
T
T
k
Q
T
k
P
jQ
P
j
K
j
K
s
K
sT
k
s
K
j
s
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
+
−
=
+
=
+
=
=
+
=
=

Człon inercyjny I rzędu
0.6
Charakterystyka amplitudowo-fazowa
From: U(1)
Imaginary Axis
To: Y(1)
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
k=1
T=2
k
P(
ω)
Q(
ω)
=
=
k
2
1+
ω T
− kωT
2
1+
ω T
2
2
-0.6
-0.8
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Real Axis
10

Człon inercyjny I rzędu
0
From: U(1)
Phase (deg); Magnitude (dB)
To: Y(1)
-5
-10
-15
0
-20
-40
-60
Charakterystyka logarytmiczna amplitudowa
Charakterystyka logarytmiczna fazowa
-80
10 -2 10 -1 10 0
Frequency (rad/sec)
11

Człon inercyjny I rzędu
Charakterystyka dla T=0.001 k=100
From: U(1)
40
Lm(
ω)
=
20lg
K(
jω)
Phase (deg); Magnitude (dB)
To: Y(1)
35
30
25
20
0
-20
-40
-60
-80
Lm(
ω)
=
ϕ(
ω)
20lg
k
1+
( ωT
= −arctgωT
2
)
-100
10 2 10 3 10 4
Frequency (rad/sec)
12

Przykłady realizacji
układ RC
układ LR
układ mechaniczny
układ pneumatyczny
13

Człon inercyjny I rzędu
3
Nyquist Diagrams
From: U(1)
2
1
k=5
T=1
Imaginary Axis
To: Y(1)
0
k
-1
-2
-3
-1 0 1 2 3 4 5
Real Axis
14

Człon inercyjny n-tego rzędu
u(t)
…
y(t)
k 1
, T 1
k n
, T n
k1
k
K( s)
= K
sT + 1 sT
1
n
n
+ 1
K(
s)
=
i
∏ = n
i=
1
ki
sT + 1
i
15

Człon inercyjny n-tego rzędu
k k
K( s)
=
1
K
sT + 1 sT
1
n
n
+ 1
K(
s)
=
i
∏ = n
i=
1
ki
sT + 1
i
h(t)
n=1
n=2
n=4
16

Człon inercyjny n-tego rzędu
n
=
2
1
0.9
0.8
Step Response
From: U(1)
K(
s)
=
1
s + 1
1
2s
+ 1
Amplitude
To: Y(1)
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0 2 4 6 8 10 12
Time (sec.)
0.8
Nyquist Diagrams
From: U(1)
0
Bode Diagrams
From: U(1)
0.6
-10
Imaginary Axis
To: Y(1)
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
Phase (deg); Magnitude (dB)
To: Y(1)
-20
-30
-40
-50
0
-50
-100
-0.6
-150
-0.8
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Real Axis
-200
10 -1 10 0 10 1
Frequency (rad/sec)
17

Człon inercyjny n-tego rzędu
n = 3
1
0.9
Step Response
From: U(1)
K(
s)
K(
s)
=
=
1 1 1
s + 1 2s
+ 1 3s
+ 1
1
6s
3
+ 11s
2
+ 6s
+ 1
Amplitude
To: Y(1)
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.8
Nyquist Diagrams
From: U(1)
0
0 3 6 9 12 15 18
Bode Time Diagrams (sec.)
0.6
0.4
0
-20
From: U(1)
Imaginary Axis
To: Y(1)
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
Phase (deg); Magnitude (dB)
To: Y(1)
-40
-60
-80
0
-100
-200
-0.8
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Real Axis
-300
10 -2 10 -1 10 0 10 1
Frequency (rad/sec)
18

19
Człon całkujący idealny
= ∫
=
t
dt
t
ku
t
y
albo
t
ku
dt
t
dy
0
)
(
)
(
)
(
)
(
ω
ω
j
k
j
K
s
k
s
K
=
=
)
(
)
(
u(t)
y(t)
kt
t
h =
)
(
charakterystyka skokowa
t

Człon całkujący idealny
25
20
h(t)
Step Response
From: U(1)
2000
1500
Nyquist Diagrams
From: U(1)
1000
Amplitude
To: Y(1)
15
10
Imaginary Axis
To: Y(1)
500
0
-500
5
-1000
-1500
0
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Time (sec.)
Bode Diagrams
-2000
-1 -0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0
Real Axis
60
From: U(1)
40
Phase (deg); Magnitude (dB)
To: Y(1)
20
0
-20
-89
-89.5
-90
K( s)
=
20
s
-90.5
-91
10 -1 10 0 10 1 10 2
Frequency (rad/sec)
20

Człon całkujący idealny
przykłady
idealny kondensator
u(t)=i
y(t)=U
licznik odległości
u(t) prędkość kątowa koła
y(t) przebyta droga
21

22
Człon całkujący rzeczywisty
)
(1
)
(
)
(
)
(
)
(
2
2
sT
s
k
s
K
t
ku
dt
t
dy
dt
t
y
d
T
+
=
=
+
]
)
(
[1
)
(
)
(
1
)
(
)
(
)
(
)
(1
)
(
2
2
T
k
Q
T
kT
P
jQ
P
T
j
j
k
j
K
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
+
= −
+
= −
+
=
+
=
u(t)
y(t)
)
(1
)
( T
t
e
kT
kt
t
h
−
−
−
=
charakterystyka skokowa

Człon całkujący rzeczywisty
1000
Step Response
From: U(1)
900
800
700
Amplitude
To: Y(1)
600
500
400
300
200
100
100
Bode Diagrams
From: U(1)
0
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
Time (sec.)
2500
Nyquist Diagrams
From: U(1)
80
2000
Phase (deg); Magnitude (dB)
To: Y(1)
60
40
20
0
-80
-100
-120
-140
-160
Imaginary Axis
To: Y(1)
1500
1000
500
0
-500
-1000
-1500
-180
10 -3 10 -2 10 -1 10 0
Frequency (rad/sec)
-2000
Real Axis
23
-2500
-120 -100 -80 -60 -40 -20 0

Człon całkujący rzeczywisty
przykłady
silnik elektryczny prądu stałego
siłownik pneumatyczny
zbiornik
24

25
Człon różniczkujący rzeczywisty
sT
ks
s
K
dt
t
du
k
y
dt
t
dy
T
+
=
=
+
1
)
(
)
(
)
(
T
t
e
T
k
t
h
t
y
sT
k
L
t
y
sT
k
s
sT
ks
s
y
s
s
u
s
u
s
K
s
y
−
−
=
=
+
=
+
=
+
=
=
=
)
(
)
(
}
1
{
)
(
1
1
1
)
(
1
)
(
)
(
)
(
)
(
1
u(t)
y(t)
2
2
2
)
(
1
)
(
)
(
1
)
(
)
(
)
(
1
)
(
T
k
Q
T
kT
P
jQ
P
T
j
jk
j
K
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
+
=
+
=
+
=
+
=

Człon różniczkujący rzeczywisty
K(
s)
ks
= 1+ sT
Step Response
From: U(1)
4
3.5
3
2.5
2.5
Nyquist Diagrams
From: U(1)
Amplitude
To: Y(1)
2
2
1.5
k/2T
1.5
1
1
0.5
Imaginary Axis
To: Y(1)
0.5
0
-0.5
ω=0
k/2T
k/T
0
0 5 10 15 20 25 30
20
Time (sec.)
Bode Diagrams
From: U(1)
-1
0
-1.5
-2
-2.5
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
Real Axis
Phase (deg); Magnitude (dB)
To: Y(1)
-20
-40
100
80
60
40
20
0
10 -3 10 -2 10 -1 10 0
Frequency (rad/sec)
26

Człon różniczkujący rzeczywisty
układ CR
układ RL
układ pneumatyczny
27

Człon różniczkujący idealny
u(t)
y(t)
y(
t)
K(
s)
du(
t)
= k
dt
= ks
gdy
h(
t)
u(
t)
= 1( t)
= kδ
( t)
to
K(
jω ) =
jωk
h(t) = k δ (t)
t
28

Człon różniczkujący idealny
przykład
idealny kondensator
y(t)=i
u(t)=U
29

Człon oscylacyjny
u(t)
y(t)
T
2
n
d
2
dt
y
2
+ 2ςT
n
dy
dt
+
y
=
ku
K(
s)
=
T
2
n
s
2
k
+ 2ςT
n
s + 1
lub
d
2
dt
y
2
+ 2ςω
n
dy
dt
+ ω
2
n
y
=
2
n
kω
u
K(
s)
=
s
2
kω
2
n
+ 2ςω
s + ω
n
2
n
ω n
pulsacja drgań własnych nietłumionych
T n
okres drgań własnych nietłumionych
ζ współczynnik tłumienia względnego
k współczynnik wzmocnienia
30

Człon oscylacyjny
Bieguny transmitancji, dla 0 < ζ < 1
czyli rozwiązania równania M(s) = s 2 +2sζω n
+ω n2
= 0
są zespolone sprzężone o ujemnej części rzeczywistej:
s
1
= −ω
( ς +
n
j
1−ς
2
)
Charakterystyka skokowa dana jest wzorem:
s
2
= −ω
( ς −
n
j
1−ς
2
)
h(
t)
=
⎡
k⎢1
−
⎢
⎣
e
−ω
ςt
n
1−ς
2
sin( ω t
w
⎤
+ ϕ)
⎥
⎥
⎦
gdzie
ω
w
= ω
n
1−ς
2
pulsacja drgań własnych tłumionych
ϕ =
arctg
1−ς
ς
2
31

Człon oscylacyjny
35
30
Step Response
From: U(1)
⎡
h(
t)
= k⎢1
−
⎢
⎣
30
e
−ω
ςt
n
1−ς
2
⎤
sin( ω + ) ⎥
wt
ϕ
⎥
⎦
Step Response
From: U(1)
Amplitude
To: Y(1)
25
20
15
10
5
k=20
ω n
= 1
ζ = 0,2
25
20
0
0 5 10 15 20 25 30
Time (sec.)
Amplitude
To: Y(1)
15
10
5
k=20
ω n
= 1
ζ = 0,4
25
Step Response
From: U(1)
0
0 5 10 15
Time (sec.)
Amplitude
To: Y(1)
20
15
10
k=20
ω n
= 1
ζ = 0,7
5
0
0 1.6 3.2 4.8 6.4 8
Time (sec.)
32

Człon oscylacyjny
30
Nyquist Diagrams
From: U(1)
Imaginary Axis
To: Y(1)
60
40
20
0
Nyquist Diagrams
From: U(1)
k=20
ω n
= 1
ζ = 0,2
20
Nyquist Diagrams
From: U(1)
Im aginary Axis
To: Y(1)
20
10
0
-10
-20
k=20
ω n
= 1
ζ = 0,4
-20
15
-30
-10 -5 0 5 10 15 20 25
-40
-60
-30 -20 -10 0 10 20 30 40
Real Axis
Imaginary Axis
To: Y(1)
10
5
0
-5
k=20
ω n
= 1
ζ = 0,7
Real Axis
-10
-15
-20
-5 0 5 10 15 20
Real Axis
33

Człon oscylacyjny
Bode Diagrams
From: U(1)
60
40
30
20
Bode Diagrams
From: U(1)
Phase (deg); M agnitude (dB)
To: Y(1)
20
0
-20
0
-50
-100
-150
-200
10 -1 10 0 10 1
k=20
ω n
= 1
ζ = 0,1
Frequency (rad/sec)
Phase (deg); Magnitude (dB)
Phase (deg); Magnitude (dB)
To: Y(1)
To: Y(1)
10
0
-10
-20
0
-50
-100
-150
-200
10 -1 10 0
Bode Diagrams
10 1
30
20
10
0
-10
-20
0
-50
-100
-150
Frequency (rad/sec)
From: U(1)
k=20
ω n
= 1
ζ = 0,2
k=20
ω n
= 1
ζ = 0,4
-200
10 -1 10 0 10 1
Frequency (rad/sec)
34

Człon oscylacyjny
Przykłady
układ RLC
układ mechaniczny
35

36
Człon opóźniający
0
)
(
sT
ke
s
K
−
=
)
(
)
( 0
T
t
ku
t
y
−
=
)
1(
)
( 0
T
t
k
t
h
−
=
0
)
(
T
j
ke
j
K
ω
ω
−
=
t
h(t)
Q(ω)
P(ω)
u(t)
y(t)

Człon opóźniający
układ mechaniczny
układ elektryczny
37