linear vibration analysis using screw theory - helix - Georgia Institute ...

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vi5 FORCED VIBRATIONS : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 995.1 Response to Harmonic Excitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 995.2 Base Excitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1075.3 Concluding Remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1136 DAMPED VIBRATIONS : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1156.1 Planar Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1176.2 Spatial Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1426.3 Forced Damped Vibrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1496.4 Concluding Remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1577 OTHER RESULTS : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1587.1 Equal Principal Sti¤nesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1587.2 Combined Elastic Centers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1597.3 Decomposition of the Damping Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1688 CONCLUSION: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :1738.1 Contributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1738.2 Further Research . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175APPENDIXA. Proof of Critically Damped Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178REFERENCES : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 184VITA: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 187
viiLIST OF FIGURES1.1 Elastically Suspended Rigid Body . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Planar Rigid Body Rotates About V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Body Rotates and Translates about Vibration Axis V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.1 Location of the Screw Axes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2 Cantilever Beam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3 Beam Has Three Compliant Axes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.1 Elastically Suspended Rigid Body . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.2 Location of Vibration Centers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.3 Location of Vibration Centers when EM y = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.4 Location of Vibration Centers when ! 2 x = !2 y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.5 Perpendiculars intersect at M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.6 Cantilever Beam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.7 Three Vibration Centers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.8 Two Vibration Centers and One Translation Parallel to the x-axis . . . . . . . . . . . . 373.9 Two Vibration Centers and One Translation Parallel to the y-axis . . . . . . . . . . . . 383.10 Two Vibration Centers and One Translation Parallel to ¡¡! EM . . . . . . . . . . . . . . . 383.11 Trivial Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.1 Elastically Suspended Rigid Body . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.2 Pure Translation Produces Reaction Wrench . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.3 Pure Couple Produces Reaction Twist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.4 Robot in Contact with a Compliant Environment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.5 Planar Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.6 Translation Mode is Present . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.7 Couple Mode is Present . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.8 Body 2 Designed as Vibration Absorber . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694.9 Rigid Body Absorber for a General Wrench . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834.10 Planar Motion with General Wrench . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 864.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 934.12 General Wrench - No Restrictions on M 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954.13 Possible Design to Suppress Motion due to ~ f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 965.1 Location of Forcing Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1015.2 Mode 3 is Not Excited . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1015.3 Modes 2 and 3 are Not Excited . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1025.4 Location of Forcing Wrench . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1045.5 Body Excited by the Motion of its Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1075.6 Mode 1 is not Excited . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1105.7 Mode 1 is not Excited . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1115.8 Mode 1 is not Excited . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
Page 3 and 4: iiiDEDICATIONÀ mon …ls Matthieu
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Page 46 and 47: 36At the center of mass,2M M =64m 0
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484.3.1 Translation modeIt is known
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66Substituting (4.61) and (4.62) in
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70Equation (4.74) represents the ei
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72² Design K 2 such that ^w is one
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82construction is a problem of sti
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88the centers of mass and elasticit
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90where the vector from E 2 to M 2
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92where the arbitrary linear princi
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94² The linear mass of the absorbe
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96Pfk x kγ k yFigure 4.13: Possibl
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98specialized to systems exhibiting
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100where ! 2 j is the natural frequ
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104γ iαMMV iMFV i FfFigure 5.4: L
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106Equation (5.20) reveals that the
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108Substituting (5.23) into (5.22)
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114a planar rotating unbalance for
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116undamped, underdamped, criticall
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118The location of point V is given
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Note that ¡! AV can also be found
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122For planar motion, the eigenvect
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124Aδ δxδByBxyB AδA By− δx
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126position. This observation means
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Equation (6.53) reveals that the vi
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130¯c ¯± B A¯Equation (6.64) re
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13221.51Mode 1Mode 2Mode 3Imaginary
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Y134-0.4-0.5-0.6-0.7Point APoint BM
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13676δ ΑB543Mode 1Mode 2Mode 3210
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138where A and B are any points on
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140where^W A = K^T A^W B = K^T BEqu
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142where c = p ¤ =p. Equation (6.9
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1442z 0-2420x-2-4420y-2-4Figure 6.1
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146Equation (6.106) shows that the
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1486.2.4 Overdamped ModesThe eigenv
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150where ¸j and X j are respective
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152Equations (6.131) reveal that ^w
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154Hence the orthogonality conditio
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156If ~ f R and ~ f I are linearly
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CHAPTER VIIOTHER RESULTSThis chapte
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160(S) to coalesce, for the centers
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162As before, all three ~r i = ~0 w
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164The previous Theorem proved that
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166Proof.From Theorem 49, the eigen
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168the eigenwrenches with respect t
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170eigentwists of the damping matri
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172Equation (7.53) shows that the e
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174and inertia matrices to intersec
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176In Chapter 4, the occurrence of
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178APPENDIXA. Proof of Critically D
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180where S is a non-singular matrix
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182Equation (A.3) can be written as
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184REFERENCES[1] Anton, H., 1984, E
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186[35] Patterson, T. and Lipkin, H
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