ZGOUBI USERS' GUIDE - HEP

1.2 Integration of the Lorentz Equation 17€ ¡., ) ¡., ) ) ¡., ) ) ) )€ ¡-, ) ¡-, ) _orq sˆ) ¡-, ˆ) ) ) ¡-, ) ) ) ) X&)XX %w€Š> 4)€7% X 7 ¡., ) ¡-,))€¡., ) ¡.,¡-, ) ¡.,w€¡-, ) ) ¡-,)€)¡., ) ) ¡-,w¡-, ) ) ) ¡.,ŠŠ> 4 %4€ Wƒ(1.2.15)I5‚ „ƒ‚ …ƒ †\since. Normalizing as previously witheq. (1.2.15) leads to the ¡., ‡VEXZY& ¡-,&and¦' , and by successive differentiations,qvƒ&m) rƒ(1.2.16)q&m/)rƒ&~-) ) ) qvƒq ots&]ˆ) )rƒ@ o qWs&~-rƒ&m/)¦q) ) ) orqts) ) ) „ƒvƒU orqWs&]O&]ˆ) ) )„ƒU orqWs&]ˆ)(vƒ&~/) )¦Note that the derivatives&mcan be related to the derivatives of the kinetic energy by% X('nƒ&meVEXY which leads tovƒ rƒ ƒrƒX‰&mX (1.2.17)¦'('X‰Finally, the derivatives .sovqVDXZYovq sX('€involved in eqs. (1.2.11,1.2.16) are obtained fromŠ % , (isthe rest mass) by successive differentiations, that give the recursive relationsŠ> ‹qovq.s¡-,&]orqs q(1.2.18)Š> ‹qvƒ¡.,) )Š> ‹qq oWsvƒ&] )¡-,@ o q wWsqo*qWs) ) )Š> qvƒ&] ) )¡-,U o*q wWs) )qU o*q w.s1.2.3 Integration in combined electric and magnetic fieldsWhen both and are non-zero, the complete eq. (1.2.3) must be considered. Recursive differentiations give the followingrelations&n ¡-,& ) &#&n @ ¡., )I ) &© ¡., ) ) )(1.2.19)& ) ¡., )) ) porqts&ovq.s) )U ¡., ) ) & ) U ¡-, )&0& ) ) ) _orqI @ o*q ) ) ) &©& ) ) ¡-, ) )o*qWsWsWsR ¡., ) ) ) & ) G ¡-, ) ) & ) ) R ¡., )&n& ) ) ) ) & ) ) ) ¡-,) ) )) ) ) ) ) ) ) &orqWsU o*qWs) U o*q.sq ) ) )that provide the derivativesX needed in the Taylor expansions (1.2.4)('