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多 自 變 量 函 數 插 值 法 及 其 在 工 程 上 之 應 用童 才 燧更 新 日 期 :2012 年 05 月摘 要無 論 是 科 學 實 驗 (Science experiment ) 或 工 程 試 驗 (Engineering test ), 進 行中 多 少 都 會 受 到 環 境 如 溫 度 、 濕 度 、 時 間 、 儀 器 , 或 人 為 等 因 素 之 影 響 , 使 其 所 得 結果 不 是 資 料 不 全 , 就 是 數 據 發 生 誤 差 , 有 時 縱 然 所 得 數 據 完 整 、 正 確 , 但 也 並 非 連 續值 。 土 壤 壓 密 試 驗 時 , 可 能 漏 記 一 次 數 據 , 火 箭 發 射 升 空 時 , 可 能 少 接 收 一 次 訊 號 ,土 木 ( 如 鋼 筋 混 凝 土 計 算 ) 或 測 量 ( 如 日 月 出 沒 時 刻 計 算 ) 查 表 時 , 表 上 也 可 能 沒 有我 們 需 要 的 函 數 值 。 凡 此 缺 失 我 們 都 可 以 用 一 種 叫 做 數 值 逼 近 ( Numericalapproximate) 或 曲 線 密 合 (Curve fitting) 的 方 法 來 加 以 補 救 , 插 值 法 就 是 上 述 方 法中 最 常 用 和 最 有 效 的 一 種 。在 古 典 數 值 分 析 中 的 插 值 法 (Interpolation), 有 牛 頓 (Newton) 插 值 法 , 拉 格朗 日 (Lagrange) 插 值 法 、 艾 特 肯 (Aitken) 插 值 法 、 赫 米 特 (Hermite) 插 值 法 、 史帝 林 (Stirling) 插 值 法 、 及 高 斯 (Gauss) 插 值 法 等 多 種 , 這 些 插 值 方 法 都 可 用 一 條多 項 式 來 表 示 , 也 都 可 籍 由 Basic、Fortran、 或 C 語 言 用 電 腦 程 式 來 運 算 。 但 這 些 插值 法 都 只 僅 限 於 單 一 自 變 量 函 數 如 y=f (x)。 事 實 上 , 如 前 所 述 影 響 一 項 實 驗 或 試 驗 的因 素 很 多 , 如 與 飛 彈 發 射 、 衛 星 定 位 、 以 及 與 天 文 測 量 等 息 息 相 關 的 天 文 年 曆 就 是 如此 。 在 地 球 上 某 一 點 要 決 定 某 一 星 體 在 某 時 刻 的 位 置 至 少 有 經 度 及 緯 度 兩 個 參 數 , 所以 用 單 一 自 變 量 插 值 法 來 求 “ 星 表 ” 上 沒 有 的 某 地 點 ( 或 數 仟 點 ) 某 時 刻 ( 或 全 年 ) 該星 體 的 位 置 , 不 但 計 算 繁 雜 , 而 且 費 時 冗 長 , 就 是 用 電 腦 程 式 來 處 理 也 是 一 項 極 為 艱困 且 萬 分 繁 雜 的 任 務 。俗 語 說 : 窮 則 變 , 變 則 通 。 當 我 們 研 究 科 學 用 一 種 方 法 行 不 通 時 , 就 必 須 變 換 我們 所 思 考 的 方 向 , 研 討 原 計 算 的 方 法 , 和 檢 核 曾 使 用 的 工 具 。 有 創 新 才 有 突 破 , 有 突破 才 能 成 功 。 本 文 所 討 論 的 “ 多 自 變 量 函 數 插 值 公 式 ” 就 是 依 據 這 項 原 則 經 不 斷 研 究 而發 現 的 , 它 的 誕 生 , 將 原 本 困 難 的 工 作 變 成 容 易 , 原 本 複 雜 的 計 算 變 得 簡 單 , 為 工 程人 員 減 少 了 大 量 的 工 作 時 間 , 也 為 國 家 公 庫 節 省 了 億 萬 元 的 公 幣 。 在 學 術 研 究 上 確 是一 大 突 破 , 在 工 程 應 用 上 更 是 一 大 創 舉 。ABSTRACTNo matter whether it is a Science Experiment or an Engineering Test , it will bemore or less effected by the environment, such as temperature, moisture, time,instrument and man-made factors. Thus, the test result does not include completeinformation, or the data obtained have errors. Sometimes even the data obtained arecomplete and correct, but they are not continuous values. Under a soil consolidationtest, we might fail to record the data once. When the rocket is launched, we mighthave one signal missing. For all of such kind of omission, we can use a NumericalApproximate or a Curve Fitting method for remedy. Interpolation is the most oftenused and the most effective method among the above mentions.The interpolation methods in the classical numerical analysis are NewtonInterpolation, Lagrange Interpolation, Aitken Interpolatino and HermiteInterpolation, etc… All of these interpolation methods can be expressed by onepolynomial. They can also be operated by computer according to Fortran IV or CLanguage. However, these polynomials are limited to single indepe ndent variable

function, such as y = f(x). In fact, as mentioned above, many factors may affect theresult of an experiment or a test, such as rocket launching, satellite positioning andthe astronomy measuring which has a close relationship with the astro nomicalyearbook. To locate a planet from one point of the earth needs at least longitude andlatitude, two parameters. Therefore, if you want to use single independent variableinterpolation to get the location of a planet or locations of thousand planets in acertain time or in a full year which cannot be found in the chart of galaxies, thecalculation is not only complicated, but also takes a very long time in all proceses.Even if we use a computer to deal with it, this is also an almost impossible miss ion.As proverb says, “Impasse is followed by change, and change will lead tosolution.”. When we make a scientific study, if one method is not workable, we needto change the direction of our thought. We cannot always depend on the originalcalculating method and the tools which we used before. Innovation createsbreakthrough. Breakthrough creates success. In this study I want to discuss aformula of multiple independent variable interpolation method which I discoverbased on this principle after a continuous research. This finding makes the pastdifficult task easy, and simplifies the past complicated calculation. It saves a lot oftime for the researchers, and also save a large amount of public treasury for thegovernment through the past many years. Thus, this study not only breaks thebottleneck of Newton , s formula and also creates a new situation in the appliedengineering.一 、 前 言數 值 分 析 (Numerical Analysis ) 是 提 供 各 種 數 值 計 算 的 方 法 , 以 解 決 許 多 用 途廣 泛 求 解 卻 非 常 困 難 的 數 學 問 題 , 自 微 電 腦 問 世 後 , 更 發 揮 了 它 強 大 的 計 算 功 能 , 在古 典 數 學 (Cassical Math.) 中 有 些 難 以 求 解 的 問 題 , 如 非 線 性 方 程 式 , 大 方 程 式 組 ,特 殊 微 分 方 程 等 , 用 數 值 分 析 均 可 迎 刃 而 解 。插 值 法 ( Interpolation ) 是 古 典 數 值 分 析 的 中 心 問 題 , 在 現 代 數 學 ( 含 電 腦 數學 ) 中 之 應 用 , 仍 非 常 廣 泛 。 吾 人 給 定 一 函 數 f(x), 在 n+1 個 互 異 點 上 的 值 f(x i ), i=1,2, ……n, 若 欲 求 一 函 數 φ(x) 逼 近 f(x), 這 時 若 要 求 φ(x i )= f(x i ), 則 稱 之 插 值 問 題 , 式中 稱 φ(x) 為 f(x) 的 插 值 函 數 ,φ(x) 逼 近 x i 稱 為 插 值 節 點 。φ(x) 可 取 自 不 同 的 函 數 類 ,如 代 數 多 項 式 或 三 角 多 項 式 , 光 滑 函 數 或 分 段 光 滑 函 數 。 插 值 法 不 僅 是 函 數 ( 或 曲線 ) 的 逼 近 (approximate) 或 密 合 (fitting) 的 方 法 , 更 是 導 出 許 多 其 他 數 值 解 析 方法 的 出 發 點 , 幾 乎 所 有 的 古 典 數 值 積 分 法 、 數 值 微 分 法 、 和 數 值 常 微 分 方 程 的 數 值 積解 , 都 是 從 插 值 公 式 導 出 的 。曲 線 密 合 是 以 數 值 分 析 解 決 工 程 問 題 手 段 之 一 , 在 目 前 已 發 展 的 技 巧 中 , 曲 線 密合 可 分 成 兩 大 類 , 一 是 回 歸 法 (Regression), 另 一 是 插 值 法 (Interpolation)。 如 果所 得 數 據 誤 差 較 大 適 合 用 回 歸 法 , 否 則 以 用 插 值 法 較 佳 。 在 工 程 上 要 密 合 實 驗 數 據時 , 通 常 應 用 到 兩 種 型 式 。 趨 向 分 析 (trend analysis) 可 用 據 點 分 佈 圖 形 來 預 測 應 變數 的 值 , 這 包 括 外 插 或 內 插 ; 假 設 測 試 ( hypothesis) 是 用 一 個 數 學 模 式 與 實 際 數 據做 比 較 。 就 數 學 觀 點 而 言 , 由 實 驗 或 觀 測 所 得 到 的 數 據 都 是 離 散 的 (discrete), 插 值法 就 是 要 將 這 些 離 散 的 數 據 變 成 一 連 續 ( continuous ) 函 數 來 應 用 , 這 些 函 數 可 能 是線 性 的 , 也 可 能 是 非 線 性 的 。本 研 究 除 闡 述 近 千 餘 年 來 中 外 各 天 文 學 家 、 數 學 家 、 及 物 理 學 家 對 插 值 法 所 作 之貢 獻 外 , 重 要 的 還 是 討 論 這 些 插 值 法 在 工 程 實 用 上 所 受 到 的 若 干 限 制 , 並 研 究 如 何 能突 破 困 難 找 出 一 條 新 公 式 ,“ 多 自 變 量 函 數 插 值 公 式 ” 就 是 這 項 研 究 所 獲 得 的 一 項 重 要

成 果 。 美 國 紐 約 州 立 大 學 石 溪 分 校 哲 學 教 授 暨 布 魯 克 哈 芬 國 家 實 驗 室 歷 史 學 者Dr.Robert P. Crease 曾 在 < 物 理 世 界 > 雜 誌 上 選 文 表 示 :Math equations describe amore concise eality。 的 確 , 數 學 的 神 奇 之 處 是 : 它 只 須 少 許 幾 個 數 字 和 符 號 就 能 很 精確 的 表 達 用 再 多 文 字 也 難 以 描 述 的 概 念 。 多 自 變 量 函 數 插 值 公 式 就 是 如 此 , 它 只 用了 , 四 個 係 數 ( 常 數 一 所 求 點 位 置 確 定 後 係 數 即 常 數 ), 四 個 已 知 數 , 再 用 四 個 加 號將 它 們 連 接 起 來 , 就 能 將 用 牛 頓 單 自 變 量 插 值 法 求 多 變 量 插 值 時 所 用 的 十 二 個 繁 雜 步驟 很 明 顯 地 表 現 出 來 。公 路 工 程 為 土 木 工 程 重 要 之 一 環 , 在 公 路 工 程 設 計 時 , 常 須 查 閱 若 干 曲 線 圖 表( 如 鋼 筋 混 凝 土 計 算 圖 表 〔R、G〕), 以 節 省 繁 雜 的 計 算 程 式 。 以 往 都 是 應 用 牛 頓 一階 查 值 法 ( 二 階 以 上 計 算 太 繁 雜 ), 但 精 度 不 高 , 且 無 法 作 大 量 計 算 。 多 自 變 量 函 數查 值 法 能 以 X-Y 坐 標 為 變 數 求 任 意 曲 線 上 之 插 值 點 , 計 算 簡 單 而 精 度 較 高 。 多 自 變 量插 值 法 最 大 的 優 點 是 將 牛 頓 的 差 分 方 程 式 簡 化 為 算 術 形 式 , 採 用 高 階 同 樣 簡 單 , 同 樣可 寫 成 電 腦 程 式 作 大 量 計 算 。科 技 成 長 真 是 日 新 月 異 , 尤 其 是 21 世 的 今 天 , 因 微 電 腦 及 各 種 相 關 軟 體 的 快 速 發展 , 一 些 古 老 的 數 學 又 再 引 起 人 們 的 注 意 和 興 趣 , 插 值 法 也 正 好 趕 上 這 輛 特 快 列 車 ,目 前 它 的 觸 角 已 伸 入 各 項 科 技 , 各 項 工 程 , 經 濟 、 工 管 、 及 統 計 的 每 一 個 領 域 中 。 根據 最 近 網 際 網 路 資 料 顯 示 , 與 插 值 法 相 關 的 科 技 有 1350 項 , 與 內 插 法 相 關 的 科 技 有486 項 , 與 內 插 演 算 法 相 關 的 科 技 有 639 項 。 合 計 為 2475 項 , 除 部 份 為 重 疊 , 部 份 為教 學 科 目 外 , 至 少 也 有 1500 項 之 多 。 由 這 項 統 計 可 知 插 值 法 之 用 途 已 達 到 非 常 廣 泛 的地 步 。二 、 多 項 式 插 值 的 存 在 與 唯 一 性設 x 0 ,x 1 ,…, xn 為 n+1 個 互 異 點 ,y 0 ,y 1 ,…, y n 為 一 組 已 知 數 據 , 則 滿 條 件p(x i )=y i ( i=0, 1, 2, …, n ) (2-1)存 在 且 唯 一 的 次 數 小 於 或 等 於 n 的 多 項 式 為p(x)=a 0 +a 1 x 1 +a 2 x 2 +…+a n x n (2-2)證 : 若 (2-2) 式 滿 足 (2-1) 條 件 , 代 入 , 得(2-3)這 是 關 於 n+1 個 未 知 量 a 0 ,a 1 ,…, 的 n+1 個 方 程 組 成 的 線 性 方 程 組 , 要 證 明 滿 足題 設 條 件 的 多 項 式 p(x) 的 存 在 與 唯 一 性 , 只 須 證 明 此 方 程 組 存 在 唯 一 解 。 事 實 上 該 方程 組 的 係 數 行 列 式 就 是 著 名 的 凡 得 蒙 特 (Vandermonde,1735-1796) 行 列 式 , 即

(2-4)因 x i ≠x j (i≠j), 所 以 V n ( x 0 ,x 1 ,…, x n ) ≠0, 依 據 克 拉 姆 (Cramer,1704-1752)規 則 : 利 用 行 列 式 解 線 性 方 程 組 方 法 , 對 含 有 n 個 方 程 n 個 未 知 量 的 方 程 組 , 若 其 係數 行 列 式 不 等 於 零 , 則 此 方 程 組 有 且 僅 有 一 個 解 。 因 此 , 原 式 得 證 。三 、 單 自 變 量 函 數 插 值 法單 一 自 變 量 函 數 常 用 的 插 值 法 為 多 項 式 插 值 法 , 設 x 0 ,x 1 ,…, x n 為 互 異 實 數 或 複數 ,y 0 ,y 1 ,…, y n 是 與 之 相 對 應 的 一 組 函 數 , 則 存 在 唯 一 的 次 數 小 於 或 等 於 n 的 多 項式 :y = p(x) = a 0 x 0 + a 1 x 1 + a 2 x 2 +......++a n x n (3-1)內 插 於 給 定 數 據 :p(x i ) = y i (i=0, 1, 2, …, n)對 n+1 個 數 據 點 , 只 有 一 個 n 階 或 少 於 n 階 的 多 項 式 經 過 所 有 點 , 這 也 說 明 只 有一 條 n 階 多 項 式 能 與 n+1 個 點 完 全 密 合 。3.1 牛 頓 (Newton,1642-1727) 單 自 變 量 函 數 插 值 法對 n+1 個 數 據 點 牛 頓 n 階 多 項 式 為 :f n (x)=b 0 +b 1 (x 1 -x 0 )+b 2 (x-x 0 )(x-x 1 )+...++b n (x-x 0 )...(x-x n -1 ) (3-2)b 0 =f(x 0 )b 1 =f[x 1 , x 0 ]b 2 =f[x 2 , x 1 , x 0 ].........b n =f[x n , x n -1 , ..., x 1 , x 0 ]式 中 方 弧 內 的 函 數 是 以 有 限 差 分 表 示 ,b 為 一 階 差 分 , 即, 餘 類 推 。(3-3)(3-4)式 (3-4) 就 是 我 們 熟 知 的 求 兩 點 間 函 數 的 平 均 值 的 方 程 式 。 將 式 (3-3) 中 各 項係 代 入 式 (3-2), 牛 頓 多 項 插 值 方 程 式 變 為f n (x)=f(x 0 )+(x-x 0 )f[x 1 , x 0 ] +(x-x 0 )(x-x 1 )f[x 2 , x 1 , x 0 ] +...+(xx0 )(x-x 1 )...(x-x n -1 )f[x n , x n -1 , ... x 0 ](3-5)因 (3-4) 式 為 x 0 ,x 1 兩 基 點 間 函 數 f(x 0 ) ,f(x 1 ) 之 平 均 值 , 故 (3-4) 式 稱 一 階 差 分又 稱 為 一 階 均 差 (mean difference)。 一 函 數 f(x) 關 於 基 點 x 0 ,x 1 ,… x k 的 各 階 均差 為 :

(3-6)均 差 ( 或 差 分 ) 在 插 值 法 中 佔 有 相 當 重 要 的 地 位 , 本 文 為 研 究 方 便 , 特 將 其 特 性彙 整 於 后 :1. 對 稱 性 (symmetry) 函 數 f(x) 關 於 基 點 x 0 ,x 1 ,… x k 的 k 階 均 差 與 基 點 的 排 列 次序 無 關 。 設 i 0 ,i 1 ,… i k 是 0、1…k 的 任 一 排 列 , 則 恆 有f[x i0 ,x i1 ,... x ik ] =f[x 0 ,x 1 ,... x ik ]2. k 階 均 差 可 用 f i (i=0, 1, … k) 的 線 性 組 合 (linear comination) 表 示 , 即3. 均 差 與 導 數 之 關 係 為f[x 0 , x 1 , ... x k -1 , x k ] f (k) (ξ) /k其 中 ξ 多 屬 於 包 含 基 x0, x1, … xk-1 和 x 的 最 小 區 間 , 且 依 賴 變 元 x。3.2 牛 頓 等 距 基 插 值 公 式式 (3-5) 為 牛 均 差 插 式 , 若 在 等 距 基 點 的 情 況 下 , 可 將 牛 頓 均 差 公 式 中 的 各 階 均差 用 相 應 的 差 分 代 替 , 就 可 得 出 不 同 類 型 的 等 距 基 點 插 值 公 式 。 設 等 距 基 點 為x k = x 0 + k h (k =0,1, …, n )若 要 計 算 靠 近 基 點 x 0 處 之 點 x ,(x 0

拉 格 朗 日 多 項 式 為 牛 頓 多 項 式 的 另 一 種 表 示 法 , 是 將 牛 頓 均 差 用 Ⅱ( 乖 積 ) 來 代替 。 令 牛 頓 多 項 式 中 n=1, 則(3-9)若 令 n=2, 則重 新 整 理 上 式 , 得(3-10)同 理 可 得(3-11)

由 一 般 式 可 知 拉 格 朗 日 多 項 式 是 由 “ 積 ” 與 “ 和 ” 兩 部 份 組 成 , 於 是 可 簡 化 為(3-12)四 、 多 變 自 變 量 函 數 插 值 法設 有 一 函 數 f(x ,y), 已 知 (x 1 ,y 1 ),(x 2 ,y 1 ) … (x m ,y 1 ), 及 (x 1 ,y 2 ),(x 2 ,y 2 ), …(x m ,y 2 ) 各 點 及 其 相 對 應 之 函 數 值 , 今 欲 求 一 插 值 點 (x i ,y j ) (1

(4-4)第 三 步 求(4-5)式 (4-5) 整 理 後 , 得∴ f(x m ,y n ) = αf(x 1 ,y 1 ) + β(x 2 ,y 1 ) + γf(x 1 ,y 2 ) + wf (x 2 , y 2 ) (4-6)4.2 多 自 變 量 函 數 插 值 公 式 ( 二 )設 有 一 函 數 f(x, y), 已 知 (x 1 ,y 1 ),(x 2 ,y 1 ),(x 3 ,y 1 ) 三 點 及 相 對 應 之 函 數 值 及另 一 函 數 (x 1 ,y 2 ),(x 2 ,y 2 ),(x 3 ,y 2 ) 三 點 及 對 應 函 數 值 。 今 欲 求 一 插 值 點 (x m ,y n ) 但x 1

第 三 步 求 x m ,y n 之 插 值 :(4-11)式 中式 (4=11) 整 理 後 , 得f(x m y n ) =αf(x 1 ,y 1 )+βf(x 2 ,y 1 )+γf(x 3 ,y 1 )+δf(x 1 ,y 2 )+kf(x 2 ,y 2 )+wf(x 3 ,y 2 )(4-12)五 、 多 自 變 量 函 數 插 值 公 式 在 工 程 上 之 應 用玆 以 測 量 工 程 為 例 。 測 量 工 程 為 土 木 ( 公 路 )、 水 利 、 建 築 等 工 程 建 設 之 基 礎 ,而 現 代 測 量 更 包 含 了 資 訊 、 天 文 、 與 土 管 , 故 本 文 僅 以 用 途 極 為 廣 泛 的 “ 天 文 年 曆 ” 計算 來 說 明 多 自 變 量 函 數 插 值 公 式 在 工 程 上 之 應 用 。台 灣 地 區 各 重 要 都 市 日 月 出 沒 時 刻 計 算 之 研 究 :以 我 國 交 通 部 中 央 氣 象 局 每 年 編 印 之 “ 天 文 日 曆 ”, 及 國 防 部 測 量 署 每 年 所 編 印 之“ 簡 要 軍 用 天 文 年 曆 ” 為 例 , 這 兩 本 曆 書 中 都 載 有 若 干 天 文 和 氣 象 方 面 的 資 料 , 這 些 資料 中 一 部 份 , 如 台 灣 地 區 月 出 月 沒 時 刻 表 , 台 灣 地 區 日 出 日 沒 時 刻 表 等 都 是 由 該 署401 廠 利 用 美 國 海 軍 海 道 測 量 局 當 年 所 發 行 之 天 文 年 曆 而 改 編 。 因 該 年 曆 中 僅 載 有 東經 零 度 , 南 、 北 緯 10 度 、20 度 、--- 資 料 , 因 此 世 界 各 地 和 台 灣 地 區 上 述 各 項 用 表 均須 重 新 以 插 值 法 換 算 , 方 可 應 用 。每 年 台 灣 地 區 由 勤 測 量 署 所 編 印 , 提 供 全 國 各 有 關 單 位 作 天 文 觀 測 、 天 體 測 量 、航 空 航 海 , 以 及 提 供 三 軍 作 戰 之 用 的 “ 簡 要 軍 用 天 文 年 曆 ” 中 , 一 項 計 算 台 灣 地 區 日 月出 沒 時 刻 的 方 法 , 看 起 來 的 確 不 能 再 簡 化 或 改 變 了 , 就 這 樣 該 方 法 在 世 界 各 國 被 採 用了 數 十 年 , 我 國 從 民 國 四 十 三 年 編 印 簡 要 軍 用 天 文 年 曆 起 , 在 這 段 漫 長 的 歲 月 中 , 也

從 來 沒 有 人 去 研 究 如 何 改 變 它 , 因 為 大 家 都 知 道 , 根 據 牛 頓 插 值 法 數 學 原 理 , 只 能 作如 此 計 算 , 要 改 變 它 那 是 不 可 能 的 。5.1 傳 統 的 計 算 方 法 -Newton 單 自 變 量 函 數 插 值 法“ 天 文 年 曆 ” 就 是 將 一 年 365 天 中 , 各 天 體 之 位 置 及 運 行 狀 況 計 算 列 表 的 一 種 曆書 , 當 筆 者 於 多 年 前 參 與 這 項 計 算 工 作 時 , 深 感 其 工 作 量 非 常 龐 大 , 而 計 算 步 驟 又 是如 此 繁 多 , 於 是 決 心 改 變 它 , 經 過 兩 年 多 的 時 間 , 不 斷 研 究 , 終 於 將 原 來 每 求 一 值 須經 12 個 計 算 步 驟 的 方 法 簡 化 為 1 個 步 驟 , 那 是 一 條 由 筆 者 所 導 出 的 , 非 常 簡 單 、 精確 , 而 又 完 美 的 新 公 式 “ 多 變 量 函 數 插 值 公 式 ”。天 體 運 行 與 人 類 文 明 進 步 有 重 大 之 影 響 , 晝 夜 寒 暑 對 人 類 生 活 文 化 有 密 切 之 關係 , 因 此 自 古 以 來 , 觀 測 天 象 , 推 算 曆 書 , 一 直 是 人 們 所 樂 意 研 討 的 對 象 。 多 年 以來 , 美 國 海 道 測 量 局 每 年 都 要 編 印 一 冊 天 文 年 曆 ( 記 載 一 年 365 天 各 天 體 的 位 置 及 運行 狀 況 ), 以 供 世 界 各 國 作 為 天 文 觀 測 、 太 空 研 究 、 航 空 航 海 及 軍 事 作 戰 參 考 之 用 。日 月 出 沒 時 刻 為 天 文 年 曆 中 最 重 要 之 一 環 , 用 途 非 常 廣 泛 , 唯 一 般 歐 美 天 文 年 曆中 所 列 者 均 係 以 格 林 維 治 (Greenwich) 為 標 準 , 且 僅 南 、 北 緯 每 10° 計 算 一 值 , 因 之欲 求 地 球 上 任 一 地 點 之 日 月 出 沒 時 刻 , 必 須 依 據 美 國 天 文 年 曆 以 該 點 的 經 緯 度 為 參數 , 用 數 值 分 析 中 之 插 值 法 求 其 近 似 值 , 再 加 以 各 項 修 正 。 然 我 國 土 地 廣 大 , 重 要 都市 、 港 口 、 車 站 和 機 場 數 量 繁 多 , 如 果 要 全 部 算 出 , 所 需 費 用 和 時 間 過 於 龐 大 , 故 僅擇 台 灣 地 區 八 個 重 要 城 市 , 預 先 算 出 全 年 日 、 月 出 、 沒 時 刻 之 值 , 以 供 各 方 面 之 需要 。 但 此 項 工 作 極 為 繁 重 , 就 一 點 來 說 , 每 求 一 值 需 12 個 計 算 步 驟 , 全 年 、 月 出 、 月沒 共 需 365× 2× 12=8,760 個 步 驟 ,9 個 城 市 ,9 個 港 口 共 需 8,760× 18=152,680 個 計算 步 驟 , 日 出 、 日 沒 則 為 78,840 個 步 驟 。 為 便 於 核 對 , 需 由 二 人 同 時 計 算 , 故 每 年 編算 一 次 , 共 需 (157,680+78,840)×2=473,040 個 計 算 步 驟 。 根 據 過 去 經 驗 , 每 年 將18 個 點 分 成 3 組 ( 每 組 二 人 ) 計 算 , 為 時 約 四 個 多 月 。 茲 將 上 例 分 別 以 牛 頓 單 變 量 插值 法 , 及 多 變 量 插 值 法 來 計 算 , 以 比 較 其 優 劣 。由 於 美 國 天 文 年 曆 所 列 全 年 之 日 月 出 沒 時 刻 值 , 其 觀 測 點 僅 限 (λ 經 度 =0°,φ 緯度 =10°),(λ=0°,φ=20°),……(λ=0°,φ 度 =60°) 等 處 , 因 此 欲 求 任 一 時間 任 意 地 點 (λ i ,φ i ) 之 值 必 須 重 複 三 次 使 用 牛 頓 插 值 法 方 能 求 得 , 但 其 計 算 步 驟 繁多 , 早 期 求 月 出 或 月 沒 時 刻 各 須 12 步 驟 , 求 日 出 或 日 沒 時 刻 各 須 6 步 驟 。上 述 為 一 觀 測 點 一 天 之 月 出 、 月 沒 時 刻 及 日 出 、 日 沒 時 刻 , 其 步 驟 之 繁 , 可 見 一般 。 如 求 數 十 或 數 百 觀 測 點 全 年 365 天 之 值 , 由 上 述 各 表 其 工 作 量 之 龐 大 , 可 以 想見 。5.2 創 新 的 計 算 方 法 - 多 自 變 量 函 數 插 值 法( 一 ) 月 出 月 沒 時 刻 計 算 法此 方 法 步 驟 簡 單 , 計 算 快 速 , 應 用 方 便 , 它 只 是 一 條 簡 單 的 方 程 式 , 即αa i +βa j +γb i +ωb j ±Δλ=C (5-1)式 中 α,β,γ,ω 均 為 常 數 ,a i ,b i ,a j ,b j 為 所 求 觀 測 點 連 續 二 天 近 似 緯 度的 月 出 ( 或 月 沒 ) 時 刻 。Δλ 為 所 求 點 經 度 與 標 準 時 區 之 差 ,C 即 所 求 點 當 地標 準 時 刻 。 茲 將 其 過 程 詳 述 如 下 :1. 將 原 計 算 各 步 驟 數 位 化設 所 求 點 之 經 緯 度 分 別 為 ( λ , φ ) , 在 天 文 年 曆 上 表 列 近 緯 度 區 間 為

(φ 1

(5-3)因 係 數 α,β,γ,ω 均 為 (λ,Δφ) 的 函 數 , 對 一 觀 測 點 而 言 ,(λ,Δφ)皆 為 常 數 , 即 α,β,γ,ω 皆 為 常 數 , 且 均 可 預 先 求 得 , 故 (5-1) 式 為 計 算天 文 年 曆 月 出 月 沒 時 刻 , 及 一 般 多 自 變 數 函 量 插 值 計 算 最 間 單 而 又 最 完 美 的新 公 式 , 自 此 式 推 出 後 , 近 20 年 來 聯 勤 測 量 署 每 年 編 算 天 文 年 曆 均 以 此 公 式用 電 腦 程 式 計 算 , 成 效 極 為 良 好 , 每 年 為 國 家 節 省 大 量 人 力 、 物 力 , 和 時間 。( 二 ) 日 出 日 沒 計 算假 設 如 前 , 若 近 似 緯 度 區 間 之 日 出 ( 或 日 沒 ) 時 刻 分 別 為 a 1 ,b 1 , 則 傳 統的 牛 頓 插 值 法 中 六 項 步 驟 將 變 為(5-4)步 驟 (6) 同 樣 經 由 分 解 、 組 合 等 方 法 可 簡 化 為(5-5)(5-6)六 、 多 自 變 量 函 數 插 值 公 式 之 研 討6.1 公 式 討 論( 一 ) 比 較 (3-5)、(4-6)、 及 (4-12) 三 式 最 大 不 同 之 處 , 是 ( 3-5) 式 任 一 後項 之 函 數 與 前 面 各 項 之 函 數 均 有 關 , 如 f 〔 x 0 ,x 1 〕、f 〔 x 0 ,x 1 ,x 2 〕 及 f〔 0 ,x 1 ,x 2 ,x 3 〕, 而 (4-6)、(4-12) 則 各 項 之 函 數 均 為 獨 立 。 這 是 新 公 式最 大 優 點 所 在 。

( 二 ) 式 (4-12) 中 若 係 數 B=0,C=0, 則 式 (4-12) 三 階 將 變 為 式 (4-6) 二 階 。( 三 ) 式 (4-12) 中 若 視 y 為 常 數 , 並 將 式 (4-8) 各 項 中 之 係 數 簡 化 以 C 0 ,C 1 ,---C n 表 示 , 則 可 將 牛 頓 多 項 式 插 值 公 式f n (x)=f(x 0 )+(x-x 0 )f[x 1 ,x 0 ]+(x-x 0 )(x-x 1 )f[x 2 ,x 1 ,x 0 ]+...+(x-x 0 )(xx1 )...(x-x n -1 )f[x n ,x n -1 ,...x 0 ](3-5)可 改 寫 為 :f n (x)=C 0 f(x 0 )+C 1 f(x 1 )+C 2 f(x 2 )+...+C n -1 f(x n -1 )+C n f(x n ) (4-15)( 四 ) 改 寫 後 的 新 方 程 式 (4-15), 以 推 導 者 命 名 稱 它 為 Tung 氏 插 值 多 項 式 。( 五 ) 如 將 Newton、Lagrange、Aitken、Stiring、Hermit、Bessel、 及 Gauss 等 插值 多 項 式 與 Tung 氏 插 值 多 項 式 作 一 比 較 , 後 者 要 簡 單 美 麗 得 太 多 了 。6.2 係 數 討 論由 4.1 節 所 導 出 之 多 自 變 量 插 值 公 式 及 (4-3) 節 所 舉 實 例 中 之 多 自 變 量 插 值 公 式如 下 :f(x m ,y n )=α.f(x i ,y i )+β.f(x i ,y j )+ν.f(x j ,y k )ω.f(x j ,y j ) (4-6)重 寫 上 式α.f 1 (x,y)+β.f 2 (x,y)+ν.f 3 (x,y)+ω.f 4 (x,y)=c(6-1)上 式 中(6-2)上 式 中 之 各 項 係 數 經 研 究 發 現 , 它 們 兼 有 一 奇 特 之 關 係 , 那 就 是 公 式 ( 4-6)係 數 和 永 遠 等 於 1。 即

(6-3)此 外 , 在 (4-3) 節 所 導 之 (4-12) 式 中 , 也 能 証 明 其 係 數 和 永 遠 等 於 1, 茲以 台 灣 北 、 中 、 南 部 台 北 、 台 中 、 台 南 、 恆 春 四 大 都 市 為 例 , 求 各 點 之 相 關 係數 。 這 四 點 的 經 度 分 別 為 121°30',120°40',120°12'、 及 120°44'; 緯 度 分 別 為25°02',24°08',22°59'、 及 22°00'。將 各 經 緯 度 值 代 入 (5-2) 式 之 第 (2)(3)(10) 步 驟 及 (6-2) 式 中 , 得各 點 相 關 係 數 整 於 表 6-1 中 。 各 項 係 數 計 算 過 程 為

本 例 中 台 北 、 台 中 、 台 南 、 恆 春 四 地 方 之 日 出 、 日 沒 時 刻 可 由 (5-5) 式 求 得 , 月出 、 月 沒 時 刻 可 由 (4-6)(4-12) 或 (5-1) 式 求 得 。 因 一 般 期 刊 篇 幅 均 有 限 , 故 本文 僅 將 上 述 四 點 94 年 全 年 之 日 出 、 日 沒 算 出 列 於 表 6-2 表 , 月 出 、 月 沒 則 因 篇 幅 過 大

而 從 略 。

多 自 變 量 函 數 插 值 公 式 之 . 係 數 和 等 於 1 , 此 一 奇 特 數 據 筆 者 原 稱 它 為 魔 數(magic number), 後 來 在 一 次 中 國 測 量 工 程 學 會 年 會 中 , 為 表 揚 發 現 者 , 經 與 會 會員 一 致 通 過 建 議 , 改 稱 它 為 Tung 氏 係 數 。七 、 結 論研 究 是 一 種 手 段 , 有 好 的 研 究 成 果 才 是 目 標 , 計 算 是 研 究 中 的 一 段 過 程 , 只 要 能達 到 理 想 目 標 , 這 段 過 程 是 愈 短 愈 快 愈 好 。 生 活 在 21 世 紀 今 天 的 人 們 , 做 什 麼 都 講 求

要 快 , 不 僅 學 術 研 究 要 快 , 科 技 發 展 要 快 , 工 程 創 新 要 快 , 連 改 善 人 類 生 活 更 須 要快 。 時 間 像 是 一 由 無 限 粒 微 小 鑽 珠 所 串 聯 成 的 一 條 無 限 長 的 鏈 , 抓 住 它 越 多 的 人 收 穫就 越 大 。 從 實 用 觀 點 看 , 有 時 過 分 追 求 “ 精 確 ”, 並 非 是 一 種 “ 美 德 ”。 如 考 試 時 , 對 又快 才 是 目 標 。 於 是 以 往 並 不 太 受 人 重 視 的 數 值 分 析 中 之 插 值 法 , 如 今 ( 尤 其 微 電 腦 普及 後 ) 卻 已 逐 漸 成 為 土 木 、 建 築 、 航 太 、 … 測 量 等 工 程 , 以 及 工 程 管 理 、 統 計 分 析 計算 時 不 可 或 缺 的 重 要 工 具 。牛 頓 (Newten) 及 拉 格 朗 日 (Lagenge) 等 幾 位 數 學 家 的 單 自 變 量 函 數 插 值 法 在學 術 研 究 上 , 在 科 技 實 用 上 , 自 有 他 們 一 定 的 成 就 和 地 位 , 但 當 遇 到 多 自 變 量 函 數 插值 時 , 他 們 的 公 式 卻 又 似 嫌 不 足 , 因 此 , 突 破 困 難 或 極 限 , 繼 續 鑽 研 並 將 前 人 的 研 究成 果 發 揚 光 大 , 是 現 代 為 學 者 每 個 人 應 盡 的 責 任 。就 直 覺 上 的 觀 點 看 , 中 外 幾 位 數 學 大 師 的 插 值 法 , 尤 其 是 採 用 高 階 多 項 式 插 值時 , 已 是 十 分 完 美 , 重 覆 ( 三 次 或 以 上 ) 使 用 單 自 變 量 函 數 插 值 法 , 求 多 自 變 量 函 數值 , 雖 然 繁 雜 費 時 , 但 它 似 乎 是 正 確 和 唯 一 的 方 法 。 但 若 就 研 究 科 學 的 精 神 來 說 , 科技 猶 如 一 條 以 無 窮 級 數 表 示 的 超 越 函 數 , 它 沒 有 百 分 之 一 百 的 正 確 , 也 沒 有 永 遠 的 唯一 。 因 為 進 步 是 無 止 境 的 , 研 究 若 能 突 破 , 必 有 更 好 更 新 的 成 果 出 現 , 此 一 論 點 可 由“ 多 自 變 量 函 數 插 值 法 ” 的 發 現 獲 得 證 實 。多 變 量 插 值 法 公 式 的 導 出 , 在 數 學 理 論 上 它 使 原 來 只 能 於 點 、 線 的 插 值 擴 充 到 面的 插 值 , 在 工 程 應 用 上 它 將 原 來 僅 限 於 土 木 、 測 量 計 算 的 插 值 推 廣 到 電 子 資 訊 、 精 密機 械 、 工 程 管 理 、 光 學 儀 器 、 以 及 陶 瓷 陶 藝 等 方 面 。 根 據 最 近 網 際 網 路 的 統 計 , 目 前亞 洲 地 區 已 有 1460 多 項 工 業 產 品 的 造 型 、 修 正 、 或 改 進 都 是 以 插 值 法 完 成 的 。插 值 法 ( Interpolation ) 在 數 學 領 域 中 是 一 項 古 老 而 並 非 特 別 深 奧 的 學 門 , 但 它的 用 途 之 土 木 、 測 量 , 猶 勝 於 富 氏 級 數 (Fourier Series) 之 於 電 機 、 電 子 。 它 的 歷 史自 公 元 206 年 東 漢 劉 洪 在 其 所 著 「 乾 象 曆 」 中 首 次 提 出 插 值 法 以 來 , 已 將 近 1800 年 ,如 今 多 自 變 量 插 值 法 公 式 的 出 現 , 它 不 僅 填 補 了 這 千 餘 年 來 插 值 法 歷 史 的 空 白 , 更 給插 值 法 這 一 學 門 加 開 了 一 扇 窗 扉 , 使 我 們 能 很 清 楚 看 見 它 那 更 光 亮 、 更 充 實 、 和 更 遼闊 的 遠 景 。八 、 參 考 文 獻1. Gerald / wheatley 原 著 , 黃 淳 權 譯 , 數 值 分 析 , 全 威 圖 書 有 限 公 司 ,1990 年 10 月10 日 初 版 。2. Steven C. Chapra, Raymond P. Canale 原 著 , 鄭 明 哲 譯 , 工 程 數 值 方 法 , 全 華 科技 圖 書 有 限 公 司 ,1995 年 五 月 再 版 。3. 林 丕 靜 , 數 值 分 析 , 格 致 圖 書 公 司 ,1995 年 元 月 七 版 。4. 陳 祥 明 , 數 值 分 析 , 中 央 圖 書 出 社 ,1990 年 1 月 初 版 。5. 簡 聰 海 , 數 值 分 析 ( 使 用 C 語 言 ), 全 華 科 技 圖 書 有 限 公 司 ,2002 年 12 月 二 版 一刷 。6. 吳 大 偉 等 , 基 礎 數 值 分 析 ( 使 用 C 語 言 ), 高 立 圖 書 有 限 公 司 ,2001 年 7 月 20 日二 版 三 刷 。7. 李 宗 義 , 計 算 機 數 值 應 用 法 , 正 中 書 局 ,1980 年 7 月 台 修 二 版 。8. 陳 隆 川 譯 , 從 計 算 機 實 驗 看 微 分 及 差 分 方 程 , 凡 異 出 版 社 ,1987 年 10 月 一 版 。9. 長 嵨 秀 世 原 著 , 賴 耿 陽 譯 , 數 值 計 算 與 推 導 法 , 復 漢 出 版 社 ,1987 年 1 月 初 版 。10. Carl-Erik Froberg, , Introduction to Numerical Analysis , 中 央 圖 書 供 應 社 ,1972 年 5 月 初 版 。

11. Anthony Ralston, A First Course in Numerical Analysis , 新 月 圖 書 公 司 ,1969年 初 版 。12. 童 才 燧 , 日 月 出 沒 時 刻 計 算 之 研 究 , 中 國 測 量 工 程 學 會 “ 測 量 工 程 ” 季 刊 ,1974 年3 月 第 16 卷 第 1 期 。13. 王 九 逵 , 談 補 間 法 , 科 學 月 刊 社 , 科 學 月 刊 1976 年 2 月 1 日 第 7 卷 第 2 期 。14. 谷 超 豪 , 數 學 辭 典 , 建 宏 出 版 社 ,1995 年 1 月 初 版 一 刷 。