Test per il confronto di 2 proporzioni , Analisi di dati qualitativi ...

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Test esatto di Fisher per tabelle 2x2Per campioni indipendenti – ridotta numerositàSe il numero totale di osservazioni N della tabella 2x2 è minore di 30 e si riscontranofrequenze attese < 1, il test χ 2 è approssimato e quindi si ricorre ad un test esatto checalcola direttamente la probabilità.Esito+ -Gruppo 1 a b a+b= R 12 c d c+d= R 2a+c= C 1 b+d= C 2 a+b+c+d= NPosti come vincoli che si abbianoR 1 osservazioni nel gruppo 1R 2 osservazioni nel gruppo 2C 1 = a+c totale di positivi nell’insieme dei due gruppisi calcola la probabilità di osservare proprio quella tabellacioè la probabilità condizionata di osservare a positivi nel gruppo R 1 e c positivi nelgruppo R 2 avendo avuto (a+c) positivi in generale su N osservazioniP(tabella) = P (a, R 1 ) P (c, R 2 )P (a+c,N)Sia π la probabilità ignota di essere positivo nella popolazione generale se è vera laipotesi nulla. In base alla distribuzione binomiale si ottiene :P (a, R 1 ) = a C R1 π a (1-π) R1-aP (c, R 2 ) = c C R2 π c (1-π) R2-cP (a+c,N) = (a+c) C N π a+c (1-π) N-(a+c)InfattiP(tabella) = R 1 ! R 2 ! C 1 ! C 2 !N! a! b! c! d!P = aC R1 π a (1-π) R1-a cC R2 π c (1-π) R2-c = aC R1 c C R2 π a+c (1-π) R1+R2-(a+c) =(a+c)C N π a+c (1-π) N-(a+c) (a+c)C N π a+c (1-π) N-(a+c)= R 1 ! R 2 ! (a+c)! (b+d)! = R 1 ! R 2 ! C 1 ! C 2 !a! (R 1 -a)! c! (R 2 -c)! N! a! b! c! d! N!Questa è la probabilità di ottenere esattamente la tabella osservata (frequenze :a,b,c,d)fra tutte le possibili tabelle costruibili rispettando i totali marginali (r,s,n,m)Occorre calcolare anche la probabilità di tutte le possibili tabelle più estreme di questarispetto alla ipotesi nullaF 10
ESEMPIOValutare la virulenza di due ceppi batterici A e B misurata in base al numero di animalideceduti dopo la inoculazione.Tab.2EsitoVivi MortiCeppo A 2 18 20B 8 10 1810 28 38H 0 π a = π bla virulenza, o probabilità di non sopravvivere, è uguale per i due ceppi.Altre tabelle più estreme nella direzione di una maggiore virulenza del ceppo ATab.1 Esito Tab.0 EsitoVivi Morti Vivi MortiCeppo A 1 19 Ceppo A 0 20B 9 9 B 10 8Probabilità di ciascuna tabellaP(tab.2)= 20! 18! 10! 28! =38! 2!18!8!10!P(tab.1) = 20! 18! 10! 28!=38! 1!19!9!9!P(tab.0) = 20! 18! 10! 28!=38! 0!20!10!8!0.01759P(t.2) 2 x 10 = 0.0020619 * 9P(t.1) 1 x 9 = 0.0000920 *10Probabilità totale 0.01974Dati quei totali marginali,la probabilità di ottenere per solo effetto del caso un risultato come quello della tabellaosservata e’ dell’ 1.76%la probabilità di ottenere per solo effetto del caso un risultato come quello della tabellaosservata o uno più estremo rispetto alla H 0 e’ dell’ 1.97%Nell’altra direzioneVivi Morti PCeppo A 10 10 0.00039 Si consideraB 0 18Ceppo A 9 11 0.00640 Si consideraB 1 17Ceppo A 8 12 0.04077 Non si consideraB 2 16Nell’altra direzione si sommano le probabilità a partire dalla tabella che ha un probabilitàdi verificarsi uguale o minore a quella osservata.Nelle due direzioniLa probabilità % è esattamente 1.97+ 0.64+ 0.039 = 2.653%F 11
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